книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

Продифференцируем дважды (1.88) и подставим в (1.89). Тогда

FT= т(г — гф2) ,

(1.90»

т d

F* = 7 • * < " ♦ > ■

Выражая составляющие v и В в цилиндрической системе коор­ динат, получим следующие уравнения движения:

mz = — е(гВ$ — гфВг) ,

~‘~77(г2ф) = e(zBr гВг) .

гat

Восесимметричном поле Дь = 0, а составляющие Bz и Вг вы­ разим через векторный потенциал согласно ( 1.66) и подставим в (1.91):

Постоянная интегрирования в (1.93) равна нулю, так как при Лф=0 (вне поля) в предположении, что электрон влетает в поле, не имея азимутальной составляющей скорости, ф = 0.

Если опять ограничиться приосевой областью поля, то в разло­ жении (1.74) можно отбросить члены с г в степени выше второй,

т. е. азимутальная скорость не зависит от начального положения электрона и однозначно определяется осевой составляющей магнит­ ной индукции.

Подставив значение ф из (1.94) во второе уравнение (1.92) и произведя преобразования, получим уравнение движения в виде

е2 г

dz

замечая, что — — vz (для 'приосевой области)', где dt

(У0— значение потенциала на оси системы, получим уравнение траектории:

d2r е

Уравнение (1.96) является уравнением траектории в проекции на меридиональную плоскость; но, поскольку в магнитном поле электрон приобретает также азимутальную скорость, для полного описания движения необходимо определить угол поворота траек­ тории, или угол поворота вокруг оси меридиональной плоскости, в которой лежит траектория, описываемая уравнением (1.96). Для этого преобразуем уравнение (1.94), применив снова дифференци­ альный оператор:

Таким образом, движение электрона в осесимметричном маг­ нитном поле в приосевой области (при v<g.c) описывается систе­ мой уравнений:

Анализ уравнений (1.98) показывает, во-первых, что в магнит­ ном поле траектории не остаются плоскими, а имеют вид прост­ ранственных спиралей с изменяющимся радиусом. Во-вторых, в уравнения входят е и т, т. е. частицы с разными зарядами и мас­ сами в магнитном поле описывают различные траектории. В-треть­ их, уравнения неоднородны относительно В0 и [/0, поэтому при мо­ делировании траекторий в магнитных полях необходимо при изме­ нении В0 в k раз изменять U0 в k2 раз. Наконец, следует отметить, что в магнитных полях траектории необратимы, так как угол пово­ рота зависит от направления движения частиц.

Входящую в уравнения (1.98) величину Uо следует рассматри­ вать как меру энергии электрона, а не как истинное значение элек­ трического потенциала на оси. Но, так как обычно до вступления в магнитное поле электрон разгоняется в электрическом поле, то

можно утверждать, что неоднородное осесимметричное магнитное поле в приосевой области является электронной линзой. Только в отличие от электростатического поля изображение, создаваемое магнитной линзой, будет повернуто на некоторый угол, определяе­

изменены в соответствии с общим выражением для закона сохра­ нения энергии (1.4).

Если в некоторой области имеются электрическое и магнитное осесимметричные поля (случай «налагающихся» полей), то урав­ нения движения электронов могут быть получены сложением со­ ставляющих сил, действующих на электрон со стороны электриче­ ского и магнитною полей:

(1.99^

Возможность получения изображения в этом случае, конечно, сохраняется, но сохраняется также и угол поворота изображения, присущий магнитному полю.

Рассмотренные уравнения движения справедливы для узких приосевых пучков электронов (параксиальная оптика). Во многих типах электроннолучевых приборов используются именно узкие пучки, которые с достаточно хорошим приближением можно счи­ тать параксиальными. Однако в некоторых приборах, например в электронно-оптических преобразователях изображения и в телеви­ зионных передающих трубках с переносом изображения, приходит­ ся иметь дело с широкими пучками, которые, даже в самом гру­ бом приближении, нельзя считать параксиальными. В общем слу­ чае для нахождения траекторий электронов в широких пучках можно составить уравнения движения, аналогичные приведенным выше, но с использованием не одного или двух членов в разло­ жениях (1.53) и (1.74), а членов более высоких порядков. Есте­ ственно, что решение таких более сложных неоднородных уравне­ ний вызовет значительные затруднения, а полученные результаты

плоскости. К плоскости 20 непосредственно примыкает электриче­ ское или магнитное поле, симметричное, относительно оси 0Z. Рас­ смотрим траекторию электрона, вылетающего по нормали к пло­

с основной траекторией. Таким образом, задача сводится к нахож­ дению смежных траекторий, которые при некоторых допущениях можно считать параксиальными относительно основной траекто­ рии, являющейся осью для семейства смежных траекторий. В об­ щем случае эта ось может быть криволинейной.

Если известна основная траектория, то положение смежной траектории для любого значения z может быть однозначно опре­ делено величиной и направлением отрезка, лежащего в плоскости, перпендикулярной к оси (при данном значении z), соединяющего основную траекторию со смежной. Этот отрезок можно предста­

Если смежные траектории являются параксиальными относи­ тельно основной, то они могут быть описаны известными уравне­ ниями параксиальной оптики:

где U и В — значения электрического потенциала и магнитной ин­ дукции вдоль основной траектории.

Чтобы смежные траектории, вышедшие из одной точки в пло­ скости ze, собрались в точку в плоскости гь, необходимо существо­

вание решений уравнений ( 1.101) при граничных условиях p(za) = 0 и p(zb)= 0. В этом случае в плоскости zb получится изо­ бражение объекта (плоскости za), причем каждой точке объекта будет соответствовать точка изображения, определяемая основной траекторией, вышедшей из данной точки объекта. Однако о геомет­ рическом подобии изображения объекту на основании фокусиров­ ки в точку смежных траекторий говорить нельзя, так как это по­

для которых соблюдается геометрическое подобие изображения и объекта; 2) нахождения условий, при которых смежные траекто­ рии пересекут основную в плоскости изображения, т. е. сфокуси­ руются в точку в плоскости zb.

Частным случаем рассматриваемой задачи является фокусиров­ ка широких пучков электронов продольным однородным магнит­ ным полем (рис. 1.19), используемая в некоторых электроннолуче­ вых приборах.

При 5 = £ z=const и U=const во всей области распространения пучка основные траектории совпадают с силовыми линиями маг­ нитного поля, а смежные траектории «накручиваются» на основ­ ные, образуя ряд узлов и пучностей. В проекции на плоскость, перпендикулярную к оси 0Z, электроны, движущиеся по смежным траекториям, описывают окружности, радиус которых определяет­ ся из (1.13):

где vr— нормальная к оси составляющая скорости.

Таким образом, смежные траектории представляются винтовы­ ми линиями, навитыми на цилиндры с радиусом, определяемым выражением ( 1.102), причем все цилиндры для данного семейства смежных траекторий имеют общую образующую — основную тра­ екторию. Нетрудно видеть, что в продольном однородном магнит­ ном поле возможна фокусировка и получение изображения. В са­

мом деле, период обращения электрона около основной траектории (время прохождения одного витка спирали)

2лR 2ят

(1.103)

vr eBz

не зависит ни от составляющей скорости vr, ни от радиуса спирали и однозначно определяется величиной магнитной индукции, т. е. все электроны описывают один виток в одно и то же время. Если

собностью собирать параллельный пучок в точку и создавать уве­ личенные или уменьшенные изображения).

Если использовать убывающее вдоль оси (неоднородное) маг­ нитное поле, то основные траектории будут близки к расходя­ щимся силовым линиям (рис. 1.20), т. е. для основных траекторий такое поле будет рассеивающей линзой. В то же время смежные траектории «закручиваясь», вокруг основных, могут сфокусиро­ ваться в точку в плоскости гь. В этом случае получится увеличен­ ное изображение объекта, так как из-за расхождения основных траекторий масштаб изображения будет больше единицы.

Рассмотренная система фокусировки, применяемая в телевизи­ онных передающих трубках с переносом изображения, не имеет аналога в световой оптике, так как в последней рассеивающие линзы принципиально не могут создавать действительное изобра­ жение.

Рассмотренные в предыдущем параграфе уравнения движения электронов в электрических полях лишь в редких случаях могут быть решены аналитически. Поэтому практически для нахождения траекторий электронов, движущихся в электрических полях, прихо­ дится использовать либо приближенные методы решения основных уравнений, либо строить траектории графо-аналитически.

Если распределение потенциала вдоль оси осесимметричного электрического поля задано в аналитической форме или если экс­ периментальную кривую распределения осевого потенциала можно достаточно точно аппроксимировать подходящей аналитической функцией, то решение основного уравнения параксиальной оптики (1.82) можно найти методом последовательных приближений.

Предположим, что в некоторой плоскости, перпендикулярной к оси, пересекающей ось в точке га, заданы начальные условия — удаление траектории от оси г(га) = г а и наклон касательной к тра­ ектории (dr/dz)Za = ra' Используем основное уравнение вида (1.81):

Л . ( п Г — ) = —

Проинтегрируем это уравнение в пределах от za до некоторого значения z:

и в правую части. В теории дифференциальных уравнений доказы­ вается, что при подстановке в правую часть уравнения (в нашем

случае уравнения (1.104)] некоторого приближенного значени г0(г) решение этого уравнения ri(z) дает лучшее приближение

ческих целей точностью. Хорошие результаты получаются, если i качестве нулевого приближения взять два первых члена уравнени:

На рис. 1.21 показаны траектории электронов в электрическое поле, образованном двумя соосными цилиндрами одинакового ра

не поддается аппроксимации аналитической функцией, может быт использован метод приближенного решения основного уравнение получивший название метода многоугольников или метода лине!

Из (1.110) непосредственно следует, что внутри рассматривав* мого участка

Щ (г )

Здесь С\ = Г\ YUi —const — постоянная, определяемая начальными

Uo(z) — Ui

где

Z — 2i

На правой границе участка (при z= z2)

(Индекс «л» указывает на угол наклона траектории слева от гра­ ницы раздела первого и второго участков).

Выражения (1.113) позволяют построить отрезок траекторий параксиального электрона внутри участка, ограниченного плоско стями, перпендикулярными к оси, в пределах от 2i до г2.

Значение г2, вычисленное в конце первого участка, использует ся как начальное при расчете траектории во втором участке. Од нако значение г'2л, вычисленное в конце первого участка, нельз? считать начальным для расчета траектории во втором участке, та! как при переходе через границу участков Uo' претерпевает разрьп и траектория имеет излом, т. е. г'гофг'гп (индекс «п» указывав' на угол наклона траектории справа от границы раздела участков)

уравнении (1.82) можно пренебречь величиной (Uo'l2U0)r' по срав