книги / Электромагнитные переходные процессы в электрических системах
..pdfцели, с учетом, что короткое замыкание произошло в мо мент, отвечающий положению векторов на рис. 3-2.
Напомним, что подкасательная в любой точке экспоненты1 в принятом для оси времени масштабе дает значение постоянной времени, с которой происходит изменение экспоненты (рис. 3-3). Имея в виду, что при /= 7\, значение с -1 =0,368, постоянную Га обычно трактуют как время, в течение которого переменная величи на снижается до 0,368 своего начального значения; при этом за на чальную может быть принята любая точка кривой
трехфазном коротком замыкании в простейшей электри ческой цепи.
Перейдем теперь к участку цепи, который остался присоединенным к источнику. Здесь помимо свободного тока будет новый принужденный ток, величина которого, очевидно, больше предыдущего и сдвиг по фазе которого
в общем случае иной. Допустим, что векторы / па , / Пв ,
Inc (рис. 3-2) отвечают новому установившемуся режиму данного участка цепи.
1 Обычно используют начальную часть экспоненты, где скорость изменения соответствующей величины больше и поэтому можно точ нее провести касательную.
61
Дифференциальное уравнение равновесия для любой
фазы, например фазы А, этого участка |
|
|
|||||
|
|
|
d i . , |
„ diR |
, .. dir |
|
|
имея в |
виду, |
что |
(<в + ‘с) = |
— |
можно |
представить |
|
(опуская |
индекс |
фазы) как |
LKdi |
|
|
|
|
|
|
|
и = irK+ |
|
|
(3-1а) |
|
|
|
|
|
^~dt |
|
|
|
где LK= ( L —М ) — результирующая |
индуктивность фа |
||||||
|
|
|
зы, т. е. индуктивность |
с |
учетом |
||
Решение (3-1 а) |
влияния двух других фаз. |
|
|||||
имеет вид: |
|
|
|
|
|||
|
i = -~sin(a>t-j-a — <?к) + <а10| е </Га. |
(3-2а) |
где 2К— полное сопротивление присоединенного к источ нику участка цепи или, короче, цепи короткого замыкания;
Ф>к — угол сдвига тока в этой цепи; Та — постоянная времени цепи короткого замыкания,
определяемая по (3-3), где вместо L u xit rx следует ввести LK, хк, гк.
Первый член правой части (3-2а) представляет пери одическую слагающую тока, которая при рассматривае мых условиях является принужденным током с постоян ной амплитудой /пт= Ут/2К. Соответственно второй член представляет, как и раньше, затухающий по экспо ненте свободный ток; его называют также апериодиче ской слагающей тока. Начальное значение этой слагаю щей определяется из начальных условий, т. е.
г'о = г’п /0/ + г'а /0/ 1 |
(3'3) |
откуда после подстановки соответствующих выражении имеем:
г’а1 0 |
1= Im sin (а — ср) —Iamsin (а — <рк). |
(3-4) |
Поскольку |
токи гп и г0 являются проекциями векторов |
|
/ пш и Im на |
линию времени, то ток г'а|0| также |
можно |
рассматривать как проекцию вектора (/т — /цт) на ту же линию (рис. 3-2). В зависимости от фазы включения а на чальное значение тока i 1П1 может изменяться от возможной наибольшей величины, когда вектор (/„, — Inm) парал-
62
лелен линии времени, до нуля, когда этот вектор норма лен к ней. В трехфазной системе такие частные условия, разумеется, могут быть лишь в одной из фаз.
На рис. 3-3 справа представлены кривые изменения токов в фазах рассматриваемого участка при трехфаз ном коротком замыкании. Как видно, чем больше апе риодическая слагающая тока, тем больше смещение кривой полного тока относительно оси времени. Эту сла гающую можно рассматривать как криволинейную ось
Рис. 3-4. Осциллограмма тока короткого замыкания при наибольшей апериодической слагающей.
симметрии кривой полного тока, из которой ее легко вы делить. Для этого нужно сначала провести огибающие по максимальным положительным и отрицательным зна чениям заданной кривой тока (см. пунктирные линии у кривой тока фазы А на рис. 3-3). Каждая точка кри вой апериодической слагающей лежит посредине верти кального отрезка между этими огибающими.
Из (3-4) и рис. 3-2 следует, что наибольшее значение апериодической слагающей тока определяется не только фазой включения, но также предшествующим режимом цепи. Так, например, при отсутствии предшествующего тока в данной цепи величина га /0/ может достигать
6 3
амплитуды периодической слагающей, если в момент ко роткого замыкания эта слагающая проходит через свой положительный или отрицательный максимум (рис. 3-4). Обычно этот случай рассматривается как расчетный *.
Важно отметить, что фаза включения, при которой возникает наибольшее значение апериодической слагаю щей, еще не предопределяет того, что именно при ней будет максимум мгновенного значения полного тока. В самом деле, из (3-2а) и (3-4) при отсутствии предше ствующего тока Цт= 0) следует, что полный ток в цепи короткого замыкания является функцией двух независи мых переменных: времени t и фазы включения а и вы ражается уравнением
i = lnm [Sin(tot -f- a — <pK) — sin (* — |
9 K) e ~ UT*]. |
(3-5) |
||||
Приравняв нулю частные производные этого уравнения, |
||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
~ — щ cos {wt - f а — 9К) -f- |
sin (<z —<рк) e~‘IT>= |
0; |
||||
= |
COS (a>t 4- <*—<Рк) —COS (a — yK) e~Wt = 0, |
|
||||
и совместно |
решив эти уравнения, |
найдем, что максимум |
||||
тока наступает при |
|
|
|
|
|
|
tg (* — ?к) = —“Т'а = |
— 7 7 = |
tg (— <рк), |
|
|||
т. е. при а = 0. |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
в предварительно |
разомкнутой |
цепи |
|||
с г и L максимум |
мгновенного |
значения полного тока |
при коротком замыкании наступает, если в момент воз никновения короткого напряжение источника проходит через нуль.
Для цепей с преобладающей индуктивностью <рк«90°, поэтому условие возникновения наибольшей апериодиче ской слагающей и условие, при котором достигается максимум мгновенного значения полного тока очень близки друг к другу. Поэтому в практических расчетах максимальное мгновенное значение полного тока коротко
го замыкания, |
которое называют у д а р н ы м т о к о м |
к о р от к о г о |
з а м ы к а н и я гу, обычно находят при |
1 Хотя возможны частные случаи, когда начальное значение апе риодической слагающей тока превышает амплитуду периодической слагающей.
6 4
наибольшем значении апериодической слагающей (рис. 3-4), считая, что он наступает приблизительно через полпериода, что при f= 50 гц составляет около 0,01 сек с возникновения короткого замыкания.
Таким образом, выражение для ударного тока корот кого замыкания можно записать в следующем виде:
h = Ium + |
/ш»<Г°'°1/7‘ = |
Vum, |
(3-6) |
где |
|
|
|
£у = |
1_|-(Г “-01/г., |
|
(3-7) |
который называют у д а р н ы м |
к о э ф ф и ц и е н т о м , |
показывает превышение ударного тока над амплитудой периодической слагающей; его величина находится в пре
делах
1 <С&у<С2,
что соответствует предельным значениям Та, т. е. Га=0 (при LK= 0) и Тъ— оо (при гк= 0 ).
Естественно, чем меньше Т&, тем быстрее затухает апериодическая слагающая и тем соответственно меньше ударный коэффициент. Влияние этой слагающей сказы вается лишь в начальной стадии переходного процесса; в сетях и установках высокого напряжения она практи чески исчезает спустя 0,1—0,3 сек, а в установках низко го напряжения она практически совсем незаметна.
Еще раз подчеркнем, что апериодические слагающие токов в фазах различны. Поэтому определение трехфаз ного короткого замыкания как симметричного, строго говоря, справедливо применительно к периодическим слагающим фазных токов.
3-3. Действующие значения полных величин и их отдельных слагающих
Прежде всего оговорим условность принятой терми нологии. Она заключается в том, что называя д е й с т в у ю щ е е з н а ч е н и е , например, т о к а в п р о и з в о л ь н ы й м о м е н т п е р е х о д н о г о п р о ц е с с а , будем иметь в виду, что оно определяется как средне квадратичное значение за один период Т, в середине которого находится рассматриваемый момент. В соответ ствии с этим при известной зависимости i= f(t) для
5—2498 |
65 |
д е й с т в у ю щ е г о з н а ч е н и я т о к а в м о м е н т t м о ж н о н а п и с а т ь :
Зависимость /= /(/) в общем случае очень сложна. Поэтому для упрощения подсчета /г принимают, что за рассматриваемый период обе слагающие тока не изме няются, т. е. амплитуда периодической слагающей и апериодическая слагающая неизменны; каждая из них
Рис. 3-5. К определению действующего значения тока при переходном процессе.
равна своему значению в данный момент t. Такое допу щение относительно периодической слагающей делают, когда источником является генератор конечной мощ ности; для условий же § 3-2 постоянство амплитуды соблюдается.
Сказанное иллюстрирует рис. 3-5, где для общности принято, что амплитуда периодической слагающей тока изменяется. Для заданного момента t амплитуду этой слагающей определяют по соответствующей огибающей (см. пунктирные линии); при этом действующее значе-
66
ние рассматриваемой слагающей в этот момент находят как
/ n t = W / 2 . |
(3-9) |
Соответственно действующее значение апериодиче ской слагающей за один период при принятом допуще нии равно ее мгновенному значению в момент, находя щийся посредине данного периода (рис. 3-5), т. е.
h t = U |
(3-10) |
Действующее значение полного тока в тот же момент будет:
- К , • |
«з-1» |
т. е. оно определяется знакомым выражением для дей ствующего значения несинусоидального тока.
Точность определения по (3-11) вполне удовлетво ряет требованиям практики.
2,
Рис |
3-6. Кривые изменения |
|
||
отношений /у//v |
(кривая 1) |
и |
1, |
|
1у/1а (кривая 2) |
в зависимости |
|
||
от |
ударного коэффициента |
Ау. |
|
Н а и б о л ь ш е е д е й с т в у ю щ е е |
з н а ч е н и е полно |
го тока к о р о т к о г о з а мык а н и я |
/ у имеет место за |
первый период переходного процесса. При условии, когда
ia/o/= |
/imi> его можно определить по (3-11), придав послед |
нему следующий вид: |
|
/ 7 = |
]/^ + [(А :т - 1 ) / 2 '/ п}Т= / пК 1+ 2(А т -1 )« >(3-12) |
где kr— ударный коэффициент. |
|
8* |
67 |
Согласно указанным выше пределам изменений Лу величина отношения /у//п находится в пределах
*л
На рис. 3-6 показаны кривые изменения отношений /у//п и iy/Iy в функции kY. Как видно, отношение гу//у изменяется в сравнительно узких пределах и его
максимум ( / 3 ) наступает при &у = 1,5.
3-4. Приближенное решение
Представим выражение для периодической слагаю щей тока короткого замыкания в несколько ином виде, т. е.
т |
t/m |
Цт______ Лгв|(Гк=о) |
|
и"‘_ |
2, - |
хиКГ+с*- ~ |
’ |
где /пт(гк=0) ^ и т(хк— значение той же |
слагающей при |
гк = 0 и с=Гъ/х*.
Таким образом, преувеличение периодической сла гающей тока, вызванное пренебрежением г, можно ха рактеризовать отношением
- ^ р ^ = = у Т + ¥ . |
(3-13) |
/птп |
|
Если считать, что это превышение не должно быть более 5%, то из (3-13) легко установить, что оно будет соблюдаться при
£<1/1,05* — 1 «=* 1/3,
т.е. определение /п можно производить без учета г„, когда Гк^ГХк/З. При этом, конечно, фаза данной слагаю щей тока получается искаженной: фк= 90° вместо <рк=72°
при rK= x J 3. |
Что касается |
апериодической слагающей, |
то при Гк^О |
ее затухание |
вообще отсутствует и /гу= 2 , |
в то время как при гк= х к/3 имеем Лу=1,37; преувели
чение ударного тока уже составляет |
53%, |
а электроди |
намического эффекта — в 1,53*««2,5 |
раза. |
Аналогично |
68
нетрудно установить, что при тех же условиях преувели чение в наибольшем действующем значении полного тока короткого замыкания достигает 61%.
Этот элементарный подсчет наглядно иллюстрирует, насколько одной то же допущение может привести к рез ко отличающимся погрешностям в определении отдель ных величин. Очевидно, достаточно правильная оценка апериодической слагающей и полных величин тока, в которых ее участие существенно, может быть получена при непременном учете активного сопротивления цепи.
Последний |
можно сде |
— ----- ~j------- --------^ГТ\— |
||||||||
лать |
приближенно |
и |
||||||||
даже в неявной форме |
Je.~ m |
|
|
|
|
|||||
путем |
использования |
То |
|
|
|
|
>1у |
|||
некоторой |
средней |
ве |
|
|
|
|
|
|||
личины |
постоянной |
|
|
|
|
/ |
|
|||
времени Га и соответ |
|
|
|
|
\ |
|
||||
ствующего ей значения |
|
|
|
|
\ |
|
||||
ударного |
коэффициен |
|
|
|
/ |
\ |
|
|||
та. Такое |
различие в |
|
|
|
|
|
ЧУ |
|||
принимаемых |
допуще |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
ниях при практической |
|
|
|
|
|
|
||||
оценке отдельных сла |
|
|
|
|
|
|
||||
гающих тока |
является |
о------- ------- ----------------------“у |
||||||||
одним |
из примеров |
той |
||||||||
условности |
и |
как |
бы |
10 |
>.2 |
/,* |
’■6 |
18 |
20 |
|
несогласованности, |
о |
Рис. 3-7. Кривые, ограничивающие |
||||||||
чем |
отмечалось |
в |
||||||||
§ 2- 1. |
|
|
|
|
зону |
допустимого |
отклонения |
по |
||
|
|
(3-6) |
стоянной времени Т'&, при котором |
|||||||
Используя |
погрешность |
в токах |
eV и /у не пре |
|||||||
и (3-12), можно уста |
|
вышает ±5% . |
|
|
||||||
новить |
|
допустимые |
|
|
|
|
|
|
отклонения приближенной величины постоянной вре мени Т'а, при которых ошибки в определении удар ного тока и наибольшего действующего значения тока короткого замыкания не выходили бы за пределы ±5% . Результаты такого подсчета приведены на рис. 3-7, где допускаемые по данному условию пределы m = T'ajTa ограничены соответствующими кривыми в зависимости
ОТ ky. Прй Йу —1,8 |
постоянная |
времени 7’а=0,045 се/с; |
|
если |
йриблйженно |
вычисленная |
Т'а согласно данным |
JJHC. |
3-7 находится |
в пределах |
Т'а—(0,65-г-1,83) Та— |
5=0,029-*-0,082 сек, то ошибка в ударном токе не превы сит ±5% .
69
3-5. Определение эквивалентной постоянной времени
Для цепи, состоящей из последовательно соединен ных элементов, определение постоянной времени Та не представляет труда. Ее значение легко находится по фор муле, аналогичной (3-3), где под *i и г\ следует по нимать соответственно индуктивное и активное сопро тивления всей короткозамкнутой цепи.
Иное положение имеет место в сложной разветвлен ной схеме. Нахождение свободного тока в любой ветви такой схемы является задачей, с которой читатель зна ком из курса теоретических основ электротехники. Как известно, ее решение наиболее эффективно достигается путем применения преобразования Лапласа, т. е. с ис пользованием операторного метода.
При отсутствии кратных корней характеристического уравнения z ( p ) = 0 для свободного тока произвольной ветви в соответствии с известной формулой разложения имеем:
' a t 1 |
Fi (tv) |
P-t |
e h - /al^ 'Ч -/aaePaЧ -•••+ Л l»eP"^ (3-14) |
||
|
■k-Г\ |
|
|
Р ъ Г г (Ph) |
|
где каждое из слагаемых представляет частный свобод ный ток.
Когда в схеме нет емкости, все корни характеристи ческого уравнения являются вещественными отрицатель ными величинами и для них можно написать:
Pi = — l/T’a,; Р2 = |
— 1 / Г м •••; Р п = — 1/Тап, |
|||
где Таи Та2, ..., |
Тап — постоянные |
времени |
частных |
|
Начальные |
свободных токов. |
|
||
значения |
частных |
свободных токов /аь |
/Л2, •••, Ат, равно как и их постоянные времени, явля ются функциями параметров всех элементов схемы.
Такой общий и строгий путь решения уже для маломальски сложной схемы требует большой вычислитель ной работы. Достаточно напомнить, что каждая парал лельная ветвь с г и L увеличивает на один порядок сте пень характеристического уравнения. Поэтому для прак тических расчетов довольствуются более простым, при ближенным решением, одно из которых состоит в замене (3-14) одной экспонентой:
(3-15)