книги / Цифровые приборы с частотными датчиками
..pdfгармоник рекомендуется длина магнита /м = (0,7 -г- 0,75) /. В этом
случае, в соответствии со сказанным выше, эквивалентная схема
струны может быть представлена только сопротивлением R 0 струны как проволоки и первым параллельным контуром, что обычно и при водится в литературе [144]. По экспериментальным и литературным данным [36], резонансное сопротивление эквивалентного контура колеблется в пределах 5 — 150 ом, a Q — от 300 до десятков тысяч (в вакууме).
Анализ эквивалентной схемы показывает, что влияние непол
ностью исключенных высших гармоник на частоту, на которой со
противление струны становится чисто активным (фазовый признак резонанса), при реальных значениях Q пренебрежимо мало. Это зна
чит, что магнитоэлектрический преобразователь практически не вно
сит фазовых сдвигов.
Электромагнитный преобразователь значительно сложнее для ана
лиза. Если положить, что магнитное сопротивление между струной
и полюсом преобразователя определяется эквивалентной шириной
струны b и зазором ô (а), а магнитное сопротивление струны и магни-
топровода |
равно |
нулю, то поперечная сила выразится как |
^возб (A I t) |
|
2У{х* t) |
|
°oW |
|
|
|
|
где FKÛ и В 0 (а) — м. д. с. и индукция начального подмагничивания, |
||
причем В |
(а) = |
(A), a i (i) w — м. д. с. катушки электромаг |
нита. Приближенное равенство справедливо, если у « б0 и ш « FM0.
Только третий член после раскрытия скобок в правой части выра
жения (5-7) представляет |
собой полезную силу. Можно |
видеть, |
что |
в данном случае у (х) = |
B Q(A) bwfб0 (х); g (t) = i (t); |
h (t) = |
e (t) |
и эквивалентная схема также содержит ряд параллельных контуров. Первый и второй члены представляют собой соответственно постоян ную поперечную силу и силу отрицательной электромагнитной упру
гости, которая вычитается из возвращающей силы струны. Неста
бильность обеих этих сил вызывает нестабильность частоты. Постоян ную силу, вообще говоря, можно компенсировать при симметричном расположении полюсов по обе стороны струны, но отрицательная уп
ругость при этом не компенсируется.
Кроме непосредственного влияния на собственную частоту, элек тромагнитный преобразователь вносит фазовые сдвиги из-за индук тивности катушки.
Анализ работы электростатического обратимого преобразователя
такой |
же, |
как |
и |
электромагнитного; |
в |
данном случае у (х) = |
= Е 0 (х) b 80/60 (а), |
где Е 0 — напряженность |
поляризующего поля; |
||||
g (/) = |
и (t); |
h (i) |
= |
i (/); эквивалентная |
схема содержит ряд парал |
лельно соединенных последовательных контуров и собственные гео
метрические емкости преобразователя.
5-4. Анализ функции преобразования струнных датчиков
В большом диапазоне изменения натяжения струна с достаточной
точностью описывается уравнением (5-1), и для расчета нелинейности характеристик однострунных и дифференциальных датчиков можно
использовать формулы § 2-2, подставляя в них п = 2; е = AF J F n. Наиболее существенное отклонение от (5-1) вызывается собственной
изгибно'й жесткостью струны в области малых натяжений. Так как
эта область представляет интерес главным образом для струнных пре
образователей, извлекающих квадратный корень (см. § 5-1), целесо
образно рассматривать отклонения от линейности зависимости f от V~F.
Разные авторы предлагают различные физические модели жесткой струны, приводящие к разной оценке влияния жесткости. Дж. Стретт [138] рассматривает струну как растянутую балку, шарцирно за крепленную по концам. Так как при шарнирном закреплении фунда ментальные функции остаются отрезками синусоиды, влияние изгибной жесткости оказывается в точности эквивалентным дополнитель
ному натяжению Рдоп = л 2I EJ/12, где Е — модуль упругости |
мате |
риала струны; J — момент инерции ее сечения относительно |
следа |
нейтральной плоскости. Отсюда выводятся приближенные поправки к формуле [5-1], приведенные в работах [129, 144].
Более правильным представляется подход. Ф. Морза [136], кото
рый считает жесткую струну балкой с защемленными концами. В этом случае вблизи заделки появляются участки, практически не
принимающие участия в колебаниях, и влияние жесткости уже нельзя
свести к постоянному изменению натяжения или другого параметра
струны.
На рис. 5-7 показаны характеристики жесткой струны, полученные путем численного решения трансцендентного уравнения ее колеба
ний [136, стр. 193], при различных значениях начального натяжения. «Отрицательное натяжение» означает, что струна при отсутствии из меряемой величины провисает (зона нестабильности). Значение ча
стоты при AFX = FH= 0 вычислено по формуле для первой собст венной частоты стержня:
fio — |
3,5608У. |
VT. |
(5-8) |
|
|
/2 |
Г |
р |
|
где = 1I /f *— — радиус инерции сечения струны.
|
Характеристики построены в безразмерных параметрах и годятся |
|||
для любых струн, как круглых ( J = |
— |
; у. = — ) , так и ленточных |
||
|
|
\ |
64 |
4 / |
I |
12 |
3,46/ |
|
|
На рис. 5-8 те же характеристики перестроены для отклонения
частоты жесткой струны от частоты идеальной струны, подчиняющейся зависимости (5-1). Из кривых видно, что наибольшая линейность ха
рактеристики корнеизвлекающего струнного преобразователя до-
стигается при некотором начальном провисании струны. Если не тре-
буется, чтобы характеристика проходила через начало координат, можно выбрать кривую FulV EJ — ■— 30, нелинейность которой со
ставляет ± 0,03 — |
при изменении натяжения 1 : 25; аппрок |
симирующая ее прямая |
пересекает ось ординат вблизи частоты |
f |
|
Рис. 5-7. Семейство характеристик жесткой струны при разных начальных натяжениях в области малых натяжений
0,8 |
Л/ -Щ- . Характеристики, проходящие через начало |
коорди- |
|
1г V ро |
|
нат, |
1 |
Г E J |
обладают минимальной нелинейностью (0,2 -s- 0,3) — у |
— . |
Обычные, не предназначенные для извлечения корня струнные пре-
образователи работают при |
больших значениях |
параметра |
F12 |
----= |
|||
|
|
|
E J |
= х- Е (по данным § 5-2, |
//х = 4l/d > 1200 |
2000; о/Е = |
0,5 ч- |
ч- 7 -10“ 3) . В этой области для расчета характеристики жесткой струны
можно пользоваться |
приближенной формулой Ф. Морза |
|
' - т / ? |
: [ 1 + 2 / ¥ + ( 4 + ' т 1) ^ г ] ’ |
< 5 ' 9 > |
где п— номер гармоники, на которой возбуждена струна. Как видно
из рис. 5-8, на котором эта зависимость изображена штриховой кри
вой 2, она уже при F l2/E J 400 практически совпадает с характе
ристикой реальной струны (кривая /).
Из формулы (5-9) следует, что влияние жесткости сказывается во
всем диапазоне работы струны, так как второй член после раскрытия скобок дает постоянную добавку к частоте идеальной струны. Его изменение от нестабильности модуля упругости может быть одной из причин погрешности преобразователя. Последний член (5-9) влияет на чувствительность и линейность преобразователя, но это влияние
очень незначительно. Например, для выходной частоты дифферен
т а м
Рис. 5-8. Семейство кривых, характеризующих отклонение частоты жесткой струны от частоты идеальной струны
циального датчика со струнами, работающими на первой гармонике, получается выражение
^ ~ И 1 - 8’9 - ^ + 7 - * 5 7 ? ) ] • <5- 10>
практически не отличающееся от формулы для идеально гибких струн,
приведенной в § 2-2.
В области больших напряжений в струне на функции преобразо вания струнного датчика сказывается непостоянство длины струны
вследствие ее деформации под действием измеряемой величины. Если
масса струны остается постоянной (струна не скользит по опорам),
Разлагая У 1 -f s и l/У l+ ( a u/E) г в ряды и пренебрегая членами, содержащими е3 и (a J E )2, получаем для симметричного дифферен циального датчика
+ ! « • ( ! + f ) ] . |
(М 2) |
откуда следует, что при реальных значениях относительной деформа ции (aJ E < 0,7%) изменением чувствительности и тем более нели
нейности можно пренебречь.
Интересной особенностью струнных датчиков является возмож ность линеаризации их характеристики путем поддержания постоян ства суммы двух частот дифференциального датчика, что следует из практически линейной зависимости /2 от F. Действительно, если пре
небречь жесткостью струны и изменением Д///, разность частот струн
в дифференциальном датчике можно представить в виде
Af = |
(5-13) |
2mi(/i + |
/a) ’ |
что при /i + / 2 = const позволяет получить строго линейную функ
цию преобразования AFX в Д/. При этом устраняются также темпера
турные погрешности чувствительности, определяемые различными коэффициентами расширения струн и корпуса и другими причинами. Погрешности нуля, связанные с неодинаковостью двух струн датчика,
не устраняются, а если система стабилизации суммы частот действует не строго одинаково на две струны, то эти погрешности возрастают.
По-видимому, стабилизацию суммы частот целесообразно произво дить методами фазовой автоподстройки по частоте внешнего кварце
вого генератора. Техника фазовой автоподстройки подробно изложена в гл. 11 применительно к умножителям частоты с обратной связью. Для стабилизации суммы частот могут быть использованы те же схемы, причем вместо входного сигнала умножителя должна пода
ваться частота |
кварцевого |
генератора, |
вместо сигнала обратной |
связи — сумма |
частот струн, |
а сигнал, |
подаваемый в умножителях |
на вход управляемого генератора, должен в данном случае воздейст
вовать на исполнительное устройство, изменяющее одновременно
натяжение обеих струн, например электромагнитный, пьезоэлектри ческий или тепловой преобразователь.
Настройка обычных (без регулирования суммы частот) дифферен циальных датчиков на оптимальную нелинейность может быть выпол нена методами, изложенными в § 2-2; однако на практике могут встре титься иные требования к характеристике. Так, для случая, когда начальное значение разностной частоты не равно нулю и требуется свести к минимуму абсолютную или приведенную погрешность ли
нейности при аппроксимации характеристики хордой (см. § 2-2), А. И. Жучковым и Э. М. Зайцевым выведена формула
£ м п к с 1 |
£ м п к с 2 у/ а "I 1 > 5 £ м л к с 2 I |
( 5 - 1 4 ) |
где а = /„i//H2 — отношение начальных частот, à ема|сс1 й вмакс2 — номинальные относительные изменения натяжения двух струи дат чика. Для датчиков, работающих в режиме заданной длины струп, используя (5-1) и вводя обозначения к = л2£/4р и 6 = А1Х9 можно получить
^ |
_ kfimi |
TJ |
^ |
_ ^2&/л2 |
5макс 1 |
о о |
11 |
*мгкс 2 |
« о |
|
)1А |
|
|
/2НÂ |
и переписать формулу (5-14) в виде
,2 |
,3 |
^2ЬШ |
(5-15) |
|
4 4 |
||||
|
||||
Iн1М |
|
Формула (5-15) открывает широкое поле деятельности для кон
структора струнных датчиков, так как позволяет определить кон структивные параметры датчика, при которых нелинейность мини
мальна. Например, если задаться одинаковыми длинами струн и
определенным отношением начальных частот, можно определить необ
ходимое соотношение деформаций и ô2, которое должно быть обес
печено соответствующей конструкцией датчика. Если же задаться одинаковой деформацией струн под действием измеряемой величины, то (при кг = ko) получается выражение для выбора соотношения длим
струн в виде
h = h j / " * * 2 ~ "b 1>5£макс2 . (5 -1 6 )
При такой настройке датчика расчетная погрешность |
линей |
|||||||
ности |
достигает |
предельного значения |
| Тл |~Û ,006s*aKc2 |
в |
точках |
|||
е /8макс |
= 0,25 |
и |
е/емакс = |
0,75. При емакс2, изменяющемся |
в |
пре |
||
делах |
0,2 — 0,4, |
можно |
получить | |
| = 0,023 н - 0,1%, |
что |
под |
||
тверждается |
экспериментами. |
|
|
|
|
5-5. Нестабильность частоты струнных датчиков
Погрешности от нестабильности частоты вызываются, во-первых,
изменением собственных параметров струн под действием окружающих
условий, во времени и в зависимости от ранее действовавших нагрузок (гистерезис) и, во-вторых, изменением режима колебаний и фазовых
сдвигов в струнных автогенераторах.
Температурная погрешность струны в режиме заданной силы в со ответствии с формулой (5-1) при F = const, т — const равна А/// =
= — 1/ 2 a h где щ — температурный коэффициент линейного расшире
ния материала струны. Более точное выражение, учитывающее из менение деформации струны вследствие температурного изменения
модуля упругости, можно получить из (5-11):
Для датчиков со струнами, работающими в режиме заданной длины, дать общий расчет температурной погрешности трудно, так как она определяется конструктивными особенностями датчика. В работе
[134] показана возможность анализа температурной погрешности для простых конструкций датчиков с помощью схем механических цепей.
Э. М. Зайцев и А. И. Жучков, исследуя температурные погрешно сти дифференциальных датчиков для измерения сил и давлений со
стальными струнами, работающими в режиме заданной длины, при
шли к выводам, что температурный коэффициент чувствительности у дифференциальных датчиков такой же, как и у однострунных, и что температурная погрешность была бы равна нулю, если бы можно было
изготовить струны и упругий элемент из материалов с одинаковыми
температурными коэффициентами расширения и модуля упругости. Остаточную температурную погрешность от неполного совпадения температурных характеристик упругого элемента и струн, изготов ленных из одной марки стали, рекомендуется корректировать путем
введения в результат измерения поправки по изменению суммарной частоты струн датчика. Величина поправки определяется из формулы
|
2*5 |
[(/1 |
Ли) |
(/а — /н а)]^^ |
т . , |
1+ |
“на |
(Ли + |
(5 -1 7 ) |
fui)t=t„ |
||||
где Д/Л— поправка, (A/s) |
— изменение |
суммарной частоты при |
температуре (х; a s |
— температурный коэффициент чувствительности; |
||||||||
“ ni |
и “ иг— температурные коэффициенты |
начальных частот; |
flt |
||||||
fа, |
А,1 и Aiг — частоты |
под нагрузкой |
и |
начальные |
частоты струн. |
||||
Так как при введении поправки величина |
[(/i — Au)— (/2 — AIÎ) 1<=/ |
||||||||
не |
известна, ее можно заменить близкой |
к |
ней |
величиной [(fa — |
|||||
— /кг) — (/г — /„г)]<_/.• Практически |
формула |
для |
поправки |
ис |
|||||
пользуется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
( « . ) , . , / № - |
« |
- |
f t - |
|
<5' 18> |
|
где |
|
------------------ постоянный для данного датчика |
|||||||
|
®И1 + а Н2 |
Uni + /иг)*=/0 |
|
|
|
|
|
|
коэффициент. В результате обработки данных температурных испы таний оказалось, что при введении поправки температурная погреш
ность чувствительности датчика уменьшается в 50—100 раз и не пре
вышает 0,1% на 100° С.
Влияние давления и влажности окружающей среды на колебания струн сводится к изменению присоединенной массы воздуха, колеб лющейся вместе со струной и уменьшающей ее частоту. Как известно из теории колебаний [136, стр. 329], присоединенная масса для круг
лой струны определяется как реактивная часть сопротивления излу
чения; вызванное ею изменение частоты составляет [132]
Ь[_ _ _ ____ 1 РсР |
(5-19) |
f |
2 Рстр |
Так как плотность рср среды, в которой колеблется струна (с плот
ностью рстр) зависит от давления и влажности, ее изменение характе ризует влияние атмосферного давления и влажности на частоту струн ных датчиков.
Ленточные струны, колеблющиеся в узких магнитных зазорах, имеют значительно большую присоединенную массу. Как показано
в [132], изменение частоты в этом случае
Т=-2тёг <6-20»
Реальный барометрический коэффициент бронзовых струи, по
данным [145 ), составил — 0,66-10“ 6 1/мм pm. cm. Для борьбы с этими
источниками нестабильности частоты струнных датчиков, особенно
в условиях резких изменений давления и влажности, рекомендуется герметизировать и даже вакуумировать преобразователи.
Нестабильность упругих свойств струнных преобразователей скла
дывается из упругого последействия, нестабильности модуля упруго
сти и механического гистерезиса упругих элементов конструкции
датчика.
Влияние упругого последействия при оценке качества упругих
элементов приборов обычно характеризуется величиной руп — не
возвращением образца к исходному размеру Д/неп, отнесенным к за данной деформации Al. Например, для растяжек электроизмеритель
ных приборов при закручивании растяжки длиной 100 лш на 90° опре
деляют угол невозвращения, выраженный в процентах от угла за
кручивания; он в основном характеризует предельную механическую точность приборов на растяжках.
У струн, работающих в режиме заданной длины, упругое после действие изменяет действующую деформацию Al, которая определяет
натяжение, а следовательно, и частоту струны. Изменение частоты
от упругого последействия, очевидно, составляет |
|
||||
а/ = |
1 д/.п е в |
________ 1 _ о |
Туп _____ Д/_ = |
(5-21) |
|
/ |
А/ |
“ |
2 Ру |
|
|
■ 6макс/
У струн, работающих в режиме заданной силы, невозвращение,
вызванное упругим последействием, следует относить не к деформа
ции, а ко всей длине струны:
4 Z ._____J _ |
|
А/цев ____ |
1 |
РупЕм а к с ^ |
. |
__ |
|
A f |
о |
А/ |
f |
2 |
/ |
2 |
/ |
’ |
Туп” |
1 |
. “ |
Руп |
/ * |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
ЕмаксI |
|
|
(5-22)
Это значит, что у струны в режиме заданной силы гистерезис от упругого последействия в А/// раз меньше, чем у прибора на растяж ках. Например, для струны из сплава К40НХМВ ((Зуп = 0,04%) при
Aljl = 10-3 максимально возможное изменение частоты составит
2 - 10-7
Изменение модуля упругости материала струн вызывает изменение
действующей деформации, рассмотренное выше при анализе темпера
турной погрешности, а также изменение поправки на изгибную жест кость струны (см. § 5-4). Хотя температурный коэффициент модуля упругости по абсолютной величине больше чем на порядок превышает
температурный коэффициент линейного расширения материалов струн (см. табл. 5-1), его влияние невелико, так как он изменяет лишь де
формацию, составляющую доли процента от длины струны.
Влияние режима колебаний струн на частоту связано главным об
разом с их удлинением при отклонении от положения равновесия. Длина дуги отклоненной от положения равновесия струны при сину
соидальной ее форме выражается через отклонение в пучности Уп (/) (см. § 5-3) как
n2r?Y\(t)
: l \ 1 + |
4/2 |
|
|
|
|
откуда мгновенное значение силы натяжения |
|
|
F (t) = F0 + AF (t) = F0 [ 1 + n4YJ {t) ES |
(5-23) |
|
|
Fo . |
|
Следовательно, струна есть нелинейная упругая система с квадра
тичной зависимостью жесткости от отклонения вида W = W0 (1 + ау2). Известно, что собственная частота таких систем возрастает с увели
чением амплитуды колебаний Ym в первом приближении по закону
nWES |
(5-24) |
|
4/*F0 |
||
|
Это выражение справедливо для I = const, т. е. для работы струны
в режиме заданной длины.
При работе струны в режиме заданной силы среднее натяжение
струны должно оставаться постоянным, но при достаточно большой массе подвижной части переменная составляющая пульсирующего на тяжения в (5-23) не меняется, т. е. мгновенное натяжение выражается как
|
|
ES |
1 |
„2 2V2 |
„ rt 1 |
|
|
F(t) |
I + |
n K * ni |
ES |
(5-25) |
|||
4/2 F0 |
2 |
№ |
F „ J ’ |
||||
|
|
|
|||||
откуда собственная |
частота |
|
|
|
|
|
|
ч |
1 + т"у |
+ |
8 |
nWES v-2 1 |
(5-26) |
||
4/Vo |
T |
||||||
|
|
|
Обе зависимости (5-24) и (5-26) хорошо подтверждаются экспери ментом 1131 ]. В общем случае, когда продольные податливости струны
рстр и замыкаемой ею механической цепи ря сравнимы по величине,
можно записать выражение для собственной частоты в виде
Зрц |
nWES |
(5-27) |
|
Рстр -(- Рц, |
32 |
||
|
Амплитуда колебаний струны Ym может меняться в зависимости от изменения напряжения питания струнного генератора, временного
дрейфа его элементов, изменения амплитуды и длительности возбуж дающего импульса в приборах со свободными колебаниями, нестабиль ности характеристик возбудителя и приемника, перемещения их от
носительно струны и т. д. Все эти причины в соответствии с формулой (5-27) должны вызывать изменение частоты колебаний. Кроме того,
как видно из формулы, поправочный член в выражении для частоты
не остается постоянным при изменении натяжения струны. Рост влия
ния амплитуды колебаний при уменьшении натяжения струны ска зывается на характеристике датчика почти так же, как изгибная жест
кость, т. е. несколько уменьшает чувствительность датчика в области
низких частот. В точке F = О влияние амплитуды колебаний на ча
стоту может быть рассчитано по формуле
**Ут |
(5-28) |
|
7 , т г |
||
|
Казалось бы, для исключения погрешностей от изменения ампли туды колебаний струны следует стабилизировать эту амплитуду. Од
нако все стабилизирующие устройства оперируют не с самой механи ческой амплитудой колебаний, а с электрическим сигналом, получен
ным от приемника, и поэтому не устраняют всех перечисленных выше причин нестабильности. Более радикальным и одновременно более простым решением вопроса является уменьшение амплитуды колеба ний струны до такой величины, при которой влияние поправочного члена формулы (5-27) становится меньше допустимой погрешности, т. е., по [131], до нескольких микрометров. Это можно сделать, если
датчик работает в относительно спокойных условиях, при отсутствии
сильных механических и электрических помех; в противном случае сле
дует искать оптимальную амплитуду из условия компромиссного выбора между малостью амплитудной погрешности и помехоустойчивостью.
Для круглых струн показана [140] также возможность существова
ния колебаний в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, кото
рые могут приводить к прецессии струны вокруг ее продольной оси. Это обстоятельство изменяет зависимость собственной частоты струны
от натяжения. Анализ уравнения струнного генератора с учетом этого
явления привел к выводу, что для исключения неоднозначной зависи мости частоты от натяжения необходимо соблюдать следующее усло вие:
32,У>0;;-/2 |
(5-29) |
|
nWES ’ |
||
|
||
где р0 — затухание и [х — линейная плотность. |
|
|
5-6. Струнные автогенераторы |
|
Автогенераторы современных струнных датчиков выполняются, как правило, с многокаскадными транзисторными усилителями. Их
проектирование производится с учетом всех соображений, изложенных