книги / Электронные цифровые приборы

требования к фильтру удовлетворяются при его более низком по

При нулевой фазовой характеристике требуется, чтобы к (—л) = = к (л), т. е. для реализуемости фильтра потребуется задержка к (п)

мендуется выполнять машинным путем. Чаще всего при проектиро­ вании оптимальных фильтров используется итерационный алгоритм замены Ремеза [51]. Необходимые и достаточные условия того, что будет обеспечена наилучшая аппроксимация заданной СХ суммой независимых косинусоидальных функций, изложены в обобщенной теореме Чебышева. Проектирование фильтра проводится в такой последовательности: задается СХ, весовая функция и длина импуль­ сной характеристики Ы; далее решается задача аппроксимации о использованием алгоритма многократной замены Ремеза (меняется сетка частот) до получения заданного уровня погрешности аппрокси­ мации и, наконец, определяется импульсная характеристика к (л) фильтра с помощью ДПФ.

Решая вопрос выбора типа фильтра, следует в каждом конкрет­ ном случае взвесить достоинства и недостатки, присущие БИХ- и КИХ-фильтрам и их реализациям. К основным преимуществам БИХфильтров относят то, что их проектирование может быть основано на готовых расчетных формулах замкнутого типа, в частности, СХ с малыми пульсациями эллиптического типа оказываются эффектив­ нее эквивалентных им КИХ-фильтров.

Возможность получения линейной фазовой характеристики от­ носят к преимуществам КИХ-фильтров. Кроме того, КИХ-фильтры допускают прореживание, т. е. пропуски отсчетов их входной после­ довательности, что позволяет сократить объем вычислений (напри-

мер, в БПФ-спектроанализаторах), а также использовать образовав* шиеся зазоры для выполнения сервисных операций.

На выбор типа ЦФ и его реализации оказывает влияние эффект конечных разрядностей чисел. Выбор длины слова для цифровых эквивалентов импульсов входной последовательности и коэффициен­ тов в множителях — задача не тривиальная. Напомним, что шум квантования при величине кванта имеет равномерное распределе­ ние амплитуд при среднем, равном нулю (округление) или д/2 (усе­ чение), и дисперсию, равную цЧ\2\ полоса шума квантования намно­ го шире полосы частот исходного недискретизированного и неквантованного сигнала. Пользуясь допустимым упрощением [57], можно определить минимальное число двоичных разрядов В для представ­ ления дискретных отсчетов ак из выражения

В = л 1о & / у ^ 8,

где п — порядок фильтра; Рл — частота дискретизации; Р9 — на­ чальная частота полосы затухания.

5.7. ВЕСОВЫЕ УСРЕДНИТЕЛИ

Под таким названием понимают аппаратные или программные средства разомкнутого типа, реализующие взвешенное усреднение в соответствии с алгоритмом

где од (•) — весовая функция (ВФ), введенная под знак интеграла,

которая позволяет улучшить оценку среднего значения функции

у(О*

Функция у (<) является входным сигналом х (1), если производить оценивание его среднего значения. Д ля оценивания других интегра­ льных характеристик сигнала применяются соответствующие функ­ циональные преобразования у [х (?)] с тем, чтобы получить искомые интегральные характеристики (средневыпрямленное значение, сред­ нюю мощность, среднеквадратичное значение, частоту, тренд и т. д.).

Любая линейная система функционирует по закону, аналогично­ му (5.25),

1

У0= §у{х)к{1 — х)(к,

о

где импульсная характеристика к (•) отличается от ВФ да (•) знаком переменной интегрирования, а верхний предел интегрирования не фиксирован.

При использовании весового усреднителя (5.25) необходимо учесть следующие свойства и особенности ВФ;

финитность ВФ на интервале (О, Т); четносимметричность ВФ относительно интервала финитности;

сети, следует потребовать от СХ ВФ определенного затухания на участках 2 %-й ширины в окрестностях основной и высших гармо­ ник (рис. 5.12, б). Широко использующаяся в интегрирующих при­ борах прямоугольная ВФ обеспечивает на практике невысокое подав­ ление помех (около 30 дБ). Несложные модификации, как будет по­ казано далее, позволяют получить значительно лучшее подавление.

4.Подавление помех, сосредоточенных на одном или нескольких участках частотной шкалы (рис. 5.12, в). Такая ситуация возникает при взвешивании движущихся объектов, при коммутации сигналов

сударным возбуждением резонансных цепей и др.

5.Специфичны требования к подавлению помех при определении тренда сигнала. Метод наименьших квадратов приводит к теорети­

чески оптимальным, но сложным в реализации ВФ. Д ля случаев 4, 5 разработаны простые кусочно-полиномиальные ВФ, практически не уступающие по эффективности идеальным.

КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ВФ

Определение интегральных характеристик (5.25) с помощью усреднителя, включающего преобразователь сигналов у [х (/)], гене­ ратор ВФ ха (/), перемножитель и интегратор (собственно усредни­ тель), невыгодно, главным образом, из-за сложности построения перемножителя, который отличался бы высокой точностью и быстро­ действием одновременно. Следует отдавать предпочтение весовой обработке, при которой удается исключить генерирование ВФ в явном виде и перемножение. Метод неявного умножения обоснован в работе [26]. Он реализуется при обработке сигналов как в анало­ говой, так и в цифровой форме. При этом в аналоговой форме метод позволяет исключить перемножение аналоговых величин, а в циф­ ровой форме — исключить погрешность, вызванную округлением весовых коэффициентов. Известным недостатком метода неявного умножения является требуемая высокая точность задания базы вре­ мени в программной функции — до 4-го десятичного разряда. Но так как такая точность должна соблюдаться на протяжении одного измерения, требование точности заменяется требованием кратко­ временной стабильности, что уже не является сложным.

Применительно к усреднителям с кусочно-полиномиальными ВФ (КПНВФ) переход к структуре с неявным умножением получается, если интеграл (5.25) взят по частям (с учетом изменения пределов)*

друг к другу отрезков степенных полиномов. Так как функция хап (1) на границах интервала I—Т/2; Т/2] равна нулю, первый член правой части выражения (5.26) опускается и, ограничившись А-кратньм

применением процедуры (5.26), получим оценку

772 * Ч т , т ,

к

— коэффициенты, которые должны удовлетворять условию нор­ мировки и обеспечивать ограниченность первых производных ВФ.

Часть подынтегрального выражения (5.27)

/>(0 = Р»®(*)

называется программной функцией, в которой константа Р — число, зависящее от коэффициентов передачи интеграторов.

Структурная схема усреднителя с неявным умножением и без специального генератора ВФ, построенная согласно выражениям (5.27), (5.28), показана на рис. 5.13. Функциональный преобразо­ ватель У, на вход которого поступает исследуемый сигнал х (/), преобразует его в сигнал у ((); цепочка из А-интеграторов образует интеграл соответствующей кратности, который под управлением программной функции Р (/) на интервале [—772; 772] формирует сигнал, обработанный с требуемой ВФ. Усреднение осуществляется выходным интегратором, обеспечивающим результат в момент окон­ чания интервала усреднения.

Характерным свойством СХ КПНВФ является то, что ее модуль вписывается в мажоранту

| $„ (ю) I< В/(оп,

где в — параметр ВФ, зависящий от ее порядка, длительности и метода конструирования. Для КПНВФ параметр В меньше, чем для ВФ других семейств.

В процессе реализации ВФ открываются богатые возможности •оптимизации их СХ. Пользуясь лишь разнесением компонентов ВФ

и мультиплицированием, при котором на выступающий боковой ле­ песток накладывается пологий переход через нуль косинусоиды, удается существенно улучшить подавление в зоне затухания. Рас­ смотрим несколько примеров.

Среди кусочно-постоянных ВФ можно выделить самые простые в реализации — одноуровневые. Структурная характеристика пря­ моугольной ВФ

5 (/) = зш я /Т /О л /Г ).

Эта ВФ (рис. 5.14, а) широко используется в усреднителях ввиду простоты ее формирования. При фиксированном интервале интегри­ рования вследствие нестабильности частоты сети помеха все же просачивается — отклонение частоты на 1 % снижает подавление до 40 дБ, отклонение на 2 % — до 34 дБ (рис. 5.14, б). Одним из

способов поддержания высокого подавления является применение автоматической подстройки интервала интегрирования Т под дли­ тельность периода сети [62]. Фирмой 5о1аг1гоп (Англия) в интегри­ рующем цифровом вольтметре типа IАЛ 490 была использована мультиплицированная ВФ (рис. 5.14, в, г), что позволило заметнорасширить участок высокого подавления (до ± 2 % от номиналь­ ной частоты при подавлении 54 дБ) и, таким образом, обойтись безузла подстройки под сеть. Еще более эффективное подавление полу­ чено в интегрирующем мультиметре типа Щ48000. В основном режи­ ме реализуется нормальное для интегрирующего вольтметра быстро­ действие — длительность измерительного цикла 40 мс. Для повыше­ ния помехозащищенности предусмотрен режим усреднения десяти последовательных отсчетов с общей длительностью цикла 400 мс (рис. 5.14, д). Спектральная характеристика (сплошная кривая линия на рис. 5.14, ё) имеет лепестки на уровне 0,1 от уровня СХ вблизи нулевой частоты, за исключением частоты 25 Гц и ее нечет­ ных гармоник, которые существенно не ухудшают подавление сете­ вых помех и шумов. В этом режиме подавление помех нормальноговида достигает 80 дБ. Д ля сравнения на рис. 5.14, е нанесена СХ для основного режима (штриховая кривая).

На рис. 5.14, ж показана разновидность одноуровневой ВФ с различными по ширине компонентами, которая описывается выра­

Как известно, взаимная расстройка этих нулей с оптимизацией СХ по критерию Чебышева позволяет обеспечить дополнительное подавление в заданной зоне на 12 дБ. В результате при а = 0,8802374 и р = 0,6239569 ВФ обеспечивает подавление помехи на 104 дБ в зоне шириной ± 2 %.

Простейшая реализация метода мультиплицирования (сложения сдвинутых копий ВФ (261) показана на рис. 5.15, а; ееСХ (рис. 5.15, б) описывается выражением

5 Ф = - Щ ^ ™ п [ Т .

При %— 0,346 Т ВФ обеспечивает подавление на 28 дБ в полосе частот от 0,93/Г до 2,13/7', что, в частности, может оказаться под­ ходящим при решении задач динамического взвешивания.

КПНВФ с к = 1 имеет треугольную форму (окно Бартлетта — рис. 5.15, в и СХ — рис. 5.15, г). Соответственно, для к = 2 ВФ (параболическое окна) и СХ показаны на рис. 5.15, д, г. При к — 3 получают ВФ Парзена (рис. 5.15, ж) и СХ (рис. 5,15, з).

При неизменной длительности КПНВФ увеличение степени поли­ нома приводит к расширению главного лепестка СХ и к увеличению

подавления в воне ватухания. Действительно, ВФ порядка к явля­ ется сверткой (к + 1) образующих прямоугольных ВФ длительно­ стью Т/(к + 1) каждая. При свертывании функций времени их СХ 'перемножаются, поэтому

МЛППП

«о

иЦ)

0/47

У\

-7/2 0 7/2 1

д

ш

Это невыгодно; лучше располагать нули в зоне затухания с приме­ нением критерия Чебышева. Так получены оптимизированные КПНВФ до 4-го порядка.

На рис. 5.16 параметры этих ВФ показаны точками с цифрами, соответствующими порядку. Они значительно ближе к идеальным, чем ВФ Бартлетта, Парзена и параболическая» у которых СХ соот­ ветствуют функциям (5.29).

тые ВФ позволяют существенно уменьшить объем вычислительных операций. Одноуровневая решетчатая ВФ и ее СХ показаны на рис. 5.19, а, б. Спектральная характеристика представляет собой

сумму СХ непрерывной ВФ со своими копиями, смещенными друг относительно друга на частоту дискретизации Рл — 1/Тл. Более ши­ рокий участок в полосе затухания обеспечивается при специально подобранных интервалах дискретизации (рис. 5.19, в, г). Полоса затухания на уровне 21 дБ имеет ширину 1,8 октавы. На рис. 5.19, д, е представ­ лена решетчатая ВФ и ее СХ, имеющая нуль двой­ ной кратности на основ­ ной частоте и третьей гармонике помехи и про­ стой нуль на второй гар­ монике. Синтез подобной ВФ сводится к подбору компонентов с использо­ ванием преобразований степеней тригонометри­

ческих функций [26]. Основой для сравнения весовых усреднителей является сопо­

ставление длительности интервала финитносги Т (или нормирован­ ного РвТ, Рз — низкочастотная граница полосы затухания) и до­ стигнутого подавления помех. Весовая характеристика Дольфа — Чебышева имеет предельно минимальную длительность; ее парамет-