книги / Электронные цифровые приборы
..pdfоднако, там, где перекрытия больше, волна распространяется более широким фронтом — увеличение энергии, возбуждаемой электро дами, соответствует весовому коэффициенту отвода. Спектральная характеристика СХ аподизированного полосового ПАВ-фильтра со 128 электродами при заданной неравномерности в полосах прозрач ности и затухания показана на рис. 5.6. Получение почти прямо угольных СХ обеспечивается функцией аподизации, близкой к ф унк ции отсчетов (з1п х!х), а регулирование относительной ширины — выбором весовых коэффициентов.
5.5. АКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Успехи современной технологии, в частности, в области линей ных ИС, позволяют существенно улучшить параметры фильтров по сравнению с пассивными ДС-фильтрами. Подробный обзор способов построения активных фильтров и методики проектирования имеется в работах [38; 45; 53; 57]. Получили распространение различные со четания активных и пассивных элементов, позволяющих реализо вать СХ различной формы. Так, в фильтрах с аппроксимацией СХ по линомами Чебышева л-го порядка достигается максимально возмож ная крутизна перехода между полосами прозрачности и затухания при заданных колебаниях в полосе прозрачности; фильтры с макси мально плоской характеристикой аппроксимируются полиномами Баттерворта л-го порядка; фильтры с линейной фазовой характерис тикой — полиномами Бесселя. В структурном и схемном отношении различают следующие группы активных фильтров.
АКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ НА БАЗЕ ОПЕРАЦИОННЫ Х УСИЛИТЕЛЕЙ
Использование ОУ для исключения взаимного влияния звеньев ФНЧ показано на рис. 5.7, а . Передаточная характеристика фильт ра Баттерворта, выраженная через комплексную частоту 5 = а 4* + /<*>.
Т (е\ _______ !________ _ |
1_______ 1_ |
$» + 25а + 2 з + 1 ~ |
5* + 5 + 1 5 + 1 |
реализуется соединением звеньев 2-го и 1-го порядков; повторитель А исключает влияние нагрузки звена ДЗСЗ на предыдущее звено 2-го порядка.
В полосовом фильтре с фантомным нулем (нуль функции переда чи цепи обратной связи) А является элементом звена 2-го порядка (рис. 5.7, б). Повышение порядка фильтра с целью получения более совершенных СХ связано с трудоемкими расчетами. На рис. 5.7, е показана схема ФНЧ Бесселя 7-го порядка, применяемая фирмой Ба1гоп (Англия). Постоянная времени фильтра такв = Д 0СЭк*, где емкость Сэкв выражается многочленом 6-го порядка
Сэ„» = С{2 + рС (Д* + Д2) + ргСаа д 2 {2 + рС (Д3
+ рзс 2д 3д4 [2 + рС (дв + дв) + р2с аа д в]}}.
Таким образом, с учетом тэкв получается Г-образный фильтр 7-го порядка
У ъ ы к — ЭДвх/О "Ь Р К о^*кв)>
который обеспечивает затухание переходных процессов до уровня
10~5 за время, меньше 0,4 с, подавление на частоте 125 Гц более 135 дБ и практически линейную фазовую характеристику. Особен-
Рнс. 5.7. Схемы активных фильтров
ностью является «пассивность» фильтра по отношению к постоянной составляющей сигнала; гирлянда активных схем подключена к трак ту через конденсаторы С.
ФИЛЬТРЫ НА БАЗЕ ИНВЕРТОРОВ ИМПЕДАНСА И ГИРАТОРОВ
Инвертор импеданса — это четырехполюсник, входной импеданс которого в идеальном случае равен его выходному импедансу, взято му с противоположным знаком. Например, если в качестве нагрузки включить резистор, то при его рассмотрении со стороны входа полу чим отрицательное сопротивление. Подобный узел используется в схеме фильтра для компенсации потерь, что позволяет получить вы сокую добротность фильтра, в том числе и на низких частотах.
Гиратор обращает импеданс 2 , т. е. преобразует его в величину, пропорциональную 1/2. Это свойство широко используется в ф ильт рах для имитации индуктивности с помощью емкости, поскольку реализация индуктивности для частот ниже 50 МГц в интегральном исполнении невозможна. Схема инверторов импеданса и гираторов включает в себя инверторы напряж ения и тока, с помощью которых реализуются необходимые отрицательные сопротивления и индук тивности, как это показано на ряде вариантов [38].
ФИЛЬТРЫ Н А БАЗЕ ЭЛЕМ ЕНТОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫ М И ПА РАМ ЕТРАМ И
Использование в фильтрах распределенных #С-параметров позво ляет уменьшить общее число компонентов и обеспечивает заметный выигрыш в габаритных размерах при переходе на интегральную технологию. Элементы с распределенными #С -параметрами (обознача
ется /?С) используются в качестве пассивных режекторных фильтров,
аналогично двойному Т-образному |
мосту. В частотном диапазоне |
1 Гц — 25 кГц подобные фильтры |
выполняются из коаксиального |
микропровода; наруж ная изоляционная оболочка покрыта золотом,
что при |
плотной намотке образует электрод конденсатора Н1 |
(рис. 5.7, |
е). |
5.6. ЦИФ РОВЫ Е ФИЛЬТРЫ
Цифровым фильтром является устройство либо программа, либо смешанная аппаратно-программная структура, используемые для обработки последовательности дискретных или цифровых выборок сигналов и предназначенные для целей фильтрации. Цифровые фильтры ЦФ имеют ряд преимуществ перед аналоговыми, а именно, высокую помехоустойчивость, небольшую погрешность (в основном, за счет погрешности округления при выполнении арифметических операций), возможность гибкой и простой перестройки характерис тик путем изменения программы, нечувствительность к колебаниям напряж ения питания, температуры и старения компонентов в ш иро ких пределах и др. В перспективе ЦФ окаж утся более выгодными по сравнению с аналоговыми и экономически в связи с постоянным сни жением стоимости микросхем. Разум еется, Ц Ф не отличаю тся прос тотой, д л я их проектирования необходимы солидные зн ания в об ласти обработки информации.
При анализе и проектировании ЦФ используются их характерис тики во временной и частотной областях и их взаимное преобразо вание. Так, для последовательности дискретных отсчетов с перио дом дискретизации Т можно определить СХ для сходящегося ряда с помощью формулы преобразования Фурье
5 (в'оТ) - У х(п Т ) еч т Т . |
(5.5) |
Ш
СХ дискретизованного сигнала представляет собой периодическую функцию (мультиплицированный спектр).
Восстановление х (пТ) по заданному периоду СХ выполняется по формуле
п/т |
|
х(пТ) = -%[ | 5 (е/щГ) е1шТй(а. |
(5.6) |
-я/Г |
|
Выражения (5.5), (5.6) являются прямым и обратным преобразова нием Фурье для последовательности х (пТ). Д ля представления периодической последовательности с пакетом N отсчетов или после довательности конечной длины N используются формулы
|
N — 1 |
|
|
|
|
|
5 (к) = |
V х(п Т )Г,2я1Ш, к - |
О, I |
. . . |
, |
N — 1; |
(5.7) |
|
л=»0 |
|
|
|
|
|
х (пТ) = |
4 - Е 15 (к)е12яШкп, п = |
0,1 |
. . . |
, |
N — 1. |
(5.8) |
Выражения (5.7), (5.8) являются прямым и обратным дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Широко используются видоизменен ные ДПФ, так называемые алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Наибольшее применение при анализе ЦФ получил аппарат 2-пре образования (г — комплексная переменная), роль которого анало гична преобразованию Лапласа для непрерывных сигналов, где используется комплексная частота $ = о -Ь /©. Картина нулей и полюсов дает ясное представление о влиянии каждого из них на об щую передаточную функцию.
Для односторонней последовательности х (пТ) г-преобразование имеет вид
Х(г) *= Е х(пТ)г~п.
Восстановление импульсной последовательности выполняется с помощью выражения для обратного 2-преобразования
х (пТ) “ ~1Щ § Х (2) гП~ 16г,
где С — контур с направлением обхода против часовой стрелки, расположенный в области сходимости X (г) и окружающий начало координат на г-плоскости. Связь между элементами «-плоскости в прямоугольных координатах и г-плоскости в полярных координа
тах основана на зависимости г = езГ. Д ля а = 0 абсолютная вели чина г = 1 является радиусом единичной окружности (рис. 5.8). Мнимая ось «-плоскости отображается в единичную окружность г-плоскости; внутренняя поверхность единичной окружности отоб ражает левую половину «-плоскости (о < 0). Любой угол ®Т опре деляет точку на единичной окружности и может быть выражен через
Геометрическую интерпретацию СХ [Н (г) при г = е/й)] и ФЧХ получим путем преобразования функции (5.12)
м |
|
|Я ( г ) |- М |П |
(5.13) |
г«=1 |
N |
М |
аг§Я (2) = а г § Л + 2 |
агб(1 — г^е~/в) — Ц аг§(1 — рке ш,в‘). (5.14) |
г*»1 |
**»1 |
Например, для системы, имеющей два нуля (М = 2) и три полюса (Я = 3), при А = 1 модуль СХ равен согласно выражению (5.13) произведению длины векторов нулей, деленному на произведение длин векторов полюсов (рис. 5.8):
\Н (е‘а,)\ = г1г2/р1рйр3<
а аргумент аг§ Н (е,е) = 01 + 0а — (Ф1 + фа + Фз)* Д ля опреде ления геометрическим путем ФЧХ на всех частотах 0 < а < л необходимо перемещать г на единичной окружности против часовой стрелки из точки г = 1 до точки г = — 1.
По характеру импульсной последовательности на выходе разли
чают фильтры с конечной импульсной характеристикой |
^ п ^ |
|
(КИХ-фильтры) и бесконечной импульсной характеристикой |
= |
|
= оо или IV, = оо (БИХ-фильтры). Реализацию ЦФ можно разде лить на два класса: рекурсивные и нерекурсивные.
Преобразовав выражение (5.11)при Ь0= 1, получим соотношение
м |
N |
у ( п ) = 2 |
а,х(п — г)— ^ Ьку (л — к), |
г= 0 |
к= 1 |
которое реализуется в виде рекурсивного фильтра (рис. 5.9, а). Можно сократить число элементов задержки и получить канониче скую форму рекурсивного фильтра, используя многовходовые сум маторы; на рис. 5.9, б принято М — N. Известны также последова тельная (каскадная) и параллельная формы рекурсивных фильтров. В рекурсивных фильтрах реализуется в общем случае БИ Х . Раз ностное уравнение простейшего БИХ-фильтра имеет вид
у (пТ) = х(пТ) — Ь у (лГ— Г).
При подаче на вход единичного импульса [х (пТ) = 1; 0; 0; ...1
на выходе образуется последовательность ^у (пТ) — 1; - р |
...|, |
которую ограничивают пренебрежимо малым уровнем импульсной характеристики.
Если в выражении (5.11) принять знаменатель равным постоян ной величине, например, единице, то получим передаточную харак теристику без полюсов. Соответствующее разностное уравнение не рекурсивного фильтра имеет вид
м
У(пТ) = '% а,х(п — г).
г«*О
Нерекурсивный фильтр строится на базе многоотводной линии задержки (трансверсального типа), как показано на рис. 5.4. И с пользуются и другие формы нерекурсивных фильтров, в том числе последовательная, последовательно-параллельная. Нерекурсивные фильтры имеют конечную импульсную характеристику. Так, для фильтра (рис. 5.4) с а1 = а9 = 1/2 единичный импульс на входе [л: (я) = 1; 0; 0...1 вызывает конечный отклик на выходе
|у (п) = у ; у ; у ; 0; 01. Известны примеры, когда КИХ-фильтры реа
лизованы в рекурсивной структуре (рис. 5.9, в). Здесь одиночному
Рис. 5.9. Структурные схемы ЦФ:
а — оекурсивного; б — канонической формы; 6 — рекурсивного КИХ - фильтра
входному импульсу соответствует пакет из т-импульсов [у (л) =
=1; 1; 1; 1; 0; 0; ...].
Вопросы выбора и проектирования ЦФ рассмотрены в ряде моно
графий и публикаций, например, в [46; 48; 50; 51]. Здесь лишь изложены некоторые подходы к расчету ЦФ. В основном задача проектирования сводится к получению передаточной функции мини
мальной сложности, которая представляет собой функцию от г” 1 в случае рекурсивных или полином от г-1 в случае нерекурсивных фильтров. Далее идут этапы выбора структуры фильтра или напи сания программ для ЭВМ по передаточной функции.
ПРОЕКТИРОВАНИЕ БИХ-ФИЛЬТРОВ
Проектирование основано, главным образом, на преобразовании характеристик аналогового фильтра в характеристики цифровых, что позволяет применить хорошо отработанные способы проектиро-
вания аналоговых фильтров. При способе инвариантности импульс ной характеристики совпадают отсчеты на импульсной характерис тике цифрового Н(пТ) и аналогового На (/) фильтров. Передаточная функция аналогового фильтра, представленная в виде суммы прос
тых дробей, выражается формулой |
|
Л М = Е С ,/(8 -5 „ ), |
(5.15) |
где N — порядок фильтра; Ск — коэффициенты. Соответствующая импульсная характеристика имеет вид
* .(< )= Е с ^ - к о , |
(5.16) |
где 1 (•) — аналоговая функция единичного скачка. Импульсная характеристика ЦФ
Н(п) = На(пТ) = ^ Ске*#т1 (л). |
(5.17) |
к = Г |
|
Передаточная функция ЦФ, полученная способом инвариант ности импульсной характеристики, определяется выражением
Н (г) = 2 |
С*/(1 — е*кТг~1). |
(5.18) |
Из сопоставления формул |
(5.15) и (5.18) видно, |
что полюс в |
точнее = зкиз 5-плоскости преобразуется в точке е$кТ на г-плоскости. В способе аппроксимация производных аналоговая система описы вается уравнениями в конечных разностях. К ак показано в работе 1461, передаточная функция в 2-плоскости получается в виде рацио
нальной функции типа
Щ *)“ Е <(»[<1-г',)/Г1*/Е С.Ш-г-ул*- (5-19) |
|
А=*0 |
$=0 |
Способ проектирования ЦФ, основанный на интегрировании диффе ренциального уравнения, описывающего систему, и последующей численной аппроксимации интеграла, известен как способ билиней
ного преобразования. Аналоговая передаточная |
функция имеет вид |
Т г (5 ) = <*о/(С18+ С0), |
(5.20) |
где 40, С0, С — коэффициенты дифференциального уравнения пер вого порядка. Проведя необходимые подстановки и аппроксимацию
интеграла по формуле трапеции, |
получим |
передаточную функцию |
|
в г-плоскости |
|
|
|
Я ( 2 ) - й0/[С1( 2 /Т ) ( 1 - 2 - ,)/(1 + |
2- 1) + Со1. |
(5-21) |
|
Уравнения (5.20) и (5.21) совпадают, если ввести замену |
|
||
* ■= (2/Г) [(1 - |
2-')/<1 + |
г” 1)), |
(5.22) |
которая и называется билинейным преобразованием. |
|
||
13В
Из уравнения (5.22) получается выражение для г: |
|
г = (I + 57У2)/(1 — з7У2). |
(5.23* |
Выражения (5.19) и (5.23) используются, в частности, для определе ния зависимости между частотой ЦФ (со) и аналогового фильтра (со')* Так, при а — 0, г — е~1а
со = 2 агс1§ ((о'7У2).
Преобразование характеристик аналогового ФНЧ в ДФ показано на рис. 5.10.
Билинейное преобразование эффективно используется для ото бражения кусочно-постоянной амплитудной характеристики из $-
плоскости |
в |
2 -П Л О С К О С Т Ь , |
|
|||
однако при этом |
выявляет |
|
||||
ся |
нелинейность |
фазовой |
|
|||
характеристики, |
что явля |
|
||||
ется негативным |
свойством |
|
||||
БИХ-фильтров. Как пока |
|
|||||
зали примеры расчетов ЦФ, |
|
|||||
их |
сложность |
зависит от |
|
|||
выбора |
типа |
аналогового |
|
|||
фильтра как базового. Для |
|
|||||
фильтров |
Баттерворта, Че |
|
||||
бышева |
и |
эллиптического |
|
|||
получается аналог ЦФ 6-го, |
|
|||||
4-го и 3-го порядков соот |
|
|||||
ветственно. |
|
|
Рис. 5.10. К вопросу преобразования харак |
|||
|
В случае когда не удает |
|||||
ся |
теристик аналогового фильтра в цифровой |
|||||
воспользоваться форму |
|
|||||
лами или расчетными таблицами аналоговых фильтров, применяются машинные методы проектирования ЦФ. Варьируя элементами фильтра, добиваются последовательного приближения характерис тики к заданной. Описываемый здесь порядок расчета ЦФ нижних
частот может быть применен |
к ФВЧ, полосовым и режекторным |
с помощью так называемых |
рациональных преобразований, подоб |
ных билинейному. |
|
П Р О Е К Т И Р О В А Н И Е К И Х -Ф И Л Ь Т Р О В
Любая последовательность конечной длины полностью опреде ляется ^/-выборками ее преобразования Фурье, следовательно, расчет КИХ-фильтра можно выполнить с помощью нахождения коэффициентов его импульсной характеристики, либо Л/-отсчетов его СХ.
Один из подходов к проектированию КИХ-фильтров основан на усечении импульсной характеристики до заданной длины с помощью весовой функции. Так, КИХ-фильтр нерекурсивного типа (рие. 5.4), в случае если коэффициенты «а» подобраны по правилу скользящего
среднего (функция Ханна), а именно: % = а3 = 1/4; |
= 1/2, |
обеспечивает следующие характеристики. Передаточная характе ристика фильтра
я м = 4 - а + 2 * - 1+ * -* ).
После подстановки г = е/“т получим
Н(е'“т) - 4 - 0 + с< в о Г )е -'“г ,
при этом СХ фильтра
1^1 = -§"(1 + созсоГ),
а фазовая характеристика (линейность очевидна)
0(шГ) = — мГ.
Расчет КИХ-фильтра методом частотной выборки дает возмож ность получить наилучшее приближение к требуемой СХ при задан ном количестве N выборок. Суть метода заключается в том, что,
взяв 5 (к) равномерно расположенных отсчетов на заданной СХ (например, для ФНЧ единиц для полосы прозрачности и нулевой для полосы затухания), пользуясь выражением для пере даточной характеристики
#(2) = |
1 - г " " |
N-1 |
8 (к) |
|
2 |
|
|||
N |
1 _ е/(2я/ЛГ)*г-1 |
|||
|
|
к=0 |
|
|
и подстановкой г = е/“, получаем реальную СХ. Импульсная ха рактеристика получена с помощью обратного дискретного преобра зования Фурье
А(п) = |
4- V |
" А=0 |
|
|
.0 — в других случаях, |
где п = 0...Ы — 1.
При этом надо иметь в виду, что, желая получить минимальную переходную вону, например, исключив промежуточные отсчеты между полосами прозрачности и затухания, теряем возможность до биться большого подавления в полосе затухания (больше 20 дБ). При расширении переходной зоны, задавшись 1, 2, 3 или больше промежуточными отсчетами (между 1 и 0) на требуемой СХ, можно получить подавление 80 дБ и более. Необходимость использования большого числа выборок ведет к увеличению объема вычислений при проектировании КИХ-фильтров методом частотной выборки.
Особенность метода частотной выборки, заключающаяся в том, что погрешность аппроксимации монотонно снижается по мере уда ления от переходной зоны, и была принята во внимание при разра ботке метода аппроксимации КИХ-фильтров с равновеликими пуль сациями СХ в полосах прозрачности и затухания. В этом случав