книги / Цифровое моделирование вибраций в радиоконструкциях
..pdfстия, элементарную площадку dydz и запишем выраже ния для напряжений, приложенных к этой площадке в дифференциальной форме
■*->‘(£+ё). •— -'(&+£)• <|64>
Представим перемещения в выражениях (1.64) в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра (1.44). При этом сохраним в разложении только члены, у которых один или оба индекса являются нулевыми. Проинтегри-
Рис. 1.19. Перекрестие стержней в модели стойки.
ровав выражения (1.64) по сечению стержня в пределах от — hv до hv и от — hz до hz, получим выражения для равнодействующих сил
Z |
’ * / / |
dUoo |
|
рх — j |
J axxdydz = (Я + 2[х)huhz |
||
д х |
-1>г ->4j
-f- Xhz \ |
AiVoi -f- Xhy y j Amwmo, |
|
||
i |
|
Hl |
|
|
|
m |
|
|
|
Py^V -hyht-ïg- 4 -V-hz |
Aiu0i, |
|
||
|
|
i |
|
|
Pz = v .h ÿh2d-^ - \ -V-hy'}i . Amilmot |
|
|||
|
|
т |
|
|
где т = 1, 2, 3, . . / =1 , 2, 3, |
Коэффициенты А и Ai |
|||
принимают те же значения, что |
и в формулах (1.45). |
|||
Все функции и их производные, входящие в формулы |
||||
(1.65), вычисляются |
при x = h x/2, |
т. е. на |
расстоянии |
|
половины шага сетки от узла перекрестия, |
поэтому при |
переходе от дифференциальных уравнений (1.65) к раз ностным необходимо первые производные по х предста вить как разности «вперед», а сами функции — как сред ние арифметические между их значениями в узле пере крестия и соседнем узле стержня
Рх = (Х + 2ц) - ^ - [и., (х + К) - «„„] +
Ai \Vti -f- vti (лг-)- A)]
|
/ |
|
-f- Mly — |
Am |
“f" Wmo {X -f- A)], |
|
m |
|
Py = P ^ [V o o (X + |
h )--V QO}-\- |
+ H** 4~J] Al ^o/ |
u°l |
' |
|
|
i |
|
|
pz = v |
[^00 (* + |
A) - Шоо] + |
|
“b Phy ~2~ |
^ m [umQ-\-Umo (x -f- A)]. |
(1.66) |
|
|
m |
|
|
Формулы (1.66) определяют равнодействующие упру гих сил в сечении основного стержня любого перекре стия, имеющего узел с индексом (1, Y, Z). В этих фор-
52
мулах функции, имеющие аргумент (x + h ), относятся
ксоседнему узлу основного стержня с индексом (2, Y, Z), а функции, у 'которых аргумент не указан, относятся
кузлу перекрестия. Направление равнодействующих совпадает с направлением координатных осей основного стержня.
Для вычисления равнодействующих в сечениях остальных стержней, примыкающих к перекрестию, мож но воспользоваться теми же формулами (1.66). При этом для стержней, у которых ось х направлена к узлу перекрестия, функции с аргументом {x + h ) будут отно ситься к узлу перекрестия (1, Y, Z), а функции, у которых аргумент не указан, будут относиться к соседнему узлу
(10, Y— 1, Z), (10, Y + 3, Z) или (10, Y +4, Z + 1 ).
Запишем выражения для равнодействующих в обоз начениях, пригодных для программирования на языке ФОРТРАН. При этом вместо действительных значений
сил будем |
записывать силы, |
умноженные |
на т2/т где |
||||
т — масса элемента перекрестия: |
|
|
|
||||
QX1 = P xi*/m = Bll + (Ш (2, Y, Z) — Ul (1, Y, Z)), |
|||||||
QY1 = |
B21 * (V 1 (2 , Y, Z) — VI (1, Y, Z)) + |
|
|
||||
|
+ Cl 1 * (Cl (2, Y, Z) + |
Cl (1, Y, Z)), |
|||||
QZ1 =B 21 * ( W 1(2, Y, Z) — WT (1, Y, Z)) + |
|
||||||
|
+ C21 * ( B 1 (2, Y, Z) + |
B1 (1, Y, Z)). |
(1.67) |
||||
Равнодействующие в сечениях остальных стержней |
|||||||
(рис. 1.19) вычисляются по формулам |
|
|
|||||
QX2 = |
В31 * |
( - VI (1, Y, Z) - |
U1 (10, Y - |
1, Z)). |
|||
QY2 = |
B41 * (U 1 (1 , Y, Z ) - V I |
(10, Y - |
1, Z)) + |
||||
+ |
C31 * |
(Cl (1, Y, Z) + |
C1 (10, Y - 1, Z)), |
||||
QZ2 = |
B41 * |
(W1 (1, Y, Z) - |
|
W1 (10, Y - |
|
1, Z)) + |
|
— C41 * ( - Al (1, Y, Z) + |
B1 (10, Y - |
1, Z)). |
При Y = l, когда начинается цикл в соответствующей секции, при вычислении сил с номером «2» в индексах
перемещений узла стержня следует указывать |
(10, Y + 3, |
|||||
Z) вместо |
(10, Y— 1, Z). |
Y, Z )— Ul ( 10,Y +4, Z— 1)), |
||||
QX3 = |
B5l + (W l(l, |
|||||
QY3 = |
B61 * ( - V |
l ( l , |
Y, Z ) - V I (10, Y + 4, Z - 1)) + |
|||
+ |
C51 * (A 1 |
(1 , Y, Z) + C1(10, Y + |
4, Z - |
1)), |
||
Q Z3=B 61 * (U 1 |
(1 , Y, Z )- W 1 (1 0 , Y + |
4, Z - |
1)) + |
+ С61 % ( - B1 (1, Y, Z) + B1 (10, Y + 4, Z - |
1)), |
||
Q X4=B51 %(U1 (2, Y+ |
4, Z) - |
W 1 (1, Y, Z)), |
|
Q Y 4 = B 6 1 * (V 1 (2 , Y + |
4, Z) + |
V1(1, Y, Z)) + |
|
+ C51 % (Cl (2, Y + 4, Z) + Al (1, Y, Z)), |
|
||
Q Z4=B 61 * (W 1 (2 , Y + |
4, Z) — U1 (1, Y, Z)) + |
|
|
+ C61 + (B1 (2, Y + 4, Z) - B1 (1, Y, Z)). |
(1.68) |
В конструкции стойки применяются стержни трех типов, поэтому при подготовке задачи вычисляется три группы коэффициентов В и С. Например, при вычисле нии сил в сечении основного стержня используются ко эффициенты
Bll = (* + |
2r t ^ . |
h'ub'z |
|
|
В21 = ^ hx |
т ’ |
(1.69) |
||
|
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ » |
|
|
|
|
т |
|
где Ну, hz, h'у и h'z— размеры эквивалентных |
пря |
|||
моугольных сечений |
основного |
стержня, |
Нх — шаг |
по х |
основного стержня. |
|
|
|
|
Если основной стержень является коротким горизон тальным стержнем (Y = 1 или 3), то при вычислении сил с номером 1 используется первый набор коэффици ентов, а при вычислении сил с номером 2 используется второй набор коэффициентов. Если же основным являет ся длинный горизонтальный стержень (Y = 2 или 4), то, наоборот, при вычислении сил с номером 1 используется второй набор коэффициентов, а при вычислении сил с номером 2 — первый набор.
Направление равнодействующих для любого пере крестия показано на рис. 1.20. Направления сил в сече ниях стержней, ось х которых направлена в сторону узла перекрестия, совпадают с направлениями локаль ных осей стержней. Силы в сечениях стержней, ось х которых направлена в противоположную сторону, имеют направление, противоположное направлению соответст вующих локальных осей.
Теперь, используя принцип Даламбера, можно со ставить уравнения динамического равновесия элемента перекрестия для определения перемещений узла пере крестия в направлении координатных осей. Учитывая, что значения сил упругости умножены на т2/т, в левой
54
части уравнений, где стоят выражения для сил инерции, остаются только вторые разности от перемещений. Пере неся перемещения в моменты t и (t—т) в правую часть, получаем
U2( 1, Y, Z )= Q X 1 — QY2— QZ3+QZ4 +
+ 2 * Ш |
(1, Y, Z ) - U 0 (1 , Y, Z), |
|
|
V2 (1, Y, Z) = |
Q Y 1+ Q X 2 + Q Y 3 -Q Y 4 + |
|
|
+ 2 * VI (0, Y, Z) — V0 (0, Y, Z), |
|
||
W2 (1, Y, Z) = |
Q Z l - Q Z 2 - Q X |
3 - ( - Q X 4 - f |
|
+ 2 % W 1 (1 , Y, X ) -W 0 (1 |
, Y, Z). |
(1.70) |
Нормальные напряжения создают не только нормаль ные силы, но и два крутящих момента относительно осей сечения. Для вычисления момента относительно оси у
Рис. 1.20. Направление сил и моментов в сечениях перекрестия стержней.
величину элементарной силы aXx = d y d z нужно умножить на г и проинтегрировать по площади сечения
(1.71)
т
Аналогично вычисляется крутящий момент относительно оси г:
Мг = (Я + 2р.)h2yhz |
J |
(L72> |
|
J |
|
где числовые коэффициенты Вт и Bi принимают в за висимости от т и I следующие значения:
при |
m = l = 1 |
Bm= B i = 1,5, |
при |
т = 1= 3 |
Bm= B i = 7,875. |
Касательные напряжения оух и azx создают (крутящий момент относительно оси х. Для вычисления его вели чины нужно взять с соответствующими знаками два эле ментарных момента azxydydz и ayxzdydz и проинтегриро вать по сечению стержня
hy |
hz |
(* |
(* / du i dw |
— * J |
J \ 0 7 У + д Г у |
—hy—hz
(1.73)
Переходя к обозначениям, принятым для записи про граммы на языке ФОРТРАН и учитывая равенство Woihz= — üiohy, получаем выражения для моментов в се чении основного стержня
RXl = M ,- £ = |
- D l l * ( A l ( 2 , Y , Z) — Al (1, Y, Z)), |
|||
RY1 = M y -?- = |
D21>(<(Bl (2, |
Y, Z) — B1 (1, |
Y, |
Z)), |
Jy |
|
|
|
|
R Z l= A fz £ = D 3 1 * (C l(2 , Y, |
Z) — Cl (1, Y, |
Z)), |
(1.74) |
где Jx, Jy и Jz — моменты инерции элемента перекрестия относительно его координатных осей х, у и z соответст венно.
При выводе первого уравнения (1.71) учитывалось,
что
(hzlhy) ÎÜOI= — yio = —A l.
Уравнения моментов в сечениях остальных стержней за писываются в виде
RX2 = Mx т ~ — — D41>jc(Bl (1, Y, Z) - Al (10, Y - l , Z)),
RY2 = Aff - £ — D 5 1 * ( - A l(l, Y, Z ) - B 1(10, Y - l , Z)),
RZ2 = |
Mz ^ - = D 6 1 * (C l(l, |
Y, Z ) - C l (10, Y - l , Z)ï. |
|||||||
|
|
J Z |
|
|
|
|
|
(1.75) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При Y = 0, T. |
e. в начале цикла каждой секции, вме |
||||||||
сто |
индексов |
(10, |
Y— 1, Z) |
углов |
поворота |
сечения |
|||
второго стержня следует ставить индексы (10, Y + 4, Z): |
|||||||||
|
|
RX3 = |
M |
, £ = — D 71*(C 1(1, Y, Z) - |
|
||||
|
|
|
|
- A |
l (10, Y + |
4, Z — 1)), |
|
||
|
|
RY3 = |
M„ - £ - = D 8 1 * ( - B l(l, Y, Z ) - |
|
|||||
|
|
|
|
|
J y |
|
|
|
|
|
|
|
|
— B1 (10. Y + |
4, Z - |
1)), |
|
||
RZ3 = М г -Y ~— D91%(A1 (1, Y, |
Z) - |
|
Cl (10, Y + 4 .Z -1 )), |
||||||
RX4 = M X^ = |
- |
D 71*(A1(2, |
Y + |
4, Z) — Cl (1, Y, Z)), |
|||||
RY4 = |
Af„^-=D81>|<(Bl(2, |
Y + |
4, Z )- B 1 (1 , |
Y, Z)), |
|||||
RZ4 = |
M z ^ - = D 91*(C l(2, |
Y + |
4, |
Z ) - A 1 ( 1 , |
Y, Z)). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.76) |
В том случае, если основным стержнем является ко |
|||||||||
роткий |
стержень (Y = l или 3), коэффициенты |
D вычи |
|||||||
сляются по формулам |
|
|
|
|
|||||
|
|
Dl 1—- p./i zkH уь^21hxk^kt |
|
|
|
||||
|
|
D21 = |
(Я -|—2p.) h'yk (h!zk)2 hr2b^2! Jghxk> |
|
|||||
|
|
D31 = |
(Я —|—2\b)(h'yk)2 h!zkhzb^21Jbhxk, |
|
|||||
|
|
D41 = |
p‘h*zghrzb^2/hxgJg, |
|
|
|
|||
|
|
D51 = |
(Я -f- 2p.) h!yg {hrzg)2 hrуь^2/7khxgi |
|
|||||
|
|
D61= |
(Я -|- 2р)(Н'yg)2 h'zghzbt2/Jbhxgj |
|
|||||
|
|
D71 = |
^hAzb^2lhXbJb, |
|
|
|
|
||
|
|
D81 = |
(Я -f- 2p.) hryb (h'zb)* *2/Jghxb, |
|
|||||
|
|
D91 = |
(Я + 2\i){hryby h'zb'z2! Jkhxb, |
(1.77) |
|||||
где |
Jh, |
Jg, h |
— моменты инерции |
перекрестия |
относи |
тельно осей короткого, длинного и вертикального стерж ней соответственно.
Если же основным стержнем является длинный |
(Y = |
|||
= 2 или 4), то в формулах (1.71) — (1.73) |
вместо |
коэф |
||
фициентов D используется несколько измененный набор |
||||
коэффициентов Е: |
El 1 =p,h3zgh'ybT2/hxgJ |
|
|
|
|
|
|
||
Е21 = |
(А —(—2р.) h'yg (A'«)*A'.t* / W |
*> |
|
|
Е31 = |
(Я -|- 2p.)(/i,ÿ^)2 h!zghzb^l hxgJь> |
|
||
E41 = |
V'h’zkh'zb^/hxkh, |
|
|
|
E51 = |
(Я -J- 2p.) h'yk {h'zkY hyb'&fhxkJg, |
|
||
E61 = |
(Я |
2p.)(fi’yk)2 hzkhzb&lhXkJb, |
|
|
|
E71 — p>Hybh*zb'^lhxbJb* |
|
|
|
E81 = |
(Я-|- 2(A) h'уь (h?zb)3 ^jhxbJby |
|
||
E91 = |
(Я + 2p.) (h'yb)3 h'zi^lhxbJb. |
|
(1.78) |
Теперь можно составить уравнения моментов для оп ределения углов поворота элемента перекрестия относи тельно осей его локальной системы координат. Напом ним, что А/Н'уъ — угол поворота перекрестия относитель но оси х по часовой стрелке, B[h'Zb— угол поворота пе рекрестия относительно оси у против часовой стрелки и
C/h'zb — угол поворота |
перекрестия относительно оси г |
по. часовой стрелке. На |
рис. 1.20 показано направление |
моментов, создаваемых в сечениях стержней нормальны ми и касательными напряжениями. За положительное направление вектора момента принимается такое, при котором вращение, создаваемое моментом, направлено против часовой стрелки, если смотреть с вершины векто ра. Помимо этих моментов, в уравнения равновесий вой дут также моменты, создаваемые равнодействующими (1.67) и (1.68). Представив уравнения моментов в виде рекуррентных по времени соотношений, получим
A 2 (l, Y, Z ) = — RX1 -J-RY2 — RZ3 —|—RZ4 —J—
+ F01 * |
QZ2 - Fl 1 * QY3 - Fl 1 * |
QY4 + |
|
+ |
2 * А 1 (1 , Y, Z) — АО (1, Y, Z), |
||
В2 (1, Y, Z) = RY1 + RX2 + |
RY3 - |
RY4 - |
|
- F21 * |
QZ1 —|—F31 * QZ3 —(- F31 * QZ4 + |
||
+ 2 * В 1 (1 , Y, Z) — В0(1, Y, Z), |
|
||
С2 (1, Y, Z) = RZ1 - R Z 2 + |
R Z 3 - R Z 4 - |
||
— F41 *Q Y 1 -F 5 1 * Q Y 2 + |
2 * C 1 |
(1, Y, Z) - |
|
|
— СО (1, Y, ,Z). |
(1.79) |
В том случае, когда основным является короткий стержень (Y = l млн 3), коэффициенты F вычисляются по формулам
F01 = |
mhxgh'yb |
* |
F il = |
mhxb'hyb |
||
|
2Jk |
|
2Jk |
’ |
||
F21 = |
mhxkh'zb |
|
F31 |
mhxbh'zb |
|
|
2lg |
’ |
2/ g |
• |
|||
|
|
|||||
F41 = |
mhxkhzb |
|
F51 |
mhxghzb |
(1.80) |
|
2Jb |
’ |
21b |
||||
|
|
|
Если же основным является длинный стержень, то вместо коэффициентов F в формулах (1.79) использу ются соответствующие коэффициенты G:
G01 = |
mhxkh'nb |
* |
|
Z J g |
|
|
21g |
|
|
||
G21 = |
mhxgh'zb |
|
G31 = |
mhxbh'zb |
f |
|
21k |
* |
|
2Jk |
|
П4.1 — |
mh*lh*b |
’ |
G51 = |
mhxkhzb |
(1.81) |
U^A— |
21ь |
|
2 / 6 |
• |
Теперь мы располагаем полным набором уравнений для расчета перемещений всех элементов стойки с уче том дополнительных масс в виде крепящихся « ней бло ков и других частей конструкции. Уравнения представ лены в таком виде, что они могут использоваться при программировании на алгоритмическом языке ФОРТРАН без изменений. Программирование задачи по расчету вибраций стойки описывается в третьей главе.
2. Погрешности цифрового моделирования процессов вибраций
В первой главе изложены способы построения циф ровых моделей конструкций РЭА для расчетов механи ческих процессов на ЦВМ. Метод цифрового моделиро вания, который является развитием метода конечных разностей, по сути является приближенным, поскольку непрерывная среда заменяется дискретной моделью-сет кой. При применении же приближенных методов задачу нельзя считать решенной до тех пор, пока не будут опре делены погрешности расчета. Заметим, что при непра
вильном построении модели погрешности могут дости гать очень большой величины и производить оценки ка чества радиоконструкций на основании таких расчетов нельзя.
Чтобы погрешности дискретизации среды не возра стали бесконечно, нужно прежде всего обеспечить устой чивость решения задачи.
2.1. Анализ устойчивости процессов вычислений
Вопросу устойчивости посвящено большинство работ по разностным схемам. В наиболее общем и закончен ном виде теория устойчивости разностных решений из лагается в работах А. А. Самарского [8, 9]. При разра ботке цифровых моделей механических процессов, на пример процессов упругих деформаций, можно получить те же оценки устойчивости решений более простыми ме тодами.
Уже в ранних работах по теории разностных схем [2] было обращено внимание на чередование знаков пе ред членами разностных уравнений по правилу «шахмат ной доски» (рис. 2.1). Это происходит потому, что все физические величины, входящие в исходные уравнения, изменяются по отношению к таким же величинам в со седних узлах.
Чередование знаков приводит к тому, что неустойчи вость проявляется наиболее сильно в случае решений, имеющих чередование знаков по тому же правилу «шах матной доски». Покажем это на примере решения про стейшей одномерной задачи продольных колебаний упру
гого |
стержня. Если на концах стержня (при х = 0 и х = |
= /) |
заданы граничные условия первого рода, т. е. пере |
мещения концов, то в дифференицальной форме задача о продольных колебаниях имеет вид
|
v2(d2u/dx2) = d 2ufdt2, |
|
|||
u (x |
* = |
^ |
^ == |
(2 1) |
|
|
I ?I (0у x = l, |
(du/dt) (х, 0) = |
f ! (х), |
||
где V— скорость распространения |
волн |
вдоль оси |
|||
стержня, ф0(0 |
и ф /(/)— известные |
функции, задающие |
|||
перемещения |
концов стержня, f0(x) |
и fi (x ) — известные |
функции, задающие начальные перемещения и скорости всех точек стержня.