книги / Цифровое моделирование вибраций в радиоконструкциях
..pdfi4rj = Yj/lxx = 2Y|(l + V) /£ T, |
(1.29) |
значения функций U, V и W вычисляются mo формулам ('1Л2). Представление расчетных соотношений в виде J[1.2fi), .(U12)— и
(1.13) очень экономично по объему вычислений. По сравнению с-со отношениями (1.11), в которых потери энергии не учитываются, объем вычислений возрастает только за счет произведений вида Л^11(^—т). Требуемый объем оперативной памяти несколько увели
чивается за счет необходимости хранения функций U, V и W, вы численных в предыдущем временном слое (/—т).
Для неоднородных блоков, помимо осреднения £, v и р, нужно также осреднить коэффициент вязкости т]. Механизм осреднения т] тот же, что и модуля Юнга £. Наконец, если учитывается влияние неоднородностей только на плотность соответствующих элементов массы, то расчетная схема представляется в виде, аналогичном
( 120) ' u(t + т) = М [(1 + A )U - И ,и (/ - т)] + 2« - U(t - х)
и т. д. (1.30)
1.4.Модели плоских радиоконструкций
Вконструкциях РЭА часто используются для крепле ния и электрического соединения радиоэлементов плос кие детали: шасси и платы. Плоские детали используют
ся также при проектировании кожухов, контейнеров и т. п. Малая толщина таких деталей по сравнению с их длиной и шириной создает определенные трудности при построении модели-сетки. Если разрабатывать модели
Рис. 1.12. Искривление сечений пластины при изгибных колебаниях.
таких деталей, используя изложенные ранее принципы, то по толщине приходится брать примерно восемь узлов. Если же плоских деталей в конструкции достаточно мно го, то количество узлов в модели становится недопусти мо большим. При количестве узлов в модели, превышаю
щем несколько тысяч, на таких современных машинах, как Минск-32, М-220 и Урал-14, решать задачи практи чески нельзя, поскольку данные модели не размещаются в оперативной памяти машины и время вычислений статовится недопустимо большим.
Для сокращения объема вычислений в случае плос ких конструкций можно строить двумерные сетки, в ко торых узлы располагаются в плоскости пластины. Для этого в уравнениях движения исключают одну координа ту г на основании некоторой гипотезы о распределении перемещений и напряжений по толщине пластины.
В теории упругости [4, 12] принимается простейшая гипотеза о распределении перемещений и напряжений по толщине пластины — линейный закон. Это предположе ние называется «гипотезой прямых нормалей». Оно го ворит о том, что сечения, нормальные к срединной по верхности пластины до деформации, остаются нормаль ными к этой поверхности и после деформации. «Гипотеза прямых нормалей» приводит к уравнениям четвертого порядка, которые не являются волновыми [10, 12]. При расчетах с помощью этих уравнений скорости распрост ранения волн с увеличением частоты колебаний безгра нично возрастают, что противоречит эксперименту. Урав нениями четвертого порядка можно пользоваться только
при расчетах стационар ных процессов и колеба ний на низких частотах.
На рис. 1.12 показано искривление сечений пла стины :при изгибных коле-* _z_) баниях, полученное при
Р/1ш решении плоской задачи теории упругости. Из ри сунка видно, что распре деление перемещений по толщине пластины пред ставляет собой волновой процесс, при котором се чения не только не оста
ются нормальными к срединной поверхности, но не остаются и прямыми.
Более общий подход к исключению координаты [10] состоит в том, что перемещения представляют в виде разложения в степенной или тригонометрический ряд.
При этом наиболее рациональным является разложений в ряд по полиномам Лежандра. На рис. 1.13 показаны графики полиномов Лежандра, которые по форме очень похожи на сечения пластины. Свойство ортогональности полиномов Лежандра приводит к значительному упро щению расчетных соотношений.
Представим перемещения в виде разложения в ряд по'полиномам Лежандра в направлении г (по толщине):
а= S ( п+ -г)ипРп(*)»°=J] (*■+4")vnPn
п |
п |
|
W = J] (n-h-Y )W nP n(z), |
(1.31) |
|
|
п |
|
где п = 0, 1, 2, |
., ип, vn и wn — функции, не зависящие |
|
от г; Ра (г) — полиномы Лежандра. |
на поверх |
|
Чтобы полиномы Лежандра принимали |
||
ности пластины |
при z = —hz или z = h z значения 1 или |
— 1, запишем их в безразмерном виде
' >‘ й = т ( 35ё - 30ё + 3) » т - д -
В качестве исходных уравнений теории упругости возьмем уравнения Ламэ в перемещениях (1.10), в кото рых не будем приводить подобных членов, относящихся к различным напряжениям:
Г , , |
I |
о \ |
_ L i |
d*v , , |
d2w |
т * ) |
I |
|_( |
"l" |
^ |
дх2 |
дхду |
dxdz |
J |
|
I Г ( д 2и |
1 |
d2v |
\ I I Г |
(д 2и I |
d2w \ Л |
д2и |
|
[dÿï |
'~'ШГJ |
{дГ>+ - д Ш ) \ ~ ? àt2' |
Выражения в квадратных скобках определяют производную от компонента напряжения по одной из координат, например, в пер вом уравнении (1.32) это будут соответственно производные
doxx/дх, доху/ду, дохг/дг.
l*+*» £ +i-& -+i-& -]+[i‘ (£ + & )]+
, |
I |
/ d2v i d2u \] __ d2v |
+ |
[»*' у~дх^''~ду0Г JJ — P”^ F ’ |
|
[ < Я + 2 „ ) ^ + 1 ^ |
^ j + [ , ( £ + £ r ) ] + |
+[,A(S'+'ê|;)J=p^'- (1,32)
Умножим каждое из этих уравнений на любой из по линомов Лежандра Pn{z) и проинтегрируем почленно по направлению г. При интегрировании нужно учесть от сутствие напряжений aXz, oyz и oZz на поверхности пла стины. Интегралы для этих членов следует брать по ча стям:
Y ~ £ P n ( z ) d z = ' X2Pn{z) |
| - |
y |
x l ^ |
n |
f f - dZ, |
|
||
~ h Z |
- |
Н2 |
~ h Z |
|
|
|
||
hx |
|
h% |
hz |
|
|
|
|
|
j ^ P |
n{z)dz = *yzPn{z) | - |
|
|
|
dZ, |
|||
—h, |
|
—h, |
—hy |
|
|
|
||
" z |
|
“ z |
Z |
dPn (z) |
|
|||
\ - ^ P n ( z ) d z = ' z tPn{z) |
| - |
j |
1.33) |
|||||
" * — |
~ |
d z . ( |
||||||
—/u |
—/i, |
—h- |
|
|
|
|
Поскольку на поверхности пластины при z — ± h z на пряжения равны нулю, первые члены при интегрирова нии по частям следует приравнять нулю. Таким образом, при интегрировании членов уравнений встречается четы ре случая.
1. Член уравнения не содержит производных по z и не относится к напряжениям aXz, oyz и <т„. В этом слу
чае для любого полинома, вследствие их ортогонально сти, после интегрирования остается один член, напри мер
(Я + 2(А) j ЩГ р п(2) dz = А, (Я + 2ц) -g s - |
(1.34) |
или
P h\ ^ p n{z)dz = hzÇ^ - . |
(1.35) |
~!'г
2. Член уравнения содержит производную по z, но не входит в указанные выше напряжения, например
I* |
= |
О-36» |
—hz |
|
т |
где т = (д + >1), (/г + 3), |
( п + б), |
|
Числовые коэффициенты Ат под знаком суммы появ ляются в результате интегрирования. Их значения зави сят от индекса.
т |
1 |
2 |
3 |
4 |
Ащ |
3 |
2 |
7 |
4 |
3. Член уравнения содержит первую производную по 2 и входит в выражение для одного из указанных на пряжений, например
I1 J S p"<z>*= -i‘E (l+2,’)i&' с-37)
—hz р
где р = (п— 1), |
(п—3), (п—5 ) , . .. , 0. |
|
||
4. Член уравнения содержит вторую производную по |
||||
z и входит в |
выражение |
для |
указанных |
напряжений, |
например |
|
|
|
|
bг |
|
|
|
|
<* + 2^) J |
(*) л — |
i < |
l + * ) 5 ] |
АпщЩ. 1(1-38) |
-Л* |
|
|
ч |
|
где <7= 1, 2, . . . независимо от значения п.
Числовые коэффициенты зависят как от индекса п, так и от индекса q, по которому производится суммиро вание.
|
1 |
|
я |
|
|
2 |
3 |
4 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
7 |
0 |
2 |
0 |
15 |
0 |
27 |
3 |
3 |
0 |
42 |
0 |
Производя интегрирование в соответствии с указан ными правилами, после деления на hz вместо трех урав нений (1.10) получаем Зп уравнений:
- t S (1+2rt^ ] =p^
I X |
Л dwm I |
Ч д*ип 1 |
Лг 2 j Л"‘ д у ' |
дудх |
( д*Уп |
д2ип |
д 2Уп |
+|> ^ дх» |
дудх )]-« |
др |
- (^+ 2rt*t Б ^ |
- X S 0+ 2,,)^ ■* |
|
~ iS (1 + * * % + * |
Б ^ ^ + |
(1.39)
т
*> Здесь выражения в квадратных скобках также определяют производную от компонента напряжения по одной из координат, на пример, в первом уравнении (1.39) это соответственно производные
доххп/дх, doxvnldy, даХ1П/дг,
В уравнении движения (1.39) не входит петерь коор дината 2. В соответствии с этими уравнениями можно построить двумерную модель-сетку. Теперь следует пе рейти от бесконечно малых размеров элементов к конеч ным 1гх и hv. Для этого производные представим в виде разностей.
При записи разностных уравнений учтем потери энер гии в материале пластины и дополнительные массы (массы радиодеталей, располагаемых на поверхности пластины). Это можно сделать формально, если запи сать расчетные соотношения в виде
ип(/ + |
* ) = М [(1 + |
AJ U„ - |
AfJn (t - |
*)] + 2un — Un if |
x), |
||||||||||
On (t + |
x) = |
M [( 1 + |
AJ V„ - |
AJVH(t - |
t)] + |
2on - |
|
vn (t - |
x), |
||||||
Wn (t + |
x) = |
M [(1 - f AJ W„ - |
AJNn (t - |
x)] + |
2Wn-w n (f - * ) . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.40) |
|
Функции Un, V* и W„ соответствуют левым частям |
|||||||||||||||
уравнений (1.39): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
°ххп |
|
°ххп |
I |
°хуп |
°хуп |
®хгп» |
|
|
|
|
||
|
^ п |
°чуп |
|
°чуп |
|
°Угп “ H °ухп |
°ухп ’ |
|
|
|
|
||||
|
Wn == — Оггн -4-°"^" |
— о- |
Ч“ 0+ — |
гуп |
• |
|
(1.41) |
||||||||
|
” |
11 |
|
ггп I |
гхп |
гхп |
I |
хуп |
|
|
' |
' |
|||
Функции разложения напряжений в ряд по полино |
|||||||||||||||
мам Лежандра выражаются через перемещения |
|
||||||||||||||
|
|
|
0~^XX7l==Ax[tln (■£-)-А) |
|
«п] + |
|
|
|
|
|
|||||
-(-Вх [оп (x -f-Л, у -J- Л) -(- On (у -f- A) — оп (x -\-h, |
у — Л) |
|
|||||||||||||
|
— Un (У — А)] -)- Сх 2 Ат [î&m (Х-\- fl) |
Wm {Х |
А)], |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о~ХХп = |
Ах [Un — un (x — Л)] + |
Вх [о„ («/ + |
|
А) + |
|
|||||||||
- f On {X - Л, у + |
A) ~V n (y- A) |
|
vn (х |
А, у — А)], |
|
||||||||||
о+л = Dx [Un (У+ |
А) - |
Un] 4 - Ex [Vn (x + h, y -(- A) + |
|
||||||||||||
|
+ o n ( x - \ - f i ) - v n ( x - h , y - { - h ) - V n { x - h ) ] , |
|
|||||||||||||
o -„ = |
Dx [un — un(y — A)] -f- Ex [vn(x + |
A)-|- |
|
|
|
||||||||||
+ |
oa(x + h, |
y — h) — vn (x — h) — vn (x — h, |
|
y - h ) ] , |
|
||||||||||
Qxzn = |
F x |
2 AnqUq + |
Я |
* 2 0 + |
|
2 P) [® p ( • « + |
|
* ) |
— |
|
<7 P
|
— Wp (x — A)], |
|
|
|
|
|
a+uun= Ay \Vn (y~\~h) — vn] + 5 j , 2 Am[»n (y + |
A) — |
|||||
yy |
|
|
m |
|
|
|
— Wm (y — A)H“ Cy [un (л* + |
Л, y + |
A) + |
|
|||
-f- Un (x ~f" ty |
Un (x A, |
y -)—A) |
Ын (дт |
A)], |
||
o- w/i = An [vn — vn(y — A)] + |
Cy [un(JC+ A) + |
|||||
-\-un {x - \ - h , y - |
A) - u„(x - |
h) - |
u „(x - |
h, |
y - A)], |
|
оугп = Dy 2 A „ qvq + |
E y 2(1+ 2/?) K |
(y + |
A) — шР (y—A)], |
?p
o+ |
= f„[ü n (-« + A) — t»n)]+^p[«/i(^: + A, y + A) + |
||||
yxn |
a |
|
|
|
|
- j - un {y -f- A) — И/г (д: -J- A, y — h) — un (y — A)], |
|||||
|
o~ rt = |
Z7^ |
— Vn (x — A)] -|- Hy [un (y -(- A) -f- |
||
+ |
(JC - |
A, |
y -\ -h ) — Un (y — h) — Un ( x - K |
y - A)], |
|
02zn = Az S ^ '^ < 7 + |
S (1 + 2p) [up {x + |
h) — |
ЯP
- up (x - h)\ + |
Cz2 |
(:1 + 2/7) [vp (y + h |
) - Üp (y - A)], |
|||
|
p |
|
|
|
|
|
° + гхп = |
Dz [Wn (X -f- A) — Wn] -(- |
|||||
E z 2 |
Am [Um (•£ " h A) |
Mm |
|
A)], |
||
ni |
|
|
|
|
|
|
O zxn — D z [Vl)n |
VI)n {X |
A)], |
||||
|
= |
Fz [v)n (y-\-h) — wn] + |
||||
“ Ь Z/g 2 |
AmVm {У “ H F) |
V,n (y |
A)], |
|||
m |
|
|
|
|
|
|
Ожуп = |
Fz [Vn — Wn (У — A)], |
(1.42) |
||||
где безразмерные |
коэффициенты |
вычисляются по форму |
||||
лам |
|
|
|
|
Хт2 |
|
I __ |
(А. + |
2р.) х2 |
в х= |
|||
* — |
;Р/г2* |
4рhxhy |
||||
Сх |
|
Лт2 |
|
|
(XT2 |
|
2рhxhz ’ |
Dx = P^V |
|
||||
p __ н-t2 |
p _ > ï ü |
|
H _ J ^ L _ |
|||
x ~ 4 fh y h x ' |
Г х |
ph2z |
' |
* |
2phzh x ' |
|
|
(Л + |
2ц)х2 |
D _ |
|
Хх* |
|
|
|
|||
|
|
|
9h2y |
’ |
|
y ~ 2 v h yhz ' |
|
|||||
|
с |
— |
|
ЦХ2 |
|
n |
— |
|AX2 |
|
|
|
|
|
w |
— 2рhyhz |
и У |
|
ph*x ’ |
|
|
|
||||
? |
(J.T* |
|
F |
— JAX2 |
|
H |
— |
|
jJ.X2 |
|
||
|
2 р м 2 ’ |
|
Г у — |
рЛ2* ’ |
П U |
|
|
4phxhy ’ |
|
|||
А |
- |
|
+ |
2р0 т2 |
В z - |
Xx2 |
|
|
|
|||
|
|
рА*а |
’i |
2phxkZt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ÂT* |
|
D z = |
(J.X= |
|
|
|
|
|
|
С г = 2рhyhz * |
ph*x |
’ |
|
|
|
||||||
Р _ |
|
г * |
|
|
F ~ - |
p.x2 |
И , — |
p-x2 |
(1.43) |
|||
|
» |
|
|
| |
|
|||||||
г |
2рhXh;Z |
|
|
Ph*u ' |
|
|
” 2phyhz |
|
||||
Систему уравнений (1.40) |
можно разбить на две си |
стемы независимых уравнений. Действительно, в выра жения для четных членов и и v входят только нечетные члены до и наоборот в выражения для нечетных членов и и v входят только четные члены до. В том случае, ког да конструктора интересуют продольные (поперечные) колебания плат, в разложении (1.31) сохраняют четные члены и и v и нечетные члены до. В случае расчета изгибиых колебаний плат сохраняют нечетные члены разложения и и v и четные до.
Дл*я практических расчетов изгибиых колебаний до статочно учитывать только три члена разложения: т, vu ДОоПри этом сокращение узлов в модели за счет по строения двумерной сетки и возможность выбора боль ших шагов по времени приводят к уменьшению объема вычислений более чем в сорок раз.
При построении двумерной модели-сетки весьма важ ным является вопрос о возможности выбора шагов по координатам hx и hy большими или мёньшими по срав нению с половиной толщины пластины hz. Для выясне ния такой возможности были проведены расчеты неста ционарных изгибиых колебаний пластины при разных значениях шагов сетки hx. Результаты вычислений по казаны на графиках рис. 1.14. Вычисления выполнялись при изменении отношения hxlhz в пределах от 0,2 (кри вая 1) до 2,2 (кривая 5). Из рисунка видно, что скорость распространения изгибиых волн от шагов сетки hx и hy практически не зависит. Вычисления производились для коротких волн. Отношение шага сетки hx к длине волны
Рис. 1.14. Распространение изгибных воли при различной толщине пластины.
X изменялось в пределах от 0,06 (кривая 1) до 0,7 (кри вая 6). При приближении шага сетки hx к длине волны Х9 как и следовало ожидать, амплитуда колебаний уменьшается за счет явления дисперсии.
1.5.Модели стержневых конструкций
Вконструкциях РЭА часто применяют стержневые каркасы и отдельные стержни в «качестве деталей, несу щих механические нагрузки. При построении моделей таких конструкций целесообразно для отдельных стерж ней применять одномерные модели-сетки в виде цепочки узлов. Если стержни имеют прямоугольное сечение, то исключение из расчетных соотношений двух координат производится разложением напряжений и перемещений