книги / Надежность и диагностика компонентов инфокоммуникационных и информационно-управляющих систем.-1

Поэтому в дальнейшем мы будем работать с минимизированной таблицей, состоящей из следующих двенадцати вариантов:

1)β = 0,7; λ = 200 10–6; С = 70 у.е.;

2)β = 0,7; λ = 215 10–6; С = 68 у.е.;

3)β = 0,7; λ = 300 10–6; С = 50 у.е.;

4)β = 0,8; λ = 200 10–6; С = 70 у.е.;

5)β = 0,8; λ = 215 10–6; С = 68 у.е.;

6)β = 0,8; λ = 310 10–6; С = 50 у.е.;

7)β = 0,85; λ = 216 10–6; С = 70 у.е.;

8)β = 0,85; λ = 232 10–6; С = 68 у.е.;

9)β = 0,85; λ = 314 10–6; С = 50 у.е.;

10)β = 0,9; λ = 224 10–6; С = 70 у.е.;

11)β = 0,9; λ = 240 10–6; С = 68 у.е.;

12)β = 0,9; λ = 334 10–6; С = 50 у.е.

Определив интенсивность отказов всех вариантов построения системы, их стоимость и вероятность осуществления каждого варианта, можно провести оптимизацию выбора варианта построения системы. Оптимизацию будем проводить в два этапа. На первом этапе воспользуемся методом наименьших потерь [2].

Введем в рассмотрение эталонное решение Э, которое характеризуется минимальным значением интенсивности отказов λЭ и минимальным значением стоимости системы СЭ (при этом минимальное значение интенсивности отказов λЭ должно быть меньше заданного техническими условиями для проектируемой системы).

Для данных из нашего примера эталонное решение будет характеризоваться следующими значениями: λЭ = 200 10–6; СЭ = 50 у.е., где в качестве значения для интенсивности отказов и стоимости взяты минимальные значения из вышеприведенных.

Первое соотношение ∆iλ будет характеризовать проигрыш в интенсивности отказов данного варианта Ri по отношению к эталонному:

141

Проигрыш решения Ri по сравнению с эталонным (∆i) оценива-

ется:

∆i = (∆эл −∆iл )+(∆cэ −∆ic )

или

Очевидно, что все значения потерь будут отрицательными, так как эталонный вариант является наилучшим из всех возможных. Поскольку нас интересует не знак, а абсолютная величина потерь, знак «минус» в дальнейших расчетах будет отброшен и все значения потерь будут рассматриваться по абсолютной величине.

Рассчитаем проигрыш по сравнению с эталонным вариантом для всех решений. Для первых двух вариантов расчет ∆i покажем подробно, а для остальных просто запишем результаты:

1) β = 0,7; λ = 200 10–6; С = 70 у.е.; ∆iλ = 200200 =1,0, ∆ic = 5070 =1,47 ; ∆i = |(1 – 1,0) + (1 – 1,47)| = 0,47;

2) β = 0,7; λ = 215 10–6; С = 68 у.е.; ∆iλ = 200215 =1,075 ,

∆ic = 5068 =1,417 ; ∆i = |(1 – 1,075) + (1 – 1,417)| = 0,49;

3)β = 0,7; λ = 300 10–6; С = 50 у.е.; ∆i = 0,54;

4)β = 0,8; λ = 200 10–6; С = 70 у.е.; ∆i = 0,47;

142

5)β = 0,8; λ = 215 10–6; С = 68 у.е.; ∆i = 0,54;

6)β = 0,8; λ = 310 10–6; С = 50 у.е.; ∆i = 0,61;

7)β = 0,85; λ = 216 10–6; С = 70 у.е.; ∆i = 0,57;

8)β = 0,85; λ = 232 10–6; С = 68 у.е.; ∆i = 0,565;

9)β = 0,85; λ = 314 10–6; С = 50 у.е.; ∆i = 0,73;

10)β = 0,9; λ = 228 10–6; С = 70 у.е.; ∆i = 0,62;

11)β = 0,9; λ = 240 10–6; С = 68 у.е.; ∆i = 0,61;

12)β = 0,9; λ = 334 10–6; С = 50 у.е.; ∆i = 0,78.

Рассчитав потери на первом этапе для каждого варианта построения системы, определяем затем потери по сравнению с эталонным вариантом для каждого значения вероятности.

Из полученного списка вариантов видно, что для первых вариантов построения системы (процессор типа 1 и ОЗУ типа 1) потери для всех четырех вероятностей будут иметь следующие значения:

β= 0,7; ∆i = 0,47;

β= 0,8; ∆i = 0,47;

β= 0,85; ∆i = 0,57;

β= 0,9; ∆i = 0,62.

На втором этапе рассчитывается усредненное значение потерь для каждого варианта по следующей формуле:

i=1

где n – количество значений вероятности, на которые был разбит исходный массив Λ. В качестве оптимального принимается вариант с минимальным значением потерь:

Просчитаем значения усредненной вероятности по формуле (2.132) для трех вариантов построения системы и значений вероятности, приведенных в примере 2.17.

143

Для варианта 1

∆= 0,7 0,47 + 0,8 0,47 + 0,85 0,57 + 0,9 0,62 = 1,7475.

Для варианта 2

∆= 0,7 0,49 + 0,8 0,49 + 0,85 0,565 + 0,9 0,61 = 1,764.

Для варианта 3

∆= 0,7 0,54 + 0,8 0,61 + 0,85 0,73 + 0,9 0,78 = 2,189.

Врезультате данного расчета в качестве оптимального следует принять первый вариант построения системы – процессор типа 1

иОЗУ типа 1, имеющий минимальные потери по сравнению с эталонным вариантом.

Вданном разделе был рассмотрен алгоритм выбора невосстанавливаемой системы, оптимальной по стоимости при надежности не хуже заданной, в условиях нечетко заданных исходных данных. Как было показано, задание исходных данных в виде нечеткого множества позволяет более точно отразить реальность. Расчеты по предложенному алгоритму (см. рис. 2.50) показывают, что оптимальный вариант, выбранный по идеализированным (детерминированно заданным) исходным данным, может отличаться от оптимального варианта, выбранного по более реальным данным, представленным в виде нечеткого множества.

2.5.2. Выбор оптимального варианта для восстанавливаемых систем

Как было указано выше (подразд. 1.1.5), характеристики восстанавливаемых систем отличаются от характеристик невосстанавливаемых систем. Для установившегося режима работы восстанавливаемой системы (а именно этот режим рассматривается в настоящем пособии, см. подразд. 2.3.1.) имеют место пары: интенсивность отказов λ/среднее время между отказами То и интенсивность потока восстановлений /среднее время восстановления Тв.

При формировании исходного нечеткого множества будем задаваться интенсивностью отказов λо и средним временем восстанов-

144

ления Тв (величина, обратно пропорциональная интенсивности восстановлений λв), так как чем выше значение интенсивности отказов и среднего времени восстановления, тем выше уверенность в том, что реальные поток отказов и среднее время восстановления не превысят заданные.

Пример 2.18. При определении потока отказов и среднего времени восстановления для заданного блока проектировщик получил следующее множество:

λо i = {(1,35 10–6|0,8), (2,80 10–6|0,9), (4,60 10–6|0,95)}, Тв i = {(2,4|0,7), (2,8|0,8), (3,5|0,9)},

что означает: интенсивность отказа блока не превысит 1,35 10–6 со степенью уверенности 0,8, не превысит 2,80 10–6 со степенью уверенности 0,9 и не превысит 4,60 10–6 со степенью уверенности 0,95. Аналогично читается и время восстановления.

Совокупность потоков отказов и времени восстановления для всех блоков образует массив Λ.

В случае если проектировщику известны точные данные об интенсивности потока отказов и времени восстановления блока, нечеткое множество переходит в детерминированную, т.е. четкую, характеристику блока системы.

Таким образом, в зависимости от того, являются ли исходные данные для расчета вероятностными или детерминированными, будут применяться разные способы расчета. Алгоритм же выбора оптимального варианта в целом изменяться не будет.

Первый блок алгоритма – определение интенсивности отказов блоков системы – был проанализирован выше. Рассмотрим левую ветвь алгоритма – выбор составляющих блоков системы по известным надежностным характеристикам возможных вариантов сочетания блоков, заданных детерминированно.

При построении системы имеется возможность выбора между однотипными блоками с различными надежностными характеристи-

145

ками и различной стоимостью. Перебор всех возможных вариантов построения системы и составляет суть блока 3.

Пример 2.19. Пусть в вычислительной системе используется центральный процессор и блок ОЗУ. Выбирать можно между двумя типами процессора, причем поток отказов первого типа процессора 152 10–6, стоимость его 60 у.е., а поток отказов второго типа процессора 250 10–6, стоимость 40 у.е. Время восстановления для обоих типов процессора одинаково и равно 1 ч. Для ОЗУ также имеется выбор из двух типов, причем поток отказов первого типа ОЗУ 64 10–6, стоимость его 10 у.е., а поток отказов второго типа процессора 80 10–6, стоимость 8 у.е. Время восстановления для обоих типов ОЗУ также одинаково и равно 0,5 ч.

Ставится следующая оптимизационная задача: выбрать наименьший по стоимости вариант построения системы с коэффициентом готовности не ниже 0,97.

На первом этапе проводится полный перебор вариантов построения системы. Возможны 4 варианта построения системы (блок 3):

1)процессор – тип 1; ОЗУ – тип 1;

2)процессор – тип 1; ОЗУ – тип 2;

3)процессор – тип 2; ОЗУ – тип 1;

4)процессор – тип 2; ОЗУ – тип 2.

Исследование надежности восстанавливаемых объектов (блок 4) проводится по методике, описанной в подразд. 2.3.2.

Для приведенных исходных данных просчитаем коэффициент готовности в соответствии с системой (2.108) по каждому из четырех вариантов:

1)Kг = 0,98;

2)Kг = 0,975;

3)Kг = 0,95;

4)Kг = 0,945.

Далее среди вариантов, устраивающих нас с точки зрения надежности, выбираем вариант, наименьший по стоимости (блок 5).

146

Запишем коэффициенты готовности и стоимости двух устраивающих по надежности вариантов:

1)Kг = 0,98 , С = 70 у.е.;

2)Kг = 0,975, С = 68 у.е.

С точки зрения стоимости предпочтительным является второй вариант, как более дешевый.

Рассмотрим правую часть алгоритма – расчет надежности системы по надежностным характеристикам составляющих ее блоков, заданных в форме нечеткого множества. Сначала вернемся к блоку 1 алгоритма расчета – определению вероятностных характеристик блоков системы.

Пример 2.20. Рассмотрим систему из примера 2.19. Пусть поток отказов и среднее время восстановления двух вариантов центрального процессора и ОЗУ заданы в форме нечетких множеств:

λп1 = (140 10–6|0,8; 152 10–6|0,85; 160 10–6|0,9), Тв п1 = (1,5|0,7; 2,0|0,8; 2,5|0,9),

λп2 = (240 10–6|0,7; 250 10–6|0,85; 270 10–6|0,9), Тв п2 = (1,5|0,7; 2,0|0,8; 2,5|0,9),

λОЗУ1 = (60 10–6|0,8; 64 10–6|0,9; 70 10–6|0,95), Тв ОЗУ1 = (0,5|0,7; 1,0|0,8; 2,0|0,9),

λОЗУ2 = (75 10–6|0,85; 80 10–6|0,9; 90 10–6|0,95), Тв ОЗУ2 = (0,5|0,7; 1,0|0,8; 2,0|0,9),

где λп1 , Тв п1, λп2 , Тв п2 , λОЗУ1, Тв ОЗУ1, λОЗУ2 и Тв ОЗУ2 образуют в сово-

купности массив Λ. Массив Λ формируем следующим образом. Выписываем все значения вероятности, входящие в данный массив, одинаковые значения объединяем, оставшиеся выстраиваем по возрастанию. Получаем пять значений:

1) β1 = 0,7; 2) β2 = 0,8; 3) β3 = 0,85; 4) β4 = 0,9; 5) β5 = 0,95.

147

Произведем разложение массива Λ на четкие подмножества β-уровня (блок 6), руководствуясь вышеописанным правилом (2.128):

λik Λi , если βik ≥β;

λik Λi , если βik <β.

При этом для каждого значения β рассматриваются все возможные варианты построения системы.

Для каждого значения вероятности по каждому варианту построения системы значения потока отказов и времени восстановления берутся по вышеуказанному алгоритму. Рассмотрим подробнее построение четких подмножеств для значения β = 0,7. Для первого варианта (процессор типа 1, ОЗУ типа 1) в качестве потока отказов процессора берется значение λп1 = 140 10–6, имеющее β = 0,8, поскольку это ближайшая большая вероятность в ряду значений потока

отказов для процессора типа 1. Для ОЗУ типа 1 берется λОЗУ1 = 60 10–6, по той же самой причине. Среднее время восстановления для процессора берется равным 1,5, для ОЗУ – 0,5; оба эти значения имеют

β= 0,7.

Всоответствии с этим алгоритмом разбиения четких множеств

для β = 0,95 построить не удается, поскольку не для всех типов процессора имеются надежностные характеристики с вероятностью, большей или равной 0,95.

Таким образом, четкие множества строятся для четырех значений вероятности:

1) β1 = 0,7; 2) β2 = 0,8; 3) β3 = 0,85; 4) β4 = 0,9.

В результате разбиений массива Λ получаем:

1)β1 = 0,7: λп1 = 140 10–6; λОЗУ1 = 60 10–6; Тв п1 = 1,5; Тв ОЗУ1 = 0,5;

2)λп1 = 140 10–6; λОЗУ2 = 75 10–6; Тв п1 = 1,5; Тв ОЗУ2 = 0,5;

3)λп2 = 240 0–6; λОЗУ1 = 60 10–6; Тв п2 = 1,5; Тв ОЗУ1 = 0,5;

148

4)λп2 = 240 10–6; λОЗУ2 = 75 10–6; Тв п2 = 1,5; Тв ОЗУ2 = 0,5;

5)β2 = 0,8: λп1 = 140 10–6; λОЗУ1 = 60 10–6;

Тв п1 = 2,0; Тв ОЗУ1 = 1,0;

6)λп1 = 140 10–6; λОЗУ2 = 75 10–6; Тв п1 = 2,0; Тв ОЗУ2 = 1,0;

7)λп2 = 250 10–6; λОЗУ1 = 60 10–6; Тв п2 = 2,0; Тв ОЗУ1 = 1,0;

8)λп2 = 250 10–6; λОЗУ2 = 75 10–6; Тв п2 = 2,0; Тв ОЗУ2 = 1,0;

9)β3 = 0,85: λп1 = 152 10–6; λОЗУ1 = 64 10–6;

Тв п1 = 2,5; Тв ОЗУ1 = 1,5;

10)λп1 = 152 10–6; λОЗУ2 = 80 10–6; Тв п1 = 2,5; Тв ОЗУ2 = 1,5;

11)λп2 = 250 10–6; λОЗУ1 = 64 10–6; ТВ П2 = 2,5; ТВ ОЗУ1 = 1,5;

12)λп2 = 250 10–6; λОЗУ2 = 80 10–6; Тв п2 = 2,5; Тв ОЗУ2 = 1,5;

13)β4 = 0,9: λп1 = 160 10–6; λОЗУ1 = 64 10–6;

Тв п1 = 2,5; Тв ОЗУ1 = 1,5;

14)λп1 = 160 10–6; λОЗУ2 = 80 10–6; Тв п1 = 2,5; Тв ОЗУ2 = 1,5;

15)λп2 = 270 10–6; λОЗУ1 = 64 10–6; Тв п2 = 2,5; Тв ОЗУ1 = 1,5;

16)λп2 = 270 10–6; λОЗУ2 = 80 10–6;

Тв п2 = 2,5; Тв ОЗУ2 = 1,5.

Далее проводим расчет надежности системы по каждому из полученных шестнадцати вариантов исходных данных (блок 7). Расчет надежности ведется в соответствии с методикой расчета надежности восстанавливаемых систем, изложенной при рассмотрении детерминированного задания исходных данных в примере 2.19.

149

Для шестнадцати представленных вариантов проводим расчет коэффициента готовности системы. Дополним полученные данные значениями стоимости для каждого варианта:

1)β = 0,7; Kг = 0,99; С = 70 у.е.,

2)β = 0,7; Kг = 0,98; С = 68 у.е.,

3)β = 0,7; Kг = 0,96; С = 50 у.е.,

4)β = 0,7; Kг = 0,95; С = 48 у.е.,

5)β = 0,8; Kг = 0,99; С = 70 у.е.,

6)β = 0,8; Kг = 0,98; С = 68 у.е.,

7)β = 0,8; Kг = 0,96; С = 50 у.е.,

8)β = 0,8; Kг = 0,95; С = 48 у.е.,

9)β = 0,85; Kг = 0,98; С = 70 у.е.,

10)β = 0,85; Kг = 0,97; С = 68 у.е.,

11)β = 0,85; Kг = 0,95; С = 50 у.е.,

12)β = 0,85; Kг = 0,94; С = 48 у.е.,

13)β = 0,9; Kг = 0,97; С = 70 у.е.,

14)β = 0,9; Kг = 0,96; С = 68 у.е.,

15)β = 0,9; Kг = 0,90; С = 50 у.е.,

16)β = 0,9; Kг = 0,88; С = 48 у.е.

С целью уменьшения размерности задачи проведем минимизацию этих данных: вычеркнем варианты построения системы, для которых при всех вероятностях исходных данных коэффициент готовности получается меньше заданного. В данном случае это варианты 3

и4. В результате остается восемь вариантов:

1)β = 0,7; Kг = 0,99; С = 70 у.е.,

2)β = 0,7; Kг = 0,98; С = 68 у.е.,

3)β = 0,8; Kг = 0,99; С = 70 у.е.,

4)β = 0,8; Kг = 0,98; С = 68 у.е.,

5)β = 0,85; Kг = 0,98; С = 70 у.е.,

6)β = 0,85; Kг = 0,97; С = 68 у.е.,

7)β = 0,9; Kг = 0,97; С = 70 у.е.,

8)β = 0,9; Kг = 0,96; С = 68 у.е.

150