книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfсоотношения между компонентами деформаций и перемещений
|
___1_ ди_ |
1 |
дП |
|
|
о с |
___ Р |
д |
( w \ ■ |
1 Д» |
||
ta ~ l T f a |
+ |
|
|
|
JePv - |
Я |
00 ( р j + |
Т * Г ’ |
||||
|
i |
dv |
i |
dll |
|
|
О... |
_ |
Р |
5 ( W ) . |
1 |
|
ер “ н ар |
+ |
да |
|
|
^ “v - |
7ГШ[Т) + T W ' |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 до р |
|
|
|
|
|
(8.50) |
|
1 |
dw |
1 |
др |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Закон упрочнения материала |
|
|
|
|
|
|
||||||
OQ= |
j (е0) е0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.51) |
|
а0 = |
|
V V a — аэ)2 + |
(аЭ— av)2 + (aV— <Та)2 + 6 (т«р+ Tpv+ t£v), |
|||||||||
ee = |
j/"-g - 1^"(в(* — ер)“ + |
(ср — ev)- + |
(By — еа)“+ 6 ( eap + epv + Ба^). |
|||||||||
Зависимости между компонентами напряжений и деформаций |
||||||||||||
|
|
O a -o = |
2/(e0)(e a - e ) , |
xaS = |
2/(е0)еаэ, |
(8.52) |
||||||
При |
допущении несжимаемости |
материала |
имеем |
условие |
||||||||
8 = 0.
В рассмотренных в дальнейшем задачах, как и в первой ча сти, массовые силы не участвуют, они в уравнениях равновесия без особой оговорки принимаются равными нулю.
С использованием интегралов уравнений теории пластичности упрочняющихся тел исследуется напряженно-деформированное состояние прямоугольных и круглых толстых плит, призмати ческих и цилиндрических стержней при совместном воздействии внешних сил и моментов, приложенных на торцевых сечениях.
§59. Изгиб и кручение прямоугольной плиты
1.Представление решения. Рассмотрим прямоугольную тол стую плиту, на торцевых сечениях которой приложены равно мерно распределенных изгибающие моменты М\, М2 и крутя щие моменты М12 [58] (рис. 9.1).
Будем исходить из уравнений теории пластичности упрочня ющихся тел (8.20) — (8.25) при допущении несжимаемости
материала |
е* + е„ + ez = 0. |
Ищем решение указанной системы |
уравнений, |
когда тензор |
деформации является функцией лшць |
от z. Полуобратным способом, как в § 12, решение в переме щениях представим в форме
и = |
2 J ухг dz + Axxz + Ciyz + А0х + D0y + Gz + Е, |
||
v = |
2 j* yyzdz -f- CiXZ -f- B^yz + (2C$ |
Z?0) ^ -b BQу + Hz -г E, |
|
w |
— -J- AjX* — |
B y - -J- |
+ Bj) z°- — Cxxy — (A0 + B0)z — |
— Gx — Hy — Q'
где f Xz и — пока неизвестные функции zt а А\, Вi, . .. — про извольные постоянные. Согласно (8.21) будем иметь
ех = Ао + A\z, |
еу = В0 + B\z, |
ч*у “ |
+ C\z. |
|
|
|
|||||
Используя (8.26), можем написать |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ох = oz + /(e 0) (2е*+ е„), |
а„ = |
os + /(e 0) (ек + 2еу), |
|
|
|||||||
= /(е 0)Т*у» |
^i/z = |
/(в 0) Yyz? |
Тх: = |
/(e 0)Tfx2. |
|
|
|
||||
Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения |
|
||||||||||
равновесия (8.20) и интегрируя, находим |
|
|
|
|
|
|
|||||
Oz = —ai& — &iy — со, |
т« = a\z + я0, туг = 6)2 + |
Ь0, |
|
|
|||||||
где а„ Ь*, со — произвольные постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T=VTL + T^, |
5 = |
^ £х + |
£хЕУ+ |
Уу + |
Уху» |
|
|
|
|||
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с 0 = Vs 2}'2+ |
Т |
е0= |
Y S'- + |
7’3//3. |
|
|
|
(9.1) |
|
||
При степенном законе упрочнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
О0 — 7 m ' |
/ = fa ? "1, |
|
|
|
|
(9.2) |
|
||||
при помощи соотношений |
(9.1) — (9.2) |
приходим |
к |
степенному |
|
||||||
уравнению относительно / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 т |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
£ 2 |
^ |
1 — |
7 7 1 |
_ J _ |
J |
2 y |
i |
— |
т |
= |
Д - i — |
Определяя из этого уравнения /, получим явные выражения компонент напряжений и перемещений.
2. Совместный изгиб и кручение. Для рассматриваемой зада чи будем принимать, что произвольные постоянные А\, В\ и С\ отличны от нуля. Это означает, что
и = A\xz + C\yz, i; = B\yz + C\xz,
W = — \ -A xx2— -J- Bxy2 — ~Y (A1 + Bx) Z3 — Cxxy.
Тогда имеем
e* = ^iz, e„ = 5iz, ^ = C,z,
e, = v l z I’ T - Z ^ + ^ + B J + C;.
Компоненты напряжений представляются формулами
ох = (2А\ + B l)z f(’\\z\), |
ov = {A{ + 2Bx)zj{4\z\), |
||
Хху == О|z/ (*YIZ |) , |
(Гг ^ |
== |
(9.4) |
' 0. |
|||
Подставляя эти выражения в статические условия на торцах
плиты
h h h
|
|
М г = |
j |
o xzdz, |
M 2 = | |
Gyzdz, M 19 = |
f TXyzdz, |
(9.5) |
|||
получаем |
-Л |
|
|
—h |
|
“ |
-ft |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
^ |
= ^ |
( 2 |
^ |
- ^ ) , |
J?! — gj-(2Af, — |
C1 = % , |
(9.6) |
|||
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = j* / (yz) z2 dz. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Подставляя выражения (9.6) в формулу для у (9.3), на |
||||||||||
ходим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = r 7 F ? м ° = ^ |
|
+ M l + |
|
|
|||||
|
Компоненты напряжений (9.4) при учете |
(9.6) |
перепишут |
||||||||
ся в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
<J* = |
М |
|
ov = |
М |
|
|
|
|
|
|
|
2Tz/(y|z|), |
2?zf(y\z\), |
|
|
|||||
|
|
|
TKy = |
М |
|
az = |
TXZ = туг = 0. |
|
^ |
||
|
|
|
-272z/(y|z|), |
|
|
||||||
|
Формулы |
для перемещений соответственно |
будут |
иметь |
вид |
||||||
|
4 |
/ |
1 |
|
\ |
Л/19 |
|
|
|
|
|
и = |
ЗГ |
|
2" M 2) xz + |
“27” |
|
|
|
|
|
||
y = |
1 |
/ |
V |
|
\ |
^10 |
|
|
|
|
|
gj- |
|
2” |
yz + |
|
|
|
|
|
|||
В случае степенного закона упрочнения (9.2) имеем
&1/тд2/ т + 1 / 7lf0 \1-1/т
/= = (те + 2)1/”1 U y 3 /
Компоненты напряжений (9.7), отличные от нуля, оконча тельно будут определены соотношениями
ах = х ( т + 2 ) ^ j| - f - ”! cTj, = x(m + 2 ) ^
2h*
Гху = X (/?? + 2) |
х = sign z. |
3. |
Совместное растяжение, изгиб и кручение. |
В случае, ког |
да наряду с изгибающими и крутящими моментами |
па торцах |
|
плиты приложены также равномерно распределенные растяги вающие силы N1, N2 и сдвигающие силы N\2 (рис. 3.1), компонен ты перемещений будут даны формулами
|
и = Aixz + C\yz + AQX, |
и = B\yz + C\xz + Boy, |
|||||||
w = -----Y Axx - -----y2 — |
(At + Z?i) z2 — Сгтг/ — (Л0 |
+ B0) z. |
|||||||
Компоненты напряжений запишутся в форме |
|
||||||||
|
Ох = [2AQ+ BQ+ (2A\ + 5|)z]/(x ), |
|
|||||||
|
|
о„= [A0 + 2Bo + (Al + 2Bl)z\f(x), |
(9.8) |
||||||
|
TxV= (Co+ Ciz)/(x), |
Oz = Txz = т„2= О, |
|
||||||
где обозначено |
|
|
_________ |
|
|
|
|||
|
|
X = Уа2 + 2[iz + y2z2, |
|
|
|||||
а2 = |
Ад + А0В0 + Вд + Сд, |
у2 = А\ + А^В^ + В\ + С\, |
|||||||
|
2р = A0Bi + 2АоА1 + |
2B0Bi + В0Аи |
|
||||||
Кроме (9.5), имеем также условия |
|
|
|
|
|||||
|
ЛГ1 = ( ox dz, |
Лг2= |
J |
oydz, |
|
|
|
||
|
—h |
|
-h |
|
|
|
|
|
|
Подставляя сюда выражения (9.8), находим |
|
||||||||
|
Nl ={2A0 + B0)Jo + {2Al + Bl)Jl, |
|
|||||||
|
|
N2 = (A0+ 2Во)JO+ (А, + |
2ВХ)/,, |
|
|||||
N12 = C0J0 + CXJX, |
Мх= (2Л0+ Bo)h + (2А х+ BX)J2, |
||||||||
М2 = (Ао+ |
2В0) /Х+ ( А Х+ 2ВХ)/ 2, |
Mi 2 = C0Ji + |
CxJ2j |
||||||
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jn = j l ( V a2 + |
2$z + y-z2) zn dz + |
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
/1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
( - |
1)" .f / ( |
/ a 2- 2 p z |
+ y-z2) z" Jz. |
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Здесь ?г = 0, 1, 2. Система уравнений (9.9) |
определяет в принци |
||||||||
пе шесть |
параметров |
Д, |
Д |
через |
|
заданные |
моменты и |
||
усилия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 м. Л. Задолн
§ 60. Изгиб и растяжение круглой плиты
Пусть круглая толстая плита из упрочняющегося материала находится под совместным воздействием равномерно распреде ленных на боковой поверхности изгибающих моментов М и растягивающих сил N [58] (рис. 9.2).
Используемые здесь уравнения теории пластичности упроч няющихся тел в цилиндрических координатах в осесимметричном
случае деформирования состоят из дифференциальных урав нений равновесия (8.27), зависимости между компонентами де формаций и перемещений
ди |
и |
Ош |
е г = ~д7’ |
Е° = Т ’ |
|
2Yrz = % + |
Yre = |
Те* = v = 0. |
соотношении между компонентами напряжений и деформаций (8.33), которые при допущении несжимаемости материала при нимают вид
Or —о = |
/(е 0) ег, |
о0 — о = /(е 0) е0, |
ог — о = / (е0) ег, |
|||||
|
|
ТГ2 |
/ (е0) *Yrz) |
Тго = т02 |
0, |
|
|
|
и закона упрочнения материала |
|
|
|
|
||||
Оо |
= |
/ (е0) е0, |
е0 = |
1^"вг -1- Вг^в |
|
|
||
сг° = |
У |
( O r — ов)2 + (о0 — <j2)2 +( о г — |
O r ) 2 + ОТг-. |
|||||
Принимая в нашей задаче |
тГ2 = 0 по всему объему |
плиты, удоб |
||||||
но нормальные напряжения представить в виде |
|
|
||||||
Or = 02 + |
/( е о ) ( 2 в г + |
в 0), |
0 0 = 0 2 + |
/ (во) |
( в г + |
2 в о ) . |
||
Вводя функцию перемещений аналогично (4.64) и удовлет |
||||||||
воряя условию |
несжимаемости, |
для перемещений |
получаем |
|||||
и = Ar + Brz, |
w = С — 2Az — Bz2 — |
5г2, |
||||||
где Л, S, С — произвольные постоянные. Тогда для компонент
деформации наряду с Чг* = 0 будем иметь |
|
|
|||
er= е0 = А + Bz, |
ez = —2er. |
|
|
||
Удовлетворяя дифференциальным |
уравнениям |
равновесия |
|||
(4.62) и учитывая отсутствие |
нагрузки на основаниях |
плиты, |
|||
находим Oz = 0. |
|
|
|
будем |
иметь |
Для отличных от нуля компонент напряжении |
|||||
аг = Се = 3 (А + Bz)j{T6\ А +521). |
|
(9.10) |
|||
Из условии статики имеем |
|
|
|
|
|
h |
|
h |
|
|
|
N = § or dz, |
M = |
j |
c rz dz. |
|
|
о |
|
0 |
|
|
|
Вводя функцию |
|
|
|
|
|
Фп (г) = ) / (z) zn dz |
(га = 1, 2) |
|
(9.11) |
||
о |
|
|
|
|
|
иполагая ег 13*0 по всей толщпне плиты, находим
ДЛ Г-Ф 1[У З(4+Д А)]-Ф 1(УЗЛ ),
(9.12)
УЗВ2М = Ф2 [УЗ (4 + Bh) ] - Ф2(УЗЛ)1— УaABN.
В случае, когда ег меняет знак, т. е. когда ег =£ 0 при 0 : < 2о = —A/В и ег 3* 0 при z o < z ^ h , будем иметь
ЛГ = -1-(ф1[/3 (Л |
+ 5 Л )]-Ф 1( - / 3 |
4)|, |
(9.13) |
||
М = y |
j j 2{Ф2 [ /3 ( 4 + Bh)] + Ф2 ( - |
/ 3 4)) - А |
|||
N. |
|||||
При степенном законе упрочнения из (9.10) получим |
|||||
|
ог = ов = |
А (УЗ)m+1 (4 + Bz) 14 + fizl”- 1. |
(9.14) |
||
Из (9.11) |
следует |
|
|
|
|
|
|
к х т + п |
|
|
|
|
|
Ф»(*) = т + п |
|
|
|
При ег ^ 0 из (9.12) находим
N = Аim + T ^ " [(Л + Bk)m+1 ~ Am+1
М = А' (1/3)~ [(4 + ДА)"*+* - 4 т +2] - 4N.
(т + 2)В* 1 |
1 |
В |
Для случая знакопеременное™ ег из (9.13) будем иметь
N = |
(1 + 1)2Г м + Bhr+* - ( - |
ЛГ+1], |
|
М = |
И У Т 1 т № + Bh)m+i + ( - |
АГ+*] - 4 Л'. |
|
|
(т |
в |
& |
В случае чистого изгиба iV = 0, z0~h/2. Из (9.15) находим
2 \2/m+i
2 ’ кl/m3(i+*n)/(2m) Ш
Подставляя эти значения А и В в (9.14), получим
я, _ о е_ ( ГО+ 2 ) f (2 i - !) 12 i _ 11—
Соответственно перемещения можно представить в виде
u = Br z — |
IV |
|
- в [ т ( « т - ‘ ) - т - 4 |
Здесь принято, что точка плиты (0, hi2) закреплена.
§ 61. Изгиб, кручение и растяжение призматического стержня
1. Представление поля перемещений. Пусть призматический стержень из упрочняющегося пластического материала находит ся под совместным воздействием изгибающих М*, М2 и крутя щих М\2 моментов, а также растягивающих осевых сил N, при ложенных на торцевых сечениях [61] (рис. 3.3). Такая задача для идеально жесткопластпческого материала исследована Р. Хиллом и приведена в § 17.
Исходя из характера деформирования рассматриваемого стержня, полагаем, что тензор деформации не зависит от про дольной координаты z. Компоненты перемещении из зависи
мостей (8.21) можно представить в следующем виде |
[61]: |
|||
|
/ |
dwn\ |
^ez z2 |
|
u= u0(* . у) + |
- a r j z - d7 T * |
|
||
v = |
[ |
dw.\ |
de7 ^" |
(9-1(>) |
vo(X’ y) + (2Y v z - - 0 f ) z - 0 f — - |
||||
w = |
WQ(X, y) + ezz, |
|
|
|
где uo, ^o, — произвольные функции x и у. Отсюда приходим
к соотношениям
|
ди |
Е^У= |
ди |
|
|
ди |
дип |
|
|
|
дх ’ |
ду |
|
|
==Щ + дх |
|
|||
и к системе дифференциальных уравнений |
|
|
|||||||
д2е |
= |
о, £4 = |
о, |
° &г = |
0, |
|
|||
дх* |
|
|
|
’ |
дх ду |
|
|
||
|
|
dw\ |
|
д 1 |
|
ди>\ |
|
||
|
|
- * г ) = 0, |
w ( 2^ - V |
|
|
||||
После решения получаем |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
е2 = Ах + By + С, |
|
|
||||
dw |
|
|
|
|
dw |
|
2у„г + |
2ZXr — p, |
(9.17) |
= 2Y« — 2Dy — а, |
-щ± = |
|
|||||||
где A , Z?, C, Z), OC, |
(} — произвольные постоянные. |
0. |
|||||||
На боковой |
поверхности |
стержня |
имеем о* = оу = |
||||||
Предположим, что эти напряжения равны нулю по всему объ ему тела. Тогда
|
вя — Еу — |
1 |
п |
|
?Г |
Уху — U. |
|
После интегрирования находим |
|
||
и0 = |
------ (а:2 — у2) — |
я у ---------- Г х — 2Dy + <ь |
|
v0= |
— (у2 — х2) — 4 г х у — ~Y У + 2Dx + /г, |
||
где g и h — произвольные постоянные.
Используя полученные выражения, из (9.16) получаем
и = |
----j - ( x 2 — y2 + 2Z2) -----Y x y ~ |
2Dyz----- 1" x + Ey + a“ + ?T |
||
v |
---- a# — |
(y2 — x- + |
2z2) + |
2D xz-----у — Ex + Pz + Л, |
iv = |
I^Q(ж, у) + |
Axz -f- Byz + |
Cz. |
|
2. Задача в напряжениях. Легко заметить, что отличные от нуля компоненты напряжений тхг, т„2 и
Oz = -§■ ez/ (ео) = Х F ( a J ’ е° = |
" Т + V** + Ti/г (9.18) |
являются функциями лишь ш } , Тогда первые два уравнения равновесия (8.20) удовлетворяются тождественно, а третьему,
сводящемуся к уравнению
|
|
дХхг , |
К у г |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
ду |
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворим введением функции напряжений //(# , у): |
|
|||||||||
|
|
|
Ш |
|
|
дН_ |
|
|
|
|
Определяя az: |
^хг — |
ду' |
Tyz — дх |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
аг = х |
/ |
з |
] |
х |
= sign |
|
|
|||
и подставляя в (9.18), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
F (<т0) V a l - H l - H l |
= |
х ^ |
(Ас + Яу + |
С). |
(9.19) |
|||||
Для степенного |
закона |
упрочнения |
|
F (<у0) = |
|
1 |
(9.19) |
|||
сводится к следующему уравнению: |
|
|
|
|
|
|||||
аГ - |
(Я* + Я*) |
|
_3_ |
|
+ С)2 = |
0. |
|
|||
|
^ (Ас + |
|
||||||||
|
|
|
|
4Й |
|
|
|
|
|
|
При п = 2 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ffo = |
1 / |
Я* + |
Щ + |
j^ /"(# £ |
+ Н1)ш+ |
|
tz. |
|
||
В случае |
/г = 3/2 |
получаем кубическое |
уравнение |
относитель |
||||||
но Со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°о — (Н% + |
|
а0 |
* л*; |
= 0- |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Далее, исключая |
из (9.17) |
функцию |
WQ(X, у) |
и |
используя |
|||||
соотношение (9.19), приходим к следующему дифференциаль ному уравнению:
д Г Ах -f- By -f- С dll "1 . д |
Ах -j- By -f- С dll |
2y.D |
|
|
У з |
|
|
(9.20) |
В случае односвязной области 11 = 0 на контуре, а при многосвязной области II принимает различные постоянные значе ния на контурах, подлежащие определению.
Таким образом, приходим к задаче Дирихле в области попе речного сечения стержня для системы уравнений (9.19), (9.20).
Для многосвязных поперечных сечений, интегрируя обе час ти уравнения (9.20) в области, ограниченной произвольным