книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfприходим к граничным условиям |
|
|
/ ( ро)= V = U0VQ, |
/(1) = 0. |
(7.7) |
При «изотропной» шероховатости контактных |
поверхностей, |
|
т. е. когда степени шероховатости |
одинаковы по всем направле |
|
ниям, обозначим их через т\ и |
m2 для |
внутренней |
р = ро п |
||||
внешней р = 1 поверхностей соответственно. |
|
|
|
|
|||
На этих поверхностях принимаем |
|
|
|
|
|
||
m{v |
Т„ = |
771 |
-ь |
при |
Р = Ро, 1. |
(7.8) |
|
ТГ0 — |
лг -— |
||||||
|
|
V Vй+ |
м Г |
|
|
|
|
Используя выражения |
тге, тгг |
из (7.2) |
и у, |
w из |
(7.3), |
при |
|
G = Н = 0 находим |
|
|
|
|
|
|
|
где обозначено |
|
0)1 = \/Г \г (Ро) + |
+41|)2(Ро)’ (°2= V r ' ( i ) + w d ) . |
Равенство (7.10) совместно с (7.7) являются граничными условиями для системы дифференциальных уравнений (7.4).
Торец деформируемой трубы £ = £о = 1/Ь свободен от П0Р~ мальных сил, следовательно,
\М р >У р Ф = о. |
С7 -1 1 ) |
Подставляя oz из (7.2) в (7.11) и производя интегрирован^ по частям в полученном двукратном интеграле, находим
1
Таким образом, определяя функции / ( р) и 'ф(р) из системы
дифференциальных уравнений |
(7.4) |
при граничных усл0виях |
||
(7.7), (7.10), |
численным |
способом находим компоненты н£пРя~ |
||
жений и скоростей перемещений. |
скоростей п е р е м е щ е н и й , |
|||
Используя |
выражения |
компонент |
||
легко проверить, что условие сохранения массы |
||||
|
I |
1 |
[wJ (р, I) — W(р, 0)] Р dp |
|
Ро j И (р0, 1) d g |
= |
|||
оР0
выполняется тождественно.
Определим силу и момент впрессовывания. Из условия Рав новесия элемента на контактной поверхности трубы р = # (5 ) (рис. 7.2) для абсолютного значения давления по осп и**еем
Р (1) = - o z(ро, 1) cos а + тГ2 (ро) sin а.
Суммарная осевая |
сила, |
действующая |
на |
эту |
поверхность, |
||
т. е. сила впрессовывания, будет равна |
|
|
|
|
|||
|
о |
|
|
|
|
|
(7.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя выражения для Д(£) |
и р(|) и производя интег* |
||||||
рирование, находим |
|
|
|
|
|
|
|
Р/{пЪ2) = 2р0\т1 + 2 ^ |
(ev5° — l) (тл + |
vpo0 |
+ |
|
|
||
+ ulQ (e2vS - |
1) + |
ABp0 иЛ [1 + |
(v$0 - |
1) e*] + |
|||
|
|
2 |
|
|
(2vin- l ) |
e2v|°], (7.13) |
|
|
|
+ B ~ [ l |
+ |
||||
причем Q = Т — 22?£о, где
+ [ 2/'(р0) + - ° |
Ю(РВ) |
*(Р0)• (7-14) |
Разлагая в степенной ряд экспоненциальные функции, вхо дящие в (7.13), и ограничиваясь первыми двумя членами, по лучим
Р = 2пЬ% (ро + ио) (mi + vuoT). |
(7.15) |
Вращающий момент определяется по формуле
^0
м = 4яЬ3/»1^ - ^ J (р0 + и ,у 1)2 Y 1 + v2Woe2v|d|.
Если пренебречь членами с множителем v, то спстема урав нений (7.4) распадается на два отдельных линейных дифферен циальных уравнения
Р2Г + Р /' - / = 0, р\|/ — гр = 0, |
(7.16) |
решениями которых при граничных условиях (7.7) п (7.10) со ответственно будут
* - » •
= V |
1 / |
т\~ P>i |
(7.17) |
|
p i,< ^ < p ®- |
||||
1 ~ |
f'o г |
Рот ? — т Г |
||
|
Следует напомнить, что конечные выражения для компонент напряжений, а также Р и М надо умножить па пластическую
постоянную к = ав/УЗ, а скорости перемещений надо умножить па Ъ.
§ 48. Впрессовывание трубы без вращения
Положим, что в абсолютно жесткую цилиндрическую прессформу вплотную помещена цилиндрическая труба из идеально жесткопластического несжимаемого материала с внутренним и внешним радиусами а и Ъ соответственно, а в нее соосно с по стоянной скоростью vo впрессовывается абсолютно жесткая ци линдрообразная труба с переменным, монотонно возрастающим по закону (7.1) внешним радиусом (в безразмерных координа тах). Будем использовать полученные в предыдущем параграфе формулы и обозначения. В случае отсутствия вращения жесткой
трубы полагаем |
ф(р) = D = G = 0, при этом пз (7.2) — (7-4) и |
(7.9) — (7.10) получаем: |
|
для напряжений |
|
ог = — 2 (Pomi - |
т2) |
1 - Р о 2 |
|
+ 1 - |
К* * |
|
1 л
рЛ Р .
Ро Р
= ] / 1 - т ? 2)
1 со |
Q N |
II |
Or |
|
\ |
||||
х |
|
|
|
|
Р0т |
1 - |
|
т 2 |
п |
1 |
1 |
О N Си |
Р» |
|
|
||||
% = j / V a + j f f + р / 2»
(7.18)
для скоростей перемещений |
|
|
|
|
|
|
u = |
vf( p)evS, u ; = - ^ / ' |
+ i - / j e v4 ^ |
, |
i; = |
0. |
(7.19) |
Второе дифференциальное уравнение (7.4) удовлетворяется |
||||||
тождественно, а первое запишется в виде |
|
|
|
|
||
Г + 7 Г - |
+ р ) / + |
+ |
+ |
^ |
- |
0 (7-20) |
с граничными условиями (7.7). |
|
|
|
|
|
|
Вводя новую функцию ф(р): |
|
|
|
|
|
|
|
ФГ = |
- / , |
|
|
|
(7.21) |
уравнение (7.20) сведем к дифференциальному уравнению пер вого порядка
ф' - |
(v‘ + ? ) |
- т 4 + 1 + |
Y 1 ~ 7 Ф + |
" 0 |
при граничном условии |
|
(7.22) |
||
|
|
|||
|
|
Ф = 0 при р = |
1. |
(7.23); |
Из |
(7.21) следует |
|
|
|
Формулы для тгг в (7.18) и для и в (7.19) остаются неизмен ными, а остальные компоненты, содержащие /', преобразуются к следующему виду:
Or = |
2 (Ppmi |
т э) |
|
|
2 |
|
|
|
1 - Р О |
|
|
|
|
+ |
| ) < р - 3 р = - 1 ] £ ф , |
|
<*е = <*г + (р + ф)^> |
о г = о г + (2р — ср) |
|
|
|
л0 |
л0 |
Хо = V V — РФ + ф2 , 1У = ^ — ^ / в ^ + я .
Из (7.14) будем иметь
Ю(РВ)
“ Д:1+зр! +(£- 39)■ф]с* +Hr - 2р<] i (Ро)'
Таким образом, задача определения компонент напряжений, поля скоростей перемещений и силы впрессовывания сводится
0,6 |
0,8 |
1,0 |
Рис. 7.3
к решению дифференциального уравнения первого порядка (7.22) при однородном граничном условии (7.23).
На основании численного решения дифференциального урав нения (7.22) при краевых условиях (7.23) по формулам для напряжений (7.18) и силы впрессовывания (7.14), (7.15) на рис. 7.3 построены графики указанных величин.
§ 49. Насадка трубы
Пусть теперь цилиндрическая труба 2 из идеально жесткопластического несжимаемого материала с внутренним и внеш ним радиусами а и 6, соответственно, плотно насажена на яедеформпруемый цилиндр 1 и на нее с наружной стороны соосно
насаживается (рис. 7.4), одновременно вращаясь вокруг |
своей |
оси в положительном направлении, жесткая шероховатая |
тру |
ба 5 с внутренним радиусом, монотонно убывающим по зако-
стемы и обозначения. |
по всей |
толщине |
при |
Полагаем, что деформируемая труба |
|||
z > 0 переходит в чисто пластическое состояние. |
|
на |
|
Заменяя в выражениях (7.2) — (7.4) |
знак функции / ( р) |
||
обратный, компоненты напряжений представим в |
виде |
|
|
р |
|
|
|
Здесь постоянные В, D, Е определяются согласно |
(7.9) — (7Л0). |
Для компонент скоростей перемещений в долях |
Ъ будем иметь |
и = —v/( p)cv£, v = 2^(p)ev* + Gp,
(7.25)
Система дифференциальных уравнений (7.4) примет ферму
Аналогично (7.5) для малых значений параметров v и щ примем приближенно
Vo cos |
и(1, |)sin а, |
/ ( Д ) « / ( 1 ) , |
где vo — скорость насадки жесткой трубы, а — угол между внешней
по отношению к деформируемой трубе нормалью |
к поверх |
|||
ности р = Д(£) и осью z |
(рис. 7.5). Здесь |
|
|
|
sin а = ■■■/•■ |
__, |
cosa = |
R ' |
|
/ И - Я ' 2' |
|
|||
/ 1 + Я '2 |
|
|
||
Используя выражения и из (7.25), приходим к граничным |
||||
условиям для функции / ( р ): |
|
|
|
|
/ (ро) = |
0, |
/ ( 1 ) = F = W |
(7.27) |
|
Верхний торец деформируемой трубы свободен от внешних
сил, следовательно,
1
J &Z(Р? £о) р dp = 0. Ро
Подставляя значение ог из (7.24), находим 1
Определяя функции / ( р) и г|з(р) из системы дифференциаль ных уравнений (7.26) при граничных условиях (7.27) и (7.10) (например, на ЭВМ), находим компоненты напряжений и поле скоростей перемещений.
Из условия равновесия элемента вблизи контактной поверх
ности р = /?( £ ) (рис. 7.5) для абсолютного |
давления |
получаем |
||||
|
/> ( £ )= —а,(1, £)cos a — Tr2(l)sin а. |
|
(7.28) |
|||
Сила насадки определяется по формуле |
(7.12), |
где следует по |
||||
ложить R = |
1 — щех1, а р (| )— согласно |
(7.28). |
После |
вычисле |
||
ний находим |
|
|
|
|
|
|
Р/(яЬ2) = 2m2U + ^-° (ev?« - l) (vS - |
т2) - |
|
|
|
|
|
- |
u\S (e2v|° - 1) + 4B ^ |
[1 + (v£0- |
1 ) evl°]~ |
|
||
|
|
- B |
-U± [ 1 + (2v|0— l ) e 2v£»JT |
|||
где обозначено S = T — 2v|o и |
|
|
|
|
|
|
po
Разлагая в степенной ряд экспоненциальные функции и ог раничиваясь первыми двумя членами, получаем
Р = 2пЬ2^о(1 — ^о) (^2 + VUQT) .
Вращающий момент будет равен
___________
Л/ = 4л63/тг2 1 ( l — u0ev*)2 V 1 + v2Ho/vSodg.
Если пренебречь членами с множителями v, то система урав нений (7.26) распадется на два линейных дифференциальных уравнения (7.16), решения которых при граничных условиях (7.27) и (7.10) будут
/ -гг^т-т)'
где 7 определяется согласно (7.17).
Нетрудно убедиться, что условие сохранения массы удовлет воряется тождественно.
§ 50. Насадка трубы без вращения
Рассмотрим течение пластического материала, когда жесткая труба насаживается соосно на деформируемую цилиндрическую
трубу без вращения. |
(7.24) — (7.25) и |
уравнениях |
(7.26) |
||||||||
Положим в |
формулах |
||||||||||
^ (р)=7) = |
С? = Л/’ = 0. Для |
компонент напряжений |
получаем |
||||||||
ог = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Г = 7 ; j J ( 4 + |
|
ф)*Г + |
( ‘ ■- 5 ? ) ' ] Т d9' |
(7.29) |
|||||
|
Pomi - m2 |
i |
|
— o m |
p |
Tr0 — |
— 0. |
|
|||
|
|
1 |
1 - |
П) 2 |
„ ) |
|
|||||
|
|
1 — PA |
|
|
P? |
P |
|
|
|
|
|
Для скоростей перемещений будем иметь |
|
|
|
||||||||
|
U = — v/ (р) ev|, |
w = |
( f + |
-i |
A evl, |
V = |
0. |
(7.30) |
|||
Второе дифференциальное уравнение (7.26) удовлетворяется |
|||||||||||
тождественно, а первое перепишется в следующем виде: |
|
||||||||||
Г + |
|
|
|
|
|
} |
/ /'2 + j / 7 + 4 / 2 = |
0 (7.31) |
|||
с граничными условиями (7.27). |
|
|
|
|
|
|
|||||
Вводя новую функцию ф(р): |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ф/' |
= /, |
|
|
|
|
(7.32) |
||
приведем |
(7.31) |
к дифференциальному |
уравнению первого по |
||||||||
рядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф' + М + 4 ф2- - “ 9 - 1 + - 7 ^ = - i / i + 1 ф + 4 ф2 = о
Y 1 — ^rz V |
Р |
Р |
|
|
(7.33) |
с граничным условием |
|
(7.34) |
<р = 0 при р = ро. |
|
Выражения %тг из (7.29) и и из (7.30) остаются без изме нения, и исключая в остальных компонентах /' при помощи
(7.32), |
получаем |
|
|
<Уг = |
2 (^2 — Pomi) |
(Бо — 6 )+ \( 1 - i r r f f - d p — |
|
1 — Ро |
|||
|
|
(Те = CTr + |
(р — ф)^-, |
ог = аг + |
(2р + |
ф) -р -, |
|
|
л0 |
|
|
|
л0 |
ъ> = / |
р2 + РФ + ф2, |
w = ^ |
‘ |
х М |
fe |
|
+ j j |
||||
Таким образом, определение компонент напряжений и поля скоростей перемещений сводится к решению дифференцпальпого уравнения (7.33) при однородном граничном условии (7.34).
На основании численного решения дифференциального урав нения (7.33) при граничном условии (7.34) на рис. 7.6 графи чески показаны результаты этих расчетов для напряжений и силы насадки (на рис. 7.6, б: тг*(1)= —1, р = 1).
§51. Внедрение конуса в полупространство
1.Постановка задачи. Рассматривается [70] течение мате риала в условиях, когда жесткий шероховатый конус, вращаясь вокруг своей оси, внедряется с постоянной скоростью в идеально
жесткопластическое полупространство (рис. 7.7). Плоская задача о внедрении жесткого клина в идеально жесткопластическую по