книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf§2. РАБОТЫ Г. ФРАМА |
21 |
участком вала выбранного нами диаметра d, длиной /, определяемой по формуле
L |
_ _ |
( D _ |
(1) |
|
l |
~ |
\ d |
||
|
Формула эта является прямым следствием того положения, что углы закручивания двух валов при прочих равных условиях об ратно пропорциональны моментам инерции поперечных сечений. Из рис. 2 (размеры даны в мм), взятого мной из опытов Г. Фрама над валом парохода «Безоцкий» 1), ясно видно, как это преобразование выполняется.
Плоскости II и III соответ ствуют тем сечениям вала, в которых производились на блюдения. Плоскость IV есть срединная плоскость гребного винта, а / проходит через ось среднего цилиндра и названа Г. Фрамом срединной пло скостью паровой машины. Рас
стояния между этими плоскостями назовем через Llt L2, L3. Угол за кручивания вала, соответствующий участку Lt, получается для лю бого момента непосредственно из опыта. Чтобы нагляднее представить изменения его в зависимости от угла поворота машины, или от времени (если пренебречь неравномерностью хода), Г. Фрам со ставил очень интересные диаграммы. Одна из них представлена на рис. 3. Диаграмма эта относится к вышеупомянутым опытам на пароходе «Безоцкий» и представляет собой изменения угла закру чивания при скорости машины, соответствующей 83 оборотам в минуту. За один оборот машины угол закручивания, как видно из рисунка, переходит три раза через значения максимума и мини мума. При этом максимальное значение угла закручивания почти втрое превосходит его среднее значение, показанное на рисунке пунктиром.
Получив опытным путем угол закручивания —фг, нетрудно вычислить и соответствующий скручивающий момент по формуле
(<Pi— фа) G Jр |
(2) |
L t |
|
M d = |
|
Определив по формуле (2) Ма, Г. Фрам вычислил максимальные напряжения ттэх в валу при различных углах поворота машины и нашел, что среднее значение ттах равно 218 кг/см2, т. е. совпадает
сданными статического расчета. Крайние же значения напряжений,
l)«BesockU.
22 К ВОПРОСУ о я в л е н и я х р е з о н а н с а в в а л а х
соответствующие наибольшему и наименьшему значениям угла кручения, колеблются в пределах от 600 кг/см3до 166 кг/см3. Г. Фрам полагает, что при 85,8 оборотах машины (это соответствует крити ческой скорости для исследуемого вала) максимальное напряжение превосходит 800 кг/см2.
Если принять во внимание, что эти высокие напряжения повто ряются три раза за один оборот машины и сменяются каждый раз напряжениями противополож ного знака, то совершенно понятна будет возможность поломки валов в машинах, число оборотов которых слу чайно совпадает с одной из
критических скоростей.
2)
скоростей машины и гребно го винта. Если пренебречь массой вала, то относитель ные вращения двух попереч ных сечений вала постоянно го диаметра будут пропор циональны расстоянию меж ду этими сечениями. Та же
пропорциональность, очевидно, имеет место и для относительных угловых скоростей вращения этих сечений. Назовем через Va и Vb вращательные скорости, соответствующие сечениям / / и III, по лучаемые непосредственно из опыта. Скорости Vc и Va, относя щиеся к сечениям I и IV, мы можем вычислить из таких соотно шений:
—Vb |
^1 + ^2 |
и |
Уд— Ул |
£ 2+ L3 |
(3) |
|
Уд- V b |
Lt |
И |
Va- V b |
Lt |
||
|
Изменения скоростей Va и Vb, полученных Г. Фрамом опытным путем на пароходе «Безоцкий», и скоростей Ve и Vi, определенных по формулам (3), представлены на рис. 4.
Скорости и Vb показаны на рисунке сплошными линиями, а вычисленные Vc и Vd — пунктирными. Линия Ve представляет собой изменение скорости в сечении, проходящем через узловую точку. Так как впоследствии эта точка нам понадобится, то опре делим положение ее в простейшем случае, рассмотренном нами в § 1.
Положим, что вал со шкивами I, II (см. рис. 1) закручен двумя равными и прямо противоположными парами сил. Если эти силы убрать, то предоставленный самому себе вал будет совершать колебания около положения, соответствующего ненапряженному состоянию. Сохраняя прежние обозначения, мы на основании за кона сохранения момента количества движения можем написать
§ 2. РАБОТЫ Г. ФРАМА |
23 |
уравнение |
(4) |
01<р; + о,ф; = о, |
откуда следуег, что tpi и ср, противоположны по знаку н обратно пропорциональны соответствующим моментам инерции 0j и 0а. Сечение вала, остающееся во время колебаний в покое, очевидно, отстоит от концов вала на расстояниях 1Х и /а, определяемых по формулам
ГО, |
И |
и |
ГО, |
(5) |
|
0 1 + |
|||
1 01 + 02 |
|
0 2 |
||
Имея на рис. 4 кривую |
скоростей |
V для кривошипа, можно, |
пользуясь индикаторными диаграммами, составить довольно точное представление об изменениях касательных усилий, принимая во внимание неравномерность хода и инерцию движущихся взад и вперед частей машины. Построенная таким образом диаграмма касательных усилий, как выяснилось из опытов Г. Фрама, значи тельно отличается от диаграмм, которые обыкновенно строятся в том предположении, что угловая скорость вращения остается по стоянной.
Для того чтобы иметь все данные, необходимые нам для теорети ческого решения задачи, остается еще исследовать вопрос о сопро тивлении воды при вращении гребного винта.
Если назвать через 0а момент инерции гребного винта вокруг оси вала, через M d — момент внутренних сил упругости вокруг той же оси, то для определения момента сопротивления Wr будем иметь
|
|
|
U7r = A4(f- 0 ag , |
|
(6) |
где |
d*(p/df* — угловое |
ускорение гребного винта, получаемое из |
|||
диаграммы скоростей (рис. 4). Из ряда опытов Г. Фрам |
нашел, |
||||
что |
сопротивление может быть представлено в форме |
|
|
||
|
|
|
W=Cvk, |
|
(7) |
где |
С — постоянный |
множитель; v — скорость вращения |
винта, |
||
a k — число, |
которое |
колеблется в пределах от 3,6 до |
4. |
|
|
|
Получив |
таким путем диаграмму для вращающего |
момента и |
момента сопротивления, Г. Фрам аналитически вычислил ампли туды соответствующих вынужденных колебаний. Результаты этих вычислений очень близко совпали с данными опыта.
Чтобы показать, как сильно растет амплитуда колебаний с при ближением скорости вращения машины к критической, на рис. 5 представлена диаграмма *), дающая колебания угла закручивания вала при различном числе оборотов машины.
1) Диаграмма эта получена Г. Фрамом при опытах на пароходе «Радамес» («Radaincs»).
24 К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ
Из опытов выяснилось, что, отклоняясь от критической ско рости на 6—7 оборотов в ту или другую сторону, уже можно полу чить довольно спокойный ход машины, что ясно видно и на при ложенном рис. 5.
В заключение своей работы Г. Фрам приходит к тому выводу, что общепринятых расчетов вала недостаточно, необходимо произ водить поверку на возможность явлений резонанса. Ход расчета должен быть такой: по существующим формулам строительной меха
ники |
намечаем первоначальные |
размеры |
вала, |
потом |
определяем |
||||||
«-----77--- * |
78 |
-----73---- * |
80 |
. |
81 |
|
82 |
f |
|||
|
/\ |
/' 1 |
Л |
||||||||
оборотов |
|
|
|
|
* \ |
1 |
А <\ |
|
|||
' |
/' |
г* |
Г ' Л |
Г |
л А / |
i Л Л / |
\ ' \ |
! |
1 |
|
, |
|
\ / |
\ / \ |
|
1 V / * t |
|||||||
|
|
|
|
^ |
V - V |
V \ ! Хт Чт---Г?---\/ |
уV/ |
\V/—»* |
число собственных колебаний вала по формуле (6) § 1; если это число окажется кратным числу оборотов машины, то тогда размеры вала должны быть непременно изменены. В нашем распоряжении имеется диаметр вала, изменяя который, мы можем подобрать такой момент инерции Jp для поперечного сечения, чтобы нормальное число оборотов машины было далеко от критического числа оборо тов. При такой поверке вала на резонанс может иногда оказаться выгодным даже уменьшение диаметра вала. Уменьшение диаметра, конечно, повысит в валу среднее значение напряжений, но отда ление числа собственных колебаний от критического числа дает больше уверенности в прочности вала.
Пока мы имеем дело с пароходными валами, формула (6) § 1 достаточно точна, потому что момент инерции самого вала невелик по сравнению с моментами инерции гребного винта и движущихся частей паровой машины. Далее, в § 3 мы выведем формулы для определения числа собственных колебаний вала, не пренебрегая массой самого вала.
§3. и з л о ж е н и е о б щ е г о п р и е м а в ы ч и с л е н и й |
25 |
Мы разберем три случая:
1) моменты инерции шкивов, помещенных на концах вала, малы по сравнению с моментом инерции самого вала;
2) моменты инерции шкивов и вала суть величины одного по рядка;
3) момент инерции вала мал по сравнению с моментами инерции шкивов.
В заключение мы рассмотрим тот случай, когда на валу имеется три шкива.
Так как вопрос о точном определении различных типов колеба ний и соответствующих им периодов для какой-либо системы, вообще говоря, представляет большие трудности, то обыкновенно пользуются различными приближенными методами. Мы будем поль зоваться общим приемом, изложенным в известном сочинении лорда Рэлея 1) «Теория звука», в применении к вопросу о колебании струны, масса которой распределена по длине неравномерно.
§ 3. Изложение общего приема вычислений
Сущность приема заключается в том, что мы вместо заданной системы выбираем систему более простую, для которой как типы колебаний, так и их периоды уже известны, и потом вводим соот ветствующие поправки в том предположении, что разность между заданной и выбранной нами системами очень мала.
Пусть (£>!, Фа, ... будут нормальные координаты для выбранной нами системы, тогда выражение для живой силы 2) напишется так:
к = | « 1 ( ф ; ) 2 + у « 2 ( ф ; > 2 + 1 а 3 ( ф ; ) * + . • . |
о ) |
Потенциальная энергия в случае малых деформаций выразится функцией второй степени от координат, так как можно допустить, что твердые тела в некоторых пределах следуют закону Гука. Сле довательно, можем написать, что
1/ = у С1Ф * + | с 2Ф 1 + . . . |
( 2 ) |
Чтобы получить период свободных колебаний какого-либо типа, нужно только составить соответствующее уравнение Лагранжа. Положим, мы остановились на типе колебаний, определяемом коор динатой Ф;. Относящееся сюда уравнение будет
d |
дК |
dV |
О, |
|
& |
д Ф '( |
дФ{ |
||
|
*) S t r u t t J. W. ( R a y l e i g h ) . The theory of sound. Vol. I. 2nd edition. London and New York, MacMillan and Co., 1894. CM. pp. 180—246. [Перевод на рус ский язык: С т р э т т Дж. В. (л о р д Р э л е й ) . Теория звука. Том I. М.— Л ., Гостехиздат,М940; Поперечные колебания струн, гл. 6, стр. 187—257.]
2) [Кинетическая энергия.]
2fi К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ
или на основании (1) и (2)
+ = (3 )
Это уравнение соответствует простому гармоническому коле банию
Ф ,= A cos (n,t + «,).
где |
|
Период колебаний рассматриваемого типа будет |
|
Т = 2 л |
(4) |
Следовательно, в том случае, когда мы знаем выражение для живой силы и для потенциальной энергии выбранной нами системы в нормальных координатах, различные типы колебаний и соответ ствующие им периоды получить нетрудно. Если теперь в выбранной нами системе произвести малые изменения, то Ф1( Ф,, вообще го воря, не будут уже представлять собой системы нормальных коор динат, и, следовательно, в выражения для живой силы и для по тенциальной энергии кроме квадратов координат и соответствую щих им скоростей войдут еще и произведения их, а также могут появиться и новые координаты. При малых изменениях системы коэффициенты при новых членах будут также малыми, и на этом допущении основано определение периодов колебаний, соответст вующих измененной системе.
Выражения для живой силы и потенциальной энергии изменен
ной системы представятся в таком виде: |
|
|
|
К + б/С = ~2 (a i + баи) (Фг)2+ ~2 (°2 |
(Ф*)2+ |
• • • |
|
• • • + |
б с 1гФ 1 Ф г + |
. . . , |
^ |
V + 8У= у (Сг-f- бСц) ф? + ~2 (с2+ ^с*г) Ф| + • • • |
|
|
|
• • • + |
бс12ф ,ф 2+ |
. . ., |
, |
где бап , ба12, . . ., бсц, 6clt, . . .— малые величины, соответствую щие малым изменениям первоначальной системы.
Пользуясь выражениями (5), нетрудно составить уравнения Лагранжа для измененной системы. Они напишутся так:
(я, -f- 6ап) Ф2+ (с2-f- бсп) Ф, -|^ ба,2Ф2+ бс12Ф2-f- ба13Ф3+
+ бс12Ф3+ |
. .. = 0, |
|
|
ба21Ф^ + бс21Ф, + (а2 + 6я.,2) Ф; + (с2 + 6с22) Ф2 + бя28ф'Н- |
(6) |
||
+ бс23Ф^ + |
. .. ^ 0, |
||
|
§3. ИЗЛОЖЕНИЕ ОБЩЕГО ПРИЕМА ВЫЧИСЛЕНИИ |
27 |
Пока Фь Ф»,. .. были нормальными координатами, изменения каждой координаты давали независимый тип колебаний и каждое из лагранжевых уравнений (3) заключало только одну координату. Теперь же, как видно из системы уравнений (6), в каждое уравнение входят все координаты, и в дальнейшем возможно лишь приближен ное решение вопроса.
Возьмем какой-либо нормальный тип колебаний первоначальной системы, например тип, соответствующий изменению координаты Фг, причем все остальные координаты равны нулю. Всякое изме нение в системе влечет за собой изменения в выбранном типе коле баний, что выразится в том, что к изменениям координат Фг приба вятся еще синхронные изменения других координат Фь . . ., Фг_1,
Фг+ 1> • • •
Пока изменения системы малы, отношения Ф „: Фг будут малы при всяких значениях s. Если мы найдем отношение Ф., : Фг для всех значений s, то тогда координаты Фх, Фа, . . . могут быть выра жены через Фг и из уравнения r-го системы (6) мы найдем нормаль ный тип колебаний для измененной системы, близкий к типу Фг первоначальной системы.
Так как рассматриваемое колебание в целом есть колебание гармоническое, то мы можем положить, что каждая координата ме няется по такому же закону, как cos prt, где 2njpr есть период изучаемого колебания. Тогда для всякой координаты Ф„ будем иметь
ф; = -Р г Ф „
исистема уравнений (6) перепишется так:
(— P2r—banp2r+ Ci + бс11)Ф1 + (— ба12рг+ 6с,,) Ф ,+ + (— ба1Яр* + бс13) Фя + . . . = 0,
(— агрг.................................................— бarrp2+ с, + 8сгг) Ф, + ...............................................2 Ф* (— |
(6') |
+ 6с„) = 0, |
Для определения отношения Ф„ : Фг возьмем из системы (6') уравнение s-e; в нем координата Ф„ имеет конечный коэффициент
— asp f—8assp2, + cs+ bcss.
Коэффициент при координате Фг в том же уравнении будет
— ба„р* + бс„.
Члены, не заключающие Ф, и Фг, можем отбросить, так как по отношению к оставленным величинам это будут величины малые. Тогда уравнение s-e перепишется так:
(—а,ршг— Ьа,,р\ + с, + бс„) Ф, + (— ба „р \ + 6с „) Фг« 0,
28 К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ
откуда
ф .ф ____________&crs farsPr______ |
|
||
|
asPr |
6afsPr Ч- Cs -f- 6Css |
|
или, отбрасывая в знаменателе малые величины, получим |
|
||
Ф ,:Ф Г = |
p*6ars—8crs |
(7) |
|
cs |
ospr |
Из лагранжевых уравнений (3), относящихся к первоначальной системе, мы имеем
— asp2+ cs = О,
на основании чего (7) можно переписать так:
Ф . ф — Prbars—-6с,^ rs
( Г )
'' as (pi—Pr) ’
Втех случаях, когда изменения сгз не влияют на потенциальную
энергию системы, бсГ4= 0 и отношение Ф, : Фг напишется проще:
Ф ,:Ф ,= |
|
Р г |
8аГ S |
(8 ) |
||
Р % -Р 2г |
аS |
|||||
|
|
|||||
Обратимся теперь к r-му уравнению системы (6') и из него по |
||||||
стараемся определить период исследуемого колебания: |
|
|||||
Ф г ( — агр) — 6а„р*г + сг + бсгг) + |
|
|
|
|
|
|
I ф |
|
( |
$arsPr~Ь 6cfJ) (8arspr 6с,s) _ Q _ |
|||
|
|
|
|
( P l — P r ) a s |
|
|
отсюда получаем |
|
|
|
|
|
|
cr -f- 6с, г |
|
|
(6сгд— 8аг1рУ)л |
(9) |
||
а г + 8 а г / |
■“ |
* |
(pl—Pr)asar |
|||
|
||||||
|
|
Мы остановились на выводе формулы (9), потому что считаем ее очень полезной для решения многих вопросов из области тех ники. Кроме исследования колебаний струны и валов ее можно применить при изучении поперечных колебаний балок, когда кроме равномерно распределенной нагрузки имеются еще и сосредоточен ные грузы или когда сечение балки не остается постоянным по длине. Когда нужно только приблизительно оценить влияние на период колебаний тех или иных изменений в системе, то формулой
(9) можно пользоваться даже и не при очень малых изменениях системы. Укажу такой пример: если массу струны, равномерно распределенную по длине, представить себе сосредоточенной в
середине, то периоды колебаний, соответствующие основным тонам
§4. СЛУЧАЙ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЙ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ШКИВОВ |
29 |
этих систем, будут относиться между собой как 12 : п2. При при ближенных расчетах можно воспользоваться и таким решением, как первым приближением.
Пока изменения системы настолько малы, что квадратами их мы можем пренебречь, следует пользоваться более простой фор мулой
cr + bcrr |
( 10) |
Р? а г Л - Ь а г г |
Из формулы (10) можно сразу сделать некоторые заключения относительно влияния изменений системы на период колебаний. Всякое увеличение потенциальной энергии, соответствующее поло жительному Ьсгг, увеличивает р2 и уменьшает период колебаний, что и нужно было ожидать, так как возрастанию потенциальной энергии соответствует увеличение жесткости системы.
Изменения в кинетической энергии имеют противоположное влияние на период колебаний: увеличение кинетической энергии, соответствующее положительному 6агг, увеличивает период колеба ний. Этого и следовало ожидать, так как увеличение кинетической энергии, без изменения потенциальной, возможно только при уве личении движущихся масс.
§ 4. Рассмотрение случая, когда моменты инерции шкивов малы по сравнению с моментом инерции вала
Применим выведенные в предыдущем параграфе формулы к слу чаю цилиндрического вала, на концах которого насажены шкивы с моментами инерции 0х и 02, малыми по сравнению с моментом инер ции самого вала. Ход задачи должен быть такой: исследуем вопрос
о |
колебаниях |
цилиндрическо- |
|
|
|
|
|||
го |
вала |
со |
свободными |
кон- |
^ |
I |
и |
г, |
|
цами, а |
потом, пользуясь фор- |
о |
|
|
X |
||||
мулой (8), § |
3, |
вычислим |
по- |
I |
а |
||||
правки, |
зависящие от величин |
|
|
||||||
0! и 02. |
А В |
представляет |
со- |
|
- — х — ».dz |
|
|||
|
Пусть |
|
|
/ |
|
||||
бой цилиндрический вал дли- |
|
|
|
|
|||||
ны |
1 (рис. 6); |
Jp — полярный |
|
|
Рис. 6. |
|
|||
момент |
инерции |
поперечного |
|
сечения; |
G — модуль упру |
||||
сечения; |
F — площадь поперечного |
||||||||
гости при сдвиге; р — масса вала, |
приходящаяся на |
единицу |
|||||||
длины; i |
— радиус инерции |
поперечного сечения. |
|
||||||
|
Положим, что ось х совпадает с осью вала, и пусть О будет на |
чалом координат. Возьмем сечение / — / на расстоянии х от начала координат, и пусть ф обозначает переменный угол поворота этого сечения во время колебания вала; тогда производная дф/дх даст нам
30 |
К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ |
кручение вала в выбранном сечении. Момент внутренних сил упру гости относительно оси вала в том же сечении будет, очевидно, равен
М= GJр дх‘
Всечении II — II, отстоящем от / — / на dx, момент внутрен них сил будет несколько иным и определится из формулы
М' — M-\-dM = G J -f GJpd^ d x .
Сечениями I — l u l l — //м ы выделили бесконечно малый эле мент вала длиной dx, считая по оси. Нам легко будет исследовать движение этого элемента, если воспользоваться принципом Даламбера. Соответствующее уравнение представится в виде
GJР дх2д аср |
. |
<32ф |
(1) |
или, деля обе части уравнения (1) на Fi2, получим |
|
||
п д2ю |
с д2<р |
(П |
|
° ^ = |
б Ж |
: |
здесь через б обозначено р//7 — масса единицы объема вала. Самое общее решение уравнения (Г), как известно, будет
Ф = / ( х —at) + f(x + at), где aa = -g .
Мы должны выбрать такое решение, которое удовлетворяло бы условиям на концах вала. Так как концы вала свободны, то, следо вательно,
-Jj-= 0 при дс = 0 и при х — 1. |
(2) |
Положим, что <р меняется со временем по закону cos p j, тогда
д аф __
Ж= — PiФ.
и из уравнения (Г) будем |
иметь |
|
|
|
а а ^ |
= - |
PiФ» |
|
|
“ |
дх2 |
|
|
|
где |
|
G |
|
|
|
а* |
|
(3) |
|
|
Т * |