книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Полагая в этом выражении х=1/а и вводя обозначение at= \, а2/2/62я 2= а 2, получим для кривизны балки посредине пролета та­ кую формулу:

Если скорость перемещения силы Р весьма мала, то кривизна посредине имеет значение

что совпадает с известной формулой сопротивления материалов. Возвращаясь к выражению (24), заметим, что первый член с достаточной точностью можно принять равным статическому зна­ чению кривизны, деленному на 1—а 2. К этому нужно присоединить колебания, определяемые вторым членом выражения (24). Принимая во внимание лишь колебания основного тона, можем формулу для

нахождения наибольшей кривизны балки представить в виде:

Заметим, что для приблизительного вычисления кривизны, как и прогиба, см. формулу (21), нужно знать лишь величину а, т. е. уметь находить период основного тона колебаний балки. Этим об­ стоятельством можно воспользоваться для определения динамиче­ ского прогиба непризматических стержней. Вычисление периода ос­ новного тона колебаний таких стержней может быть приблизительно выполнено методом Рэлея. Заранее задаемся подходящей формой из­ гиба, т.е. обращаем нашу балку в систему с одной степенью свободы. Для этой системы составляем выражение потенциальной энергии и живой силы. После этого вычисление частоты и периода колебаний может быть выполнено без затруднений. Найденный этим прибли­ женным способом период колебаний всегда будет несколько мень­ ше истинной величины периода основного тона колебаний балки.

172 О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

V.КОЛЕБАНИЯ МОСТОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

§15. Невесомый мост

Некоторые результаты предыдущей главы могут служить для определений колебаний, возникающих в мостах под действием под­ вижной нагрузки. При расчете мостов обыкновенно предполагается, что подвижная нагрузка из одного положения в другое переходит с бесконечно малой скоростью, и потому давление каждого из под­ вижных грузов в любой момент равно весу этого груза. При конеч­ ных скоростях это предположение не вполне точно, благодаря про­ гибу моста катящиеся по нему грузы совершают некоторые переме­ щения по вертикальному направлению. Силы инерции, соответст­ вующие этому перемещению, очевидно, должны быть присоединены к весу грузов при вычислении давлений, оказываемых грузами на мост. Кроме того, должно принять во внимание силы инерции эле­ ментов самого моста, совершающих перемещения при проходе под­ вижной нагрузки. Во всей полноте задача о динамическом прогибе мостов является до сих пор нерешенной, исследованы лишь предель­ ные случаи.

1)Когда вес моста мал по сравнению с весом катящегося по нему груза и, следовательно, можно с достаточной точностью ограни­ читься лишь влиянием сил инерции груза.

2)Когда вес подвижной нагрузки мал по сравнению с весом

моста.

Первая попытка определить влияние силы инерции подвижного груза на прогиб моста (пренебрегая массой самого моста) принадле­ жит профессору Кембриджского университета Р. Виллису х). При­ няв, что траектория перемещающего груза Р определяется уравне­ нием

Р (1х— х2)2

31EJ ( 1)

(уравнение это получим, вычисляя для каждого положения груза статический прогиб под грузом; получаемая таким образом кривая дает траекторию для случая, когда груз перемещается по мосту с бесконечно малой скоростью), Р. Виллис нашел для силы инерции

х) W i l l i s R o b e r t . См. «Report of the Commissioners appointed to inquire into the application of Iron to Railway Structures». London, Printed by William Clowes and sons, 1849, 435 p. Appendix B. «Experiments for determining the effects produced by causing weights to travel over Bars with different velocities, made in Portsmouth Dockyard and at Cambridge by the Rev.» Robert Willis, F. R .S ., Jacksonian Professor, etc.; Captain Henry James, R. E., F. R. S. and Lieutenant Douglas Galton R. E., pp. 181—263.

груза значение

Здесь через а обозначена скорость перемещения груза по мосту. Наибольшее значение силы инерции получают при х=1/2. Давление,

Точное решение задачи об изгибе невесомого стержня под дей­ ствием катящегося груза принадлежит английскому ученому Джорд­ жу Габриелю Стоксу 1).

Оказывается, что при допускаемых скоростях движения и при допускаемых в мостах значениях /„величина 1/0 мала и результат Р. Виллиса (2) с достаточной точностью оценивает влияние инерции груза. В качестве второго приближения можно для давления груза посредине принять формулу 2)

Если мы хотим при помощи формулы (3) найти давление оси па­ ровоза или вагона, то вместо Р нужно подставить вес одного лишь колесного ската; влияние масс остальных частей паровоза или ва­ гона будет ослаблено благодаря наличию рессор, и потому вес этих частей придется множить на коэффициент, весьма близкий к едини­ це. По подсчетам Г. Циммермана возрастание давления от сил инер­ ции составляет в самом невыгодном случае 14% от статического дав­ ления (подобное повышение давления может получиться при ско­ рости движения 100 км/час для балок высотой 30 см).

Принимая за уравнение траектории груза уравнение (1), можно приблизительно оценить также влияние сил инерции самой балки на величину прогиба и на величину наибольшего изгибающего

х) S t o k e s G. G. Mathematical and physical papers. Vol. 2. Cambridge Uni­ versity Press, 1883, 366 p. CM. Discussion of a differential equation relating to the breaking os railway bridges, pp. 178—220.

2)Аналогичная формула приведена на стр. 39 работы Г. Циммермана: Z i m-

те г ш а п п Н . Die Schwingungen eines Tragers mit bewegter Last. Berlin, W. Ernst und Sohn, 1896, 54 S. Заметим, что эта часто цитируемая работа, появившаяся через полстолетия после работы Дж. Стокса, не заключает каких-либо новых ре­ зультатов. В ней почему-то отсутствуют ссылки на работы Дж. Стокса, изложенные в столь распространенной книге, как «Теория упругости» А. Клебша, переведенной Сен-Венаном (С 1 е b s с h A. Theorie de relasticite des corps solides. Traduite par Saint-Venant et Flamant, Paris, Dunod, 1883, 900 p. CM. Note finale du §61, pp. 597—615.)

174 О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

момента. Если через Qобозначить вес балки, то для наибольшего из­ гибающего момента, принимая во внимание силы инерции груза Р

ибалки, можно написать такую формулу1):

§16. Учет веса моста

Формулы (2) и (3) предыдущего параграфа, выведенные в пред­ положении невесомого стержня, очевидно, могут дать удовлетвори­ тельные результаты лишь в том случае, если вес балки мал по срав­ нению с весом катящегося по ней груза. С возрастанием пролета моста его вес имеет преобладающее значение при оценке влияния на прогиб подвижной нагрузки. Уже Дж. Стокс заметил, что дви­ жение груза должно вызвать в балке колебания. Для определения этих колебаний им был употреблен приближенный прием, изложен­ ный в дополнении к цитированной выше работе. Прием основан на том предположении, что вес подвижного груза мал по сравнению с весом моста. Полученный Дж. Стоксом для колебания балки резуль­ тат весьма близок к тому, что дает второй член приближенной фор­ мулы (20) § 12.

Точное решение задачи о колебаниях балки в том случае, когда массой передвигающегося груза можно пренебречь, дал А. Н. Кры­ лов2). Решение его, основанное на интегрировании дифференциаль­ ного уравнения для поперечных колебаний призматического стерж­ ня, совпадает с приведенным выше решением (см. (15) § 12), построен­ ным на пользовании нормальными координатами. Дополнительный прогиб, обусловленный колебаниями балки, определеляется, как мы видели, величиной a=aljbn. Значения а и соответствующие им периоды Т основных колебаний для мостов различных пролетов при­ ведены в следующей таблице:

Ч См. стр. 607 книги A. Clebsch, указанной в сноске2) на стр. 173 (Note finale du §61).

2) К г i 1 о f f A. Ober die erzwungenen Schwingungen von gleichformigen elastischen Staben. Mathematische Annalen, 1905, Bd. 61, SS. 211—234. [Перепечат­ ка: К p ы л о в A. H. Собрание трудов. Том 5, математика и механика. М.— Л ., издание АН СССР, 1937, стр. 513—537.]

делах 1/20—1/35 (при окружности ведущих колес 6 м), для товар­ ных паровозов соответствующее а имеет вдвое меньшую величину (при окружности ведущих колес 3 м). Принимая во внимание эти величины а, мы на основании формулы (11) заключаем, что для ско­ рых паровозов наибольший прогиб, вызываемый противовесами, мо­ жет в 15-г25 раз превосходить статический прогиб от силы F (до 5 тонн), помещенной посредине пролета. Подобный результат мы получили, пренебрегая сопротивлениями среды. Благодаря сопро­ тивлениям амплитуда колебаний будет меньше, но все же при нали­ чии резонанса влияние противовесов на прогиб весьма значительно, и при мостах больших пролетов именно эта причина может вызвать сильные колебания.

§18. Одновременное действие нагрузки и веса моста

Взаключение отметим одну задачу, допускающую элементарное решение. Положим, имеется установившееся движение со скоро­

не будет и балка будет изогнута собственным весом, весом подвижной нагр.узки и соответствующими этим нагрузкам силами инерции. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки будет

Интегрируя это уравнение и принимая во внимание условия на концах

} •

где a2=pa2/gEJ. Прогиб посредине равен

} •

Приведенных примеров достаточно, чтобы показать примени­ мость общего метода, основанного на пользовании нормальными координатами, к решению целого ряда важных технических задач. В случае действия сосредоточенных сил эта метода проще, чем способ, основанный на интегрировании соответствующих диффе­ ренциальных уравнений.

В дальнейшем мы надеемся применить эту методу к исследованию колебаний, возникающих при ударе.

ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ К ИССЛЕДОВАНИЮ ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИНОК

Известия Киевского политехнического института, 1910, год 10, отдел инженерной механики, книга 1, стр. 1—49. Отдельный оттиск, Киев, 1910, 50 стр.

§ 1. Нормальные координаты

Нормальные координаты, имеющие столь важное значение в акустике, могут быть применены с большой выгодой в различных задачах строительной механики. Ими, например, пользуются при нахождении лишних неизвестных в системах с лишними закрепле­ ниями или лишними стержнями 1). Применяя нормальные коорди­ наты при исследовании изгиба стержней и пластинок, можно полу­ чить общие выражения для изогнутой оси стержня и для изогнутой поверхности пластинки. Эти общие выражения особенно удобны для вычисления прогибов в тех случаях, когда кроме поперечных наг­ рузок имеются силы, действующие по оси стержня или в плоскости пластинки. Исходя из общего выражения для изогнутой оси стержня, можно дать приближенные формулы для вычисления прогибов сжа­ тых и растянутых стержней, лежащих на упругом основании. Не­ которые частные задачи этого рода подробно рассмотрены в статьях

А.Фан-дер-Флита 2) и Ф. Форшхеймера 3).

Если прогиб стержня или пластинки выражен в нормальных ко­

ординатах, то потенциальная энергия V представится однородной функцией второй степени, заключающей лишь квадраты координат. Пусть фц ф2, . . . обозначают нормальные координаты. При задан­ ных внешних силах величины фх, ф2, . . . могут быть найдены из того условия, что производная от потенциальной энергии по какойлибо координате фп дает значение соответствующей обобщенной силы

Ф„. Таким образом, получаем систему уравнений вида

поркой в мостах с ездою по низу. Известия собрания инженеров путей сообщения, С.-Петербург, 1902, год издания 19, № 6, стр. 121— 126. Изгиб сжатых и вытянутых балок с заделанными концами. Известия С.-Петербургского политехнического ин­ ститута, 1904, том 1, вып. 1—2, стр. 3—-76; вып. 3—4, стр. 257—279.