книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии

на его сечение S , концентрацию i в потоке С{ и время поступле­ ния потока х:

g2i = vSCix

или для элементарного объема за элементарное время:

dg%i = vSCidx

Аналогично находят количество г, уходящее с конвекцион­ ным (массовым) потоком; в этом случае лишь учитывают, что на выходе произведение vCL может измениться на A (уС£):

g'2i = s [vC i+A {vCi)]x

иди для элементарного объема за элементарное время:

dg'2i = S[vCi + d[yCi)) dx

Учитывая, что SvCl есть мольный поток вещества i, т. е. и£, находим:

S2i — е'2[ = —SA (vCi) х = —Ап[Х

dg2i — dg2l = Sd (vCi) dx = —due dx

Диффузионный поток вещества i во входном сечении опре­ деляется для гомогенной системы согласно закону Фика:

dCi g3i= -S D i~ ^ -x

где D t — коэффициент молекулярной диффузии; знак «минус» показывает, что диффузионный поток идет в направлении убыли концентрации, т. е. что этот поток выходит из объема.

Для элементарного времени получим:

dCi

Диффузионный поток в выходном сечении, где концентрация равна С( ДС£, составляет

или для элементарных объема и времени:

61

Эти соотношения применимы для однофазной системы. Для много­ фазных систем можно использовать видоизмененные формы записи закона Фика.

Если вещество i переносится из фазы / в фазу I путем диффу­ зии, то принимается, что у поверхности раздела фаз существует тонкая неподвижная пленка толщиной 6 (ламинарный подслой), через которую идет диффузия. Концентрацию i в фазах / и I (у гра­ ниц слоя) обозначим соответственно Сц и Cir Тогда получим

Обозначив D J б чере8 pt (коэффициент массопередачи) по­ лучим:

gsi— g‘3i =<SPi (Си — Сц) т

Величина {3 входит в диффузионный критерий Нуссельта Nup = рdID (где d — диаметр). Ее находят на основании экспе­ риментальных исследований из критериальных зависимостей Nup = / ( Re, Ргр). Например, для процессов сорбции газа твер­ дым веществом при поперечном межфазном диффузионном потоке имеем:

NuD = 1.9Re0.5pr“*33

Если вещество i переносится в одной фазе, но поглощается в другой, и система в целом является гетерогенной, как, напри­ мер, при потоке газа через зерна твердого вещества (продольный однофазный диффузионный поток), расчет переноса в обеих фазах довольно сложен. При этом обычно принято .рассматривать сис­ тему как квазигомогенную, к которой применимы законы Фика для описания возникавшего в ней продольного перемешивания. Величина Di при этом приобретает смысл коэффициента продоль­

Величина DL входит в критерий Пекле для продольного пере­ мешивания Рвх, = vLID'l. Ее находят на основании эксперимен­ тальных данных по критериальным зависимостям PeL — / (Re, Ргр). Аналогичные зависимости получены и для критерия Пекле, характеризующего поперечное (по радиусу) перемешивание: Рел = = vdlDR.

Например, для потока жидкостей при (L/d)Re > 2 0 0 (лами­ нарный режим) имеем:

Pet = l92(Re Ргр)-1

62

Количество вещества gt, образовавшегося за счет физико-хими­ ческого процесса, находят умножением скорости процесса w на объем аппарата V и время процесса т. При этом в соответствии с определением, введенным Г. М. Панченковым [6 ], скоростью процесса будем называть количество вещества, образовавшегося в единице объемами ^единицу времени:

£4=Ц>УТ

или для элементарного объема за элементарное время:

dgi=wdV dx

Для многостадийного химического процесса, в котором веще­ ство образуется по нескольким стадиям со скоростями wx, ..., wr (г — число стадий), величина w — общая скорость процесса, представляющая собой алгебраическую сумму скоростей этих стадий.

Уравнение теплового баланса

Уравнение теплового баланса записывают не для отдельных компонентов, а для потока в целом. В общем случае в уравнение включают следующие члены:

Учитывая эти обозначения, получаем уравнение теплового баланса в виде:

gt = cpV AT = cg AT

63

Для' элементарного объема за элементарное время

dqi = cpdV dx —cdg dx

Количество тепла g2, поступающее с потоком вещества, равно

q^CnSvpnTt

Количество тепла q'%, выходящее из объема с потоком веще­ ства, найдем из условия, что на выходе величина cnvpnT может измениться на А (спурпУ):

"ЬА (спурп?’)] т

Для элементарного объема за элементарное время

dg'2 —S [спУРпГ-И (сп^РпГ)] ах.

Учитывая, что Svрп — массовый поток вещества (Gn) находим

q2—q‘2 = —SA (урпспГ) т = —A (GncaT) х

dqa— dq'^=—Sd (урпСнГ) d x = —d (Gnca T ) dx

Количество тепла q3, поступающее за счет теплопроводности, определяется законом Фурье:

* ат q3= —S X - ^ - x

и

64

Количество тепла qi , поглощенное в ходе физико-химиче­ ского процесса, рассчитывают, умножая теплоту процесса д пр на

количество образовавшегося вещества wVr:

to—qnpwVr

и л и

dq^ = qnpW dV dx

В сложном процессе количество поглощенного тепла равно сумме количеств тепла, поглощенного на отдельных стадиях:

?пр“? = 2 tfnp[V>j i =i

где / — индекс стадий, г — число стадий.

Теплота дъ, полученная через многослойную стенку поверх­ ностью F от внешнего потока с температурой Гвн, определяется соотношением:

95== K JIF {Т вн Т) X = K JI у V (Гвн “ Т )х

Для элементарного объема за элементарное время с учетом того, что поверхность теплопередачи пропорциональна объему системы (F/V — const), имеем:

F

dqb= К т (Тт — Т) dF dx = K T - у (Т вн— Т) dV dx

где a x и a 2 — коэффициенты теплоотдачи от .потока к стенке изнутри и извне; б£ и — соответственно толщина и коэффи­ циент теплопроводности г-го слоя стенки.

Коэффициенты теплоотдачи находят из зависимости крите­ рия Нуссельта Nu,. = ad!'к от других критериев подобия. На­ пример, при перемещении нагретой жидкости в трубе при Re > 4 1 0

NuT =0,032Re’nPr” (L /d )-М64

для потока через слой твердых частиц, справедливое для массо-" и теплопередачи:

где e — доля свободного объема в слое; fs — отношение внешпей поверхности частицы к поверхности сферы того же объема.

В это соотношение могут входить или только тепловые кри­ терии (тогда оно используется для определения коэффициента теплоотдачи а ), или только диффузионные критерии (тогда оно используется для определения коэффициента массопередачи (3).

При адиабатическом процессе в уравнении теплового баланса можно пренебречь количеством, тепла qb, передаваемого через стенку.

Для адиабатического процесса дифференциальное уравнение теплового баланса можно проинтегрировать независимо от урав­ нений материального баланса. При таком интегрировании полу­ чают алгебраическое уравнение, позволяющее рассчитать измене­ ние температуры в адиабатическом аппарате А Гад. Пусть система уравнений материального и теплового балансов для установив­ шегося [Ci Ф Сс (т), Т Ф Т (т)] процесса в адиабатическом аппа­ рате идеального вытеснения записана в виде:

d(G cnT) -

dV qnpW

А(SvC{)

'dV '

Подставив ы? из первого уравнения во второе, получим урав­ нение в полных дифференциалах:

A {GcnT) =s— qnpd (SvCi)

Проинтегрировав, найдем:

Уравнение баланса кинетической энергии

Это уравнение в очень редких случаях используется для сов­ местного решения с уравнениями материальных и теплового балансов с целью определения поля давления. К таким случаям относятся системы уравнений, описывающие процессы в ддлппт-ьтт трубах (пиролиз углеводородов, полимеризация этилена при вы­ соком давлении). Обычно его применяют для расчета перепада давления в аппарате, При этом нет необходимости рассматривать полное уравнение, например уравнение Бернулли (см. главу IV).

Пренебрегая работой подъема, можно представить изменение давления как следствие действия сил гидравлического сопротив­ ления — трения. При однофазном потоке через трубу изменение давления dp на элементарном участке dx зависит от коэффициента

66

трения /, плотности потока р , линейной скорости потока v, диа­ метра трубы d:

меняются по длине трубы в соответствии с уравнениями материаль­ ного и теплового балансов, и проинтегрировать уравнение (Н -6 ) можно, лишь используя полную систему уравнений балансов. Однако, поскольку изменение давления обычно невелико, а его влияние на основной процесс слабее, чем влияние других пере­ менных, мояшо приближенно оценить перепад давления, не при­ бегая к совместному решению всех уравнений балансов.

Коэффициент трения /т определяют на основании эксперимен­ тальных исследований с помощью метода анализа размерностей. Например, для условий, существующих в промышленных реакто­ рах, при 5000 <С Re < 200 000 (турбулентный поток)

/T=0.046Re-o,2

В технических процессах часто приходится определять харак­ теристики потока газа и жидкости через неподвижные или движу­ щиеся слои твердых частиц. Обычно зернистый слой рассматри­ вают как систему параллельных изогнутых капиллярных труб. При этом для зернистого слоя можно использовать .модифициро­ ванное соотношение:

где а — удельная внешняя поверхность зернистого слоя, м2/м3; 8 — доля свободного объема; отношение а/е представляет собой поверхность слоя на единицу его объема.

Соотношения для определения величины / 3 для неподвижного слоя зерен различной формы при различных условиях обтекания

где jx — динамическая вязкость;. d3 — диаметр зерна; р — плот­ ность потока; v — линейная скорость потока; s — доля свобод­ ного объема; g — ускорение свободного падения; G — поток вещества, отнесенный к единице сечения аппарата; значения коэффициентов (150 и 1,75) справедливы для измерения массы в кг, длины в м, времени в ч.

Работы по изучению перепада давления при потоке вещества через движущийся слой шарикового катализатора обобщены Хап-

в уравнение баланса кинетической энергии, полученное при не­ зависимом интегрировании, применительно к гетерогенно-ката­ литическим процессам. Исследуя, в частности, уравнение типа (II.6 ), он получил рекомендации по выбору диаметра зерен ката­ лизатора и их формы для неподвижного и псевдоожиженного слоев.

Р дальнейшем будет рассмотрено описание процессов систе­ мами уравнений материального и теплового балансов.

Проиллюстрируем запись уравнений материального и теплового балан­ сов для аппаратов с продольным перемешиванием. Уравнения балансов записывают для элементарного объема потока сечением S и толщиной dx за время dx, так как только в этом случае концентрации и температуру можно охарактеризовать истинными величинами. Учитывая приведенные выше выражения для dglt . . ., dg6 и dqv . . ., d q b, имеем:

68

Переходя к дифференциальному уравнению и учитывая, что Sup = G, после несложных^преобразований получим:

векционным удобно перейти к безразмерной форме уравнений. Введем с этой

Величина Ре^ представляет собой критерий Пекле для продольного перемешивания.

Можно представить аппарат с неполным перемешиванием как систему последовательно соединенных аппаратов идеального пе­ ремешивания (каскад). Способ такой интерпретации и оценка условий перемешивания в реальном аппарате будут рассмотрены в главе III. Полученные аналогичным образом математические описания стационарных непрерывных процессов для простых моделей перемешивания приведены в табл. И-З.

В этой таблице не приведены уравнения модели каскада, так как они представляют собой уравнения для аппарата идеаль­ ного перемешивания, записанные последовательно для 1 , 2 , аппаратов. Более детальное рассмотрение моделей дано в литера­ туре [1 ].

Эти уравнения используют для расчета результатов процессов в режимах нормальной эксплуатации. Уравнения для нестационар­ ного процесса позволяют предложить методы оценки перемеши­ вания в реальном аппарате (см. главу III). Их также используют при решении задач управления процессом в переходных режимах, качественного исследования поведения процесса в устойчивом и неустойчивом режимах (см. главу V).

69

ТАБЛИЦА Н-З

Математические описания стационарных непрерывных процессов при различных условиях перемешивания

А п п а р а т ы с п р о д о л ь н ы м п п о п е р е ч н ы м п е р е м е ш и в а н и е м *

* Коэффициенты перемешивания и £ тд и теплопроводности Xj, и Хд не за­ висят от л и г (где L —длина аппарата, В —радиус аппарата); с и р—постоянны.

70