книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf161
Tap{x) = - ^ - S ap, |
(3.8.13) |
юс |
|
где х~2- обобщенная функция, преобразование Фурье которой - (~л\к|) [11]. Если включение также изотропное, с коэффи
циентами Ляме X,fi и поперечным размером h(x) = hoa(х),
где сс(х) = 0(1) - функция формы включения, то векторное уравнение (3.3.15) распадается на два независимых уравнения
(/9=1,2):
г bfi(x')
а"’ (* )Л (/Л (х) - |
|
<*X' = fa(x), И < 1 , |
|
* L ( x - x ' ) 2 |
|
||
|
Х+2ц |
_ |
<хpi |
Л ,= -КМо&о |
2Л0//0 5 J^В |
(3.8.14) |
|
/иох а |
|||
Здесь учтено, что b (х)=0 при |
|дс|>1. Подставляя сюда |
Ь(х) в форме (3.8.6), используя (3.8.5) и требуя выполнения уравнения в узловых точках xt, придем к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ап проксимации
2N
\АаК=Г«, ос=1,2; k = l,2,...,2N, (3.8.15)
А* = a '(x k)A atxр ( - £ * ) -
Матрица этой системы |
является целиком заполнен |
ной, симметричной, с преобладанием членов в окрестности главной диагонали. Наиболее предпочтительным при решении системы (3.8.15) является метод Зейделя [136].
162
Для увеличения точности расчетов целесообразно учесть вид асимптотики решений уравнений (3.8.14) в о1фестности краев включения. Используя результаты §3.6, представим фун кцию b (х ) в виде
г> (х )= Д (х)(1 -х2Х+ , |
(3.8.16) |
где вторым сомножителем справа учитывается вид асимптоти ки решения у краев включения х = ±1, величина показателя S
известна и зависит от формы края включения, / + = / |
при |
/ > О, / + = О при / < 0 . С помощью аппроксимации |
(3.8.9) |
представим функции Д (х) и (1 - х 2)* в виде |
|
А * ) = |
ехР |
|
Л |
\_ |
(3.8.17) |
||
Dhf |
N ’ |
||||||
1= 1 |
|
|
|
|
|||
|
2N |
|
|
( x - Xjf |
|
\_ |
|
(1 - х 2У+ = |
2 |
( 1 - х 2): exp |
к |
||||
|
м ’ |
||||||
|
yfnDj |
|
|
|
|
где xi=-l+hl(i-l/2),x}=-l+h2(j-l/2). Подставляя теперь (3.8.16) и (3.8.17) в (3.8.14) и требуя выполнения равенства в узловых точках х( (i=l,2,...,2N), получим систему для опреде
ления коэффициентов /?' |
в (3.8.17) |
|
|
|||
2N |
|
|
k=l,2,...,2N, |
|
||
Z 4 : & = / a\ « = 1 ,2 ; |
(3.8.18) |
|||||
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ь-Х/с)2 ( l _ x2v _ |
2M |
|||
А* = « "Ч ^ )Л а ехр |
2жо |
|||||
|
|
|
{ |
k) |
nDH |
|
A?=(\-x*y+exp |
(* ,- * y )2 |
[l-2 ПщexP(“ |
rfkij) Erfi( '4kij)], |
|||
D ($+hl) |
||||||
|
163
Vkii ~ SDH2 |
h2 +h2 |
H2 = |
h2+A2 |
||
____ 1 _ |
hfxj +h2Xj |
|
Как уже отмечалось выше, аппроксимация (3.8.16) и (3.8.17) имеет наибольшую погрешность в окрестности краев включения х = +1. Для уменьшения этой погрешности в пред
ставлении (3.8.17) функции (1 - х2)* следует сохранить как можно большее число слагаемых. Существенно, что размер ность матрицы системы (3.8.18) при этом не увеличивается, так как указанная размерность определяется числом слагае
мых в представлении (3.8.18) для функции /?(х). Далее, по скольку функция (1 - х 2)* равна нулю за пределами включе ния, то функцию /?(х) в (3.8.16) можно с помощью любого гладкого продолжения определить и за пределами области Q.
В результате область, где погрешность аппроксимации Д(х) наибольшая, сдвигается за пределы трещины. Чтобы не уве личивать размерность системы (3.8.18), функцию /?(х) можно
продолжить вне Q четным образом относительно концов включения.
Рассмотрим сначала результаты решения уравнения (3.8.14) в случае трещины (Ла = 0) и постоянной правой части. На рис.3.2 приведены графики решения этого уравнения при раз ном шаге М узлов аппроксимации функции (1 - £2 )^/2 в пред ставлении (3.8.16) для Ь(£). Число N узлов аппроксимации
функции /?(£) бралось равным 5. Видно, что с увеличением
М решение стремится к некоторой функции. На рис.3.3 при ведены графики решения этого же уравнения при изменении
шага N узлов аппроксимации /?(£) (М = 50).
Коэффициент интенсивности напряжений на трещинах пропорционален значению /?(£) в точках £ = ±1. Для повы
шения точности вычислений /?(<£) продолжалось четным об разом относительно концов трещины. При этом вводились
164
дополнительные узлы в количестве N* из каждого из концов. Графики /?(£) при различном числе дополнительных узлов
N+ приведены на рис. 3.4 (N = 5,М = 50).
Заметим, что при постоянной правой части уравнение
(3.8.14) для трещины |
|
\ _ M 1 _ d ? = - f , / = |
п |
(3.8.19) |
Ы - ? ) 2 |
Мо*. |
|
|
|
|
|
|
165 |
имеет известное решение |
|
|
|
|
||
Ь(& = ^ 1 - ¥ . |
|
|
(3.8.20) |
|||
|
п |
|
|
|
|
|
В таблице приведены значения функции |
;г/?(£)/ |
полу |
||||
ченные при |
N=5, М =50, N*=4, на интервале [0,1] |
(точное |
||||
значение этой функции равно единице) |
|
|
||||
|
|
|
|
Таблица |
|
|
0.000 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
0.9 |
1.0 |
£ |
1.0066 |
|
|
|
1.0081 |
1.0082 |
1.0066 |
1.0068 |
1.0073 |
1.0079 |
я В Г '
Из таблицы видно, что погрешность вычислений не пре вышает процента на всей длине трещины.
Рассмотрим теперь тонкие податливые включения различ ной формы. Задача сводится к решению уравнения (2.8.14)
при различных функциях формы включения ос(^). Приведем результаты решения уравнения (3.8.4) при постоянной правой
части (Ло =1, аго = 1), полученные тем же методом, что и в случае трещины.
Для эллипсоидального включения («(£ ) = л]\ ) график
функции Ь(<%) приведен на рис.3.5(а).
В случае включения, края которого имеют точку возврата
(<*(£) = (1 - £ 2)3) решение уравнения (3.8.14) представлено на рис.3.5(6).
Для включений постоянной толщины (а(^) = 1) и в виде
"двойного клина" (а(£ ) = 1-|£|) поведение функции Ь(^) представлено на рис.3.5(в) и 3.5(г) соответственно.
Перейдем в заключение к пространственной задаче и для простоты рассмотрим трещину с плоской поверхностью Q . В
случае изотропной среды преобразование Фурье Т*(к) ядра
Т(х) оператора Т в (3.8.15) имеет вид (к = к(кх,к2))
166
где п - нормаль к Q , аго = 2аго -1 .
Аналогично плоской задаче будем искать решение (вектор
Ь) в форме (х,,х2 - декартовы координаты в плоскости тре
щины)
N
(3.8.22)
b‘ (xx,x2) = b' ехр - ( у ,- * ,,)2 |
(х2 - х 2,)2 |
D tf |
D2h\ |
гдехи, хь - координаты узлов аппроксимации, Л,,й2шаги ап проксимации по координатам х1,х2. Далее дисперсии D{,D2 и
шаги l\,h2 выберем так, чтобы Л,2/), = h2D2 =4D. Подставим (3.8.22) в интегральное уравнение (3.3.15), воспользуемся оп ределением (3.8.5) оператора Т и выражением (3.8.21) для
Т*(к). Требуя выполнения уравнения в узловых точках хк, придем к следующей системе уравнений для коэффициентов
Ъ' в представлении (3.8.22):
N |
|
H Ab bfi = Vafi(.xk)nfi, к=\,2,...,2N , |
(3.8.23) |
167
2
Уа = (* 1 * -* 1 ,Х + (* 2 * -* 2 ,)еа
8D ’
где е',е2- орты осей х,,х2; / 0)/, - модифицированные функ ции Бесселя.
Пусть Q - плоская, прямоугольная в плане поверхность трещины. Учитывая асимптотику решения у края трещины, будем искать решение уравнения (3.3.25) в виде
*(* 1,■*2 ) = Р(х1.*2 Х У “ )'/2 Л " *22 )'/2 . (3-8.24)
где 2а, 26 - длины сторон трещины. Так же, как и в (3.8.17), отдельные сомножители здесь представим в виде
Р(х) = |
N |
(х ~ ъ У |
f „ I |
^.2 \ 1/2 / i l |
2 \ 1/2 |
||
ехР |
|||||||
|
(а |
- х , ) + |
(Ъ - х 2)+ = |
||||
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Z (а2 - х1 У2Л |
- х1-У2ехР |
|
(X -X j)2' |
|||
|
|
DbH |
|||||
|
j=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(3.8.25) |
где hb,hp,Db,Dp - шаги аппроксимации и дисперсии в пред
ставлении (3.8.25) функций (5(х) и (а2 - х 2)"2(b2 - х\'f2. Для простоты рассмотрим сетки с одним и тем же шагом по коор
динатам xv x2. Из (3.8.24) и (3.8.25) тем же путем, что и выше, придем к системе линейных уравнений относительно коэффи
циентов р-.
Z |
= Пр<?ра (хк), k = l,2,...,N, |
(3.8.26) |
|||
/=1 |
|
|
|
|
|
-2 |
М |
„ \ 1/2 / д 2 __ |
\ 1/2 |
(Xj ~ XjУ |
|
А Ы _ Ц 0Н |
^ , „ 2 |
||||
— -I |
^ |
X2j) ^ХР |
X |
||
D(hb +hp) |
|||||
|
|
|
|
168
|
х{г[(1 - |
2 £ „ )/.(£ „ .)+ 2 £ „ /, (« * )]( £ „ ,+ * .» .» ,)+ |
|||||
|
+ * .[(/, (£ * ) - / . ( * „ |
) ) е |
д + « # ) + 2 ( / . ( ^ ) - |
||||
( Н |
|
|
ll |
H - |
W |
f - |
|
|
|
|
|
JJ’ |
|
H +hy |
* « - |
|
_ |
х |
+ h?x |
|
v |
hbx2i + h p X 2j |
|
|
n b X \i |
^ r ip X \j |
'ea + |
||||
а |
XI* |
,2 |
, , 2 |
*2* |
,7 |
. ,2 |
Система (3.8.26) решалась для случая трещины нормально
го отрыва о°ар = (fnjip. При М -40, N- 10 результаты расчета
коэффициента /?(х) в (3.8.24) практически совпадают с вели
чиной Р(х), подсчитанной другим методом в [55].
В заключение отметим, что предложенный подход может быть применен для решения уравнений (3.3.15) и (3.3.24) и в случае неплоской поверхности Q . Элементы матрицы коэф фициентов системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводится решение задачи, в этом случае также могут быть найдены в аналитической форме, хотя оказываются бо лее громоздкими, чем (3.8.26).
Г Л А В А IV
ВКЛЮЧЕНИЕ В ВИДЕ ЖЕСТКОГО СТЕРЖНЯ
ВОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
Вданной главе рассматривается равновесие однородной упругой среды с включением, один из характерных размеров которого много больше двух других. Такие включения, назы ваемые волокнами или стержнями, широко используются в качестве армирующих элементов для современных композит ных материалов. Материал армирующих волокон, как прави ло, существенно жестче матрицы. Решение рассматриваемой задачи для таких включений зависит от двух малых парамет ров: отношения характерного поперечного размера включения
кдлине и отношения модулей упругости среды и включения. Данная глава посвящена построению главных членов разло жения упругих полей в среде с жестким стержнем по указан ным малым параметрам.
§4.1. Внешнее и внутреннее предельные решения задачи об упругой среде с включением, имеющим форму стержня
Рассмотрим бесконечную однородную упругую среду с включением, занимающим область V , которая имеет форму длинного криволинейного стержня. Пусть срединная линия стержня Г - гладкая кривая без точек самопересечения, а по перечное сечение стержня имеет форму круга радиусом a (z), где z - точка на Г . Будем считать a (z) кусочно-гладкой неп рерывной функцией, удовлетворяющей условию
(4.1.1)
всюду на Г , за исключением, быть может, окрестностей кон цов стержня. Поскольку характерный поперечный размер об-
170
ласти V существенно меньше ее длины, то функция a (z ) до пускает представление
a(z) = SJ(z), <?, « 1, |
(4.1.2) |
где - малый безразмерный параметр, функция /(г)- порядка
длины стержня.
Рассмотрим структуру главных членов внешнего решения рассматриваемой задачи при стремлении параметра 8Хв (4.1.2)
к нулю. Полагая х G F в соотношениях (2.1.22) для напряже ний и деформаций, получим, что главные члены внешнего разложения решения рассматриваемой задачи в асимптотичес
кий ряд при стремлении S] к нулю имеют вид |
|
||
сг(х) = <7 |
(х) + J*S'(^ - |
z)Bla(z)dT2, |
(4.1.3) |
|
г |
|
|
е(х) = е° (х) - jK(x - z)C'e(z)dT2, |
(4.1.4) |
||
|
г |
|
|
<r(z)= J |
<j+(x)dQ., |
e(z)~ Je+(x)dQ, |
(4.1.5) |
а д |
|
а д |
|
где Q (z ) - поперечное сечение области V плоскостью, орто гональной оси Г и проходящей через точку z е Г .
Рассмотрим внутреннее предельное решение задачи о стержне при стремлении параметра <?, к нулю. Поместим в
точку z € Г (z ^ ze , z,), где zo, г,- точки, соответствующие кон цам стержня) начало локальной декартовой системы коорди нат у>\,у2,у2, направив ось у3 вдоль касательной к Г. Перей дем в интегральных представлениях (2.1.22) к безразмерным
переменным = a 1(z)yi (/ = 1,2,3) и устремим параметр 8Х, а следовательно и радиус стержня a(z), к нулю. При этом об
ласть V в координатах переходит в область V0 внутри кру гового цилиндра единичного радиуса с образующей, парал лельной £3, а уравнения (2.1.22) в области V0примут вид