книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf
|
|
|
91 |
К £ 6= |
5 - 2 |
1 j2_ |
J^3 + |
|
//„5(2 + 5) |
(1 -® о) 3 - 5 |
5 -5 |
+( i |
r ^ [ r '+0 - * ° > 4 |
* * » > |
|
где три линейно-независимых тензора Т имеют вид |
|||
Г1(5, « ) = ( £ ' - 5£5 (и))(5 ■-5) - 7*(5, и ), |
Г2 (5,;и) = £ 2 - 5£4 (и ), |
||
Г3(5,и) = £ 2 + 2 £ ' - |
5[£3 (и) + £ 4 (и )+ 4 £ 5(//)] + 5(5 + 2 ) £ 6 (и ). |
||
|
|
|
(2.8.14) |
Таким образом, все шесть тензоров К SE |
выражаются че |
||
рез три линейно-независимых тензора |
Т . Заметим, что V - |
||
собственные элементы оператора К 5 |
|
|
|
КХ = — Т\ КST2=^—^ T 2, к / 3 |
Мо |
т\(2.8.15) |
|
2//„ |
Мо |
|
Последнее равенство следует из (2.8.13) и (2.8.14).
Будем теперь искать решение уравнения (2.8.2) в виде ли
нейной комбинации тензоров Е (п) вида (2.8.8) со скалярны ми коэффициентами, зависящими только от Г . Тогда произ
ведение С1А под знаком интеграла в левой части (2.8.2) мож но представить следующим образом:
(CM )(r,n)= Z 5 ',(r ) £ ,<«), |
(2.8.16) |
/=1 |
|
где S,(г)- скалярные функции Г . Подставим это выражение в (2.8.2) и осуществим преобразование Меллина от обеих час тей полученного равенства. Учитывая соотношения (2.8.5), (2.8.6), получим
л *^ ,и)+ | ;5 ;(5 )(к ,£ ')(5 ,п) = - ( к ,с 1*)(5,«),
/=1
92
С1» = Xx(s)E2 + 2£{s)E'. |
(2.8.17) |
Здесь S'(s)- преобразование Меллина скалярных коэффи
циентов St(r) в разложении (2.8.16).
Из соотношений (2.8.13) следует, что тензоры KSE‘ и
K JC I* представляют собой линейные комбинации трех тензо
ров Т1, определенных в (2.8.14). Но тогда и тензор A'(s,n) естественно искать в виде такой же линейной комбинации:
A'(s,n) = £ |
a*(s) TJ(s,n). |
(2.8.18) |
7=1 |
|
|
Здесь aj(s)~ скалярные функции параметра преобразова |
||
ния Меллина S, |
Г- представления |
которых есть аД г) |
(J =1,2,3).
Поскольку умножению на (—S) в пространстве преобра зований Меллина соответствует операция D [135]
D = r — |
(2.8.19) |
dr |
|
в исходном Г- пространстве, то из выражений (2.8.14) и (2.8.18) следует, что тензор А(г,п) имеет вид
A(r,n) = [E '+ E S(n)D](5+ D)ax(г)+ [Е2 + Е4 (n)D]a2 (г) +
+{е 2+ 2Е' + [ £ 3(и) + Е\п) +4 Es{n)]D + E6{n)D{D - 2)} х
х ( « з ( О “ « I (>■))• |
(2 .8 .2 0 ) |
Перейдем теперь к определению функций а-(г). Подста
вим выражение для тензора A'(s,r) (2.8.18) в уравнение (2.8.17). С учетом соотношений (2.8.14) и (2.8.16) придем к равенству, правая и левая части которого являются комбина
циями тензоров Т\Т2,Тг. Приравнивая коэффициенты при
тензорах Г1 и Г3 в обеих частях этого равенства, после неко-
93
торых преобразований придем к соотношениям, связываю щим функции a*(s) и or*(л):
juos(s + 2)( J - 3)(J - 5) 0 ) + о ; ( S ) = -2 s(s + 2)ц\(5 ) ,
JUJ(S+ 2)(s - 3)(s - 5)[a* (5) - (1 - ae0)a*(s)] + (1 - эео )Ф*30 ) = 0,
(2.8.21)
0;(5) = 5(5 + 2)tS1*(5) + j(5 + 2)(5 -l)<S5*(5) + 2(5 -2)^(5),
® 3(*) = (j- 3 )[2 (j + 2)5,3*(s) + (s + 2 )^ (s )+ 2 (j-2 )5 j(s )].
(2.8.22)
Здесь S*(s) - по-прежнему преобразования Меллина ска
лярных коэффициентов S,(r) в разложении (2.8.16). Эти ко эффициенты находятся в результате подстановки (2.8.20) в (2.8.16)
S^=2nx[(3+D)ax+ 2ai\, |
(2.8.23) |
S2= А,[(3 +D)a2+ (5+ £))а3] + 2//1(а 2+ аг- а ,),
8Ъ= A](5+D)Dai+2{ixD(a3- a ,), S4- 2 ^ D (a 2 + аъ- а 4),
S5=2MlD[(\+D)a] + 4a}l S6= 2MiD (D -2)(a3--а ,).
Равенство коэффициентов при Т2 дает соотношение, ана
логичное (2.8.21), в которое входит |
а2. Однако вместо а2 |
удобнее рассматривать функцию |
|
Д г) = За2(г) + (5+£>)а3(г). |
(2.8.24) |
Уравнение для этой функции может быть получено следу ющим образом. Если умножить обе стороны (2.8.17) на тензор
Е2 справа и учесть равенства
АЕ2 =(Е 2 +E AD)0, С]АЕ2 =S7E2 +SSE\
S1=Ai(3 + D)P+ 2/V?, Ss = 2//,£>Д |
(2.8.25) |
то получается соотношение, в которое входит только функция m
MX S - 3)Д (s) - (1 - as.)ф ; (S) = (1 —з£о)л[ЗА* (5) + 2rf(s)],
ф ;(5) = sS7*(s) + (s -2 )S 8*(s). |
(2.8.26) |
94
Переходя в выражениях (2.8.21) и (2.8.26) к Г - представ лениям, то есть заменяя преобразования Меллина функций
ах,а г,(3 и St их оригиналами, а параметр (—S) - дифферен
циальным оператором D (2.8.19), получим три дифференци альных уравнения, которым удовлетворяют искомые функции
<*&)>(*&)*№)•
Пусть Хх(г),цх(г) - финитные функции с кусочно непре
рывными вторыми производными и dXx/ dr = dfxx/ dr = 0 при
г —0. Тогда из (2.8.21) получим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относи
тельно функций ах(г) и аг(г), а из (2.8.26) - уравнение вто
рого порядка для Р(г), правые части и коэффициенты кото рых - кусочно непрерывные функции г . Решение этих урав нений должно быть ограниченным всюду и удовлетворять условиям
Dax=D2at = 0, |
/ = 1,3, Dp = 0 при |
г = 0 |
ах, аъ, /? -»0 |
при г —»оо. |
(2.8.27) |
Первая группа этих условий выполняется в силу непре рывности функции Л(г,п) при г = О, а вторая - вследствие
стремления Л(г,п) к нулю на бесконечности.
Перейдем теперь к построению решения термоупругой за дачи для среды со сферически симметричной неоднород ностью. Будем считать, что поле температуры Т однородно, причем при Т - 0 среда свободна от внутренних напряжений. Если Т * 0, то в среде возникают температурные напряжения
о(х), распределение которых описывается уравнением (2.1.17) при а (х) - 0:
а(х) - J S(x - х’)Вх(x ')o(x ')i& ' =J S{x - x')a{x')dx’ Т.
(2.8.28)
Здесь а(х) - коэффициент линейного расширения среды,
который, как и тензор модулей упругости С(х), является функцией расстояния г до центра сферического включения.
95
Введем тензоры упругой деформации £е(х), полной де
формации £(х) и тензор возмущения деформации £1Г(х), связанного с наличием неоднородности
ее(х) = С 1(х)ст(х), £(х) = е*(х) + а(х)Ту
е'т(х )= е (х ) - а 0Т.
Здесь а - коэффициент линейного температурного рас
ширения среды. Очевидно, что £1Г(х) стремится к нулю при
X —» 00.
Из (2.8.28) с помощью алгебраических преобразований можно получить уравнение, которому удовлетворяют функции
£irO)+J K (x -x ,)Cl(x,)t?T(x')dx,=f К (x - x ^ C W c tix 'W T ,
(2.8.30)
где а] (х)= а(х)-а° - финитная функция |х|. При выводе
этого уравнения предполагалось, что деформация среды не стеснена на бесконечности, поэтому с учетом (1.2.17) имеет место равенство
(2.8.31)
В дальнейшем будем считать, что Т = 1. Поэтому получен ные ниже выражения для тензоров напряжений и деформа ций в среде следует домножить на значение температуры Г.
Для изотропных среды и включения тензоры С(х) и ос(х) имеют ввд
С(х) = Л(г)Е2+2р(г)Е\ a^(r) = a(r)Safi. (2.8.32)
Осуществим преобразование Меллина обеих сторон урав нения (2.8.30). В силу (2.8.5), (2.8.6) получим
£*1Г(s,«) + К, (С 1i г )*(s, п) = Ks (Са1)*(5,«>.(2.8.33) Правая часть этого равенства вследствие формул (2.8.13)
представляется следующим образом
96
С ^ (* )а ^ (ж ) = r(r)Safi, |
(2.8.34) |
y{r) = 2k(r)ax(r), к(г) = Л(г)+^ц(г), ax{r) = a(r)- a°,
К ,( С а ') > ,и ) = , . Г^ Н ° ? |
M * » ) = |
(2.8.35)
где X*(J) _ преобразование Меллина функции ^(/*).
Из (2.8.13) следует, что действие оператора Ki на диаду
п®п имеет вид
К s(n®n) = |
(s-2)/?(s,ft) |
(2.8.36) |
(А.+2//>(3-5)
Соотношения (2.8.35) и (2.8.36) указывают на то, что реше ние уравнения (2.8.33) можно искать в форме
e'T'(s,n) = J?T(s)h(s,n), |
(2.8.37) |
где (Тт(5) - преобразование Меллина скалярной функции
Рт(г). Переходя в последнем соотношении к Г - |
представле |
нию, для е'т(г,п) получим выражение |
|
£afi(r,п) = (S^ +nanpD)PT{г). |
(2.8.38) |
Отсюда следует, что произведение С 1£П в (2.8.33) имеет
вид
Сф*(Г)*%,(Г>П) = S A r)Sap+S2A r)nanf>> (2.8.39)
SXT(г) = [3кх(г) + Л, (г)D]fiT (г), к, (г) = к(г) - ко,
S2T(r) = 2nx(r)DpT(r), ка=Ля+%р0.
Подставляя (2.8.37) и (2.8.39) в (2.8.33), с учетом соотно шений (2.8.35) и (2.8.36) придем к равенству, левая и правая
части которого пропорциональны тензору h(s,n). Прирав нивая коэффициенты при этом тензоре, получим
97
(Ae+2//e)(3 -5 )^ (j)+ [5 ;r( 5 ) - ^ ^ r (j)]=y*(j). (2.8.40) Домножив обе части этого соотношения на S и переходя
к Г - представлению, получим дифференциальное уравнение
для функции Рт{г)
(Л + 2 / 0 ( 3 -L(D)fiT= Dy, |
8 |
L(D) = D(3kl +XlD) + 2(2+D)^D. |
' ' |
Из (2.8.38) и свойств тензоров е'т(г,п) следует, что функ
ция рт(г) должна быть ограничена при г = 0 и стремиться к нулю при г —>оо. При этих условиях решение уравнения (2.8.41) определяется однозначно. После того, как это реше ние известно, из (2.8.29) и (2.8.38) можно вычислить темпера турные напряжения и деформации в среде со сферически симметричной неоднородностью.
§ 2.9. Сферическое слоистое включение
Пусть модули упругости и коэффициенты линейного рас ширения включения - кусочно постоянные функции Гс раз
рывами в точках г =at ,i = \,2...,N,0 <ах<а2 <...<aN. В этом
случае включение состоит из ядра и (N —1)-го сферического слоя с постоянными термоупругими характеристиками.
Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции ах,а г,Р и Рт, определяющие решения упругой и термоупругой задач, в областях, где термоупругие характерис тики постоянны, упрощаются и принимают вид
D{D - 2){D + 3)(Z) + 5)а; = 0, j =1,3, |
(2.9.1) |
D(D + 3)P=0, D(D + 3)PT= 0.
Эти уравнения следуют из общих формул (2.8.21)-(2.8.26) и (2.8.41) . Их общие решения в интервалах а ._ ,< г< а (,
/= 1,2,..., N +1; а =0, aw+1 = оо представляются в форме
а, (г) = У‘+ УУ+ У‘Г 3+ У у 5, аъ {г) = У‘+ У'г2+ У у Ч У‘Г 5,
98
где Y‘- некоторые постоянные. Таким образом, внутри каждо
го слоя решение рассматриваемой задачи определяется с точ ностью до двенадцати постоянных.
Рассмотрим поведение функций ах,а г,/3 и (5Т на границе слоев. Из непрерывности вектора перемещений в неоднород ной среде следует отсутствие сингулярных составляющих у
тензоров е(г,п),А(г,п) и ехт(г,п). Отсюда и из выражений
(2.8.20) и (2.8.38) для А(г,п) ие'т(г,п) видно, что функции /?
и /Зтдолжны быть непрерывны, а, и а, - непрерывны вмес те с первой производной.
Пусть <р(г)~ кусочно-постоянная функция с разрывами в
точках г = at, i = \,2,...,N и равная нулю при r>aN. Ее пре образование Меллина (2.8.5) имеет вид
|
(2.9.3) |
где величина |
определяется соотношением |
№\ = <Р(а, + 0) - ф(а, - 0), |
(2.9.4) |
|
(p{at-± 0) = lim <р{ах, ± 5), 8 > 0. |
||
|
||
Для кусочно-постоянной функции //,(г) |
и непрерывной |
|
вместе с первой производной функции сс; (г), |
j = 1,3, путем |
интегрирования по частям можно показать справедливость равенств
|
N |
(M iD V j у ( S ) = |
[//, а]],< - 5 (//, а})* ( j ) , (2.9.5) |
=1
99
С учетом равенств (2.9.3) и (2.9.5) функция O ’ (s) в (2.8.22) принимает вид
« а д = 2 2 {(5 + 2 )(5 г -8 J + 9)[/,,«, 1 -4 (* + 2 )[Л а ,], - »=1
-(л 2 -3 ^ + 6)[//,Z>car,]. - 4(*у- 2)[//,Z>«3 ]. |
+ |
+5(5 + 2)(s - 3)(s - 5)(/*, а ,)’ (s) . |
(2.9.6) |
Непосредственным интегрированием можно показать, что
для функции а, (г) вида (2.9.2) справедливо равенство
s(s + 2)(s - 3)(s - 5)(//а, )*(s) = - ]Г {s3[//a, ]; - s[^(6 + D)а ,], +
1= 1
+^//(Z)2+ 6 £ )-l)a 1j - ^ ( D 3+6Z>2-Z )-30)a, j}a/. (2.9.7)
Подставляя (2.9.6) в первое из соотношений (2.8.21) и учитывая (2.9.7), придем к соотношению
S {* > .[« ,! - * 2я((Д+6)а,1 Ц Д в 2 +6D -l)a,] -
/ = 1
-[//, (7 а, - 3Dax+ 4а3 +4Z)ar3)]1) - [//(Z)3 + 6D2- £>- 30) а, ], +
+2[//i (4 а 3 - 4Da3 - 9а, + 3Da,)], = - 2 £ (2 + s )[/4 а / .
(2.9.8) Приравнивая множители при линейно независимых фун
кциях в левой и правой частях этого соотношения, придем к N равенствам, каждое из которых связывает два полинома. Коэффициенты при одинаковых степенях S у этих полиномов должны быть равны. Отсюда, после алгебраических преобра зований, получим следующую систему условий на скачки
функции ах(г) и ее производных в точках г = на границах слоев
100
|
[<*,!■= 0, [Da,\ = 0 , |
(2.9.9) |
[fjD2 ах\ = -2\ц\- 3 [//(2 + £ > )«,],- 4 [//(l + D )a 3\ , |
||
[ / ^ Ч ! = |
+ [//(48+ 25D )a ,]( +16[//(2 + £>)a 3]( . |
Тем же путем из второго соотношения (2.8.21) с использо ванием (2.8.26) можно получить аналогичные условия на скач
ки функций аг и /? и их производных
[ « 3], = 0, [Da3l = 0 , |
(2.9.10) |
[(Я+2//)£>2а 3 ],= - 2[ц\-({ц(\+D) а, ],-4[//а3 ] -[(5Я+6//)£>а3 ],, [(Я+2//)Я3а3],=16[//],+24[//(2+Z>)а, ](+32[//а3],+[(25Я+42//)/)а3]1,
[Д |
= 0, [(Л + 2 //)О Д = -[ЗЯ + 2 /4 - [(ЗЯ + 2/4/7],. |
|
И, наконец, для функции /7Г из (2.8.39) и (2.8.40) получим |
[ М |
= 0, [(ЗЯ + 2ц)Рт\ + [{X + 2jS)DpT\ = [у\ . (2.9.11) |
|
Из соотношений (2.9.9)-(2.9.11) и граничных условий для |
функций ах, аъ,Р и (Зтпри г = 0 и г —>оо можно найти все
произвольные постоянные У‘, входящие в выражения (2.9.2),
которые определяют вид этих функций внутри слоев. Обра тимся к построению алгоритма вычисления этих постоянных в общем случае.
Введем Я +1 двенадцатимерных вектора У, компонента
ми которых являются постоянные}", определяющие решение задачи на i -м интервале (в / -м слое) согласно (2.9.2), и N + 1 векторов X (г) с компонентами
Х[ = a , , |
Х ‘ = Dax, |
Х ‘3 = D2ax, |
X' = D3ax, |
|
Х \ - а г , Х ‘ = Da3, |
Х'7 = D2a3, |
Х[ = D3a3, (2.9.12) |
||
Х ‘ =Р, |
X ‘V =D(3, |
Х'п =р т , |
X \2= D P t , |
|
{aj = af(r), / = 1,3, р=/Хг), рт=pT(r), |
aM < r<at). |
|||
Из формул (2.9.2) следует, что векторы |
У и X' связаны |
|||
соотношениями |
|
|
|
|
X (г) = Н(г)У, У = Я '1(г)Х (г), |
(2.9.13) |