книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

на скорость v. Когда же таких зарядов в единице объема N

уравнения Максвелла с плотностями заряда и тока, определяе­ мыми поляризацией Р посредством уравнений (32.9) и (32.10). (Предполагается, что других зарядов и токов в веществе нет.) Затем мы свяжем Р с Е формулой (32.5) и будем разрешать их относительно Е и В, отыскивая при этом волновое решение.

Но прежде чем приступить к решению, мне бы хотелось сде­ лать одно замечание исторического характера. Первоначально Максвелл писал свои уравнения в форме, отличающейся от той, в которой они используются нами. И именно потому, что урав­ нения писались в другой форме в течение многих лет (да и сей­ час многими пишутся так), я постараюсь объяснить вам разницу. В те дни механизм диэлектрической проницаемости не был понятен с ясностью и полнотой. Не была ясна ни природа ато­ мов, ни существование поляризации в веществе. Поэтому тогда не понимали, что V-P дает дополнительный вклад в плотность заряда р. Были известны только заряды, не связанные в атомах (такие, как заряды, текущие по проводу или возникающие при трении).

Сегодня же мы предпочитаем обозначать через р полную

плотность зарядов, включая в нее и заряды, связанные с инди­ видуальными атомами. Если назвать эту часть зарядов рпоя, то можно написать

Р = Рпол4" Рдр»

где рдр— плотность зарядов, учтенная Максвеллом и относя­ щаяся к другим зарядам, не связанным с определенными ато­ мами. При этом мы бы написали

V-Е = Рпол + Рдр

Во

После подстановки рим из (32.9) получаем

или

62

В плотность тока, фигурирующую в уравнениях Максвелла для VXB, вообще говоря, тоже вносится вклад от связанных атомных электронных токов. Поэтому мы можем написать

J — ]лол+ jдр»

Эго и есть та форма уравнений, которую использовал Максвелл для диэлектриков. А вот и остальные два уравнения:

дВ

V x E = - dt

И

V-B = 0,

которые в точности совпадают с нашими.

Перед Максвеллом и другими учеными того времени вставала проблема магнетиков (за них мы вскоре примемся). Они ничего не знали о циркулирующих токах, ответственных за атомный магнетизм, и поэтому в плотности тока утеряли еще одну часть.

где Н отличается от е0с*В, так как последнее учитывает эффекты

атомных токов. (При этом j' представляет то, что осталось от то­ ков.) Таким образом, у Максвелла было четыре полевых век­

тора: Е, D, В и Н, причем в D и Н скрывалось то, на что он не обратил внимания,— процессы, происходящие внутри вещества. Уравнения, написанные в таком виде, вы встретите во многих местах.

БЗ

Чтобы решить их, необходимо как-то связать D и Н с другими полями, поэтому зачастую писали

Однако эти связи верны лишь приближенно для некоторых ве­ ществ, и то лишь когда поля не изменяются слишком быстро со временем. (Для синусоидально изменяющихся полей зачастую можно писать уравнения таким способом, считая при этом е

и р комплексными функциями частоты, но для произвольных изменений поля со временем это неверно.) На какие только ухищрения не пускаются ученые, чтобы решить уравнения! А мне кажется, что правильнее всего оставить уравнения запи­ санными через фундаментальные величины, как мы понимаем их теперь, т. е. как раз то, что мы и проделали.

§ 3. Волны в диэлектрике

Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электромаг­ нитные волны могут существовать в диэлектрическом веществе, где других зарядов, кроме тех, что связаны в атомах, нет. Таким

образом, мы возьмем р = —V-P и j = ^ . При этом уравнения

Максвелла примут такой вид:

Мы можем решить эти уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операции ротора:

Vx(VxE) = —A V X B.

Используя затем векторное тождество

V x ( V x E ) = V ( V . E ) - v 2E

в подставляя выражение для VXB из (32.196), получаем

Используя уравнение (32.19а) для V- Е, находим

Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь полу­ чили, что даламбертиан Е равен двум членам, содержащим по­ ляризацию Р.

84

Однако Р зависит от Е, поэтому уравнение (32.20) все еще

допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропными диэлектриками, т. е. Р всегда будет иметь то же

направление, что и Е. Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси г. Электрическое поле при этом

будет изменяться как ег(Ш,"*г>. Предположим также, что волна поляризована в направлении оси х, т. е. что электрическое поле

имеет только ^-компоненту. Все это записывается следующим образом:

Вы знаете, что любая функция от (г—vt) представляет волну,

бегущую со скоростью о. Показатель экспоненты в выраже­ нии (32.21) можно переписать в виде

так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая скорость которой равна

_со ^Фаз £ •

В гл. 31 (вып. 3) показатель преломления п определялся нами

из формулы

с

^ФаЗ *

С учетом этой формулы (32.21) приобретает вид

Ех= Е0е'1<*«-п*'сК

Таким образом, показатель п можно определить, если мы най­ дем ту величину k, которая необходима, чтобы выражение (32.21)

удовлетворяло соответствующим уравнениям пола* и затем воспользуемся соотношением

В изотропном материале поляризация будет иметь только х-

компоненту; кроме того, Р не изменяется с изменением коорди­ наты х, поэтому у • Р=«0 и мы сразу же избавляемся от первого

члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем

наш диэлектрик «линейным», поэтому Рх будет изменяться как еш и д*рх/д&——(о3Р х. Лапласиан же в уравнении (32.20)

превращается просто в д?Ех/дг?——№Ех, так что в результате получаем

(32.23)

Теперь на минуту предположим, что раз Е изменяется си­ нусоидально, то Р можно считать пропорциональной Е, как

55

в уравнении (32.5). (Позднее мы вернемся к этому предположе­ нию и обсудим его.) Таким образом, пишем

Р х = E 0N OC.E x .

При этом Ех выпадает из уравнения (32.23), и мы находим

Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом к,

задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравне­ ниям поля. Использование же выражения (32.22) для показа­ теля п дает

Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для пока­ зателя преломления газа (гл. 31, вып. 3). Там мы нашли уравне­ ние (31.19), которое тогда имело вид

Что здесь нового? Во-первых, появился новый член ty®, возникший в результате учета поглощения энергии в осцилля­ торах. Во-вторых, слева вместо п теперь стоит л? и, кроме того,

отсутствует дополнительный множитель V*.. Но заметьте, что если значение N достаточно мало, так что л близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит, что п*-

равен единице плюс некое малое число, т. е. п2= 1 + е . При этом

условии мы можем написать, что л = ]/Т + Б « 1 + е /2 , и оба выра­ жения оказываются эквивалентными. Таким образом, наш но­ вый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат.

Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Вопервых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поля­ ризованное поле, действующее на каждый из атомов,— это поле Ех. Однако такое предположение неверно, поскольку в плот­

ном материале существуют и другие поля, создаваемые сосед­ ними атомами, которые могут быть сравнимы с Ех. Аналогич­

ную задачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл. 11, вып. 5). Вы, вероятно^ помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом, представив

56

его сидящим в сферической полости в окружающем диэлект­ рике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным) увели­

чивается по сравнению со средним полем Е на величину Р/Зе0. (Не забудьте, однако, что этот результат, строго говоря, справед­ лив только для изотропного материала, а также в случае куби­ ческого кристалла.)

Те же рассуждения верны н для электрического поля в волне, но до тех пор, пока длина ее много больше расстояния между

Иными словами, Р для плотного материала все еще пропорцио­

нальна Е (для синусоидального поля). Однако константа про­ порциональности будет уже e0Na/[ 1—(Мх/З)], а не е0Мх, как

раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25):

который алгебраически эквивалентен прежнему. Это и есть известная формула Клаузиуса — Моссотти.

В плотном материале возникает и другое усложнение. По­ скольку атомы расположены слишком тесно, они сильно взаимо­ действуют друг с другом. Поэтому внутренние гармоники осцил­ ляций изменяются. Собственные частоты атомных осцилляций размазываются этими взаимодействиями и обычно весьма сильно подавляются ими, а коэффициент трения становится очень боль­ шим. Таким образом, все <о0 и у твердого вещества будут дру­ гими, чем для свободных атомов. С этой оговоркой мы все-таки можем представлять а, по крайней мере приближенно, уравне­

57

Наконец, последнее усложнение. Если плотный материал представляет собой смесь нескольких компонент, то каждая из них дает свой вклад в поляризацию. Полная а будет суммой вкладов различных компонент смеси [за исключением неточности приближения локального поля в упорядоченных кристаллах, т. е. выражения (32.28) — эффекты, которые мы обсуждали при разборе сегнетоэлектриков]. Обозначая через N] число атомов

каждой компоненты в единице объема, мы должны заменить фор­ мулу (32.32) следующей:

где каждая aj будет определяться выражением типа (32.7).

Выражение (32.34) завершает нашу теорию показателя прелом­ ления. Величина 3 (л?— 1)/(я?+ 2 ) задается комплексной функ­ цией частоты, каковой является средняя атомная поляризуе­ мость а (о). Точное вычисление а (о) (т. е. нахождение / й, у* и (i)ofe) для плотного вещества — одна из труднейших задач квантовой механики. Это было сделано только для нескольких особенно простых веществ.

§ 4. Комплексный показатель преломления

Обсудим теперь следствия нашего результата (32.33). Прежде всего обратите внимание на то, что а — комплексное число, так что показатель преломления п тоже оказывается комплекс­ ным. Что это означает? Давайте возьмем и запишем п в виде ве­

щественной и мнимой частей:

где tiR и П/-— вещественные функции to. Мы написали ш7 с от­ рицательным знаком, так что пг для обычных оптических мате­

риалов будет положительной величиной. (Для обычных опти­ чески неактивных материалов, которые не служат сами источ­ никами света, как это происходит у лазеров, у — положитель­ ное число, а это делает мнимую часть п отрицательной.) Наша плоская волна запишется теперь через п следующим образом:

Если представить п в виде выражения (32.35), то мы получим

Множитель elu>{t~nRm представляет просто волну, бегущую со

58

Ф и г , 32.1, График поля Е х

внекоторый момент t при

п/»лд/2л.

скоростью сЫр, т. е. пц бу­

дет как раз то, что мы обычно считаем показате­

лем преломления. Но ам­ плитуда этой волны равна

Е^ а‘г,с,

ис увеличением z она экспоненциально убывает. График напря­ женности электрического поля как функции от г в некоторый момент времени и для п,тпр/2п показан на фиг. 32.1. Мнимая

часть показателя преломления из-за потерь энергии в атомных осцилляторах приводит к ослаблению волны. Интенсивность

волны пропорциональна квадрату амплитуды, так что

Интенсивность g~ 2шл/г',с,

Часто это записывается как

Интенсивность ^ е~$г,

где р = 2 (£>ntlc — коэффициент поглощения. Таким образом,

в уравнении (32.33) содержится не только теория показателя преломления вещества, но и теория поглощения им света.

В тех материалах, которые мы обычно считаем прозрачными, величина с/апг, имеющая размерность длины, оказывается

гораздо больше толщины материала.

§5. Показатель преломления смеси

Внашей теории показателя преломления имеется еще одно предсказание, которое можно проверить экспериментально. Предположим, что мы рассматриваем смесь двух материалов. Показатель преломления смеси не будет средним двух показа­

телей, а определяется через сумму двух поляризуемостей, как в уравнении (32.34). Если, скажем, мы интересуемся показателем преломления раствора сахара, то полная поляризуемость будет суммой поляризуемостей воды и сахара. Но каждая из них, разу­ меется, должна подсчитываться исходя из данных о числе моле­

59

кул N данного сорта в единице объема. Другими словами, если в данном растворе содержится Ni молекул воды, поляризуемость которой а*, и Nt молекул сахарозы (CiaH aaOu), поляризуемость

которой а а, то мы должны получить

= + (32'37)

Этой формулой можно воспользоваться для экспериментальной проверки нашей теории — измерения показателя для различ­ ных концентраций сахарозы в воде. Однако здесь мы должны сделать несколько допущений. Наша формула предполагает, что при растворении сахарозы никакой химической реакции не происходит и что возмущение индивидуальных осцилляторов при различных частотах отличается не слишком сильно. Поэ­ тому наш результат, безусловно, будет только приближенным. Тем не менее давайте посмотрим, насколько он хорош.

и переходит в раствор без ионизации и других изменений хими­ ческого состояния.

В первых трех столбцах табл. 32.2 приведены данные из

а в столбце С даны измерения показателя преломления света с длиной волны 589,3 ммк. В качестве показателя чистого сахара

мы взяли результаты измерений для кристалла сахара. Эти кристаллы не изотропны, так что показатель преломления в раз­ ных направлениях различен. Справочник дает три величины:

nf = 1,5376, nt = 1,5651, п9 = 1,5705.

Мы взяли среднее.

Попытаемся теперь подсчитать п для каждой концентрации, но мы не знаем, какие нужно взять значения at и а а. Проверим

теорию таким способом: будем предполагать, что поляризуемость воды (ах) при всех концентрациях одна и та же, и подсчитаем поляризуемость сахарозы, используя экспериментальную ве­

Прежде всего нам нужно знать числа Ni и JVa; выразим их через число Авогадро Ne, В качестве нашей единицы объема давайте возьмем один литр (1000 сж3). Тогда отношение NjNe

* Взяты из справочника «Handbook of Physics and Chemistry»,

60