книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

угольную грань, равна

AFxi= SxxAyAz.

Сумма этих двух сил должна быть равна „v-компоненте силы, действующей извне на грань N. Обозначим через п единичный вектор нормали к грани N, а через AFn— действующую на нее

силу, тогда получим

AFxn = $хх AyAz+Sxy Ах Аг.

Составляющая напряжения по оси JC(Sx„), действующего в этой плоскости, равна силе AFxn, деленной на площадь, т. е. АгУ Ах*+Ауг, или

*" ** Уь*+тр ^ ху УШ+ЩГ*

Но, как видно из фиг. 31.8, отношение АхГУДд^+Дг/1— это косинус угла 0 между п и осью у и может быть записан как пи, т. е. ^-компонента вектора п. Аналогично, Ay!\fАх*+Ау2 равно sin 0 = л х. Поэтому мы можем написать

SXn= Sxxtix+ SXytiy.

Если теперь обобщить это на произвольный элемент поверхности, то мы получим

Так что мы действительно можем выразить силу, действующую на произвольную площадь, через элементы Stj и полностью

описать внутреннее напряжение.

с Е. Но поскольку п и Sn— векторы, то компоненты Stj при

изменении осей координат должны преобразовываться как тен­ зор. Так что Stj действительно тензор.

на маленький кубик в материале. Возьмем кубик, грани которого

х и у9должны быть такими, как показано на рисунке. Если взять

достаточно маленький кубик, можно надеяться, что напряжение на его противоположных гранях будет отличаться ненамного, а поэтому компоненты сил должны быть равны и противоположны,

41

Ф и г. 31.9. х - и у-компоненты сил, дейст­ вующих на четыре грани маленького единич­ ного кубика.

как это показано на рисунке. За­ метьте теперь, что на кубик не должен действовать никакой момент сил, ина­ че кубик начал бы вращаться. Но пол­ ный момент относительно центра ра­ вен произведению (Svx—Sxy) на еди­

ничную длину ребра куба,а посколь­ ку полный момент равен нулю, то Syx должно быть равно Sxy, и тен­

зор напряжений, таким образом, оказывается симметричным. Благодаря этой симметрии тензора S tj его можно тоже опи­

сывать эллипсоидом с тремя главными осями. Напряжение имеет особенно простой вид на площадках, нормальных к этим осям: оно соответствует чистому сжатию или растяжению в на­ правлении главных осей. Вдоль этих площадок нет никаких сдвиговых сил, причем такие оси, для которых отсутствуют сдвиговые силы, можно выбрать для любого напряжения. Если эллипсоид превращается в сферу, то в любом направлении дейст­

вуют только нормальные силы. Эго соответствует гидростати­ ческому давлению (положительному или отрицательному). Таким образом, для гидростатического давления тензор диагоналей, причем все три компоненты его равны друг другу (фактически они просто равны давлению р). В этом случае мы можем напи­

сать

Вообще говоря, тензор напряжений в куске твердого тела, а также его эллипсоид изменяются от точки к точке, поэтому для описания всего куска мы должны задать каждую компо­ ненту Sif как функцию положения. Тензор напряжений, таким образом, является полем. Мы уже имели примеры скалярных полей, подобных температуре Т(х, у, г), и векторных полей,

подобных Е(дг, у, г), которые в каждой точке задавались тремя числами. А теперь перед нами пример тензорного поля, задавае­

мого в каждой точке пространства девятью числами, из кото­ рых д л я симметричного тензора Stj реально остается только

шесть. Полное описание внутренних сил в произвольном твер­ дом теле требует знания шести функций координат х, у и г.

42

§ 7. Тензоры высших рангов

Тензор напряжений Зц описывает внутренние силы в ве­ ществе. Если при этом материал упругий, то внутренние дефор­

мации удобно описывать с помощью другого тензора Тц— так называемого тензора деформаций. Для простого объекта, по­ добного бруску из металла, изменение длины AL, как вы знаете,

приблизительно пропорционально силе, т. е. он подчиняется

закону Гука

AL = yF.

Для произвольных деформаций упругого твердого тела тензор деформаций Т1} связан с тензором напряжений Su системой

линейных уравнений

Вы знаете также, что потенциальная энергия пружины (или бруска) равна

4 - л и . - 4 тр .

а обобщением плотности упругой энергии для твердого тела

будет выражение

(31.27)

цы

Полное описание упругих свойств кристалла должно задаваться

коэффициентами уцм. Эт° знакомит нас с новым «зверем»— тен­ зором четвертого ранга. Поскольку каждый из индексов может

принимать одно из трех значений — х, у или г, то всего оказы­ вается 34=81 коэффициент. Но различны из них на самом деле

только 21. Во-первых, поскольку тензор Siу симметричен, у него

остается только шесть различных величин, и поэтому в уравне­ нии (31.27) нужны только 36 различных коэффициентов. Затем,

не изменяя энергии, мы можем переставить Su и S A(, так что Уим должно быть симметрично при перестановке пары индек­ сов ij и Ы. Это уменьшает число коэффициентов до 21. Итак,

чтобы описать упругие свойства кристалла низшей возможной симметрии, требуется 21 упругая постоянная! Разумеется, для кристаллов с более высокой симметрией число необходимых постоянных уменьшается. Так, кубический кристалл описывается всего тремя упругими постоянными, а для изотропного вещества хватит и двух.

В справедливости последнего утверждения можно убедиться следующим образом. В случае изотропного материала компо­

ненты уцм не должны зависеть от поворота осей. Как это мо­ жет быть? Ответ: они могут быть независимы, только когда

выражаются через тензоры бц. Но существует лишь два возмож-

43

пых выражения, имеющих требуемую симметрию,— это

и 6jfeS;t+ 6a 6jh, так что Yijiti должно быть их линейной комбина­

цией. Таким образом, для изотропного материала

tijki ~ а (5,у бА;) -f b (б/Аб/t -|- 6и д/А);

следовательно, чтобы описать упругие свойства материала, тре­ буются две постоянные: а и Ь. Я предоставляю вам самим дока­

зать, что для кубического кристалла требуются три такие по­ стоянные.

И еще один последний пример (на этот раз пример тензора третьего ранга) дает нам пьезоэлектрический эффект. При на­ пряженном состоянии в кристалле возникает электрическое поле, пропорциональное тензору напряжений. Общий закон пропорциональности имеет вид

=2 W /• ft

где £ (— электрическое поле, a Pi}h— пьезоэлектрические коэф­

фициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены х, у, г-+■—х, —у, —г),

то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.

§8. Четырехмерный тензор электромагнитного импульса

Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном про­ странстве-времени: это был тензор электромагнитного поля F^v. Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, прав­ да, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Ло­ ренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «простран­ стве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия

стем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)

Вкачестве последнего примера мы хотим рассмотреть дру­ гой тензор в четырех измерениях (t, х, у, г) теории относитель­

ности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то опреде­ ляли Si) как компоненту силы, действующую на единичную

площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить <tSxy— это х-

компонента силы, действующей на единичную площадку, пер­

пендикулярную оси уп, мы с равным правом могли бы сказать; * S X y— это скорость потока х-компоненты импульса через еди-

44

ничную площадку, перпендикулярную оси у». Другими словами,

каждый член S,-/ представляет поток t'-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси /. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большого» тензора S^v в четырехмер­ ном пространстве (р. и v = f, х, у, г), содержащего еще дополни­ тельные компоненты Stx, Sut, Su и т. п. Попытаемся теперь вы­

яснить физический смысл этих дополнительных компонент. Нам известно, что пространственные компоненты представ­

ляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «по­

току» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную

площадь, перпендикулярную потоку), является пространствен­ ным вектором — вектором плотности тока j . Мы видели, что

временная компонента вектора потока — это плотность теку­ щего вещества. Например, j можно скомбинировать с плот­ ностью заряда jt=р и получить четырехвектор /д=(р, j), т. е. значок (1 у вектора /д принимает четыре значения: t, х, у, г.

Эго означает «плотность», «скорость потока в ^-направлении», «скорость потока в (/-направлении» и «скорость потока в г-на- правлении» скалярного заряда.

Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной ком­ поненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе с Sxx, Sxv и Sxz, описывающими поток ^-компоненты импульса, должна быть и временная компонента Sxl, которая по идее должна бы описывать плотность того, что течет, т. е. Sxt должна

быть плотностью ^-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него {-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:

Sxt — плотность ^-компоненты импульса,

&ХХ— поток х-комлоненты импульса в направлении оси х, поток х-компоненты импульса в направлении оси у, поток х-компоненты импульса в направлении оси z.

Аналогичная вещь происходит и с //-компонентой; у нас есть три компоненты потока: S yx, Syv и Syz, к которым нужно

добавить четвертый член:

Svt — плотность у-компоненты импульса,

а к трем компонентам Szxt Szy и Szz мы добавляем

Szt — плотность z-компоненты импульса»

Вчетырехмерном пространстве у импульса существует также

и/-компонента, которой, как мы знаем, является энергия. Так что тензор Stj следует продолжить по вертикали с включением

45

в него Stx, Siv и S fx, причем

т. е. Six— это поток энергии в единицу времени через поверх­ ность единичной площади, перпендикулярную оси х, и т. д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина Stt, которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили

наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного тензора энергии-импульса SMV. Индекс v может принимать четыре зна­

чения: t, х, у и г, которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси х», «поток через единич­ ную площадь в направлении оси у» и «поток через единичную

площадь в направлении оси г». Значок р тоже принимает четыре значения: t, х, у, z, которые говорят нам, чтд же именно течет:

«энергия», «х-компонента импульса», ««/-компонента импульса» или же «z-компонента импульса».

Вкачестве примера рассмотрим этот тензор не в веществе,

ав пустом пространстве с электромагнитным полем. Вы знаете,

что поток энергии электромагнитного поля описывается век­ тором Пойнтинга S = e 0csE x B . Так что х-, у- и z-компоненты век­

тора S с релятивистской точки зрения являются компонентами Stx, Sty и нашего тензора энергии-импульса. Симметрия тен­

зора Sij переносится и на временные компоненты, так что че­

тырехмерный тензор SMV тоже симметричен:

Другими словами, компоненты Sxt, Syt, S zt, которые представ­ ляют плотности х-, у- и z-компонент импульса, равны также

х-, у- и z-компонентам вектора Пойнтинга S, или, как мы видели раньше из других соображений, вектора потока энергии.

Оставшиеся компоненты тензора электромагнитного напря­ жения Syv тоже можно выразить через электрическое и магнит­

ное поля Е и В. Иначе говоря, для электромагнитного поля в пустом пространстве мы должны допустить существование тензора напряжений, или, выражаясь менее таинственно, по­ тока импульса электромагнитного поля. Мы уже обсуждали это в гл. 27 (вып. 6) в связи с уравнением (27.21), но тогда мы не входили в детали.

Тем из вас, кто хочет испытать свою удаль на четырехмер­ ных тензорах, может понравиться выражение для тензора через поля:

46

света, ну и, разумеется, его поглощение плот- §4 комплексный

но тогда наши знания математики были весьма ограничены и мы остановились только на по- §5. Показатель

преломления, мы там все же выяснили. Электри- s *в°^"“алла1 ческое поле световой волны поляризует мо­ лекулы газа, создавая тем самым осцилли- §7> рующие дипольные моменты, а ускорение ос­ циллирующих зарядов приводит к излучению новых волн поля. Это новое поле, интерфери­ руя со старым, изменяет его. Изменение поля эквивалентно тому, что происходит сдвиг фазы первоначальной волны. Из-за того что сдвиг

менению фазовой скорости света в материале. Прежде, когда рассматривалось это явление, мы пренебрегали усложнениями, возникающими от таких эффектов, как действие новой изме­ ненной волны на поле осциллирующего диполя. Мы предполагали, что . силы, действующие на заряды атомов, определяются только падающей

волной, тогда как на самом деле на осциллятор действует не только падающая волна, но и волны, излученные другими атомами. В то время нам еще было трудно учесть этот эффект, поэтому мы изучали только разреженные газы, где его можно считать несущественным.

48

шается совсем просто. Конечно, дифференциальные уравнения затуманивают физическую причину возникновения преломления (как результата интерференции вновь излученных волн с перво­ начальными), но зато они упрощают теорию плотного материала. В этой главе сойдется вместе многое из того, что мы делали уже раньше. Практически мы уже получили все, что нам по­ требуется, так что по-настоящему новых идей в этой главе будет сравнительно немного. Поскольку вам может понадобиться освежить в памяти то, с чем мы здесь столкнемся, то в табл. 32.1 приводится список уравнений, которые я собираюсь использо­ вать вместе со ссылкой на те места, где их можно найти. Во мно­ гих случаях из-за нехватки времени я не смогу снова останав­ ливаться па физических аргументах, а сразу же буду браться за уравнения.

Начну с напоминания о механизме преломления в газе. Мы предполагаем, что в единице объема газа находится N частиц

и каждая из них ведет себя как гармонический осциллятор. Мы пользуемся моделью атома или молекулы, к которой элект­ рон привязан силой, пропорциональной его перемещению (как

будто он удерживается пружинкой). Отметим, что такая модель атома с классической точки зрения незаконна, однако позднее

будет показано, что правильная квантовомеханическая теория дает (в простейших случаях) эквивалентный результат. В наших прежних рассмотрениях мы не учитывали «тормозящей» силы в атомном осцилляторе, а сейчас это будет сделано. Такая сила соответствует сопротивлению при движении, т. е. она пропор­ циональна скорости электрона. Уравнением движения при этом

49

будет

где х — перемещение, параллельное направлению поля Е. (Осциллятор предполагается изотропным, т. е. восстанавливаю­

щая сила одинакова во всех направлениях. Кроме того, на время мы ограничимся линейно поляризованной волной, так что поле Е не меняет своего направления.) Если действующее на атом электрическое поле изменяется со временем синусоидально, то

мы пишем

(32.2)

С той же самой частотой будет осциллировать и перемещение,

поэтому можно считать

х = х 0еш .

Подставляя x—imс и х= — <й2х, можно выразить х через Е:

—а* + «у©+о)о

Азная перемещение, можно вычислить ускорение х и найти от­

ветственную за преломление излученную волну. Именно таким способом в гл. 31 (вып. 3) мы подсчитывали показатель прелом­ ления.

Теперь же мы пойдем другим путем. Индуцированный ди­ польный момент атома р равен qex, или в силу уравнения (32.3)

Подобный же ответ для движения электронов в атоме дает и квантовая механика, но с учетом следующих особенностей. У атомов есть несколько собственных частот, каждая из которых имеет свою диссипативную постоянную у. Кроме того, каждая

*Всюду в этой главе мы будем пользоваться обозначениями, принятыми

вгл. 31 (вып. 3); пусть а — атомная поляризуемость, как это определено здесь.

Впредыдущей главе мы пользовались буквой а для обозначения объемной поляризуемости, т. е. отношения Р к Е> Но в обозначениях этой, главы Р== =N<XZQE [см. выражение (32.8)].

50