книги / Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 1
.pdfупругости и коэффициенты Пуассона во всех направлениях одинаковы, будем'иметь следующие зависимости между деформациями и напряжениями в условиях объем ного напряженного состояния, которые выражает обобщенный закон Гука:
ei — |
£ |
1°1 — М1(°2 *Ь ^з)! = |
£ [(I "Ь Ц) ° i — Зро0]; |
|||
|
|
|
|
|
|
(1.145) |
е2 = |
4 “ |
~ |
P (e» + |
0 i)l * |
"g" Ю + |
14) ста — 3|XCT0J; |
е3 = |
"g- 10 з — |
Ц fa i + |
ü a)l = |
-}r 1 0 + |
H) <*з — 3 |ia 0]. |
, ^ Выражения (1.145) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направле ниям, поскольку при малых деформациях влияние сдвига на линейную деформацию представляют величину второго порядка малости, т. е.
|
е* = |
- g - [а* — Ц(оу + |
а*)1, |
yXff= ^ ~ \ |
(1.146) |
||||||
|
ev = |
-g - [ау — р, (oz + огх)], |
уиг = |
т„ |
|
|
|||||
|
G |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®z — |
|
1 |
I1 (а * — Gy)\t |
Yzx = |
т.гх |
|
|
|||
|
|
£ l°z |
G |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая систему уравнений |
(1.146) относительно компонентов напряжений, |
по |
||||||||
лучаем выражения напряжений через деформации |
|
|
|
||||||||
|
jx — 2G ^ех -f- |
j |
2ц jA* |
Хху = |
GVxy’ |
(U 47) |
|||||
|
аУ = |
20 (8» + |
1 — 2ц |
А) * |
Xyz |
GyyZ% |
|||||
|
oz = |
2G (ег + |
- ^ |
Г |
À) , |
тгх = |
Gy. |
|
|
||
где |
G = E/2 (1 — p) — модуль упругости |
второго рода А = °х 1 |
^ -g2 |
= |
|||||||
= |
Or - о2 о* |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
-------- ----------*“ — объемная деформация; S = |
Е/(3(1 — 2р)) — объемный модуль |
упругости.
Приведенные выше зависимости дают возможность установить соответствие между компонентами девиатора напряжений н девиатора деформаций в пределах за кона Гука:
ех = е. |
1 . |
|
. |
|
s. |
Ххи — Gyху'г |
|
|||
2G (Ох — од) — |
2С > |
|
||||||||
|
|
1 |
, |
— |
|
= |
Su |
|
|
(1.148) |
еу = |
By — е0 = |
~2 |
(<Jy |
С9) |
, |
%у2 = |
G yyz) |
|||
Q |
|
|
|
|
||||||
ez = |
ez — е0 = |
1 |
|
|
|
|
sz |
Tz* ~ |
GVzx- |
|
2 (j. (ffz — üe) = |
~2G~ ’ |
|
Из зависимостей (1.148) следует, что в вределах упругости компоненты девиа тора напряжений пропорциональны компонентам девиатора деформаций.
Можно также показать, что между интенсивностями напряжений и деформаций в пределах закона Гука имеет место зависимость
оТ = ЭСе*. |
(1.149) |
1.2.4. Потенциальная энергия упругой деформации. При статическом нагруже нии твердого деформируемого тела внешние силы монотонно возрастают от нуля до некоторого значения, совершая при этом работу, которая аккумулируется в мате риале в виде потенциальной энергии, расходуемой на восстановление его первона чальных размеров и формы.
В случае простого растяжения или сжатия удельная потенциальная энергия
имеет вид |
|
ае |
|
и = Т |
(1.150) |
В случае объемного напряженного состояния потенциальная энергия |
упругой |
деформации будет равна сумме работ всех сил, приложенных к элементарному парал лелепипеду (см. рис. 1.42, а). Поскольку рассматривается упругое деформирование, то работа будет равна половине произведения силы на соответствующее перемещение.
Например, нормальная сила azdxdy совмещает работу на перемещение |
szdz, равную |
||||||||||||||||||||
1l2azdxdyezdz, |
работа касательной силы xzydxdy будет равна |
l/2xzydxdyyzydz и т. п. |
|||||||||||||||||||
Сумма работ |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
àu = ~ Y (охех + |
оуву + а2ег + |
ххууку + |
xyzyyz + |
rzxyzx) dxdydz. |
|
(1.151) |
||||||||||||||
Разделив выражение |
(1.151) на объем элементарного параллелепипеда |
dxdydz, по |
|||||||||||||||||||
лучим выражение для удельной потенциальной энергии упругой деформации: |
С1-15 |
||||||||||||||||||||
|
« = ~ Y |
(< № |
+Оугу + |
о2ег + |
хХуУху + |
W |
|
ХгхУгх^+ |
|
|
|
||||||||||
|
Подставив в выражение |
(1.152) полученные ранее соотношения |
(1.146), |
после |
|||||||||||||||||
преобразований имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
а1 + °г — |
(ах°У + |
°У°г + |
|
|
|
|
^ху + |
%\z + |
Xxz)’ |
|||||||||
и ~ 2Е [<4 + |
< № )] |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.153) |
|
Можно также выразить энергию и через деформации |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
u = G |
4 + 4 + 4 + T = T 2j r д 2 + 4 - tâ y + |
|
+ ? У ]- |
|
|
|
||||||||||||||
Выражение для |
удельной потенциальной энергии существенно упростится, если рас |
||||||||||||||||||||
сматривать главные площадки. Для этого случая выражение |
(1.152) будет иметь вид |
||||||||||||||||||||
и = |
glSl |
о83 |
a3s3 |
Подставив |
в |
эту |
зависимость |
выражения |
(1.145), |
||||||||||||
2 |
— + |
—2 — • |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и =г |
2 £ |
[°i + °2 |
+ |
°з — |
|
(CTi ^2 + |
|
“b ^3^ 1)1* |
|
|
|
(1.154) |
|||||||
|
Удельную потенциальную энергию можно разделить на удельную потенциаль |
||||||||||||||||||||
ную энергию |
изменения |
объема |
и0, |
т. |
е. |
энергию, |
накапливаемую |
|
за |
счет |
|||||||||||
изменения объема связанную с типовым тензором |
и на удельную |
потенциальную |
|||||||||||||||||||
энергию формоизменения |
Нф, т. е. энергию, |
накапливаемую вследствие |
изменения |
||||||||||||||||||
формы, связанную с девиатором напряжений и = uv + |
«ф. Имея в виду, |
что |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и° = |
бД2** |
|
+ |
а з + |
^з)2. |
|
|
|
|
|
(1.155) |
|||||
и использовав зависимости (1.154) |
и |
(1.155), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Ыф = |
1 + И |
(Oj |
|
|
Од — OjOa — СТяа 3 |
OgCTj) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
1* |
K^i + |
c *)a + (^2 — 0 з)а + |
(p3 — |
|
|
|
|
(1.156) |
||||||||
|
|
|
“ |
6 £ |
|
|
|
|
|
U
1.2.5. Условия возникновения пластических деформаций. При простейших видах нагружения условия возникновения пластических деформаций определяются легко. Так, при растяжении или сжатии эти условия наступают при достижении предела текучести ат, при чистом сдвиге — при достижении тт. В случае, если имеет место плоское или объемное напряженное состояние, эти задачи существенно усложняются, и необходимо вводить условия такого перехода. Поскольку эти условия определяют переход от упругого деформирования к неупругому, они однозначно определяются упругими напряжениями. Условия перехода зависят от физических свойств мате риалов и условий испытаний (температура, скорость нагружения), в связи с чем они могут быть различными для разных материалов.
Если предположить, что переход материала из упругого в пластическое состо яние осуществляется, когда максимальные касательные напряжения превышают предел текучести (условия пластичности Треска — Сен-Венана), то
ст1 _ 0 3 = (тт. |
(1.157) |
Недостатком этого критерия является то, что он не учитывает главного |
напряже |
ния сг2. |
|
Другим, широко распространенным критерием пластичности является крите рий энергии формоизменения (критерий Мизеса), который предполагает, что переход материала из упругого в пластическое состояние происходит, если удельная потен циальная энергия формоизменения превышает некоторое предельное состояние, ко торое не зависит от схемы напряженного состояния и определяется только свойства
ми материала и условиями испытания. Тогда из зависимости (1.156) |
будем иметь |
||
^ [(°i — аа)2 + |
(°а — о3)а + |
(с, — <Д)<) = б£ ^ |
|
или |
, , |
|
|
( Ъ - < а)а + |
(аа - о 3)* + |
(cr3 -<Tï)a = 2о\. |
(1.158) |
Так как энергия изменения формы пропорциональна различным характеристикам напряженного состояния (октаэдрическое касательное напряжение, среднее каса тельное напряжение, второй инвариант девиатора напряжений), известны и другие трактовки этого критерия. Для плоского напряженного состояния зависимость (1.158)
преобразуется к виду of + of — aiai — об
условив пластичности (1.157) соответствует боковой поверхности бесконечной шестигранной призмы, ось которой проходит через начало координат и одинаково наклонена к осям координат аг, о2, <3. Эта призма образована тремя парами парал лельных плоскостей
lOi—о2 | = ± о т; (оа — сг3| = ± о т; |СТ]; — о31= ± о т.
В той же системе напряжений критерий пластичности, следующий из энергии формоизменения, интерпретируется поверхностью бесконечного кругового цилиндра
• i / T
с радиусом у "g О*.
При плоском напряженном состоянии критерий максимальных касательных напряжений имеет вид шестиугольника, а критерий энергии формоизменения — эллипса (рис. 1.48), при этом шестиугольник вписан в эллипс. Анализ рис. 1.48 дает возможность установить области наибольших расхождений между двумя рассмот ренными критериями. Наибольшее расхождение будет в точках С, где реализуются схемы двухосного растяжения или сжатия, когда одно из главных напряжений в два раза больше другого. В точках Вг и В2, где имеет место чистый сдвиг, условие мак симальных касательных напряжений дает главное напряжение стт/2 , в то время как
для энергетического критерия они будут равны |
aJŸ'Z. |
|
1.2 .6 . |
Теория пластичности. В случае |
неодноосного напряженного состояния |
для расчетов напряженно-деформированного состояния за пределами упругости не обходимо иметь зависимость компонентов напряжений от компонентов деформаций в этих условиях. Эти зависимости устанавливаются в теории пластичности. Сущест вующие в настоящее время теории пластичности можно разбить на две группы [80).
I
Рис. 1.48. Графическое представление условий пластичности для плоского напря женного состояния
Рис. 1.49. Обобщенная диаграмма деформирования
ВЦпервой группе теорий, которые называются деформационными, устанавливается зависимость между напряжениями и деформациями. Во второй — пластическая деформация рассматривается как процесс пластического течения материала, в част ности получают зависимости скоростей деформаций от напряжений. Эта теория на зывается теорией течения. Наиболее простой деформационной является теория упру гопластических деформаций. В соответствии с этой теорией в области пластических деформаций (рис. 1.49) зависимость между напряжениями и деформациями при рас тяжении, по аналогии с законом Гука, принимается в виде
о — Е'е, |
(1.159) |
где Е' — некоторая функция деформаций, называемая приведенным модулем де формации первого рода, Е' — tg Р = ст/е, tg а = Е. Для случая объемного напря женного состояния связь между напряжениями н деформациями принимается в виде
а ; = Е'я% |
(1.160) |
где а* и 8 * — интенсивность напряжений и деформаций, определяемая зависимостя
ми (1.127) и (1.142). При этом предполагается, что кривые деформирования, оп ределяемые зависимостями (1.159) и (1.160), совпадают. Справедливость соотношения (1.160) обосновывается большим объемом экспериментальных данных, хотя имеются работы, не подтверждающие это соотношение. Тогда зависимость между компонен тами напряжений и деформаций при пластическом деформировании по аналогии с (1.148) будет иметь вид
|
|
— <*о = 2 G' (ех — е0), |
хху = G*yxy\ |
|
|
|
|
Од — OQ = 2 G7 |
— 8 0), |
хyZ = Gryyx, |
(1.161) |
|
|
oz — o0 = 2G' (е2 — е 0), |
тгх = в'у гх. |
|
|
Приняв |
|
|
|
|
|
|
|
G' = £ 7 2 ( 1 + |
|л') |
(1.162) |
|
и учтя, |
что при пластическом деформировании |
и,' = 0,5, получим |
G' — 1/3Б '. Из |
||
(1.160) |
будем |
иметь |
|
|
|
|
|
G' = |
о;/ЗаТ, |
|
(1.163) |
где Of |
и е* |
определяются ранее приведенными зависимостями |
(1.127) и (1.142). |
Подставив (1.163) и (1.161), получим следующий наиболее распространенный вариант записи физических уравнений при пластической деформации
2 a ; |
|
|
|
|
ох — or( |
|
xy |
|
rxy> |
3e; |
|
3e; |
||
оу ~ о а = 2 a î |
, |
|
|
(1.164) |
xyz |
|
|
||
3e; |
(ey — 8 0), |
3e; |
ryz* |
|
2a ; |
ч |
^zx |
a; |
Yz*' |
3e; |
(82 ®o)*. |
3e; |
||
|
|
|
В теории течения рассматривается взаимосвязь между напряжениями и скорос тями деформаций [8 , 80]. В случаях, когда можно пренебречь вязким сопротивле нием, зависящим от скоростей деформаций, уравнения теории упругопластических деформаций и теории пластического течения оказываются тождественными [80].
Т а б л и ц а |
1.13. Сравнение результатов |
теорий упругости и пластичности |
|
|||||||||||
В теории упругости |
|
В теории пластических |
|
В теории пластического |
||||||||||
|
|
деформаций |
|
|
|
течения |
|
|||||||
Направления главных нормальных напряжений и глав |
|
Направления главных |
||||||||||||
ных удлинений совпадают |
|
|
|
|
|
|
нормальных напряже |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ний и |
главных |
ско |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ростей удлинений |
|||
Объемная деформация пропорциональна среднему нор |
|
совпадают |
пластиче |
|||||||||||
|
Материал |
в |
||||||||||||
мальному напряжению |
|
|
|
|
|
|
|
ском состоянии несжи |
||||||
Главные |
касательные напряжения |
пропорциональны |
|
маем |
касательные |
|||||||||
|
Главные |
|||||||||||||
главным 'сдвигам |
|
|
|
|
|
|
|
напряжения |
пропор |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
циональны |
главным |
||
Интенсивность |
касательных Интенсивность касательных |
|
скоростям сдвигов |
|||||||||||
|
Интенсивность касатель |
|||||||||||||
напряжений |
пропорцио- |
|
напряжений постоянна |
|
ных напряжений |
по |
||||||||
нальна |
|
интенсивности |
|
(идеально пластическое |
|
стоянна |
(идеально |
|||||||
сдвига |
|
|
|
|
тело) |
или есть вполне |
|
пластическое тело) |
||||||
|
|
|
|
|
определенная для каждого |
или есть вполне опре |
||||||||
|
|
|
|
|
материала функция интен |
деленная для каждого |
||||||||
|
|
|
|
|
сивности деформаций |
|
|
материала функция |
||||||
|
|
|
|
|
сдвига |
|
|
|
|
интенсивности скоро |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стей |
деформации |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сдвига |
|
|
|
Обозначив |
компоненты перемещения точки в твердом теле с координатами х, |
|||||||||||||
у, х через |
и, |
v и да, можно представить компоненты скорости в виде и = |
ди |
v —; |
||||||||||
|
||||||||||||||
dv |
. |
dw |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*= ~Q£\ да = |
~dt~' Тогда, воспользовавшись результатами, приведенными в [80], мож |
|||||||||||||
но записать для компонентов скоростей деформаций |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
„ |
_ |
ди |
^ _ |
du |
_j_ |
da |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dx |
|
|
|
(1.16*) |
|
|
|
|
|
|
dv |
_ |
dv . |
dw |
|
|
|
|||
|
|
|
8 у = |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ду |
•yz |
dz |
|
dy |
* |
|
|
|
|
||
|
|
|
е, |
= |
dw |
yzx |
dw |
I |
du |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
dx |
^ |
dz |
|
|
|
|
Средняя скорость пластической |
деформаций |
|
|
|
|
|
1 . |
6У+ ег) = |
1 . |
еа + |
е3). |
(!. 166) |
|
е0 = — |
(е* + |
— (е, + |
||||
Главные скорости деформации сдвига |
|
|
|
|
||
Yl2 = el' |
s2> |
?23 — е 2 |
«3, |
= ê8 |
8j. |
|
Обобщенную скорость деформации (интенсивность скорости деформации) |
||||||
- "j/~ (в* — 8ÿ)2 4“ (8^ — в2)^ (BJ — вх)% 4* -g - (Yxy |
Vуг “Ь V zx) * |
|||||
|
|
|
|
|
|
(1.167) |
Зависимость компонентов напряжений от компонентов скоростей (аналог обобщен ного закона Гука) имеет вид
<*Х ° о = |
П (ex — в8), |
хХд = |
П -g - уХу» |
|
Оу — оо = |
п (% — е0), |
^ г = |
П -g- ÿygi |
( 1. 168) |
•°z — °о = |
П (ez 8 8), |
%гх = |
П 2 Y*#* |
|
где П — переменная величина (модуль), отображающая связь между < * и в*, о* =
=Пе* (величина П определяется экспериментально).
Втабл. 1.13 [80] выполнено сопоставление основных законов теории упругих деформаций/геории упругопластических деформацией теории пластического течения
1.3.Анизотропные материалы
В практике наряду с изотропными материалами, которые являются основным объектом рассмотрения теории упругости, теории пластичности и сопро тивления материалов, имеют место и анизотропные материалы, т. е. материалы, свой ства которых в различных направлениях различны. Это относится как к характе ристикам упругости (модулям упругости первого Е и второго G рода), так и харак теристикам предельного состояния (предел текучести от, предел прочности ог„) 197].
1.3.1. Общие сведения. Анизотропия может быть начальной (исходной) , 1сущест
вующей до процесса нагружения, или вторичной (деформационной), т. е. |
изменив |
шейся, или заново возникшей в процессе деформации. Можно выделить |
три типа |
анизотропии механических свойств: кристаллографическая, технологическая и ком позиционная.
Кристаллографическая анизотропия обусловлена кристаллическим строением металлов, что приводит к различию свойств, определяемых при разных углах между кристаллографическими плоскостями монокристаллов и направлением действия на грузки. Кристаллографическая анизотропия наиболее явно выражена в монокрис таллах. Строго говоря, все металлы на микроскопическом уровне являются анизо тропными и то, что эта анизотропия не проявляется, как правило, при испытании образцов больших размеров,— результат осреднения свойств микрообъемов мате риала. Технологическая анизотропия обусловлена текстурой материалов, вызван ной обработкой металлов и сплавов в процессе производства деталей или полуфаб рикатов, такими, например, как прессование, волочение, пропитка и т. п. Компози ционная анизотропия обусловлена строением композиционных материалов (сочета нием материалов матрицы и наполнителя), закладываемым в структуру в процессе их разработки и производства.
В табл. 1.14 приведены значения упругих постоянных Е и G для монокристал лов и поликристаллов ряда металлов [97]. Монокристаллы вольфрама практически изотропны, невелика упругая анизотропия и у монокристаллов алюминия, более вы ражена анизотропия у монокристаллов меди, железа и цинка.
Т а б л и ц а 1.14. Характеристики упругости некоторых монокристаллов и поликристаллов'
Тип решетки |
Металл |
Гранецентрирован- |
Алюминий |
ная кубическая |
Медь |
(ГЦК) |
Серебро |
|
Золото |
Объемноцентриро- |
Железо |
ванная кубиче- |
Вольфрам |
ская (ОЦК) |
|
Гексагоиальная |
Магний |
плотно упакован- |
Цинк |
ная (ГПУ) |
Кадмий |
Модуль нормальной упру |
Модуль сдвига, GAQT~\ |
||
гости, Е • 10“*®, МПа |
МПа |
||
Монокрн* |
Поликри |
Монокри |
Поликристал |
сталлы |
сталлы |
||
(экспери |
сталлы |
(экспери |
лы |
мент) |
|
мент) |
|
75,50/62,80 |
70,20/70,60 |
28,40/24,50 |
26,00/26,40 |
19000/6660 |
117,00/18,50 |
75,50/30,40 42,00/43,00 |
|
115,00/43,00 |
73,50/78,50 |
43,60/19,30 |
25,90/26,40 |
112,00/41,00 |
76,00/79,50 |
40,20/17,60 26,00/27,40 |
|
284,00/132,00 203,00/10,00 |
115,50/60,00 76,30/82,30 |
||
392,00/392,00 |
— |
152,00/152,00 |
— |
50,40/43,00 |
44,20/44,10 |
18,00/16,70 |
17,40/17,70 |
123,50/35,80 |
98,50/98,00 |
48,70/27,20 35,50/36,20 |
|
81,50/28,20 |
60,00/50,00 |
24,60/18,00 20,90/21,60 |
П р и м е ч а н и е , Для монокристаллов перед чертой |
приведены максимальные значешщж, |
после черты — минимальные; для поликристаллов перед |
чертой даны результаты расчета, |
после черты эксперимента.
Т а б л и ц а |
1.15. Анизотропия механических свойств некоторых сталей |
|||||||||
в зависимости от степени деформации при холодной прокатке |
|
|
|
|||||||
Сталь |
Степень |
<JD, МПа (кГ/мма) |
ат, МПа, (кГ/мм*) |
|||||||
деформа |
||||||||||
|
ции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25ХГСА |
0 |
587 (60)/588 (60) |
383 (39)/392 (40) |
|||||||
|
10 |
667 (6 8 )/6 8 6 |
|
(70) |
568 |
(58)/588 (60) |
||||
|
2 0 |
715 (73)/784 (80) |
6 8 6 |
(70)/735 |
(75) |
|||||
|
30 |
775 (79)/834 |
|
(85) |
735 |
(75)/824 |
(84) |
|||
|
40 |
803 (82)/912 (93) |
794 (81)/882 (90). |
|||||||
ЭИ659 |
0 |
755 (77)/814 (83) |
657 (67)/784 |
(80) |
||||||
|
10 |
832 (85)/891 |
|
(91) |
803 |
(82)/864 |
|
(8 8 ) |
||
|
2 0 |
911 (93)/980 |
(100) |
882 |
(90)/940 |
(96) |
||||
|
30 |
578 (59)/1030 |
(105) |
931 (95)/1000 |
(102) |
|||||
|
40 |
1010 (103)/1069 (110) |
980 |
(100)/1058 |
(108) |
|||||
|
50 |
1050 (107)/1133 (115) |
1010 |
(103)/1098 |
(112) |
|||||
|
60 |
1069 (110)/1148 (117) |
1050 (107)/1148 (117) |
|||||||
ЭИ811 |
0 |
745 (76)/834 (85) |
647 |
(66)/716 |
|
(73) |
||||
|
10 |
834 (85)/980 |
(100) |
765 |
(78)/892 (91) |
|||||
|
2 0 |
910 (93)/1098 |
|
(112) |
864 |
(88)/1058 (108) |
||||
|
30 |
960 (98)/1157 (118) |
923 |
(94)/1 1 10 (113) |
||||||
|
40 |
1000 (102)/1176 (120) |
990 |
( 101)/1156 (118) |
||||||
|
50 |
1058 (Ю8)/1198 (122) |
1010 |
(103)/1176 (120) |
||||||
|
60 |
1069 (110)/1225 |
(125) |
1058 (108)/1206 (123) |
||||||
П р и м е ч а н и е . Перед чертой приведены |
значения |
полученные прн прокатке в про |
||||||||
дольном направлении, после черты — в поперечном. |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 1.16. Технические |
|
В случае |
технологической |
анизотро- |
||||||||||||
упругие постоянные некоторых |
|
пии отличие упругих постоянных материа |
||||||||||||||
стеклопластиков |
|
|
ла в различных направлениях не очень су |
|||||||||||||
|
|
|
щественно, однако отличие |
пределов теку |
||||||||||||
Угол между |
|
|
чести и пределов прочности в различных |
|||||||||||||
|
|
направлениях |
может быть весьма |
сущест |
||||||||||||
осью образца |
Е |
|
венным. |
На |
рис. |
1.50 приведены |
кривые |
|||||||||
н направлени |
|
распределения пределов текучести о0 2, пре |
||||||||||||||
ем волокон, |
|
|
||||||||||||||
град |
|
|
делов прочности ов и продольных удлине |
|||||||||||||
|
|
|
ний Ô для прессованных профилей из алю |
|||||||||||||
Стеклоткань Т на ПИ-1 |
|
миниевых сплавов В95 и Д16, полученных |
||||||||||||||
|
на образцах |
различной ориентации |
|
[97]. |
||||||||||||
0 |
16 500 |
0,13 |
Как видно из этого рисунка, разница меж |
|||||||||||||
ду средними значениями пределов проч |
||||||||||||||||
15 |
12 700 |
— |
||||||||||||||
30 |
8590 |
— |
ности в продольном |
напряжении |
и |
в на |
||||||||||
45 |
7230 |
0,46 |
правлении ширины и толщины составляет |
|||||||||||||
60 |
7900 |
— |
для сплава |
В95, 17 и |
19%, |
а для сплава |
||||||||||
75 |
10 400 |
— |
Д16 31 |
|
и 38%. |
показана |
анизотропия |
|||||||||
90 |
12 400 |
0,09 |
В табл. |
|
1.15 |
|||||||||||
|
|
|
пределов текучести и пределов прочности |
|||||||||||||
СВАМ на ЭД-6 |
1 : 5, толщина 5 мм |
некоторых сталей в зависимости от степени |
||||||||||||||
деформации при холодной прокатке [61]. |
||||||||||||||||
|
30500 |
0,18 |
||||||||||||||
0 |
Можно отметить, |
что |
холодная |
прокатка |
||||||||||||
15 |
24 500 |
,— |
часто |
создает |
«обратную |
анизотропию», |
||||||||||
30 |
17 300 |
— |
т. е. предел текучести (предел прочности) |
|||||||||||||
45 |
14 400 |
0,47 |
продольных |
|
образцов оказывается |
мень |
||||||||||
60 |
14 700 |
— |
шим, чем для поперечных. Деформация |
|||||||||||||
75 |
17 100 |
— |
растяжением |
обычно |
создает |
«прямую» |
||||||||||
90 |
18800 |
0 ,1 2 |
анизотропию, т. е. значения ат в продоль |
|||||||||||||
СВАМ на ЭД-6 |
1 : 1, толщина 10 мм |
ном направлении максимальны. |
|
|
|
уп |
||||||||||
В табл. |
|
1.16 приведены значения |
||||||||||||||
0 |
24700 |
0,16 |
ругих постоянных |
некоторых стеклоплас |
||||||||||||
15 |
20 500 |
— |
тиков |
в |
зависимости |
от угла между осью |
||||||||||
30 |
15 200 |
— |
образца и направлением волокон [97]. Как |
|||||||||||||
45 |
13 400 |
0,50 |
видно из таблицы, |
максимальные |
модули |
|||||||||||
60 |
15 200 |
— |
упругости имеют место в продольном на- - |
|||||||||||||
75 |
2 0 500 |
— |
правлении, |
|
минимальные — под |
углом |
||||||||||
90 |
24 700 |
0,16 |
около 45°, |
причем модули упругости |
мо |
|||||||||||
|
|
|
гут изменяться в два — три раза. |
|
|
|
||||||||||
СВАМ на БФ-4 1 : 1, толщина 5 мм |
Анизотропия предела прочности |
стек |
||||||||||||||
|
24 100 |
0,08 |
лопластиков показана на рис. 1.51 [3], где |
|||||||||||||
0 |
кривые |
1—3 соответствуют |
стеклопласти |
|||||||||||||
15 |
15 700 |
--. |
ку СВАМ на эпоксидном связующем с раз |
|||||||||||||
30 |
9240 |
— |
личным соотношением волокон в попереч |
|||||||||||||
0,53 |
||||||||||||||||
45 |
7670 |
ном и продольном направлениях. |
|
|
|
|||||||||||
60 |
9240 |
— |
1.3.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
75 |
15700' |
— |
деформациями. |
Из рис. 1.52 видно, |
что |
|||||||||||
90 |
24 100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,08 |
анизотропия существенно зависит от струк |
|||||||||||||||
|
|
|
туры стеклопластика (рис. 1.51). В случае |
звездной структуры анизотропия практически отсутствует, минимальные значения <7„ относятся к диагональному направлению при одинаковых его значениях в про дольном и поперечном направлениях (для соотношения волокон 1 : 1). Приведенные выше зависимости для напряжений и деформаций, полученные для изотропных материалов, будут справедливы и для анизотропных материалов. Ограничения в использовании зависимостей возникают в том случае, если при их выводе принимались определенные допущения о связи между напряжениями и дефор мациями.
Опыт показывает', что в анизотропном материале под действием одного напря жения возможно возникновение всех компонент деформаций. Так, если растягивать
образец из анизотропного материала, то под действием |
нормального |
напряжения |
о = PlF могут возникать не только удлинение вдоль оси и |
укорочение в |
поперечном |
Рис. 1.50. Кривые распределения механических свойств прессованных профилей из алюминиевых сплавов В95 (а) и Д16 (б):
1 — вдоль проката: 2, 3 — в направлении толщины и ширины
направлении, но и сдвиговые деформации. При кручении может иметь место и из гиб и т. д.
Зависимость между деформациями и напряжениями (обобщенный закон Гука) ■может иметь весьма сложный вид и представляется, как правило, в матричном виде.
Вобщем случае число независимых упругих постоянных, связывающих деформации
инапряжения, равно 36 [8 , 81]. Обобщенный закон Гука в этом случае будет иметь
вид
ех — аи ° х 4" ° i a + |
al3°z 4" аи хху 4" а1Ьтуг 4" а1вхгх’ |
|||
8у =Х йэдОх -f- й ^ О у -(- п % ^ г 4* а24Хх у |
4" а гьх у г |
4" ^ав^гд:* |
||
у г х = а01<гЛ -f a i6 O y + |
авз°г 4- а <их Ху |
4" |
х у г |
4- а а х гх> |
где a-j — постоянные материала определяющие его податливость и обратно про порциональные модулям упругости.
Для практического использования уравнения (1.169) необходимо знать, с учетом равенства постоян ных при симметричных членах матрицы (с12 == cfa и т. д.), 21 коэффициент. Равенство а12 = а21 и так далее обосновывается в литературе на основе инвари антности упругой энергии т. е. ее значение в окрест ностях данной точки не должно зависеть от способа ее вычисления.
С учетом того, что свойства анизотропных материа лов по некоторым направлениям бывают одинаковыми, матрицу (1.169) можно упростить. Если в каждой точке тела можно провести плоскость, обладающую тем свой ством, что любые два направления, симметричные этой плоскости, эквивалентны в отношении упругих свойств (материал с плоскостью упругой симметрии), то матри ца (1.169) примет более простой вид
|
: — a l l P n |
~Ь а 12°7/ 4" Ûl3°z |
+ |
a lRT ZX’ |
|
|
By «SB |
+ Cl22<Jy + |
<*23aZ |
+ |
@20XZX' |
|
8z = а13&х 4" йгэРУ + |
°з»аг |
+ |
а 3вXzX< |
|
|
|
|
|
|
(1.170) |
|
Уху |
|
4* ÛE44x Xy |
4~ Û4 5 V |
|
JOO - |
Ууг = |
|
4" fl45 Xx y 4* a bbTy z ’ |
||
|
Yz x ~ a ia a x |
4- 026^4- a 36o z |
|
4" a 66Xz x ' |
Члены матрицы, соответствующие незаполненным мес там, будут равны нулю. В этом случае осталось 13 не зависимых коэффициентов. В случае, если через каж дую точку тела проходят три ортогональные плоскости упругой симметрии (ортотропное тело), направляя оси перпендикулярно к этим плоскостям, будем иметь
n |
|
. 1 |
и |
JO |
SO a, рад |
|
ех — аи°х 4 - а12°У + a13azl
By = |
4~ а2 2 4 - Язз^г* |
||
SZs2 = |
а 13®Х 4* а 2Э°У 4" a33CTZÎ |
(1.171) |
|
£ |
и |
4~ |
цуг |
|
|
||
Ууг |
4" Я |
||
|
*55Xyz> |
||
|
*II |
|
4* йбте^* - |
В уравнениях осталось 9 независимых коэффициен
TOB.
Примерами ортотропных тел служат стеклопласти ки с ортогонально наложенными слоями. Если в каж дой точке тела имеется ось упругой симметрии, как эго имеет место в однонаправленном стеклопластике (монотропное тело), то можно считать, что все направ
ления в плоскости, перпендикулярной к этой оси, эквивалентны в отношении упругих свойств. Тогда
г х — |
ОцОд; + Oiг ° у |
4~ a13°Z> |
|
By = |
а12ох -f- а1гОу -j- al3a2; |
(1.173) |
|
e Z ~ |
^ 18^ * 4 - а 13°У |
4 - а з з ° г ; |
|
Уху :=t |
|
4 “ ^44Xxy* |
|