книги / Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 1
.pdfа Р
' |
г |
4 - |
z é |
|
f t |
г |
|
|
|
М„=Ра |
|
....... $ |
Ь |
к |
tÿ 1 |
|
|
W |
. |
... |
м
Рис. 1.12. Схема нагружения и эпюры Ми и Q при изгибе двумя (а) и одной (<?}■ сосредоточенными силами
жительна, если ее векторы стремятся вращать части рассеченной балки по часовой стрелке.
Для выявления максимально напряженных сечений образца, т. е. сечений с мак симальными изгибающими моментами и поперечными силами, строятся эпюры изги
бающих |
моментов и поперечных сил. Правила построения эпюр подробно изложены |
|
в курсах |
сопротивления материалов. |
н |
Следует учитывать, чго набор схем нагружения образцов при испытаниях мате |
||
риалов на изгиб в лабораторных условиях невелик |
и определение мест макси |
мальных изгибающих моментов и поперечных сил не вызывает больших трудностей. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для приведенных схем нагружения
показаны на рис. 1.12. Особенностью схемы испытаний, приведенной на рис. |
1.12, б, |
|
является то, что в сечениях испытываемого образца на рабочем участке |
изгибающий |
|
момент остается постоянным, а перерезывающая сила равна нулю, т. е. |
на |
рабочем |
участке имеет M ecto чистый изгиб. Внешняя нагрузка, которой в данном случае яв ляется изгибающий момент, уравновешивается системой внутренних сил, какими являются нормальные напряжения, действующие по этим сечениям. При плоском изгибе можно написать следующую систему уравнений равновесия:
$ o ,iF = 0 , |
(1.30) |
|
F |
|
|
j* aptlF = |
О, |
(1.31) |
F |
|
|
\ atydF = |
Af„. |
(1.32) |
F |
|
|
В отличие от растяжения, при изгибе напряжения по сечению распределены нерав номерно, т. е. имеет место неоднородное напряженное состояние. Картина распре деления этих напряжений подробно рассматривается в курсах сопротивления мате риалов [12, 118, 139], откуда можно сделать следующие основные выводы.
1.При чистом изгибе образца поперечные сечения остаются плоскими и повора чиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси образца.
2.В изгибаемом образце можно выделить слой, который не меняет своей длины при изгибе и называется нейтральным слоем.
3 . Анализ уравнений равновесия (1.30) и (1.31) показывает, что для материалов,
которые имеют одинаковые характеристики свойств при растяжении и сжатии, ней тральный слой проходит через центры тяжести сечений.
а0
а,
т
^ |
— |
3 |
1 |
|
|
А |
|
)1 dx r n
Рис. 1.13. Схема деформирования элемента материала при чистом изгибе
4. Пересечение нейтрального слоя плоскость действия сил представляет ней тральную ось. Она совпадает с осью симметрии.
Волокна, находящиеся выше нейтрального слоя, если образец деформируется выпуклостью вниз (рис. 1.12, б), сжимаются, а ниже нейтрального слоя — растяги ваются.
Относительная продольная деформация волокна пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси (рис. 1.13), т. е.
8t =yJp, |
(1.33) |
||
где у — расстояние от нейтрального слоя; р — радиус кривизны |
нейтрального слоя. |
||
Подставив в уравнение равновесия |
(1.32) выражение (1.33) и учтя, что et- = |
||
= Oi/E, получим Е/р f y2dF = М„. Приняв JyMF = JZiполучим |
следующее выраже- |
||
F |
F |
|
|
ние для радиуса кривизны: |
|
|
|
1 |
_ , М н • |
(1.34) |
|
р |
EJZ ’ |
||
|
где Л4И — изгибающий момент; Е — модуль Юнга; Jz — геометрическая характе ристика сечения (осевой момент инерции).
Выражение (1.34) можно трактовать как закон Гука при изгибе, поскольку он связывает дефомацию (кривизну нейтрального слоя l/р) с действующим в сечении
моментом. |
|
GJE, получим вы |
Подставив выражение для р из (1.33) в (1.34) и приняв si = |
||
ражение для распределения нормальных напряжений по высоте сечения |
||
|
at = Mny/J2ш |
(1.35) |
Максимальные напряжения, |
как следует из этой формулы, |
будут иметь место |
в волокнах максимально удаленных от нейтрального слоя. |
|
|
Если обозначить W * |
будем иметь формулу для максимальных напря |
|
жений |
|
|
|
Ошшк = Мя/ЧГг. |
(1.36) |
В дальнейшем при обозначении максимальных напряжений и деформаций в се чении образцов, подвергающихся изгибу и кручению, индекс «шах» не используется, так как при рассмотрении характеристик сопротивления материалов деформирова нию и разрушению при этих видах нагружения другие напряжения и деформации не рассматриваются. В то же время возникает необходимость индексаций этих напря жений, отображающих условия, при которых они достигают предельных значений.
Из рис. 1.13 следует, что длина отрезка dx будет равна pda/, тогда doc = dx/p. Подставив в это выражение величину 1/р из уравнения (1.34), получим
da = |
. |
(1-37) |
EJ2 |
|
|
Работа изгибающего момента на угловом перемещении |
da будет dU = -g- Muda. |
|
Подставив da из выражения (1.37), получим |
1 |
M"dx |
dU = ------1—ü-— . |
||
|
2 |
EJ2 |
Проинтегрировав по всей длине балки, найдем выражение для потенциальной энергии изгиба
С Midx
(1.38)
J 2EJZ *
При чистом изгибе балки (Ми — const) и постоянном ее сечении по всей длине потенциальную энергию запишем в виде
|
|
|
|
|
U = M2Bl/2EJ |
|
|
|
(1.39) |
|
|
Результаты |
испытаний на чистый изгиб представлены в виде графиков в коор |
||||||||
динатах |
Ми — итах, где утях — прогиб образца посередине. На рис. 1.14 |
пока |
||||||||
зана |
кривая |
изгиба, характерная для конструкционной пластичной стали. |
Для |
|||||||
кривой |
изгиба |
характерно |
отсутствие площадки текучести. |
Весьма |
пластич |
|||||
ные |
стали при изгибе не разрушаются во |
всем диапазоне |
деформаций, |
которые |
||||||
можно |
реализовать при таком виде испытаний. Разгрузка |
при изгибе, |
как и при |
|||||||
растяжении, |
идет по прямой, параллельной |
начальному участ-ку |
диаграммы. Диа |
|||||||
грамму |
Ми — t/max можно |
перестроить |
в диаграмму о — в (рис. 1.15), где о — |
максимальное нормальное напряжёние в сечении, а е — и аибольшее относительное удлинение, т. е. удлинение волокон, максимально удаленных от нейтрального слоя.
Переписав выражение (1.33) в виде е = утях/р и воспользовавшись уравнением
Рис. 1.14. Диаграмма изгиба для пластичного материала
Рис. 1.15. Условная диаграмма деформирования при изгибе
|
|
Расчетное значение |
|
Схема нагружения балки |
при х |
EJzymax |
|
м., |
|||
|
От |
|
|
/И |
х = 0 |
МР |
|
ДО |
2 |
||
|
|||
|
X = I |
|
1 Р13
2 48
а |
РЬ |
/ а2 + 2ab |
|
|
31 |
\ |
3 |
при х
I
1
О
4*
а2 + 2ab
L
н a JP |
|
|
От |
|
|
|
|
|
|
|
Iй |
* !, |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
X— Cl |
Рп |
|
|
|
1 |
||
|
|
|
Ра |
До |
JjL(3/a_4a«) |
|
|||
1----------~1 |
|
|
24 |
|
|
|
2 |
||
|
|
х = 1 — а |
|
|
|
|
|
||
л У - Ш |
♦ ♦ Щ |
|
qP |
I |
5ql* |
|
|
1 |
|
|
|
|
8 |
~2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
J _ |
J 1 L U |
- - |
|
j _ |
|
|
|
|
|
24 I |
16 |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
_ За2 |
, |
а4 |
\ |
2 |
|
|
|
|
|
21*- |
|
I* |
} |
|
П р и м е ч а н и е . |
Начало координат совпадает а левым концом балки |
(точка Л). Ооь у |
|||||||
направлена |
вниз, а ось х — вправо. |
|
|
|
|
|
|
Из зависимости (1.40) будем иметь
‘ = У т * -т щ -- |
(1-41) |
Диаграмма, построенная с использованием формул |
(1.36) и] (1.41) (рис. 1.15), |
является условной, так как эти формулы справедливы лишь в пределах закона Гука, т. е. в пределах прямолинейного участка диаграммы изгиба.
Приведенные формулы (1.36) и (1.41) дают возможность определить для упругодеформируемых материалов (т. е. в пределах закона Гука) максимальные нормальные напряжения и продольные деформации.
Для использования этих формул надо уметь определить максимальные изгиба ющие моменты в испытываемых образцах, геометрические характеристики Jz н W2 для максимально напряженных сечений и прогибы в характерных точках образцов. Значения изгибающих моментов и прогибов для наиболее характерных случаев на
гружения |
при изгибе приведены в табл. |
1.6 [76]. |
Геометрические характеристики |
||||||
наиболее часто встречающихся сечений даны в табл. |
1.7 [76]. |
||||||||
|
Если воспользоваться приведенной выше методикой построения диаграмм в ко |
||||||||
ординатах |
а — в и найти напряжения, соответствующие остаточным деформациям |
||||||||
0,2 % (пределы текучести), то окажется, |
|
|
|||||||
что найденные таким образом пределы теку |
|
|
|||||||
чести |
будут |
существенно |
(на 20...30 %) |
|
|
||||
выше, чем пределы текучести, найденные |
|
|
|||||||
по |
результатам испытаний на растяжение. |
|
|
||||||
Это |
объясняется в первую очередь тем, что |
|
|
||||||
в случае пластического |
деформирования |
|
|
||||||
максимально напряженных слоев материа |
|
|
|||||||
ла образцов, подвергающихся изгибу, при |
|
|
|||||||
одном и том же изгибающем моменте будет |
|
|
|||||||
существенное |
различие между истинными |
|
|
||||||
напряжениями (рис. 1.16, |
кривая 1) и на |
|
|
||||||
пряжениями, подсчитанными |
по формуле |
|
|
||||||
(1.36) (кривая |
2). В этом |
случае |
напря |
Рис. 1.16. Распределение истинных (/) |
|||||
жения, |
подсчитанные по формуле |
(1.36), |
и номинальных (2) напряжений по вы* |
||||||
называются |
номинальными |
он и |
могут |
соте сечения образца при изгибе |
форма поперечного сеченнг |
Площадь ссчсння F, см2 Осевой момент инерции, J J 2, см4 Момент сопротивления \ V^ Wv см1 |
Квадрат
IVz = W y = ь*_
6
Полый квадрат
Ьг — ь\ |
\vz = w |
у — |
b* — b j |
||
6 |
Ь |
||||
|
|
|
b t
*В
Полый тонкостенный квадрат, ô0 < -yg-
4Bô0 |
J~ — J ,, — |
в % |
Квадрат, поставленный.
Ь*
Полый квадрат, поставленный на ребро
Ь2- — Ь\
Прямоугольник
bh
Jг — Jу |
Ь*_ |
ь* |
12 |
IVz=*Wy |
|
|
6У 2 |
ь* — ь \ |
Ь*— Ь\ |
J2 Jу — |
Wг = Wу |
12 |
6 У2Ь |
|
1г |
h2 |
hb9 |
Wz |
bh3 |
hb» |
|
12 ’ |
||||||
|
12 |
|
6 |
6 |
Форма Поперечного сечения
Полый прямоугольник
Полый тонкостенный прямоугольник,
Ô
Площадь сечения Fi см* Осевой момент инерции, J ^ J г<см4 Момент сопротивления,, W^ Wг, см8
М» — ^ h f |
6 ft3 — 6t ftf |
|
= ................. . |
w 2 - |
|
12 |
6 ft |
|
bh— bxh1 |
ht b\ |
|
ft6 3_ |
ЛЬ3 — ftiftf |
|
* |
12 |
6 6 |
2 Ô (В + Я)
Сечение из двух равных прямоугольников
b ( h - h ,)
L.
Треугольник, a0 = _ iL
и
T1 bh
b (h* - h\)
Ï2
b3 (h — hj)
/ y =
12
J — bh*
*2 ~ W ’
«l |
= |
bh3 |
|
4 ’ |
|
|
|
hh? |
|
|
12 |
1 |
1 |
|
|
Is |
48 |
|
Wz |
Ь (hs |
- |
ftf) |
|
6h |
f |
|||
|
|
|||
Wu = |
^ |
|
— ^i) |
|
ÿ6
При вычислении напряжения в вершине треугольника
Г_
2 24 '
При вычислении напряжения в точке основания
г — b h *
Ï2~ *
» |
*5 |
|
24 |
ш |
h |
|
Трапеция
|
|
|
, |
_ |
А* (Ь* + 4Wt + 6J) |
|
l J |
§ |
| |
J J L ÈL . л |
|
36 (b -J- |
|
2 |
а |
|||||
|
|
|
||||
Ы |
щ |
|
л , , |
|
|
Т рапеция
h b*— Ь*
48 6 — ôj,
Для точек верхнего основания
w |
__ |
А» (6*-4-4^1 + |
ft?) |
2 |
12 (2ft -f- AJ |
|
|
Для |
точек нижнего основания |
||
П7 |
_ |
А*(6* + 4661 + |
Ь?) |
|
2 |
12 (Ь + 2 ^ ) |
|
Г , |
ft |
*4 - & { |
|
24 |
bn- — bbt |
||
|