книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

*г ± --------- аС

'н ? -----------------^

А ? — ^ 2

(изгиб из плоскости симметрии, сопровождаемый закручиванием се­ чений). В рассматриваемом случае чисто крутильная форма потери устойчивости невозможна.

При граничных условиях (49) система дифференциальных уравне­ ний (53) удовлетворяется решениями (50). При этом можно получить

критическую силу

ПгЕЗи

(54)

соответствующую изгибу в плоскости симметрии, а также уравнение для определения критических сил Р = Р1% Р = Р г, определяющих появление изгибно-крутильной формы потери устойчивости,

В этом уравнении Рх и Рш находят по формулам (52).

Корни квадратного уравнения (55) имеют вид

Рг

(Рх + Рш)2-4 Р х Р ш

(56)

Рх + Р(а +

А

+(Рдг + Яш)* -4 Р х Р ш

Так как Р х < Р 2, то расчетное значение критической силы опреде­ ляется как наименьшее из значений Ру и Р х. Если Ру <^ Р1%то раньше возникает нзгибная форма потери устойчивости (изгиб в плоскости сим­ метрии), если же Р у> Р1, то раньше наступает нзгибно-крутнльная форма потери устойчивости (изгиб из плоскости симметрии, сопрово­

ждаемый закручиванием сечений). С уменьшением длины стержня отно­ шение Р1 : Ру возрастает и вместе с этим становится все более возмож­ ным, что расчетной окажется изгибно-крутильная форма потери устой­ чивости. В качестве примера на рис. 55, а показано сечение дуралю-

При изгибно-крутильнон возмущенной форме равновесия стержня центр поворота сечении не совпадает ни с центром тяжести, ни с центром изгиба; координата сх центра поворота определяется формулой

Общий случай поперечного сечения. В общем случае для определе­ ния критических значений сжимающей силы нужно исходить из полной системы дифференциальных уравнений (47). При граничных условиях (49) критические значения являются корнями уравнения:

которому можно придать вид

здесь

(60)

Трем корням кубического уравнения (59) соответствуют три различ­ ные изгибно-крутильные формы равновесия; чисто изгибная форма рав­ новесия в общем случае невозможна. Наименьший из корней прини­ мается за расчетное значение критической силы. Этот корень всегда меньше, чем Рх% Ру или Р

Внецентренно сжатые стержни

В общем случае внецентренного сжатия ось стержня перестает быть прямолинейной, а сечения стержня закручиваются. При этом упругое равновесие стержня описывается системой дифференциальных уравнений

здесь ех и еу — координаты точки приложения сжимающей силы в си­ стеме главных центральных осей;

(62)

64 Устойчивость стержней

При ех = еу = 0 система дифференциальных уравнений (61) пере­ ходит в систему дифференциальных уравнений (47), относящихся к слу­ чаю центрального сжатия.

Случай, когда сила приложена в центре изгиба сечения. При этом

При граничных условиях (49) соответствующие критические значения

в одной из точек этой оси. Пусть ось х совмещена с осью симметрии

Первое уравнение определяет чисто изгибную форму потери устой­ чивости, которой соответствует критическая сила

п2Е^и

(66)

I2

Два последних уравнения системы (65) определяют изгибно-кру- тильные формы равновесия. Соответствующие им критические силы

сматривать как выражения для вариаций перемещений на любом уровне нагружения. Обозначив наибольшие значения этих вариаций через и0, о0, ср0, получим однородные соотношения

Наименьший из корней уравнения (71) принимают за расчетное значение критической силы.

Устойчивость при поперечной нагрузке

При действии поперечной нагрузки, проходящей через центры изгиба сечений и параллельной одной из главных осей, происходит изгиб, не сопровождаемый закручиванием. Однако при достижении нагрузкой некоторого критического значения эта изогнутая форма равновесия перестает быть устойчивой и возникает новая возмущен­ ная форма равновесия, характеризуемая закручиванием стержня. Особенно большое практическое значение это явление имеет в случаях поперечного изгиба узких высоких балок в плоскости наибольшей жесткости. Случай прямоугольного и двутаврового поперечного сече­ ния см. стр. 66—76.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА*

Общие сведения

Более высокую прочность и жесткость имеют балки с узкими и высо­ кими сечениями. Однако в этих случаях возникает опасность потери устойчивости плоской формы изгиба. Такой вид потерн устойчивости называют опрокидыванием; при опрокидывании балка скручивается, а ее ось изгибается в плоскости

наименьшей жесткости.

• Написано совместно с В. Ф. Луковниковым.

Балка с узким прямоугольным сечением (полоса)

Основное дифференциальное уравнение задачи, описывающее воз­ мущенную форму равновесия, имеет вид

м \

<Р” + 1 ^ Г <Р= 0:

в общем случае оно имеет переменные коэффициенты. Интегрированием уравнения (73) и подчинением решения соответствующим граничным условиям получены результаты для ряда частных задач (табл. 32).

Результаты, приведенные в табл. 32, получены в предположении, что

отношение сторон сечения весьма мало и изгибом в плоскости уг

можно пренебречь. Однако опрокидывание может произойти и в случаях,

когда отношение сторон не очень мало, но длина I достаточно велика.

В этих случаях можно пользоваться теми же выражениями для крити­ ческих нагрузок, но с несколько большими значениями коэффициентов.

32. Критические нагрузки для некоторых случаев нагружения полосы

28,31 У ВуС