книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ
..pdfзадаются в виде (1.150), где 0, tj» и х выражаются формулами (1.56), и для оболочки в общем выполняются условия Кирхгофа— Лява (1.44) [3,8].
Пусть |
оболочка |
собрана из |
п слоев |
переменной |
толщины |
||||
(ркс. |
1.7) |
и ее |
координатная |
поверхность, |
выбранная из каких- |
||||
либо |
соображений, отнесена |
к поверхности f = const в |
принятой |
||||||
системе криволинейных координат а, |
|
|
|||||||
(3, у. Считаем, что плоскость упругой |
|
|
|||||||
симметрии в каждой точке оболочки |
|
|
|||||||
касается |
координатной |
поверхности |
|
|
|||||
или |
поверхности, ей эквидистантной. |
|
|
||||||
Принятие гипотезы прямой неде- |
|
|
|||||||
формируемой нормали для всего |
па |
|
|
||||||
кета |
предполагает, что все слои мно |
|
|
||||||
гослойных оболочек |
деформируются |
|
|
||||||
без скольжения |
и отрыва, а также, |
|
|
||||||
что компоненты |
напряжений на пло |
|
|
||||||
щадках, |
касательных к |
поверхности |
|
|
|||||
контакта, |
не имеют разрывов: В этом |
|
|
||||||
случае выполняются условия |
контак |
|
|
||||||
та для перемещений: |
|
|
|
|
|
|
|||
U1 = |
« '+ •, |
& = |
Wl = |
Wi+l. |
(1.141) |
|
|
Будем считать, что поверхности контакта /-го и (Z + 1)-го слоев задаются уравнениями ? = т*(а>Р)> a лицевые поверхности обо лочек — уравнениями:
Ï = То (<*. Р). Т_= 7 п(«, Р).
Усилия и моменты для n-слойной оболочки вводятся с по мощью формул:
|
|
o!,(l + J-)dT; |
ЛГ,2 = £ |
j |
|
|
||
|
£=1 Ti-1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
71 |
|
|
n |
Tt |
|
|
|
4 ' ” S |
i |
»•» f1 + i - j |
|
M' = |
S |
I |
"fi (> + |
i ü Tdr>o-i42) |
»'=1 7f-l |
|
|
|
1 Tf—1 |
|
|
||
|
|
n |
fi |
|
|
|
|
|
|
|
= |
- Ц |
М |
- ^ Т . |
(I. 2). |
|
|
|
|
£=1 T£—1 |
|
2 |
|
|
|
|
При этом |
предполагается, |
что слои оболочки |
отсчитываются |
|||||
от внутреннего слоя. Для |
оболочки |
переменной толщины условия |
||||||
контакта для |
напряжений |
при 7 = Т£ записываются |
в виде |
|||||
|
|
|
= F ‘ у = |
1, 2, |
3), |
|
(1.143) |
где Flj — компоненты вектора напряжений, действующего на пло щадке у — В частности, лля 'оболочки из слоев постоянной толщины
Z7! = 013» z y = 023* ^3 = 033. |
(1,144) |
Как указывалось выше, уравнения равновесия, |
выражения |
для деформаций и соотношения неразрывности деформаций имеют такой.же вид, как и для однородных оболочек. Отличие заклю чается в том, что усилия и моменты задаются с помощью фор мул (1.142), и соотношения упругости имеют более сложный вид. Учитывая, что оболочка в каждой точке имеет одну плоскость упругой симметрии в отношении механических характеристик и является ортотропной в отношении теплофизйческих характеристик, соотношения упругости запишем в виде:
ЛГ] — Сц£I 4 - С1262 +• |
К \\* 1 + |
К 12*2 4 - C i6« + 2/Ci6x -— N \ T ,’ |
N 12 — Сбб«> 4 |
* Коб*с + |
"щ(КббО) 4 *ZWt) 4 " |
4~ С16Е1 4 " £-26^2 4 - Я.а* 14 " Л26Х2 —
Mi = D \ \ Y.\ 4- D12X2 4- Kiiei + |
K12S2 4“ Ki6«> 4 - 2>D\Qt — M ir;- (1.145) |
||||
M12 — КббЧ) 4 - 2D66t 4 - Ki6Sj 4 *-^2652 4 - D\&-\ |
4- £*26*2 — Hr, |
||||
|
|
( 1. 2), |
|
|
|
где Cij, Dih Кц зависят от механических |
характеристик слоев: |
||||
п |
1 ( |
|
п |
Ti |
|
Стр — |
J Bntpdy’, |
Ктр — 2 |
J |
Bmpydy, |
|
‘=1 Tt—1 |
|
t=i If—1 |
|
||
|
Dmp — |
Ë |
î B mPyl 2dy; |
(1.146) |
|
|
|
i=l T, |
|
|
|
^16 — 2f (#i2#2b— #22#ie), (1» 2); Bee '= Q . [a iiû 22 — (aî2)2]; (1*147)
=[û( i#22 — (# 1 г )2] #66 "b 2#]2#I6#2O — #1 1 (п г ь )2 — #22(#1б)|2 »
ni |
I I |
I I |
|
1 |
l |
|
À |
v2* |
а п = Ц ' |
a22= i | ’ |
Û66 = |
^ ’ |
a,2 = |
“ |
i f = - |
i î ; |
|
|
_t |
tIl2.1 |
|
«A |
t |
_ |
i |
|
|
,12 |
‘*312.1 |
^2,12. |
|
||||
|
ûl6==ir |
G{2 ’ |
#26 |
F1 |
|
Q\12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“1312,/— коэффициенты Ченцова [50]; в случае ортотропного ма
териала 7)12, / = 0 и #16 = #26 = 0. Величины B\k выражаются через механические характеристики i-го слоя [3].
Интегральные характеристики температурного поля имеют вид
|
? |
т/ |
|
|
Л 4г= |
Ц |
I |
(Bu«ir + В\20.\т) Tdy; |
|
|
■'=1 |
11—I |
|
|
|
« |
\ |
|
|
M \T = ^ |
J |
(Bnair -f- В\2а{т) Tydy\ |
|
|
|
1=1 V i |
( 1, 2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
Ъ |
|
|
S T = |
S |
I |
{B\№IT + B21№2T) Tdy', |
|
|
i = 1 T/-i |
|
|
|
|
n |
^ |
|
|
H T = |
S |
S |
(Biea{r 4- B26&2T) Tydy, |
(1.148) |
i=1 V i
где air, À T — коэффициенты линейного теплового расширения i-го слоя в направлении координатных линий. Если главные оси
анизотропии каждого |
слоя |
совпадают |
с линиями главных кри |
|||
визн, то |
жесткости |
|
|
|
|
|
|
G,6 = 0, |
/С/в = |
0, Djв = 0 |
(/ = |
1, 2). |
(1,149) |
В случае несовпадения |
осей |
анизотропии |
ортотропных |
слоев с |
||
линиями |
главных кривизн (координатными) линиями, жесткостные |
коэффициенты С;/, ki}, Dij пересчитываются по известным форму лам [3].
Для однослойных ортотропных оболочек имеем:
г> |
-----1 |
1Л ^ |
< |
/- . |
= 1 - - - - - Т |
Т |
»2 = |
МV 2 C |
_ |
= V 1 C 2 2 * , |
<-11 = |
Г Г — ; |
- 2 2 |
1 1 |
|||||||
|
1—vlv2 |
|
1 |
—vlv2 |
|
|
< |
|
|
|
Е h^ |
|
|
|
Е h? |
|
|
|
* |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
D" = 12(1 — |
|
; |
= |
TFfl- v T^y |
D |
l 2 = |
,2° " |
“ |
V|° 22' <1Л50> |
Напряжения в слоях определяются по формулам:
oïl = ВпЕ) 4“ В\2&2 4* jBl6<J> 4- у (ВпХ] 4- Bl2*2 4“ 2JBl6x) —
— (Bnair 4- В(га2г) T ;
022= B12S1 4- £22^2 4- В{бш 4- y (Bi2*i 4- Вг2*2 4 - 2Вгб^) —
—(B'i2air 4- Вггагг) T\
0 I 2 = B i e e4 i- B 2 4 ~ В б б « )4 - T ( B 6*i i 4 - |
B 2 6 * 24 - 2 В б б х ) — |
— (Bi6aliг 4- B21№2T) T . |
(Ы 51) |
Глава 2
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ГИБКИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН
1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ДЛИННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ
Приведем некоторые точные решения для гибких пластин и' оболочек, которые представляют самостоятельный интерес и могут быть использованы в качестве эталонных при численном решении данного класса задач.
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим деформацию |
гиб |
|||||||
|
|
|
|
|
кой бесконечно |
длинной |
прямо |
|||||||
|
|
|
|
|
угольной |
пластины |
постоянной |
|||||||
|
|
|
|
|
толщины h и ширины 26. Сре |
|||||||||
|
|
|
|
|
динная плоскость |
пластины |
до |
|||||||
|
|
|
|
|
деформации отнесена к декарто |
|||||||||
|
|
|
|
|
вой |
системе |
координат |
хоу |
||||||
|
|
|
|
|
(рис. 2.1). Пусть пластина наг |
|||||||||
|
|
|
|
|
ружена равномерной поперечной |
|||||||||
|
|
|
|
|
нагрузкой <7f = |
q. |
[74], |
изогну |
||||||
|
|
|
|
|
|
Как |
известно |
|||||||
|
|
|
|
|
тую |
срединную |
поверхность ia- |
|||||||
|
|
|
|
|
кой пластины можно считать ци |
|||||||||
|
|
|
|
|
линдрической |
с |
осью, |
парал |
||||||
|
Рис. 2.1 |
|
|
лельной |
оси |
ох. |
Перемещения |
|||||||
|
|
|
в |
любом |
сечении, |
перпендику |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
выми, |
|
|
|
|
лярном оси |
ох, |
будут одинако |
|||||||
а деформация ei равной нулю. Другими |
словами, |
переме |
||||||||||||
щения и деформации не будут зависеть от координаты х, |
а |
сле |
||||||||||||
довательно, все их производные по х равны нулю. |
|
|
|
|
||||||||||
Из |
уравнений |
(1.124) |
при |
DN = const, |
DM = const, |
T — О |
||||||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2v |
|
|
dw |
d2w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Du —s = —DN — |
57 ' |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ày |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
d*w— n |
ldv4- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( . ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
Система уравнений |
(2.1) |
имеет шестой порядок. Поэтому |
для |
|||||||||||
полного определения |
перемещений |
н и ш н а |
каждом |
крае |
при |
|||||||||
у — ±Ь необходимо задать |
по три граничных |
условия. |
|
гра |
||||||||||
В случае шарнирного опирания краев, согласно (1.137), |
||||||||||||||
ничные условия могут быть записаны в виде |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
w = 0, |
Л42= ~ |
= |
0 , и = |
0 при у = |
± 6. |
|
|
(2.2) |
dy
Полное сближение продольных кромок Д пластины записывает ся так:
ь
А = ^ j% dy = v (b) — v (— b)' |
(2.3) |
При отсутствии сближения кромок
Д = V (Ь) — V(—Ь) = 0. |
(2.4) |
Иногда последнее условие более предпочтительно и им можно заменить одно из условий
v{±b) = 0.
Первое уравнение (2.1) можно переписать в виде
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
DN |
|
|
|
= С, |
|
|
|
|
где С — постоянная интегрирования. |
|
|
собой про |
|||||
Левая часть последнего выражения представляет |
||||||||
дольное усилие N 2. В этом нетрудно |
убедиться, |
если во |
второе |
|||||
выражение (1.87) подставить |
вместо деформаций их значения через |
|||||||
перемещения. Итак, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
Отметим, что второе |
уравнение системы уравнений |
равнове |
||||||
сия (1.120) для случая рассматриваемой пластины в |
декартовой |
|||||||
|
|
dN2 |
л |
„ |
|
|
|
|
системе координат имеет вид -щ- = 0. Проинтегрировав его и ис |
||||||||
пользовав соотношения |
упругости, |
приходим к |
равенству |
(2.5). |
||||
Физически это означает, |
что |
в любом сечении у = const |
|
усилие |
||||
N 2 постоянно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Положив |
|
|
|
|
|
|
|
|
V = р - W 2 > 0), |
|
|
|
(2. 6) |
||||
|
|
им |
|
|
|
|
|
|
второе уравнение системы .(2. 1) перепишем в виде |
|
|
|
|||||
d4w |
. 9 d2w |
|
q |
|
|
|
(2.7) |
|
dy4 ~ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее решение этого дифференциального уравнения |
с |
постоян- |
||||||
ными коэффициентами |
|
|
|
|
|
|
|
|
ш = Ci -{- С%у |
Сз sh \у -f- С4ch \у — |
-2- |
|
|
(2 .8) |
Хотя в' этом выражении нагрузка q в последнем члене входит линейно, прогиб w связан с q нелинейно, так как усилие N 2 есть функция q, а следовательно, X= X(q).
Потребовав удовлетворения (2.8) первым двум условиям (2.2) при у = ±Ь, найдем
С ,= q(bh2 - 2) |
С2 — С3 |
= О, |
С4 = |
1 |
|
ch Х6* |
|||||
2DM\< |
’ |
|
|
||
Подставив полученные значения |
постоянных в выражение (2.8)» |
||||
прогиб запишем в виде |
|
|
|
||
w — |
|
|
|
(2.9, |
|
|
|
|
|
20МХ4' |
В этом выражении неизвестной является также величина X. Для ее определения используем условие отсутствия сближения кромок. Из (2.4) с учетом (2.3), второго соотношения (1.117) при
i$fl = 0 и соотношений упругости (1.87) и (2.9) для данного слу чая получаем
ьь
-ё р " ( I th х6 - 4 + T th2xê + ^ - ) = °- Вводя безразмерные величины:
= |
Р = { . с = т - ч = т - p = ê £ h ’ |
<2|0> |
получим уравнение для определения безразмерного |
параметра р, |
|
и выражение для безразмерного прогиба С: |
|
(а9— Р2 (15th (а— 15(а4- 3(аth2fA-f- 2(а3) = 0;
|
|
|
|
|
(—1 < 7 ] < 1 ) . |
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
||
Уравнения (2.11) представляют |
собой |
две |
зависимости |
F1(р, |
||||||||||
Р) =■ 0, F2 (С, |
и-, |
Р) = 0. Первое |
уравнение |
является |
трансцен |
|||||||||
дентным и не |
может |
быть |
решено аналитически. Поэтому на |
|||||||||||
практике сначала из первого уравнения |
численно |
находят |
зави |
|||||||||||
симость Р — Р (}а). |
Далее |
из |
второго |
уравнения, |
перебирая [а |
|||||||||
и учитывая связь P = P (JA), получают зависимость |
С= |
С(Р,). |
|
|||||||||||
Выше мы определили |
пять постоянных |
интегрирования |
Ci, |
|||||||||||
С2, С3, С4, N 2 =*=С. |
Шестая |
постоянная |
интегрирования |
полу |
||||||||||
чается при |
интегрировании |
уравнения |
|
(2.5) |
и удовлетворении |
|||||||||
одного из |
условий v(±b) = 0. Однако этой |
постоянной |
в теории |
пластин, |
как |
правило, |
не интересуются. |
Заметим лишь, |
что |
|||||
перемещение |
£ = |
~ , найденное из (2.5), |
имеет вид |
|
|
|||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
_ |
Л |
_р? / |
sh 2{хт) |
2ch' - + ^ 3 - |
!ÿ |
- 2^ h M ) + Cs |
||||
- |
12 |
|х6(; |
ch2 (х |
|||||||
Отсюда |
в идно, что при |
удовлетворении |
условию Д = 0 по |
фор |
||||||
муле (2.4) постоянная С$ пропадает, и |
получаем связь |
между р, |
||||||||
и Р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.102), |
|
Напряжения в пластине определяются согласно |
||||||||||
(1.87), |
(2.9): |
|
12МЧ |
|
|
|
|
|
||
|
022 = |
N о |
|
|
|
|
|
|||
|
+ Т ' |
|
|
|
|
|
|
|||
Вводя безразмерное напряжение |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
02 |
462о22 |
|
|
|
(2.12) |
|
|
|
|
|
-DJT' |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
')) |
(2.13) |
|
|
|
На лицевых сторонах пластины (у = +h/2 ) |
|
|
„± _ L 2 4- g р ft*1»*1) |
А |
|
02 - т ± %» [ * 7 |
1)- |
|
Экстремальные значения напряжений в сечениях т]=0: |
|
|
0? = 0 2М ± 0 2„ |
1), |
|
где 02М и 02и — соответственно безразмерные тангенциальные (мем бранные) и изгибные напряжения.
В случае жесткого закрепления краев граничные условия, согласно (1.129), можно задать в виде:
w = 0, dw = 0 при у = ±Ь,
д = |
(2.15) |
Удовлетворив решение (2.8) первым двум условиям (2.15), определяем постоянные интегрирования:
C i - î é , ( 1 _ « d h 4 |
c , " a “ 0> |
|
с 4= |
qb |
1 |
DMl 3 sh b\ |
и находим решение для прогиба |
|
|
|
||
W = |
ЯЪ2 |
2 |
2 (ch \у — ch Щ |
|
|
- Z -----5 |
+ |
Ib sh lb |
|
|
|
|
2DM \ 2 |
|
|
||
или в безразмерном виде |
|
|
|
|
|
С |
2 _j_ 2 (ch pg — ch {х) |
(2.16) |
|||
|
pshp |
||||
|
|
|
|
|
|
Уравнение для |
определения безразмерного |
параметра р, |
как |
||
и в предыдущем случае, |
находим из |
третьего |
условия (2.15), |
из |
которого после подстановки в него решения (2.16) получаем трансцендентное уравнение
^- прг(нЬ - |
+ ? +т) |
0- . |
« 2 ,7 , |
1 |
1 • 4 ' 5 ' |
Методика получения зависимости С = С(Р) из системы уравне* ний (2.16) и (2.17) остается прежней: из (2.17) находится зави симость Р = Р (|л), а далее из (2.16) при фиксированном р, на ходится зависимость С= С(Р). Безразмерное напряжение при этом
|
Л _ v -2 |
4 х £ L £ h R _ i\ |
|
|
|
|
(2.18) |
|||||
|
02 ~"З |
4 h |
shp |
' |
7 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Экстремальные напряжения на лицевых поверхностях будут |
|
|||||||||||
|
.2 |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eï"!î ±2ïH^_1)' |
|
|
|
|
|
(2.19) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Зависимости |
между |
безразмер |
||||||||
6t |
|
ными напряжениями |
в |
средин |
||||||||
|
|
ной |
|
плоскости |
02ль |
нагрузкой |
||||||
SO |
тf |
Р и прогибом С при шарнирном |
||||||||||
опирании |
краев |
представлены |
||||||||||
|
6toJ |
на |
рис. |
2.1 |
Изменения |
безраз |
||||||
40 |
|
мерных |
изгибных |
напряжений |
||||||||
|
|
02И при |
изменении С |
представ |
||||||||
20 |
|
лены |
на |
рис. 2.2. |
При |
этом а?» |
||||||
|
|
и 02Иозначают |
напряжения из |
|||||||||
|
|
гиба |
при |
жестком защемлении |
||||||||
|
2 |
краев, |
вычисленные |
в |
точках |
|||||||
|
Рис. 2.2 |
XI = |
0 и xi — |
1 |
соответственно; |
|||||||
|
|
о2и — напряжения |
изгиба |
при |
||||||||
шарнирном закреплении краев в сечении |
у — 0. |
|
по цилиндри |
|||||||||
Впервые задача об изгибе удлиненной |
пластины |
|||||||||||
ческой поверхности решена |
в 1909 г |
И. |
Г. Бубновым |
[9J. Им |
||||||||
были решены и табулированы решения |
трансцендентных |
уравне |
||||||||||
ний для |
определения р. при |
заданных |
Р, |
а |
также |
получены |
не- |
которые дополнительные выражения для подсчета безразмерных прогибов и напряжений.
В настоящее время в результате широкого использования ЭВМ вычисление всех искомых величин не представляет больших труд ностей.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ИЗГИБЕ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ
Рассмотрим [74] осесимметричную деформацию гибкой круг лой пластины. Отнесем срединную плоскость пластины (рис. 2.3) в недеформированном состоянии к полярной системе координат.
Предположим, что |
толщина h |
? |
|
|
пластины постоянна |
и пластина |
|
||
нагружена распределенной рав |
^ |
|
||
номерно нормальной |
нагрузкой |
|
||
4 т = <7- |
|
|
Ifi |
|
Положив |
|
|
|
|
а = г, р = О, А = 1, В = |
г, |
до |
|
|
<7i = 4г = 0, т\ = т2 — О, |
|
|
||
|
|
( 2.20) М |
|
|
из (1.125) получим основное раз |
|
|
||
решающее уравнение для |
гиб- |
0 |
|
|
ких пластин в полярных коор |
|
|
||
динатах |
|
+ N i*i -f N2*2= 4* |
(2.21) |
|
в котором |
|
|||
|
|
|
|
(2. 22)
(2.22)
Для дальнейших преобразований понадобятся уравнения рав новесия (1.120) и третье уравнение совместности деформаций (1.123), которые в полярных координатах при осесимметричной деформации пластины имеют вид:
d N |
drQ1 |
ur,vi .т ~ |
|
— ---- N, = 0, |
- = - / ? ! |
(2.23)
Соотношения упругости в этом случае запишутся в виде:
N i = D n {&\ + ve2), N 2 — D N (e2 + vej);
|
M\ = |
DM (*, + |
vx2), |
М 2 = DM (*2-f |
v*i), |
(2.24) |
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
. 1 |
(dw\2 |
и |
|
<2'25> |
|
|
e, = âT + T \ d ï ) |
• S 1 = T - |
|
|||
Использовав выражения для кривизн из (2.22) и первое |
|||||||
уравнение (2.23), |
получим |
|
|
|
|
|
|
.. |
. . . |
/ ЛГ d2w . |
1 dw |
àrN{\ |
I d / |
dw\ |
|
N m + N m = - I N i . - p - + T 3 T ' ~3T ) = |
~ d r \ r N ' d r \ |
Внося это выражение в уравнение (2.21),- придем к уравнению
DM
Проинтегрировав его, находим
d Г 1 d ( |
daA] |
N ] *£ = r-i + £ |
|
|
DM ЗГ |7~ЗГ V |
|
1 |
||
dr jj ~~ ;v 1dr |
2 ' г |
(2.26)
(2.27)
где С — постоянная интегрирования.
Подставив вместо моментов в третье уравнение (2.23) их зна
чения из (2.24), |
а изгибные |
деформации |
заменив через переме |
|
щения согласно |
(2.22), получаем зависимость |
|||
|
d Г 1 d / |
daA |
Ar dw |
„ |
DM dr L t dr \ dr J |
W13r ^ - Q „ |
Сравнивая это выражение с уравнением (2:27), находим
Заметим, что такое же выражение |
получается при |
интегрирова |
||||
нии второго уравнения |
(2.23). Исходя из физического смысла |
|||||
задачи, искомые величины: |
перемещения, |
усилия |
и моменты |
|||
должны быть конечными |
в каждой точке пластины, в том |
числе |
||||
и при г = 0.. Поэтому посюянную |
С необходимо положить |
рав |
||||
ной нулю. |
|
|
|
деформаций |
(2.23), |
|
Проинтегрировав уравнение совместности |
||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
d r t 2 |
|
. |
А. |
|
|
|
1 Г |
- |
е , + |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из соотношений (2.25) можем получить зависимость
dre,,
= 0.
5 Г - е' +
Из сравнения двух последних выражений следует, что А — 0. Исключив из последнего уравнения с помощью соотношений упру-