книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов
..pdfэкспериментов найти состав сплава, отличающегося наиболее высоким уровнем свойств.
Метод случайного баланса состоит из последовательного вы полнения ряда этапов, подробное описание которых можно найти в литературе [81, 59, 125, 107].
Метод случайного баланса, несмотря на отсутствие теоретиче ского обоснования (хотя в настоящее время некоторые попытки сделать такое обоснование делаются [70, 64]), достаточно часто применяют при решении различных технических задач, в том числе и в области технологии металлов. Отметим только некоторые из них.
В работе ИЗО] с помощью метода случайного баланса выби рали факторы, наиболее сильно влияющие на брак определенной группы стальных отливок. По четырехбалльной шкале оценивали такие дефекты отливок, как усадочные раковины, горячие трещины и подкорковые пузыри. Ответственными за эти дефекты предпо лагали семнадцать факторов: семь, связанных с составом сплава; семь — со свойствами формовочных смесей; один — с техноло гией формовки; два — с методами очистки. Всего было выполнено 32 опыта. Оказалось, что на каждый тип дефектов влияют только два-три фактора.
Примерно аналогичная задача выявления факторов, наиболее сильно влияющих на плотность отливок при центробежном литье, решалась в работе [18].
Предел прочности чугуна и длину графитных включений в нем в зависимости от 13 элементов химического состава, а также от температуры перегрева расплава и разницы температур перегрева и заливки, изучали в работе [35]. Всего 16 опытов случайного баланса оказалось достаточным, чтобы выявить характер изме нения структуры и свойств чугуна и рекомендовать наиболее
целесообразное |
его легирование. |
С рядом серьезных трудностей пришлось столкнуться авто |
|
рам работы [71 ] |
при использовании метода случайного баланса |
для выделения доминирующих факторов мартеновской плавки. Исследование проводили в мартеновской печи емкостью 480 т, работающей скрап-рудным процессом. В 24 опытах было изучено влияние 1 2 технологических факторов на продолжительность
плавки от начала завалки до расплавления. Оказалось, что про должительность плавки более всего зависит от протяженности периодов завалки, прогрева и заливки чугуна, а также от коли чества известняка в завалку и расхода воздуха в плавление. Было выделено также и несколько парных эффектов, на которые
ранее металлурги |
не обращали внимание. |
В работе [97] |
изучали влияние десяти факторов на ударную |
вязкость по-разному раскисленной стали. Реализация 16 опытов позволила установить наиболее существенное положительное влия ние очищенности шихты от серы и фосфора, а также некоторых парных взаимодействий, среди которых, в частности, оказалось
61
соотношение между силикокальцием (раскислителем) и марган цем; температурой заливки и скоростью охлаждения.
Две серии отсеивающихся экспериментов, посвященных вы бору факторов, определяющих магнитные свойства сплавов типа алнико после термической обработки с изотермической выдерж кой в магнитном поле, было выполнено в работе [5]. В первой серии варьировалось 10 переменных, во второй — 13. Для ре шения задачи было выполнено 16 опытов первой серии, допол ненных еще некоторым числом опытов второй серии. Особен ностью работы являлось то, что анализировали не только линей ные и парные, но и эффекты тройных взаимодействий факторов. Интересно, что уже в отсеивающем эксперименте удалось выбрать состав сплава, отличающегося высокими магнитными свойствами.
Из проведенного авторами работы 147] отсеивающего экспе римента, в котором изучалось влияние 15 легирующих добавок на ударную вязкость, твердость, жидкотекучесть и трещинопоражаемость жаростойких аустенитных и аустенитно-ферритных сталей, удалось также дать предварительные рекомендации об оптимальных составах сталей. Лишь семь основных легирующих
добавок были признаны |
значимыми |
из анализа 1 2 0 линейных |
и парных эффектов после |
проведения |
16 опытов. |
При создании новой инструментальной стали холодной штам повки в работе [2 1 ]с помощью метода случайного баланса изучили
влияние девяти легирующих элементов на различные механиче ские свойства сталей. После выполнения 8 опытов удалось разо
браться в характере влияния легирующих элементов и выбрать наиболее перспективные.
В уже упоминавшейся работе [22] комплексный показатель качества, определявшийся значениями твердости и электропро водности сплавов меди с никелем и кремнием, изучали методом случайного баланса в зависимости от 14 легирующих добавок, вводимых в сплавы. После проведения 16 опытов из 105 линейных эффектов и парных взаимодействий удалось выделить лишь че тыре наиболее сильно меняющих отклик в нужную сторону.
Отметим еще две работы. В работе [1] методом случайного баланса было изучено влияние легирующих элементов и режима термической обработки на теплоустойчивость стали Х5, в работе [45] — после реализации 16 опытов выявлен из 10 изученных всего один легирующий элемент, сильно влияющий на темпера турный коэффициент электросопротивления палладийсеребряного сплава.
По мнению В. В. Налимова 177], метод случайного баланса представляет собой попытку формализовать те психофизиологи ческие приемы выделения существенных факторов, которыми пользуются экспериментаторы, основываясь на своих знаниях, опыте и интуиции.
Интересный способ обработки данных пассивного эксперимента приемами, используемыми в методе случайного баланса, пред
62
ложен в работе [73 ]. Как известно, пассивный эксперимент можно проводить в любых производственных условиях, причем часто можно ограничиться просто использованием технической доку ментации. Однако для обработки этих данных, как правило, необходима вычислительная техника. В то же время активный эксперимент можно проводить не во всяких производственных условиях, но для обработки его результатов используют простой математический аппарат. Предложенный своеобразный пассивно активный метод случайного баланса использует данные пас сивного эксперимента, которые обрабатываются по методу слу чайного баланса. Проиллюстрируем эту идею на примере.
В одной из задач изучали зависимость ударной вязкости при —60° С (у) от состава одной из конструкционных легированных
цементуемых сталей. Результаты опытов, проведенных в разное время и для разных целей, сведены в табл. 1.17. Всего изучали влияние семи легирующих элементов (факторов). Вначале под считали средние арифметические значения по каждому из факто ров. Средние значения считали с точностью, на один знак после
Т а б л и ц а 1.17. Зависимость ударной вязкости при —60° С легированной стали от состава
Помер |
Xi |
x2 |
x» |
опыта |
(С. %) |
(Mn, |
(Si, %) |
|
|
%) |
|
1 |
0,21 |
0,79 |
0,20 |
2 |
0,28 |
1,10 |
0,80 |
3 |
0,19 |
0,65 |
1,05 |
4 |
0,26 |
0,55 |
0,39 |
5 |
0,30 |
0,59 |
0,45 |
6 |
0,18 |
0,64 |
0,51 |
7 |
0,20 |
0,60 |
0,63 |
8 |
0,21 |
0,58 |
0,81 |
9 |
0,25 |
0,55 |
0,76 |
10 |
0,19 |
1,05 |
0,44 |
11 |
0,18 |
0,92 |
0,32 |
12 |
0,23 |
0,64 |
0,28 |
13 |
0,26 |
0,78 |
0,41 |
14 |
0,19 |
0,82 |
0,54 |
15 |
0,29 |
0,90 |
1,10 |
16 |
0,30 |
0,69 |
0,79 |
17 |
0,24 |
0,76 |
0,36 |
18 |
0,17 |
0,67 |
0,43 |
19 |
0,19 |
0,99 |
0,34 |
20 |
0,25 |
0,81 |
0,87 |
о |
v |
i_________ |
", |
|
5 |
0,65
0,74
0,87
0,68
0,82
0,91
1,05
0,73
0,92
1,22
0,59
0,63
0,74
0,81
0,57
0,61
1,25
0,74
0,87
0,78
xb |
(Ti, %) |
<M$? %) |
> |
(Ni, %) |
H |
||
|
|
|
К Г С * M / C M 2 |
1,65 |
0,07 |
0,41 |
9,7 |
1,51 |
0,12 |
0,24 |
9,1 |
1,39 |
0,06 |
0,32 |
8,3 |
1,48 |
0,15 |
0,21 |
7,9 |
1,18 |
0,03 |
0,49 |
7,4 |
1,20 |
0,09 |
0,47 |
8,1 |
1,13 |
0,00 |
0,33 |
6,6 |
1,54 |
0,04 |
0,50 |
9,0 |
1,36 |
0,14 |
0,20 |
5,5 |
1.00 |
0,00 |
0,50 |
6,3 |
1,25 |
0,07 |
0,43 |
8,4 |
1,32 |
0,06 |
0,39 |
7,5 |
1,10 |
0,11 |
0,25 |
8,8 |
1.05 |
0,03 |
0,26 |
6,2 |
1,48 |
0,00 |
0,20 |
5,8 |
1,54 |
0,02 |
0,2 |
10,1 |
1,63 |
0,01 |
0,41 |
7,7 |
1,63 |
0,12 |
0,46 |
6,4 |
1.41 |
0,00 |
0,32 |
8,1 |
1,05 |
0,14 |
0,29 |
9,0 |
%1 шах |
0,30 |
U O |
MO |
1,25 |
1,65 |
0,15 |
0,50 |
min |
0,17 |
0,55 |
0,20 |
0,65 |
1,00 |
0,00 |
0,20 |
*1 |
0,229 |
0,754 |
0,574 |
0,809 |
1,345 |
0,063 |
0,346 |
6 3
запятой большей, чем точность, с которой задан фактор в исход ной таблице. Далее, каждое конкретное значение фактора сравни вали со средним значением и ставили в соответствующую клетку таблицы знак «+», если значение фактора оказывалось больше среднего, и знак «—» в случае, когда конкретное значение было меньше среднего. Например, для фактора хх среднее арифмети ческое хх = 0,229; в 1-м опыте (табл. 1.17) хх = 0,21, что меньше 0,229, поэтому вместо 0 , 2 1 ставится «—»; во 2 -м опыте хх = 0,28,
что больше 0,229, поэтому вместо 0,28 ставится знак «+» и т. д. Таким образом, получается преобразованная табл. 1.18, внешне похожая на матрицу случайного баланса с варьированием фак торов на двух уровнях + 1 и — 1 .
Т а б л и ц а 1.18. «Матрица случайного баланса» в задаче изучения ударной вязкости при —60° С легированной стали
Номер опыта |
хг |
*3 |
а |
Хц |
X? |
У |
|
|
|
Х |
*5 |
|
|
1 |
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
9,7 |
2 |
+ |
— |
+ |
+ |
— |
9,1 |
||
3 |
|
— |
+ |
+ |
+ |
|
— |
8,3 |
4 |
+ |
— |
— |
|
+ |
+ |
— |
7,9 |
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
+ |
— |
— |
+ |
|
|
+ |
7,4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
— |
— |
— |
+ |
— |
+ |
+ |
8,1 |
7 |
— |
+ |
+ |
— |
— |
— |
6,6 |
|
8 |
— |
— + |
|
+ |
— |
+ |
9,0 |
|
9 |
+ |
— |
+ |
+ |
+ |
+ |
— |
5,5 |
10 |
*“— |
+ |
— |
+ |
|
---' |
+ |
6,3 |
Номер опыта
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
*1 |
Х2 |
*8 |
Ха |
ХЬ |
Ха |
X7 |
У |
|
+ |
+ |
|
|
+ |
+ |
8,4 |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
7,5 |
+ |
+ |
— |
— |
— |
+ |
— |
8,8 |
— |
+ |
— |
+ |
— |
— |
— |
6,2 |
+ |
+ |
+ |
|
+ |
— |
— |
5,8 |
+— + — + — — 10,1
+ |
+ |
— |
+ |
+ |
— |
+ |
7,7 |
-— |
— |
— |
— |
+ |
+ |
+ |
6,4 |
— |
+ |
— |
+ |
+ |
— |
— |
8,1 |
|
|
|
|
|
|||
+ |
+ |
+ |
---“ — |
+ |
”” |
9,0 |
Отметим, что можно получить таблицу, похожую на матрицу планирования активного эксперимента, и когда факторы варьи руются на трех уровнях. В этом случае выделяют конкретные значения факторов, отличающиеся от средних значений на средне квадратичную ошибку опыта и обозначают эти значения нулевым уровнем.
Полученные таблицы (например, табл. 1.18) позволяют исполь зовать обычную технику метода случайного баланса. Практика показала, что несмотря на то, что они построены по данным пас сивного эксперимента, выбор наиболее сильно влияющих факторов
и их взаимодействий осуществляется |
достаточно уверенно [62, |
||
72, |
24]. |
|
|
|
Отметим также интересный способ |
последовательного |
отсеи |
вающего эксперимента, предложенный |
в работе [140] для |
задач |
большей размерности. Идея его заключается в том, что все мно жество изучаемых факторов, варьируемых на двух уровнях, разбивают на отдельные подмножества, каждое из которых рас сматривают далее как отдельный комплексный фактор. В первой
64
серии опытов все факторы находятся на верхнем уровне. Ком плексные факторы, не давшие существенного эффекта, признают незначимыми и исключают из дальнейшего рассмотрения. Остав шиеся факторы вновь разбивают на подмножества — новые ком плексные факторы (уже более мелкие) и цикл опытов повторяют. Полученные после каждого цикла результаты позволяют выби рать оптимальные планы для реализации следующего цикла. Описанную процедуру повторяют до выявления всех существен ных факторов. Подробно алгоритм последовательного отсеивания описан в работе 144 ], а различные способы разделения факторов на группы — в работе [60]. Отметим, что предпосылками к исполь зованию метода являются наличие только небольшого числа значимых факторов, причем эффекты их должны существенно превышать ошибку опыта и эффекты всех остальных незначимых факторов, а также малая ошибка эксперимента, т. е. хорошая воспроизводимость опытов.
В заключение укажем, что в настоящее время существуют и другие способы экспериментального отсеивания факторов. Наиболее интересными из них являются приемы комбинаторного анализа (использование латинских, греко-латинских и более сложных квадратов, прямоугольников, кубов; сочетание их с дробным факторным экспериментом и Др.), особенно важные при анализе большого количества качественных дискретных факторов (см. например, [65—67 ]), а также приемы дисперсион ного анализа, в котором значимость факторов оценивается их вкладами в дисперсию отклика (см., например, [9 3 , 116, 251).3
3 Новик Ф. С ., Арсов Я. Б.
2
ГЛАВА
ФАКТОРНЫЕ ПЛАНЫ
2.1. ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ДВУХУРОВНЕВЫХ ФАКТОРОВ И ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Рассмотрим прежде всего простейший случай, когда в задаче варьируются только два фактора: х1 и x2t причем каждый на двух
уровнях + 1 и — 1. Все возможные комбинации факторов будут исчерпаны в следующих четырех опытах, указанных в табл. 2 . 1 .
В1-м опыте оба фактора находятся на верхнем уровне; во 2-м фактор хх— на нижнем, а фактор х2 — на верхнем и т. д. Такие
таблицы обычно называют матрицами планирования экспериментов.
Вобщем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным фак торным. Если число уровней каждого фактора равно двум, то
число опытов |
полного |
факторного |
эксперимента N составляет |
N = 2kt где |
k — число |
факторов, |
2 — число уровней. |
Существует несколько способов построения матриц полного факторного эксперимента. Один из наиболее простых заключается в следующем: при любом k необходимо повторить дважды матрицу планирования для случая k — 1 сначала при значении k-ro фак
тора на верхнем уровне, а затем на нижнем. Последовательное достраивание матриц полного факторного эксперимента при уве личении k от 2 до 5 показано в табл. 2.2. Для простоты записи
единицы здесь опущены, оставлены только знаки. Первые от черкнутые четыре опыта представляют собой матрицу 2 а (см. также табл. 2.1). Далее они еще раз повторены, и в столбце х3
для |
первой |
матрицы 2 2 |
проставлены четыре знака «+», для вто |
|||||||
|
|
|
|
|
рой — четыре знака |
«—». Таким об |
||||
|
Та б ли ц а |
2.1 |
|
разом, |
отчеркнутые |
восемь |
опытов |
|||
|
|
представляют |
собой |
уже |
матрицу |
|||||
|
Матрица полного |
|
||||||||
|
|
планирования 2 3. Затем |
в табл. 2.2 |
|||||||
факторного |
эксперимента 23 |
процедура повторяется |
до |
построе |
||||||
Номер |
|
|
|
ния матрицы |
2 5. |
|
|
|
||
|
х2 |
|
Отметим следующие |
два |
важных |
|||||
опыта |
|
У |
||||||||
|
|
|
|
|
свойства рассмотренных |
планов. Во- |
||||
1 |
+ |
i |
+ i |
Ух |
первых, |
они |
симметричны |
относи |
||
тельно |
центра |
эксперимента |
|
|||||||
2 |
— 1 |
+ i |
У2 |
|
||||||
3 |
+ i |
— 1 |
Уз |
N |
|
/ = 1 , 2 ........ к- (2.1) |
||||
4 |
— 1 |
— 1 |
Ух |
|
|
66
Т а б л и ц а 2.2, Матрицы полного факторного эксперимента от 22 до 25
П л а н |
№ о п ы т а |
* i |
х 2 |
X s |
* 4 |
Х ь |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
I |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
|
|
|
|||||
|
|
0 2 |
2 |
— |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
+ |
— |
+ |
+ |
+ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
I |
4 |
— |
— |
+ |
+ |
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
+ |
+ |
— |
+ |
+ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
6 |
— |
+ |
— |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
7 |
+ |
— |
— |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
8 |
■ |
— |
— |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
|
. |
|
2 |
|
|
+ |
+ |
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
0 |
■— |
+ |
+ |
— |
+ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 1 |
+ |
— |
+ |
— |
+ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
— |
— |
+ |
— |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 3 |
+ |
+ |
|
— |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 4 |
— |
+ |
— |
— |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 5 |
+ |
— ■ |
— |
— |
+ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
6 |
— - |
— |
— |
— |
+ |
NV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 7 |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
|
|
|
1 |
8 |
|
+ |
+ |
+ |
— |
|
|
|
|
|||||
25 |
|
1 |
9 |
+ |
— |
+ |
+ |
— _ |
|
|
|
+ |
+ |
|
|||
|
2 |
0 |
— |
— |
— |
|||
|
|
21 |
+ |
+ |
— |
+ |
— |
|
|
|
22 |
— |
+ |
— |
+ |
— |
|
|
|
2 3 |
|
+ |
||||
|
|
+ |
— |
— |
— |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
24 |
— |
— |
— |
+ |
__ |
|
|
|
+ |
+ |
|
____ |
|||
|
|
2 5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 |
|
+ |
+ |
— |
— |
|
|
|
2 7 |
+ |
— |
+ |
— |
— |
|
|
|
2 8 |
— |
— |
+ |
— |
— |
|
|
|
2 9 |
+ |
+ |
— |
— |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 0 |
|
+ |
|
|||
|
|
- — |
— |
— |
— |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
1 |
+ |
— |
— |
— |
— |
|
|
3 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
— |
— |
— ~* |
— |
V
т. е. сумма элементов любого столбца матрицы планирования равна нулю. Во-вторых, эти планы нормированы:
N |
х\ = N, |
i = 0, 1,2........к |
|
£ |
(2.2) |
||
U—1 |
“ |
|
|
т. е. сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов.
Рассмотрим теперь вид математической модели, которую можно построить после реализации опытов полного факторного экспе римента.
67
Т а б л и ц а |
2.3. Расширенная |
Запишем еще раз |
матрицу |
||||||||
матрица полного факторного |
полного |
факторного |
экспери |
||||||||
|
|
эксперимента 22 |
|
|
мента 2а |
(табл. 2.3). |
|
||||
Номер |
|
|
xz |
*1*2 |
У |
Здесь |
планом эксперимента |
||||
опыта |
Хо |
|
|||||||||
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
являются, по сути дела, лишь |
||||
|
столбцы 3 и 4. Столбец 6 содер |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
+ i |
+ 1 |
+ |
1 |
+ |
i |
Ух |
жит результаты опытов. Осталь |
|||
2 |
+ i |
— 1 |
+ |
1 |
— |
i |
Уг |
ные столбцы—вспомогательные. |
|||
3 |
+ i |
+ 1 |
— |
1 |
— 1 |
Уз |
Начнем строить |
линейную |
|||
4 |
— 1 |
+ i |
|||||||||
+ i |
— 1 |
У 4 |
модель |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
У= Ь„-|- |
X b t X h |
|
(2.3) |
|
или |
для |
случая |
двух |
факторов |
; = 1 |
|
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
У |
|
|
^0 |
^2*^2 * |
|
(2-4) |
Отметим, что, вообще говоря, любую модель из рассматривае
мых можно |
считать линейной. |
|
|
|
|
Запишем, |
например, |
общий |
вид |
полинома |
второй степени |
от k факторов: |
|
|
|
|
|
У= Ь0-(- Ь}ХХ-|- Ь2х3 |
-f- bkxk -f- bizXiXi *-|~ |
--[-••• -|- |
|||
"h |
о/Л—\%k -f* b \ \ X \ -j~ bo2%2 + •••-Ь bkkx k- |
||||
Если ввести фиктивную переменную х0 = 1 и провести замену |
|||||
нелинейных |
членов следующим |
образом: |
|
||
X\X2 = Xk+ \ \ |
= |
• • *; |
Xk—\Xk = |
X k + c \ \ |
|
X 2 = |
Xь + C % + \' |
f e + C |+ 2 ; |
— *fc+r|+fc ' |
(Cl — число сочетаний из k по 2 ), то получим однородное линей
ное уравнение
fe+ci+fe
У = |
£ |
b tX i . |
|
1=1 |
|
Таким образом, будем |
рассматривать модели, может быть |
и нелинейные по факторам, но всегда линейные по неизвестным коэффициентам.
Для вычисления коэффициентов модели (2.3) обычно исполь зуют метод наименьших квадратов. Полученные с его помощью оценки коэффициентов обладают некоторыми оптимальными в ста тистическом смысле свойствами: состоятельностью, несмещен ностью, эффективностью и достаточностью. Оценка коэффициента состоятельна, если при увеличении объема выборки она прибли жается к истинному значению коэффициента; несмещенна, если математическое ожидание ее равно оцениваемому значению коэф фициента; эффективна, если оценка характеризуется минимальной дисперсией; достаточна — если включает максимум информации
68
окоэффициенте (подробней обо всех этих свойствах см., например,
в[108]).
При использовании метода наименьших квадратов минимизи руется следующая функция:
N
Ф = И (уUУи? = min, |
(2.5) |
К= 1 |
|
где уи и уи — соответственно экспериментальные и рассчитанные по уравнению (2.3) значения у в и-м опыте; N — общее число
опытов.
Перепишем уравнение (2.4), введя в него фиктивную пере
менную *0, принимающую во всех опытах значение - | - 1 |
(столбец 2 |
|||||
в табл. 2.3) |
|
Ь0хо -Ь M i -|- |
|
|
|
|
У = |
М а. |
|
(2.6) |
|||
Тогда (2.5) можно записать как |
|
|
|
|||
N |
|
|
|
|
|
|
ф = X |
(Уи — Ь0Хо |
— bl.X\ |
— b.2x2 y |
= min. |
(2.7) |
|
и ~ \ |
4 |
и |
и |
и/ |
|
|
Минимум функции (2.7) находят приравниванием нулю част |
||||||
ных производных: |
|
|
|
|
|
|
дФ |
|
|
|
дФ = |
0 . |
|
дЬ0 |
|
|
|
дЬ2 |
|
|
После дифференцирования и простейших преобразований по лучим так называемую систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:
Решение системы дает оценки неизвестных коэффициентов модели (2 .6 ).
Составим систему (2.8) для случая полного факторного экспе римента, записанного в табл. 2.3. Оказывается, что некоторые члены уравнений, входящие в систему, равны нулю. Действи тельно, легко видеть, что
N |
х0 Х\ |
|
= 0 ; |
N |
|
|
|
= 0 и |
N |
0 . |
£ |
и |
£ Х о |
|
х 2 |
|
£ XI х2 |
||||
и |
|
и~\ |
и |
|
и |
|
1 ы ы |
|
Указанное обстоятельство является весьма важным. В общем случае в рассматриваемых планах сумма почленных произведений
69
любых двух разных столбцов матрицы планирования равна нулю, т. е.
N |
Xt X, |
= 0 , 1 ф /. |
|
Г |
(2.9) |
||
1 |
и |
и |
|
Условие (2.9) носит название ортогональности.
В результате использования такого ортогонального плана
система (2 .8 ) принимает вид |
|
|
|
N |
N |
|
|
' Ь1 X *т,= |
S |
х\иУи\ |
(2. 10) |
и=\ и |
Ы— 1 |
и |
|
Оказывается, что для расчета коэффициентов bt не нужно
собственно решать эту систему. Каждый коэффициент опреде
ляется |
независимо от другого из своего уравнения системы: |
|||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
/V |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
х оиУи |
|
|
|
|
Л |
х1цУ“ |
|
Ц |
Х2иУи |
||
|
Ь0— «=1 |
|
/?1 = |
|
ы=i |
|
К = |
и=\ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 4 |
|
|
|
или |
в общем виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S х1иУ“ |
|
|
|
|
., h, |
|
|
|
|
|
|
|
|
bi = ^ |
------ , |
|
|
/ = 0 , 1 , 2 , |
|
|
|
( 2. 11) |
|||
где |
i — номер фактора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Кроме |
того, |
поскольку |
|
|
выполняется |
условие |
нормировки |
|||||||
(2 .2 ), |
т. е. для любого |
столбца |
табл. 2 . 3 |
N |
=Л /, формула |
|||||||||
х? |
||||||||||||||
(2 . 1 1 ) |
еще |
упрощается: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bi = |
|
. |
|
/ = 0 , 1 , 2 , . . . , k. |
|
|
|
(2 . 1 2 ) |
|||
Воспользуемся формулой (2.12) для расчета |
коэффициентов |
|||||||||||||
Ь0, Ьг и Ь0 модели |
(2.4) |
в случае |
планирования 2 2 |
(табл. 2.3): |
||||||||||
|
|
и |
__ Ух + |
?/2 + #з + .у4 |
, |
. |
|
и __ Ух — У2 + |
Уз — Ух |
. |
. |
|||
|
|
й0 |
-------------- |
----------- |
|
|
|
СЦ= ---------- |
----------- |
|
|
|
ь* |
Ух -Ь Уг — Уз — У* |
|
4 |
||
|
70