книги / Теория механизмов и механика систем машин
..pdfрешение которого обычно ищут в виде |
|
x e t . |
(9.32) |
Постоянная α определяется из условия, что решение (9.32) удовлетворяет уравнению (9.31). Определяя dx/dt, d2x/dt2 и подставляя их выражения в уравнение (9.31), получим
2 2n 2 |
0 , |
(9.33) |
|
|
c |
|
|
откуда следует, что |
|
|
|
n |
2 2 . |
(9.34) |
|
|
|
c |
|
В решении (9.34) при n < ωc, что соответствует случаю, когда силы демпфирования достаточно малы, получим два комплексных корня α1 = – n + iβ
и α2 = – n – iβ (при |
2 |
n2 |
и i |
1 ). Подставляя выражения для них |
|
c |
|
|
|
в решение (9.32), найдем частные решения. Общее решение получим как сумму частных решений в виде
x e nt C1 cos t C2 sin t . |
(9.35) |
Из анализа полученного выражения следует, что при действии демпфирующей силы период колебаний возрастает. При n << ωc это возрастание незначительно и может не учитываться. Множитель e–nt в зависимости (9.35) убывает с ростом t. Следовательно, колебания при действии демпфирующей силы затухают со временем (9.10). Определяя постоянные в выражении (9.35), получим после преобразования выражение амплитуды колебаний при действии демпфирующей силы
x e nt x0 cos t dx dt nx0 sin t . |
(9.36) |
Если в выражении (9.34) n2 2c , то оба корня уравнения – действительные числа. Тогда получим решение
x C1e 1t C2e 2t ,
которое не содержит периодических членов. Следовательно, при достаточно больших значениях демпфирующих сил колебаний звена нет.
9.6.Демпфирование вынужденных колебаний звеньев
Вмеханизмах со сложными кинематическими схемами и сложными конструкциями звеньев трудно выделить источник силы, вызывающей вынужденные колебания. Поэтому в конструктивную схему механизма вводят
201
специальные устройства – демпферы (гасители). С учетом демпфирующих сил для вынужденных колебаний звеньев получим
d 2 x |
dx |
2 |
(9.37) |
||
dt |
2 |
2n |
|
ct qsin вt , |
|
|
dt |
|
|
где qsin вt – закон изменения силы, вызывающей вынужденные колебания. Общим решением дифференциального уравнения (9.37) будет выражение
x e nt C1 cos t C2 cos t M sin вt N cos вt . |
(9.38) |
Последние два слагаемых в уравнении (9.38) соответствуют частному решению
x M sin ct N cos ct |
(9.39) |
для вынужденных колебаний звеньев. Подставляя значения амплитуды для вынужденных колебаний из (9.39) в выражение (9.37), после преобразований найдем
M q c2 |
в2 c2 в2 4n2 в2 ; |
(9.40) |
||||||
N 2qn в |
c2 в2 4n2 в2 . |
(9.41) |
||||||
После преобразований получим выражение для амплитуды вынужден- |
||||||||
ных колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
x F / C sin ct |
1 в2 c2 2 4n2 в2 c4 , |
(9.42) |
||||||
где F/C – статическая деформация; – сдвиг фаз собственных и вынужден- |
||||||||
ных колебаний; arctg |
|
2 в |
|
. |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
c |
в |
|
|
|
|
kд – динамический коэффициент при действии демпфирования; |
|
|||||||
kд |
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
1 в2 |
c2 2 4n2 в2 c4 |
|
Динамический коэффициент при действии демпфирования меняется в широких пределах в зависимости от соотношения частот собственных
ивынужденных колебаний. Дифференцируя выражения для kд по (ωв / ωс)
иприравнивая производную к нулю, получим выражение для максимального значения динамического коэффициента.
202
10. УРАВНОВЕШИВАНИЕ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ
10.1. Общие сведения
Большинство звеньев рычажных механизмов совершает вращательное, поступательное или плоское движение. Звенья, совершающие плоское движение, входят в поступательные и вращательные пары.
К таким звеньям относятся шатуны двигателей внутреннего сгорания. Наиболее тяжёлые их части, кривошипные и поршневые головки, при решении задачи уравновешивания разделяют (одну из них относят к кри-
вошипу, другую – к поршню) и вместе с ними уравновешивают.
Для вала, как для ротора, определяется масса противовеса. Задача уравновешивания поршня и поршневой головки шатуна сложнее.
Если допустимы большие габариты, можно расположить цилиндры симметрично (рис. 10.1), и силы инерции попарно уравновесятся.
Рис. 10.1. Кинематическая схема компрессора
В высокооборотных двигателях внутреннего сгорания силы инерции поршней уравновешивают противовесами на зубчатых колёсах, вращающимися на валу двигателя (рис. 10.2).
Поршень движется по закону
S = r (l – cosφ + 0,5λsin²φ),
где r – длина кривошипа; l – длина шатуна; λ = l/r. Скорость поршня
V = ds/dt = ωr (sinφ + cos2φ),
ускорение поршня
a = dν/dt = ω2r (cosφ + λcos2φ).
Сила инерции поршня и присоединённой к нему головки шатуна, как и их ускорение, содержит две составляющие, называемые силой инерции первого порядка
F1И mr 2 cos
203