книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

61

p - плотность; qi,p i(i = 1,3) - нагрузки по направлениям ко­ ординатных осей a,; S - область интегрирования на внутренней поверхности оболочки; Bj ( /= 1 ,2 ) - коэффициенты первой квад­ ратичной формы внешней поверхности; Гу° - граничные линии об­ ласти S', Nfj,Qy,Mfj - усилия и моменты, приложенные к соот­ ветствующим граничным линиям.

Принимая во внимание формулы (1.56), (1.58), представим ва­ риационное уравнение (1.62) в форме:

62

+М к ^ ъ ) +М к ^ А +ш;1+к,м;, +

Ада, Л2 да2

Sr'M + * О ф? +K&P°2 +М|0з8Ф;) Л ^ 2 - I } « 8 ы2° +

<-3I?

+<8a,° +e2°S«3+М2°,8ф“ +Л/2°28(р“ +Л/2°38ср;)Дс/а1=0.

0-М)

Интегрируя в (1.64) по частям и учитывая произвольность вариаций,пОлучим:

-уравнения движения оболочки

А С ^ О + ^ \ г ^ \ А А + А = А А ( А iA + А 2Ф1)>

L2(N) + N'ak2A,A2 +F2= A,A2(B,,U2 +B,2ij>2),

= ^4,^2 ( A ,w3 + А 2Ф3)>

L\(M) + (M]3kl -Qj3)AfA2 +Mt = AlA2(B22ip] + B2lul)t

63

йДа,,а2,0) = й,о(а1,а 2), ф,(а1(а 2,0) = ф ?(а,,а2),

получим полную систему уравнений для анализа нелинейных про­ цессов деформации произвольных оболочек, выполненных из тра­ диционных и композиционных материалов, при импульсных на­ грузках.

Следует заметить, что данные уравнения могут быть получены из соотношений п.1.2 при удержании первых двух слагаемых в разложениях (1.16).

Из полученной системы уравнений следуют традиционные уравнения пятимодальной теории оболочек [96,107,217] в случае простейшего квадратичного варианта нелинейной теории оболочек (1.60). Соответствующие уравнения начально-краевой задачи можно представить так:

64

-уравнения движения оболочки

+F3 = АхА2Впиг,

АС^Ю“ 013АA = ААСАгФ] + AiA)>

АС^О-^гзА-А +Л^2 = А-^гСАгФг +AiA)s

0 3 =013 +ЛГП813 + лА е 23, (1<->2); - естественныеграничныеусловия

1.4. Разрешающая система уравнений многослойных оболочек на основе кинематически неоднородной модели

Рассматривается построение разрешающей системы уравнений для решения задач динамического деформирования неоднородных пластин и оболочек, состоящих из нерегулярного набора изотроп­ ных и композитных слоев с резко отличающимися геометричес-

65

кими и физико-механическими характеристиками. При этом композитный слой образован намоткой однонаправленного компо­ зитного материала под углами ± <ря (п = 1,М) к образующей обо­

лочки.

Отнесем оболочку к ортогональной криволинейной системе координат аД / = 1,3), совпадающей с линиями главных кривизн и внешней нормалью к основной (внутренней) поверхности в недеформированном состоянии. Со срединной поверхностью каж­ дого слоя свяжем местную криволинейную систему координат

а* = а у (у = 1,2), а* = а 3 - z k, где z k- координата срединной

поверхности к-го слоя в основной системе координат а , (/ = 1,3). В общем случае коэффициенты Ламе к-го слоя можно представить в виде:

0 = 1. 2 ), н к = i, ( U D

где Z) = 1 + к / ,B k =l + kka k, к* = kI /(1 + z kkJ), Aj, kJ - параметры Ламе и главные кривизны основной поверхности обо­ лочки. В предположении неизменности метрики по толщине слоя, его коэффициенты Ламе будут равны:

Следует заметить, что при введении дополнительных расчет­ ных слоев соотношения (1.72) будут справедливы и для пакетов немалой толщины.

Для построения кинематической модели деформирования слоя используются гипотезы линейности изменения нормальных и ка­ сательных перемещений по толщине слоя. При этом в качестве не­ зависимых искомых функций принимаются перемещения на поверхностях слоев:

t/‘ (a l,a 2,a 3,/) =

66

= « /(a i,a 2,f)+aji<pf (a ,,a ,,/) (i = l,3 ,i = l>JV), (1.73)

где

м,£+1 , w,к- тангенциальные и нормальные компоненты перемеще­

ний на внешней и внутренней поверхностяхк-тослоя; hk- толщина слоя.

При построении геометрических зависимостей теории много­ слойных оболочек будем исходить из формул простейшего квадра­ тичного варианта геометрически нелинейных соотношений (1.21). Входящие в (1.21) линейные составляющие деформации и повороты элемента оболочки (1.4) с учетом гипотез (1.73), (1.74) представим

67

13 2^4* ( За, За,

Нелинейныедеформации простейшего квадратичного варианта запишутся в виде;

^зз = Фэ » ^13 = Ф| "1*®13 * 0 ++ 2).

Как и выше, физические соотношения в изотропных металли­ ческих слоях устанавливаются на основе теории течения с линей­ ным упрочнением, а в композитных - на основе закона Гука для ортотропного материала и соотношений линейной наследственной теории упругости в сочетании с теорией эффективных модулей.

Вывод уравнений движения многослойной оболочки базиру­ ется на принципе возможных перемещений. Заметим, что, согласно принятым гипотезам (1.72)—1.74), перемещения в оболочке явля­ ются непрерывными кусочно-линейными функциями нормальной координаты, а метрические коэффициенты деформации и напряже­ ния терпят разрыв на поверхностях раздела физических слоев. Выполняя в (1.50) операции варьирования и интегрирования по толщине оболочки с учетом (1.72)-( 1.74), (1.77) и предыдущего за­ мечания, получим;

68

+Я2*8г73 +М*,8ф,* +М‘28ф* +М238ф*)^(/а1 = 0, (1.78)

где

( < Х Х Х Х , Х 2) =

+Л*/2

=1(^ м .ст?2.^з.стзз.а?<7м .азст*2¥а з. (1<->2).

-А*/2

^ - = < ^ Г / > | а1, я . Я = £ (,* ;

рАплотность А:-го слоя; Pj (/ = 1,3) - нагрузка по направлениям координатных осей а,; £ - область интегрирования на внутренней поверхности оболочки; Гf - граничные линии срединных поверх­ ностей слоев; N* , Му - усилия и моменты, приложенные к соот­ ветствующим граничным линиям.

С учетом (1.74), (1.76) представим вариационное уравнение

69

(1.78) в следующей форме:

70