книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций
..pdfОтметим, что во многих задачах динамики оболочек погрешности, вносимые этими теориями, в основном влияют на локальные характеристики напряженнодеформированного состояния и значительно меньше - на интегральные характе ристики процессов - прогибы, критические нагрузки и т.д. Следовательно, даже достаточно грубые модели пластического деформирования материала позволяют во многих случаях получить адекватное представление о процессах деформиро вания. Характерной особенностью динамических задач является знакопеременное нагружение. С этой точки зрения, теории течения, вследствие их высокой апгоритмичности при численной реализации, обладают некоторыми преимуществами по сравнению с деформационной теорией.
Из анализа предложенных различными авторами математических моделей моделирования нестационарного деформирования композитных неоднородных оболочечных конструкций следует, что в настоящее время наиболее разработан ными и апробированными являются классические линейные и геометрически нелинейные теории оболочек Кирхгофа-Лява и корректированные (посредством учета деформаций поперечного сдвига и инерции вращения) классические теории типа Тимошенко. Разработана неклассическая линейная теория оболочек на основе математических методов приведения трехмерной динамической задачи теории упругости к двумерной и одномерной. На основе метода статико-кинематических гипотез разработан ряд геометрически нелинейных уточненных теорий упругих многослойных оболочек, учитывающих деформации поперечного сдвигай обжа тия слоев. Недостаточно разработаны методы построения разрешающих систем уравнений и решения геометрически и физически нелинейных задач динамики и устойчивости композитных оболочечных элементов и конструкций. Мало иссле дованными являются вопросы применимости прикладных теорий, особенно в нелинейных задачах.
1.1. Элементы нелинейной теории упругости ортотропной среды в ортогональной криволинейной системе координат
Введем, следуя [209], декартову систему координат x,y,z и свя занную с рассматриваемой средой ортогональную криволинейную систему координат а , (/ = 1,3). При этом параметры а. выбираются так, что зависимости ос, = а , (х, у , z) взаимно однозначны. Поло жение точек упругого тела в декартовой системе координат может быть задано их радиусом-вектором r(x,y ,z). Однако для тел, ограниченных криволинейными поверхностями или обладающих криволинейной анизотропией, более удобным является использо-
21
вание |
криволинейной системы координат. В этом случае каж дой |
точке |
тела будет соответствовать зн ач ен и е р а д и у с а -в е к т о р а |
г ( а ,, (Xj, а 3), причем а,. рассматриваются как координаты точки
в криволинейной системе координат. Единичные векторы касатель ных к координатным линиям а , (/ = 1,3) в заданной точ ке опред е ляются равенствами
к, |
1 дт |
|
( 1.1) |
|
Н; 0 а , |
9 |
|||
|
|
где Я, = |0г/0а,| = ^/(дх/да,) 2 +(ду/да , ) 2 + ( 0 z /0 a ,) 2 - па раметры Ламе, показывающие, сколько единиц длины содержится в единице координаты а , (/ = 1,3). Эти функции не могут быть выбраны произвольно. Для того, чтобы они определяли метричес кие свойства сплошной среды, должны выполняться уравнения Ламе:
д Г 1 д н Л + _ а _ Г j _ а я Л { 1 д н хд н 2
0а, [ я , |
0а, J 0 а 2 ( я |
2 0 а 2 J Н] 0 а 3 |
да3 |
|
д2Н, |
|
|
(1.2) |
|
0 а 20 а 3 |
Я 3 0 а 2 0 а з |
Я 2 0 а 2 0 а 3 ’ |
||
V |
В случае, если одна из осей криволинейной системы координат,
например а 3, является прямой линией, то Я 3 = 1.
После деформации положение точек рассматриваемого упру
гого тела определяется радиусом-вектором |
|
г* = г + U, |
(1.3) |
где г - вектор перемещения соответствующей точки. Координатные линии а , (/ = 1,3) в соответствии с методом Лагранжа деформи руются вместе с телом. Единичные векторы касательных к линиям а. вдеформированном теле к* определяются по отношению к ор-
22
там к, с пом ощ ью формул:
|
(1 + 7 п ) к , + |
|
|
|
||||
~ |
1 + £ « , |
|
|
\ 2 |
Yl2+<° : |
|
||
|
( 1 |
|
>1 |
1 |
|
|
|
|
|
У13 |
- © 2 к з |
. |
(1.2,3), |
|
|||
|
4 2 |
|
|
|
|
<- |
|
|
1 |
dU x . |
1 |
|
|
, |
1 |
(1.4) |
|
Ун |
|
|
|
2 |
|
я , я 3 |
||
Я , 5 а , + Я ,Я 2 5 а 2 |
|
|
||||||
|
Я 2 |
д |
( и Л |
|
Н, |
д (и, |
|
|
у , г =ь ' = |
|
( |
|
|
1 |
-5) |
||
2 © , |
1 |
|
|
|
|
|
( 1.6) |
|
Я 2Я 3 ^ ( В Д ) - ^ ( Я Л ) |
||||||||
|
||||||||
|
(1,2,3), |
(Я „ Я 2,Я 3), |
|
Еа - отн оси тельн ы е удлинения элементов среды по направлениям векторов к , (/ = 1,3) соответственно.
Д еф орм ация в лю бой точке тела характеризуется шестью пара
метрами: |
|
|
«И = У м + ; У м + ( д У 2| + ® з ) |
+ ( д У м - < в2) . |
|
еп = У 12 + Г и ( д У.2 - “ з) + b [ ^ V i 2 +с° з ] + |
|
|
+ [ | у |3 - ® 2] [ | у23+® |]> |
( Ч ’3>- |
(1'7) |
23
С их помощью определяются относительные удлинения по направлениям к,(/ =1,3):
Ещ= 4 Г Т 2 ^ - 1 ( ! = й ) , |
(1.8) |
углы сдвига между волокнами, первоначально направленными по
k ,.(/ = U ) :
( / * . / = 1,3), |
(1-9) |
(\ +Еа )(\ + Еа )
и отношения площадей деформированных граней объемного эле мента к их значениям до деформации:
5 - = 1/(l + 2 ^ )(l + 2ett) - 4 Ц * ]Ф к = 1,3).
В криволинейно ортотропной упругой среде, оси ортотропии которой совпадают с координатными линиями а , (/ = 1,3), связь между тензорами напряжений и деформаций определяется обоб щенным законом Гука, который можно записать в виде:
а п |
- V ,- |
_ и 12 |
(1,2,3). |
(1.10) |
е,, = — |
|
|||
Здесь имеют место условия симметрии упругих постоянных |
||||
|
V12 —V21^2> |
0>2,3). |
|
(1-11) |
|
|
<- |
|
|
Для вывода уравнения движения элемента сплошной среды воспользуемся принципом возможных перемещений, который в ортогональных криволинейных координатах записывается следую щим образом:
$ f ( Z a ‘/5e» +®ij8e12 + < 3 8% +<Тв8е23 j t / F +
24
= 0. (1.12)
Здесь о* = SJ / S, ■<Уу / ( 1 + Ea _) - компоненты тензора обобщен
ных нап ряж ени й; bU, - геом етрически возможные бесконечно ма лые п ерем ещ ения; Ье0- соответствую щ ие им приращения компо нентов д е ф о р м а ц и и ;/? - компоненты вектора равнодействующей поверхностны х сил, отн есен ны х к единице площади тела до дефор мации; V ,Q - объем и площ адь поверхности тела до деформации; t - время.
Из принципа возможных перемещений (1.12) следуют урав
нения движения:
3 |
|
( Я |
1Я ,5 21) + / - ( Я |
1а д , ) + |
|
( Я 2Я 35 м) + - ^ |
|||||
З а, |
З а , |
|
З а 3 |
|
|
ЗЯ , |
ЭЯ |
|
ЭЯ2 |
дН3 |
_ |
+ Л 3 Л |
^ 1 2 + Л 2 Л |
Л 13 |
Л 22 Л 2 й |
^ 3 3 “* |
|
дс^2 |
|
|
9oCj |
ооС| |
|
|
=Я ,Я 2Я 3 |
(1,2,3) |
|
(1.13) |
и краевы е услови я дл я тех участков ограничивающей тело поверх ности, на которы х зад ан ы внеш ние силы
5l,c o s (n ,k l) + iS21c o s(n ,k 2) + S31co s(ii,k 3) = / l*, (1,2,3),(1.14)
S u =<*n(l + Yii) + < 2(jY .2 -® з j + < 3 ^ Y i3 + ®2 j .
5,2=a"f i Yu+Шз) +a 'j(1+YH >+a'5( i T25” 0)1}
25
sa- а;,^Гв - “ i ) + |
г» + ®I) +ст‘з |
+ TM). |
(1,2,3), |
(1.15) |
(n, k j , (n, k2), (n, k3) - углы, образуемые нормалью к рассматри ваемой площадке до деформации и единичными векторами к,
( / = й ) .
1.2. Построение разрешающей системы уравнений однородных изотропных и композитных оболочек на основе модели с разложением в ряд
Важным этапом формулировки разрешающей системы уравнений динамики элементов конструкций является построение соотно шений между деформациями и перемещениями. Рассмотрим их вывод, исходя из общих соотношений нелинейной теории упру гости, в ортогональных криволинейных координатах [209], изло женных в предыдущем параграфе.
Отнесем оболочку произвольной толщины h к криволинейной ортогональной системе координат а, (/ = 1,3), совпадающей с ли ниями главных кривизн и-внешней нормалью к основной поверх ности оболочки. Совместим основную поверхность а 3 = 0 с внут ренней поверхностью оболочки.
Для получения уравнений неклассической теории трехмерную систему (1.7), (1.10), (1.13), (1.14) необходимо привести к двумер ной. Для этого представим перемещения Ut(а ,,а 2,а 3,0 в виде раз ложений:
^ ( a i , a 2 , a j , 0 = M , V i , a 2>/ ) + ! / | ( a | , a 2>O a 3 +
N
+ 2 X ( a „ a 2,/)<pll(<x3), ( 1 о 2 ) ,
я=2
26
U3(a xia 2, a 2,t) = ul2(ax,a 2,t) + u23(al,a 2>t)a3 +
N |
|
+ I X ( a l . a 2 ,0 4 > ;,(c t3). |
(1 .16) |
11=3 |
|
Л и н ей н ы е с о с тав л я ю щ и е деф орм аци и оболочки |
как трех |
мерного тел а и повороты элем ента тела относительно координат
ных линий а , ( / = 1,3) (1 .4 )-( 1.6) с учетом разложений (1.16) запи шутся в виде:
Ун = — (би+сх,®,,+ае"), (1в 2),
|
|
z i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тзэ |
= * з з + ® |
и . |
|
|
|
|||
1 |
, |
|
|
|
„ |
. |
1 |
|
, |
|
|
|
У\2 = — |
(е,2 |
+ |
« 3 ® |2 |
+ a e i2) + |
— |
|
(«21 + « 3 * 2 |+ ® 2 |) > |
|
||||
г, |
|
|
|
|
|
|
г2 |
|
|
|
|
|
У1з |
= |
|
(^13 “l"^1з)~*”®1з "I”®13» |
0 ^ |
2), |
(1.17) |
||||||
|
Z \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ш , |
= |
(е 23 ■^е 2з)*~®23 —^23» |
|
||||||||
|
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 о 2 = - |
— |
( е 13+ 8 ;'з ) + ае|3 + а е ; ', |
|
||||||||
|
|
|
|
г \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2©, = — (812 + а 3ае,2 +®"2) - — (е2| + а 3аг21 +ае2|), |
||||||||||||
Z\ |
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
1 |
ди0 |
+ |
|
дЛ, |
+ |
|
к.и->, |
О |
< -> 2 ), |
|
|
Ах За, |
|
|
|
|
||||||||
|
АХА2 да 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
ди\ |
|
и\ |
дАх |
|
|
U < - > 2 ) , |
|
||
|
А, |
|
За, |
+ — =— г—~ |
|
|
|
|||||
|
|
АхА2 да 2 |
|
|
|
|
|
27
e ”, = |
- |
} |
f |
( « , ) ) + Е К Ф „ ( « з ) ) - т 1 Г | ^ |
+ |
||||
|
4 (,Й5а, |
|
) |
t i |
Л,Л2 д а 2 |
|
|||
|
|
+ к , ^ и ; < р '„ ( а } ) , |
(1 <-> 2 ) , |
|
|||||
|
|
|
1 |
9 MJ |
|
ц | |
|
м ^ 2 ) |
|
|
6,2 |
- |
4 " г а , |
4 |
^ |
а а |
, ’ |
|
|
|
|
|
1 |
awj |
|
и! |
дл, |
|
|
|
12 |
|
А, да| |
|
|
|
( 1 < + 2 ) , |
|
|
|
|
Л,Л2 да 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
( 1. 18) |
|
3=33 |
= и 1 |
*з"з = |
1 » |
« ' ( а з)> |
;= 4 А ,{№£ }д |
?а, ф |
|
- т г № |
“-Ч (аз)]/д а^, 0 ° 2)’ |
|||
|
|
”(аз)]J |
А,АЛ1\«=2£ |
|
|
||
„ |
1 f S H 32 |
а д и ; |
, , ч |
||||
*13 = - 7 т |
- |
“ з + £ |
— |
, |
фп(« з ) |
||
|
|
л , ^ 5 а , |
S |
^ a |
|
||
- А , " ! а з + £ м " ф „ ( а з ) , |
(1 <-> 2 ) , |
||||||
®п = «!. |
|
О <-> 2), |
|
ае"3 = ^<ф'„(а3), 0 <-» 2), |
|||
|
|
|
|
|
я=2 |
|
|
|
|
г , = 1 |
+ |
А :,аз, |
( 1 < - » 2 ) ; |
||
A l i A 1, k \ y k1 - |
параметры Ламе и главные кривизны внутренней |
||||||
поверхности оболочки. |
|
|
|
|
|
28
В общем случае компоненты тензора конечных деформаций Грина etJвыражаются через введенные величины в виде (1.7). Од нако построение разрешающей системы уравнений с использова нием самых общих зависимостей вида (1.7) без каких-либо ог раничений приводит, как правило, к неоправданному ее услож нению.
Кроме того, следует отметить, что задачи, рассматриваемые в геометрически нелинейной постановке, можно разделить на две основные группы. К первой группе следует отнести задачи, в которых геометрическая нелинейность обусловлена характером работы конструкции. Здесь имеется в виду, например, расчеттранс формируемых конструкций, определение упругих характеристик чувствительных элементов измерительных устройств, а также анализ процессов формообразования, штамповки и отбортовки оболочек сложной формы из заготовок простой формы. В задачах второй группы рассматривается анализ напряженно-деформи рованного состояния несущих элементов конструкций, обладаю щих, как правило, не только достаточной прочностью, но и высокой жесткостью. Последнее исключает появление больших деформа ций, но не избавляет от необходимости привлечения нелинейных геометрических соотношений, которые, являясь более сложными, чем линейные, позволяют рассматривать задачи устойчивости и несущей способности элементов конструкций, выполненных как из традиционных, так и композиционных материалов. Отмеченные особенности задач второй группы позволяют ввести ряд сущест венных упрощений в исходные нелинейные геометрические со отношения. При построении приближенной нелинейной теории оболочек будем оценивать порядки удлинений, сдвигов и вращений поверхности следующим образом:
У » ~ е2. Уи ~ е2> < ° / ~ е ('>./ = 1.3), б « 1 - |
(Ы 9) |
Предположения (1.19) обеспечивают малость мембранных де
формаций основной поверхности и одинаковый порядок малости
29
поворотов элемента оболочки относительно нормали а 3 и коор динатных линий а, (/ = 1,2). Кроме того, в силу (1.19), удлинения и сдвиги являются величинами более высокого порядка, чем соста вляющие вектора вращения. В приближении (1.19) для деформаций (1.7) получаются следующие зависимости:
е\\ = Уц |
+ ®з]> |
е22 = У22 |
+© з]» |
|
|
«зз = Гзз + ^ К + < » 2 ]. |
«12 =y,2 - ffli®2. |
(1.20) |
|||
^.3=Yi3-®i©3» |
^гз |
= Угз “ ^г^з* |
|
|
В дополнение к оценкам (1.19) заметим, что в силу высокой мембранной жесткости оболочки естественно считать угол пово рота относительно нормали 0)3 к основной поверхности величиной одного порядка малости с удлинениями и сдвигами. Кроме того, в теории оболочек трансверсальные деформации играют второсте пенную роль и для них целесообразно в ряде случаев сохранить формулы, соответствующие линейному приближению. С учетом сделанных замечаний из (1.7) и (1.20) следуют соотношения про стейшего квадратичного варианта геометрически нелинейной тео рии оболочек:
« н = Г и + | ® 2 .
«33=УэЗ> е|2= У |2 -® 1® 2 . «13 = У|3> «23 = У23 * (I-21)
Однако следует заметить [260], что приближенные нелинейные геометрические зависимости (1.21) и их линейный аналог (1.17) приводят к появлению ложных деформаций различных порядков малости при движении оболочки как твердого тела. Тогда как пол ный нелинейный вариант геометрических зависимостей (1.7) и приближенные соотношения (1.20), учитывающие повороты эле
30