- •Якушевич Л. В.
- •ISBN 978-5-93972-638-2
- •http://shop.rcd.ru
- •Оглавление
- •Структура ДНК
- •1.1. Химический состав и первичная структура
- •1.2• Пространственная геометрия и вторичная структура
- •1.3. Силы, стабилизирующие вторичную структуру ДНК
- •1.3.1. Водородные взаимодействия
- •1.3.2. Стэкинговые взаимодействия
- •1.3.3. Дальнодействующие силы внутри и снаружи сахарофосфатного остова
- •1.3.4. Электростатическое поле ДНК
- •1.4. Полиморфизм
- •1.5. Третичная структура
- •1.5.1. Суперспираль
- •1.5.2. Структурная организация в клетках
- •1.6. Моделирование структуры ДНК
- •1.6.1. Общие замечания
- •1.6.2. Иерархия структурных моделей
- •1.7. Экспериментальные методы исследования структуры ДНК
- •Динамика ДНК
- •2.1. Общая картина внутренней подвижности ДНК
- •2.2. Крутильные и изгибные движения
- •2.3. Динамика оснований
- •2.3.1. Состояние равновесия
- •2.3.2. Возможные движения оснований
- •2.4. Динамика сахарофосфатного остова
- •2.4.1. Состояние равновесия
- •2.4.2. Возможные движения сахарофосфатного остова
- •2.5. Конформационные переходы
- •2.6. Движения, связанные с локальным разделением нитей
- •2.6.1. Раскрытие пар оснований вследствие вращения оснований
- •2.7. Моделирование динамики ДНК
- •2.7.2. Иерархия динамических моделей
- •2.8. Экспериментальные методы изучения динамики ДНК
- •2.8Д. Раман-спектроскопия
- •2.8.2. Рассеяние нейтронов
- •2.8.3. Инфракрасная спектроскопия
- •2.8.4. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •2.8.5. Микроволновое поглощение
- •2.8.7. Эксперименты по переносу заряда
- •2.8.8. Эксперименты с отдельными молекулами
- •Функционирование ДНК
- •3.1. Физические аспекты функционирования ДНК
- •3.2. Интеркаляция
- •3.3. Белок-нуклеиновое узнавание
- •3.4. Экспрессия генома
- •3.5. Регуляция генной экспрессии
- •3.6. Репликация
- •Линейная теория ДНК
- •4.1. Основные математические модели
- •4.1.1. Линейная модель упругого стержня
- •4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
- •4.1.1.3. Изгибные движения
- •4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
- •4.1.2.1. Дискретный случай
- •4Л.2.2. Непрерывный случай
- •4.1.3. Линейные модели более высоких уровней иерархии
- •4.1.3.1. Модели третьего уровня
- •4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)
- •4.2. Статистика линейных возбуждений
- •4.2.1. Фононы в модели упругого стержня
- •4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.1.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.1.3. Корреляционные функции
- •4.2.2. Фононы в модели двойного стержня
- •4.2.2.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.2.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.2.3. Корреляционные функции
- •4.2.3. Фононы в моделях более высокого уровня
- •4.3. Задача рассеяния
- •4.3.1. Рассеяние на «замороженной» ДНК
- •4.3.2. Упругое рассеяние
- •4.3.3. Неупругое рассеяние
- •4,4. Линейная теория и эксперимент
- •4.4.1. Флуоресцентная деполяризация
- •Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
- •5.1. Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
- •5.2. Нелинейные модели упругого стержня
- •5.2.1. Модель Муто
- •5.2.2. Модель Христиансена
- •5.2.3. Модель Ичикавы
- •5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня
- •5.3.1. Общий случай: гамильтониан
- •5.3.2. Общий случай: динамические уравнения
- •5.3.ЗЛ. Дискретный случай
- •5.3.3.3. Линейное приближение
- •5.3.3.4. Первый интеграл
- •5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
- •5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
- •5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
- •5.3.6. Модель Барби
- •5.3.7. Модель Кампы
- •5.4. Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
- •5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
- •5.4.2. Модель Волкова
- •Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели
- •6.1. Модели, учитывающие влияние окружающей среды
- •6.1.2. Частные примеры
- •6.1.3. ДНК и термостат
- •6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК
- •6.2.1. Граница
- •6.2.2. Локальная область
- •6.2.3. Последовательность оснований
- •6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК
- •6.4. Модели, учитывающие асимметрию ДНК
- •Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
- •7.1. ПБД-подход
- •7.2. Приближение идеального газа
- •7.3. Задача рассеяния и нелинейные математические модели
- •7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
- •7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона
- •Экспериментальные исследования нелинейных свойств ДНК
- •8.1. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •8.2. Резонансное микроволновое поглощение
- •8.3. Рассеяние нейтронов и света
- •8.3.2. Интерпретация Баверстока и Кундалла
- •8.4. Флуоресцентная деполяризация
- •9.1. Нелинейный механизм конформационных переходов
- •9.2. Нелинейные конформационные волны и эффекты дальнодействия
- •9.3. Нелинейные механизмы регуляции транскрипции
- •9.4. Направление процесса транскрипции
- •9.5. Нелинейная модель денатурации ДНК
- •Математическое описание крутильных и изгибных движений
- •Литература
- •Предметный указатель
Таким образом, окончательные результат имеет вид |
|
incoh |
(4.118) |
(dv/dn)el = (da/dn)cf + (da/dnye? oh , |
|
где вклад когерентного сечения рассеяния равен |
|
(cr/dQ)g°h = ехр(—21УХ) (4тгЛГВ2/ о) (1 + cosxyh) |
(xz - r z) , |
а вклад некогерентного сечения рассеяния равен |
(4.119) |
|
|
incoh |
(4.120) |
(dv/dn)%coh = exp(—2WX)2N ( в 2 - В2) |
Формулы (4.118)—(4.120) очень похожи на выражения (4.111)—(4.113) и отличаются только фактором ехр(—2WX). Присутствие этого фактора означает, что общая дифракционная картина (острые пики на слабом фоне) немного изменится из-за слабой угловой зависимости фактора Дебая-Валлера.
4.3.3. Неупругое рассеяние
В расчетах неупругого рассеяния давайте ограничимся так называ емым однофононным приближением [233]. В соответствии с этим при ближением динамические факторы когерентного и некогерентного рас сеяния (4.107) принимают вид
s inei (x >w') = [exp (-2W X) /4жhN] x
П n' j j ‘
+oo
(4.121)
(* ,« 0 = [exp ( -2 W9) /4*KN) ' £ J 2 X
X J dt [exp (-ад/i)] (xuntj (0), xunj (*))
Нам необходимо теперь вычислить корреляционные функции
(xvnj (0), хип',? (t)}. Для этого внесем (4.76) |
в (4.11) |
|
|||
|
(xUnj (0) , XUn'j* (t)) = |
|
|
||
— {хх [ l (1 |
cosipnj (0))] + Хуl sin ^Pn,j (0) ? |
|
|||
Xx [-1 (1 - |
cos y?n/j/ |
(t))\ + Xyl sin cpn'j' (t)) = |
|
||
= xl l2 ((! |
- cos cpnd (0)), (1 - cos |
(*))) - |
(4.122) |
||
XyXxl |
(sin tpn7j (0), (1 COS (Pn',j' (^))) |
|
|||
xxXyl |
((1 |
c o |
s (0)), sinePn',j' (^)) ~b |
|
|
W y l2 (sin <pnj |
(0) ,sin tpn'j' (t)) |
|
|||
Вгармоническом приближении формулу (4.122) можно переписать
ввиде
(x U n J (0) , XlLn'j' ( t ) ) — Xyl (tpnj ( 0 ) , <Pn',j' ( 0 ) |
(4.123) |
Подставляя затем (4.99) в (4.123), мы получим
(xunj (0), хил*,? (*)) =
= (x2yl2h/2Nl) E E E E {Щ |
(<?') / К foK' (9')]1/2} X |
q qr 9 9 r |
|
X ((bq,g (0) + btqt9 (0)) , ( v , s, (i) + b±q,,g, (i))) x
x exp (iqna) exp (iq'n'a)
(4.124) Учтем, что модельный гамильтониан (4.98) описывает идеальный Бозе-газ, а также то, что корреляционные функции в этом случае равны
|
(ьч,9 (0), W (<)) = |
(% р (0), |
(*)) = 0; |
|
|
(b ,l5(0), V ,S' (t)) = |
ngifle x p [-m s (9)<]rf,,,/Jaifl/; |
(4.125) |
|
|
(^9,S (®) ) &J>p' (£)) = |
(ng,S "Ь 1) ехР [*WP (9) fiq,q'$g,g'i |
|
|
где |
= {exp[hwg (q) / к в Т ] —I}-1 ; к в |
— константа Больцмана; а Т — |
||
абсолютная температура. Подставляя затем (4.125) в (4.124), найдем кор-
реляционные функции
{ x U n j (0) ,X U n ' j * СО) = |
|
|
|
|
= (xyl2H2NI) 1 S |
S |
К |
l W9 (^)j K ff + 1) X |
|
|
Я |
9 |
|
|
x exp [iwg (q) t\ exp [iq (n —nf) a] + |
||||
|
|
|
|
(4.126) |
+ X ! X ) l ^ r (9) |
(9) |
(9)] X |
||
9 |
0 |
|
|
|
exp [—iwg (q) t] exp [—iq (n —n') a] j .
И окончательно для 5?°^ (сс,к/) получим
Steri (*,«;') = |
[exp(-2W x) z ^ 2/87r7Ar2] х |
|||
х J 2 1 2 Y 1 J 2 exp Н * (R ° - д °')] х |
||||
|
П п ' |
3 f |
+оо |
|
|
|
|
||
х exp [ - ix (d j- d j')} |
J |
dt exp (—iw't) x |
||
|
|
|
—00 |
|
X I |
^2 ^2 Ш |
(9) |
(4.127) |
|
(9)] (! + n9,s) X |
||||
l |
Я |
9 |
|
|
x exp [ггУр (g) t] exp [iq (n —n') a] + |
||||
+ |
|
|
(9) |
(9)] ПЧ,Э X |
Я9
xexp [—iwg (q) t] exp [—iq (n —n!) a] | .
Если учесть соотношения
oo
(1/2тг) / ^ехр(гж^) = S(x) ;
—00
6(х) /а — 5 (ах) , (а > 0);
6 (—х) — д(х),
результат (4.127) можно переписать в виде
|
|
|
( * V ) |
= [exp( - 2 Wx)x yl2M IN 2] x |
|||
* |
j' |
X ) |
exp t_X2 |
- n ') aiexp и * |
(4J - dj)i \l / w9 (?)] * |
||
n n' j |
q |
9 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
(9) V5/ |
(9) (1 + »Чз) exp [iq (n - |
n') a]} |
||
|
|
|
(wg(9) - « 0 |
+ P f (9) P® (9) x |
|
||
|
|
xn9)P exp [—iq (n —n') a] S (wg (q) + w') }. |
|||||
Если учесть затем, что |
|
|
|
(4.129) |
|||
|
|
|
|
||||
( l/N ) y*Ti'£ 'e x p [ - i(x z Tq) { n - r i)a \ = (27га) ^ |
6 |
(xz =p 9 - T z) , |
|||||
п |
п ‘ |
|
|
|
Г* |
(4.130) |
|
мы можем привести формулу (4.129) к виду |
|
||||||
|
|
||||||
s inei {я,™') = |
[exp{—2WX)Xyl‘2nh/2INa] х |
|
|
||||
|
|
я |
9 т* |
|
^ ] 4^j (xz) ехр ( |
ixdj) |
|
|
|
|
|
|
(4.131) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x | |
(1 + пъд) S(xz - |
q - r z) 5 (hwg (q) - |
hw') + |
|||
|
+ |
nqi9S (xz + q - r z)6 (hwg (q) + hw') | . |
|
||||
Динамический фактор неупругого когерентного рассеяния (4.131) представляет собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое, которое содержит произведение 5{xz —q - r z) 5 (hwg (q) — hw')t представляет процесс рассеяния, в котором образуется (рождается) один фонон; а вто рое слагаемое, содержащее произведение S (xz + q — r z) 6 (hwg (q) + hw'), представляет процесс, в котором исчезает (аннигилирует) один фонон. Дельта-функции, входящие в выражение (4.131), отражают законы со хранения энергии и момента:
W = (h2ka - h2kn2) /2т = ±hwg {q); |
(4.132) |
xz = k!z —к!/ = 2tf/a ± q. |
(4.133) |
Верхний символ (плюс) в (4Л32)—(4.133) соответствует процес сам рассеяния, которые сопровождаются образованием одного фонона, а нижний символ (минус) отвечает процессам рассеяния, которые сопро вождаются аннигиляцией одного фонона. Благодаря условиям (4.132)- (4.133), для данного значения угла рассеяния могут рассеиваться фононы с только определенными значениями q и qg (q). Это обстоятельство дает возможность определить спектр wg (q) как функцию q.
Динамический фактор некогерентного неупругого рассеяния может быть вычислен из (4.127), если мы положим там п = п/ и j = j*
Sfo~h ( * V ) |
= [exp {—2WX) x2l2/8nIN 2] x |
|||||
|
|
|
|
|
OO |
|
x |
E |
E |
E |
E |
/ |
dtexp(iw't) x |
|
n |
3 |
Я |
9 |
_ oo |
|
(\Щ (?)| !wg Ш | |
(1 + nq,g) exp (iwg (q) t) + nq<gexp (~iwg (q) t) j = |
|||||
= [exp(-2Wx)x2yl2h/4lN] E E { Е И М I A M ?) |
||||||
|
|
|
|
я |
9 |
К |
X [(1 + n qtg) S (hWg (q ) - W) + Пд}дб (kWg (<?) + W)] >.
(4.134) Заметим, что формула (4.134) содержит дельта-функции, обеспечи вающие сохранение энергии, однако в ней не содержатся условия сохра
нения момента.
Если мы используем теперь формулы (4.106) и (4.131)—(4.133), то получим окончательный результат для сечения неупругого рассеяния в виде
(<Э2а/дПдЕ").пе1 = (2Bk"/k') [exp (-2W .) x2yl2nh/Ia] x
(xz)exp (—xdj) X
Я 9 т х 3
X {(1 + nbg) 6 (xz —q — T z ) 6 (hwg ( q) - W ) +
+ n 9ifl(5 (xz + q - T z) 5 (hwg {q) + W )} + + (* 7 * 0 ( W - В ) [exp(-2Wxx2yl2h/2)\ x