книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

изводной, дает нам искомую величину затухания:

— = 2nb~lN0 £1 V(k,ki,k 2)l2 {(l + <«i) + <n2»A(k1+

Tk *i-*2

+k2 - k)6[£(*,) + e(k2) - £(*)] + « л ,) - (n2»A(kj -

где N0 - полное количество атомов в основной матрице (N0 есть ре­ зультат взятия вариационной производной).

Заметим, что здесь и далее, там, где это не приведет к путанице, введено более сокращенное обозначение функции распределения, а именно n(ki) обозначено как щ.

Чтобы вычислить 1/Xjt, следует проанализировать законы сохра­ нения энергии и импульса, которые фигурируют в аргументах А- и 6- функций. Для первого процесса взаимодействия имеем два уравнения:

к, + к 2 - к = О,

(2.46а)

kxcs + k2cs -ки = 0,

где и - пока что чисто абстрактная скорость. Это нам необходимо для вывода общего выражения для времени релаксации, когда в процессе взаимодействия участвуют не только одноименные (отнесенные к одной фазе) квазичастицы, но и разноименные и когда речь идет о взаи­ модействии между фонанами обеих фаз на границе раздела.

Коль скоро речь зашла о границе раздела фаз, то, наверное, стоит сказать несколько слов по поводу нашей модели, касающейся осо­ бенностей процессов рассеяния квазичастиц на межфазной границе. Основное предположение заключается в том, что граница раздела счи­ тается абсолютно резкой. То есть переходный слой отсутствует и в месте, где кончается одна фаза, сразу же начинается другая. При таком подходе можно рассматривать процесс рассеяния квазичастиц из разных фаз и их взаимодействие друг с другом, введя некоторую константу связи GQ\. При этом следует помнить лишь правило: при ин­ тегрировании по фазовому пространству квазичастиц из фазы "О" счи­ тать, что их предельный волновой вектор имеет верхний предел ин­ тегрирования, равный п/а0, а для фазы "1" - п/а}.

После этого небольшого отступления продолжим прерванный анализ процессов сохранения энергии и импульса.

В уравнении, описывающем закон сохранения энергии, учтено, что акустические фононы характеризуются линейным по волновому век­ тору к спектром (е(к) = hcjc). Подстановка к2 = к - к] из первого урав­ нения во второе приводит, в результате, с учетом свойств 5-функции для процесса слияния (распада) двух фононов в один инородный, к

61

где v = u/cs, 0 есть угол между фиксированным вектором к и "виртуаль­ ным" вектором к\. Из условия, что -1 cos 0 =£ 1, следует ограничение на вектор к\\к\ 5= 0,5£(1 + v). При v = 1, как следует из (2.466), вектор к\ - виртуальный.

Вполне аналогичное выражение получается и при анализе законов сохранения энергии и импульса для процесса распада фонона из одной фазы на два фонона из другой фазы. Отличие от выражения (2.46а) будет заключаться лишь в знаках между Ли Л2: *с1 - *(2 _ *с = 0, икх—cs(k2 + к) = 0. При этом анализ законов сохранения приводит к двухстороннему ограничению области интегрирования по виртуальному волновому вектору к\. Действительно, имеем

Усреднение по векторам поляризации е, используя явное выраже- 2

ние (2.43), дает нам ((ек^2) = к 3. Такая процедура позволяет перепи­

сать формулу (2.46) при v = 1 (когда речь идет о рассеянии фононов в пределах одной и той же фазы) с введением двух нижних индексов (пояснение этого см. чуть ниже) следующим образом:

Здесь было предварительно использовано правило перехода от суммирования к интегрированию, согласно которому надо писать, что

Важно подчеркнуть, что, когда мы писали гамильтониан Я(3), волновая функция фононов раскладывалась по плоским волнам по всему объему композита, в результате чего в формуле (2.43) стоит полный объем сис­ темы V. При интегрировании следует учитывать лишь реальный, зани­ маемый только основной матрицей объем У0. Аналогичное выражение получится и для фазы "1", но с заменой индекса "0" на "1". Дейст-

62

вительно, для v = 1

главу 1, раздел 1.1), то соотношения (2.47а, б) следует записать таким образом:

Заметим, что в выражениях (2.46) и (2.48а) константа стрикции G (см. выражение (2.43)) обозначена как Go, поскольку она относится к основной матрице. Подчеркнем, что плотность р и скорость звука cs есть функции от объемной концентрации 4* (см. разделы 1.1 и 1.2).

Интегралы Ji и J2определены формулами

о

о

о

о

Для температур Т > 0D эти интегралы легко вычисляются и в результате найдем

(2.496)

и

(2.49в)

63

Поэтому соответствующие времена релаксации будут такими:

Прежде чем двинемся дальше, введем более удобную и более компактную запись времен релаксации в виде некоторой двухрядной

где нижние индексы характеризуют фазы, времена т0о* и х п* даются

соответственно формулами (2.47а) и (2.476).

Что касается времен т01* и т10*, то, прежде чем перейти к их вы­ числению, выберем гамильтонианы взаимодействия между фононами обеих фаз в таком виде:

и® = EVon(^з*к,. к2)(4|<1>+ - i i 1, W * -*-2)(М0)* -*-? )+

+ ZVg,>1{k3,k 2,k 1K*i<l,+ - b ' f K b ^ - b ' V ) . (2.51)

Здесь операторы b с верхним индексом "0" или "1" относятся, как уже понятно из предыдущего текста, к основной и примесной фазам соот­ ветственно. Схематически каждому типу рассеяния можно привести в соответствие графическое изображение данных процессов, что и иллюстрирует рис. 2.5. Амплитуды рассеяния есть

ft3/2(eiki)(e2k2)(e3k3)

Yon {^1»^2* ^3} “ ^Ol^OlD

8PoPf‘W (© o*1“ i*2“ i*3)1/2

Фигурирующий тут энергетический параметр 0O1D есть некоторая средняя относительно фаз "0" и "1" температура Дебая. Ее численная величина, признаемся, неизвестна, но для предварительной оценки времен т можно воспользоваться ее значением примерно из того же диапазона, что и обычная температура Дебая, т.е. где-то от 100 до

400К.

Чтобы вычислить времена TQ I * и т 10*, запишем с помощью гамиль­

тониана (2.51) всевозможные интегралы столкновений для разно­ именных (отнесенных к разным фазам) фононов. Согласно намеченному

64

h\kb\kfiok2

b\kbok\bok2

bokbokfiok2

Puc. 2.5. Всевозможные графики рассеяния, описывающие взаимодействие "неодноименных" (отнесенных к разным фазам) фононов

выше рецепту интеграл столкновений для фононов основной матрицы есть

L{n0k} = 2nh~2 XI V on(k,ki,k2)l2 {[О + ЛщЭО + л ^ ) ^ - ki,k2

-п 0кпщ (1 + п,*2 )]5[е0(А:)+ е,(Л,) - Ej(к2)]Д(к + к, - к2) +

А интеграл столкновений для фононов примесной фазы будет

L {n lk } = 2 n h 1 £1 Уоп0*2»k* 1*1 )l2 H(l + Wi*)(l + Wi*, )п ок2 ” k,,k2

Таким образом, согласно формуле (2.45) искомые времена релак­ сации есть

- е, (к х)- е0(к2 )]А(к - к, - к2)+ «л0*2 ) - (п щ )5[е,(к ) -

- e x(kx) + E0 (k2 )]A (k -kx+ k 2 )}+\\\fooi(kx,k 2 ,k) \ 2 {«л0* ,)-

- <«о*2 ))8[£ I ( к ) + £о( * i ) - £о(^2)]Д<к + k i “ к 2) +

66

для времени релаксации Хдц. Действительно, в результате простых выкладок найдем

Вполне аналогично вычисляется и время Тю*. Действительно, как это следует из общего выражения (2.546), в результате использования условия Т > 0О>\о найдем, что

g; = |* 2Л 18[е1(*:) - е 0(*| ) - е 0(1 к - к | I)).

Анализ законов сохранения энергии для каждой из ^‘-функций позво­ ляет выявить условия, при которых эти функции имеют смысл. В самом деле, несложные выкладки приводят нас к следующим результатам:

* __ 2 c\sQcls- c 0s)kJ при C0s < Cj ЗЙ(с01 + с,5)3

и

8 i = 0 при CQS > с^,

68

, _ Zcfsc0s(cls + 5cfs)k2 при cQs > Су 2 3K c l - c l f

И

82 = 0 при c0s < cls,

f t = О;

процесс распада фонона в фазе "1", идущий с рождением фонона этой же фазы и с одновременным излучением фонона фазы "О", запрещен законом сохранения энергии и импульса.

Мы видим, таким образом, что при c0j < cls вклад в Т|0* дают лишь gj* и

8 5 , а при c0j > cl5- g2* и gj.

Подставляя теперь формулы (2.57а) и (2.576) в (2.57), находим, что

Следует еще раз заметить, что формулы (2.58) и (2.59) будут спра­ ведливы лишь для области относительно высоких температур (Г > 0О). При низких температурах разложение бозевских функций распреде­ ления по степеням отношения г/Т проводить неправомерно и нужно просто честно вычислить все фигурирующие интегралы. Положение

69

спасает при этом то, что для низких температур верхний предел инте­ грирования в силу быстрой сходимости интегралов можно положить рав­ ным бесконечности и воспользоваться их протабулированными значе­ ниями.

Чтобы вычислить теперь х, воспользуемся общими формулами (2.37) и (2.38), но в применении к нашему случаю, когда обе фазы диэлектрические, имеем

Я,=(Л/Г)ге ^ J <1*цХ1+ <Им»*ом*4Л /2 я2.

О

R3 =(h/&n2T‘Ja)2 clsC\sai f к2dk J (п^к){п0к1))^\okki^\^\*

оо

* ♦ = (* / Л 24 Т <л1А>(1 + (я,* >*ilkk4dk / 2л2

о

Отличие полученных формул от известных газокинетических состоит в двух средних значениях R2 и /?3, которые учитывают не­ локальный поток тепла от одной фазы к другой.

Газокинетическое приближение, как мы знаем, позволяет записать

Эта формула еще более упростится, если ввести среднее время ре­ лаксации для компонент матрицы уар (см. выражение (2.50)) (тк) = т по

формуле

= Т J ( И Ъ ф Х п ^ к l\{nk)d2k.

’а$к

Тогда можно записать оценочное выражение как х = с\х/ а2 Обратим внимание, что, когда речь заходит об исследовании пове­

дения х в области низких температур, время релаксации т0р зависит от Т по закону Г-5, а это означает, что длина пробега сильно возрастает и вероятность рассеяния фононов друг на друге (и на других квазичас­ тицах) существенно уменьшается. Такая ситуация соответствует так называемому случаю Кнудсена: роль длины пробега переходит к линейному размеру R тела и вместо времени тар^ следует ввести перенормированное время по формуле

где т0 = R/cs при условии, что длина пробега I ^ R. Если данное не­ равенство нарушается, то существует по крайней мере чисто формаль­

70