книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

ГЛАВА 5

КОМПОЗИТЫ КАК ФРАКТАЛЫ (произвольный тип основной матрицы и мелкодисперсной фазы)

Формальный подход, который развит в настоящей главе, осно­ вывается на представлении о композитах (надо, вообще говоря, под­ черкнуть, что под термином "композит" следует понимать весьма широ­ кий спектр сложных структур) как о фракталах в буквальном, а не в условном смысле этого слова. В самом деле, введя в рассмотрение некоторую абстрактную функцию ф(г), область характерных изменений которой 6г превышает средний размер неоднородности (например, раз­ мер частиц мелкодисперсной фазы (/?)), мы можем считать ее гладкой всюду, за исключением счетного множества точек с координатами г,-, где индекс / пробегает ряд целых значений от единицы до N, где N - количество таких неоднородностей. Формально это могло бы дать основание считать ф(г) некоторой функцией, описывающей именно фрактальные структуры и не имеющей непрерывных производных в точках локализации неоднородностей г = r-t. В этом смысле, естест­ венно, частицы дисперсной фазы представляют собой как бы "выко­ лотые" точки в объеме основной матрицы композита. В каком-то, пусть даже и далеком, смысле такие точки несколько напоминают известную задачу Эшелби о том, что при исследовании свойств структуры с одной "дыркой" эту дырку можно условно считать как бы обладающей нуле­ выми свойствами.

Близкий пример содержится в "Курсе дифференциального и интег­ рального исчисления" Г.М. Фихтенгольца, где рассмотрена класси­ ческая задача о непрерывной во всех точках функции ф(х), не имеющей тем не менее ни в одной точке производной. Надо сказать, что ис­ пользование подобных функций в рамках нашей проблемы описания термодинамически равновесных характеристик композитов требует пояснения. Дело в том, что для задач, которые рассматриваем мы, функция ф(х) не будет совпадать с нашей функцией ф*(х) по той простой причине, что ее смысл отличается от смысла функции ф(х). В самом деле, у-функция ф*(х) должна быть непрерывной во всех точках, за исключением точек локализации частиц примесной фазы. То есть ее

задание должно быть таким: функция ф*(х) = ФоС*) для всех х , кроме х = х где Х\ - средние, взятые по центрам тяжестей, координаты частиц примесной фазы и ф*(х) = ф] = const для всех х = х ,- . То же самое касается и производной от функции ф*(х).

Давайте рассмотрим некоторые конкретные формальные методы описания свойств таких неоднородных структур на вполне физических примерах, и начнем вот с чего.

231

5.1.ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ФРАКТАЛАХ КАК О СТРУКТУРАХ

СНЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

Этот подход в основном уже наметился в монографии [5.1], где речь шла о пористых веществах. В каком-то смысле композиты тоже близки к ним, но единственное отличие заключается в том, что свой­ ства частиц мелкодисперсной примесной фазы даже с большой натяж­ кой нельзя считать "нулевыми". Это, конечно, с одной стороны, услож­ няет нашу задачу, а с другой - вроде бы и облегчает. В самом деле, если говорить лишь о равновесных характеристиках подобных веществ, то такой важный в физическом отношении параметр, каковым является теплоемкость (см. раздел 5.5), можно попытаться описать, пользуясь свойствами римановой геометрии с некоторой метрикой g,y. А потому, считая (пока лишь чисто абстрактно; доказательство правильности этого предположения будет дано далее), что композит есть некоторый фрактал, размерность пространства которого из-за наличия инородных частиц дробная и равна

где г/ для трехмерного пространства (d = 3) есть величина строго по­ ложительная, а в случае одномерного (d = 1) или двухмерного (d = 2) пространства - любого знака. Классические примеры этого для d = 1 - канторово множество "одной третьей", когда df = In 2/ln 3 = 0,631, Zf = 0,369, и ковер серпиньского (d = 2), когда df = In 8/ln 3 = 1,893, Zf= 0,107.

He сильно ошибемся, если скажем, что практически всегда для не­ которой гладкой пространственной области, заданной в декартовых ко­ ординатах х, у, z, можно ввести на поверхности z(х, у) криволинейную метрику. Это метрическое многообразие представляет собой простей­ ший пример неевклидова двухмерного пространства в том смысле, что для такой поверхности нельзя ввести скалярное произведение векторов. Действительно, по определению евклидова пространства если заданы векторы а и b в некотором базисе, то для двухмерного случая ab = = aj>x + aybyy где аху и Ьху - координаты векторов в данном базисе. На поверхности z(х, у) метрика задается матрицей второго ранга #ар(дг, у), и ее компоненты есть

gхх = 1 + (dz / дх)2, gyy = 1 + (dz / dy)2, gjy = gyx = (dz / dx)(dz / dy). (5.2)

На этой поверхности построить скалярное произведение векторов нель­ зя. Можно ввести только инвариантное произведение ко- и контравариантных компонент. Действительно, операция параллельного пере­ носа вектора здесь отсутствует. Если, скажем, взять вектор нормали N(x) к этой поверхности, то в любой точке, близкой к данной, на­ правление N(x + 6х) будет отличаться от N(x), и, таким образом, при параллельном переносе вектора N в любую близкую точку (из окрест­ ности данной) N не будет уже вектором нормали (исключение пред­

232

ставляет здесь разве что только плоскость). Непосредственно связан­ ный с этим подходом математический аппарат представляется в содер­ жании следующих двух разделов.

5.2.ЭЛЕМЕНТ ДЛИНЫ И МЕТРИКА

Вработе [5.2] описана теплопроводность фрактальных структур с помощью операции так называемого дробного дифференцирования. Позднее этот подход несколько расширился и подобные системы рас­ сматривались хотя и с формальной математической точки зрения, но под несколько иным углом, о котором мы чуть выше упомянули, а именно в рамках римановой геометрии.

Заметим, что последний подход оказался довольно плодотворным в плане формального языка описания сложных квази-^-мерных систем.

Пример его применения будет рассмотрен в этом же разделе, но не­ много ниже.

Надо сказать, что общей чертой во всех подобных задачах явля­ ется как бы "дырявость" пространства (плоскости, прямой), и фор­ мально такие пространственные структуры с некоторой натяжкой мож­ но отождествить с пористыми в буквальном (а не абстрактном!) смысле веществами. Тут, безусловно, требуется строгое обоснование, на ко­ тором мы сейчас подробно остановимся. Рассмотрим для начала самый простой случай одномерного пространства (dF = 1). В чисто геометри­ ческом аспекте длина одномерной линии пусть будет I = L. При усло­ вии, что нить пористая, можно считать, что / < L (полная длина будет короче, чем L). Если прямая имеет несколько ответвлений (типа водо­ проводных труб), то длина такой структуры будет уже I > L (полная длина больше длины прямой). Математически это довольно легко учитывается с помощью введения метрического тензора, зависящего

Для вполне конкретной зависимости компоненты тензора g(x) мы можем вычислить длину такой "прямой". В самом деле, если у - z - const, то

Интеграл (5.4) в этом случае легко вычисляется, и мы видим, что

Если Е > 0, то / < L и мы имеем аналог пористой нити, если же е < О,

233

то / > L и в нашем распоряжении имеется плоская и очень "ободранная елка".

Формально эти два случая соответствуют действительности. Итак, неевклидовость пространства может привести к квазиструктурам, на­ зываемым фракталами. Размерности этих структур можно варьировать введением диагональных компонент метрического тензора. Например, для квазидвухмерной структуры вместо интервала (5.3) следует запи­ сать

£22(У) —(у/ L)~Zl, где показатели е12 произвольные.

Поскольку последующее изложение будет опираться на некоторые термины из римановой геометрии, введем в обиход необходимые для понимания дальнейшего соответствующие специфические названия, придерживаясь при этом в основном традиционного языка из класси­ ческого учебника по теоретической физике Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [5.3].

В кривом пространстве обычный дифференциал вектора не явля­ ется вектором. Векторной характеристикой служит так называемый ковариантный дифференциал. При этом инвариантная запись квадрата элемента длины должна быть представлена в соответствии с формулой dP = gjfdx'dxк = gikdxjdxk, где gik- ковариантный метрический тензор, а gV - контравариантный, индекс / и к пробегают значения 1, 2, 3. Для метрики (5.3) имеем очевидно, что £П = #(*), dx = dx', dy = dx2, dz = dx3 Аналогично и для ковариантных компонент. Напомним, что поднятие и опускание индекса осуществляется с помощью метрического тензора. Пример: В, = gnBk или В' = gikBk. Уравнение линии, имеющей наи­ меньшую длину, описывается так называемым геодезическим уравне­ нием, которое получается путем варьирования следующего интеграла:

Такой метод носит название метода наименьшего действия. Простые операции над выражением (5.8) приведут нас к соотношению

где и* = d x 'td l.

В одномерном случае уравнение (5.10) с учетом (5.9) и метрики (5.5)

234

где и = dx/dl при у = z = const м = 1/Vg, и уравнение (5.11) удовлет­ воряется автоматически независимо от вида функции g(х).

Попробуем теперь рассмотреть на конкретном примере, каким образом с помощью неевклидовой геометрии можно описать свойства фракталов. В качестве примера выберем магнитный квазиодномерный фрактал и попробуем строго математически обосновать поведение его отдельных физических параметров.

Квазиодномерные магнитные фракталы

При теоретическом изучении магнитных структур приходится иметь дело, как правило, с двумя наиболее типичными представителями этого класса веществ, а именно с ферромагнетиками и антиферромагнети­ ками. Каждый из этих типов диэлектриков обладает своей собственной симметрией, и точный расчет спектров квазичастиц в этих типах струк­ тур требует ее строго учета. Самый простой класс кристаллических структур характеризуется кубической сингонией (симметрией), и при решении множества задач магнетизма, дабы получить чисто оценочные (качественные) характеристики, этого оказывается вполне достаточно. Мы не будем нарушать данное правило, тем более что в нашу задачу и не входит анализ возможных проявлений изменения свойств магнетика при переходе от одной симметрии к другой. Определенности ради гово­ рить будем только о легкоосном ферромагнетике с кубической атомной решеткой.

Традиционный язык описания магнитных свойств таких структур - язык спиновых волн, впервые введенный в терминологию Блохом в его классической работе [1.19] для описания температурного поведения намагниченности ферромагнетиков в области низких температур.

В более поздних работах других авторов этот метод совер­ шенствовался и применялся к разнообразным задачам из области маг­ нетизма (см. ссылки на оригинальные работы в главах 1-4).

Главной физической характеристикой магнитных веществ в теории спиновых волн является их спектр - дисперсия магнонов. Чтобы выяс­ нить, в каких качественных и количественных изменениях свойств квазиодномерных систем он участвует и проявляется, следует записать гамильтониан магнитной структуры в рамках метрики (5.5). Для квазиодномерного случая в континуальном приближении с использованием коиконтравариантных компонент имеем

где а - обменная константа, Л/, - ковариантная составляющая вектора намагниченности,

235

а операция ковариантного дифференцирования определяется по извест­ ному правилу:

16М, / Ьхк = dMi / дхк + ГЦМп,

(5.14)

Для метрики, заданной интервалом (5.5), отличные от нуля символы

Кристоффеля есть только Г£, такие, что

С помощью выражений (5.14) и (5.15) гамильтониан (5.12) можно запи­ сать следующим образом:

L

Я = Я0 + 0,5осJ (х /L)~e,2{[дМх/ дх+ (е / х)Мх]2 +

Для выяснения того, как изменится спектр магнонов в квазиодномерных структурах, воспользуемся уравнениями движения для плотности намагниченности в форме уравнений Ландау-Лифшица:

где уе - гиромагнитное отношение, а эффективное поле, действующее на данную локальную область пространства, определяется следующей функциональной производной от гамильтониана (5.16):

С помощью явного вида (5.16) находим

Ялф ,2 / г / „ чЕ /2 / ж ж , J 2

=(X£1(Llx)E,z(Mx/ x z)-a(dfdx)[(L/x)t,2dMx /dx] +

+az(\ + 0,5e)(Mxlx)(L/x)£n,

(5.19)

H ^ = - a ( d /d x ) [( x lL ) t n (dMy /dx)],

Ягэф = - a (d/dx)[(xf L)tl2(dMz /dx)\-H0.

Уравнение (5.17), записанное в компонентах, можно представить таким образом:

дМхШ = - у е(МуН0 + Я^фА#0),

(5.20)

дМу/дг = у,(М0Ялф + Я0Л*х),

где MQ - спонтанная намагниченность. Исключая из первого уравнения Му, что достигается его дифференцированием по времени и подста­ новкой в него нижнего уравнения системы (5.20), найдем

где дифференциальный оператор в пространстве дробной размерности

236

где к - волновой вектор магнона. Найти решение уравнения (5.21) в общем виде не представляется возможным, поэтому попробуем просто оценить, к каким качественно новым особенностям может привести учет дробности пространства. С этой целью будем полагать, что е 1. Уравнение (5.21) тогда существенно упростится, и в линейном по е приближении найдем

д2Мх / dt2 = осу2еМ0(Н0 - осМ0д2/ дх2)д2Мх / дх2 -

- у 2еН0(Н0 -осМ0д2/дх2)Мх - осеу2еМ0(Н0 -осМ0д2/дх2)(Мх / х 2).

(5.25)

Последнее слагаемое в правой части приведенного уравнения - малая величина. Этим обстоятельством мы чуть ниже и воспользуемся. Но предварительно разложим функцию Мх(х, t) в интеграл Фурье по координате:

Тогда уравнение (5.25) в терминах |1* можно переписать следующим образом:

Чтобы выявить поправку в спектре спиновых волн, обязанную дробной размерности, будем искать решение уравнения (5.27) методом последовательных приближений. Положим с этой целью, что со = C0Q+

+ 8со, a ji*0) = 1. Тогда

Фк = к 4 /24

и, следовательно,

237

Значит, спектр спиновых волн в квазиодномерном приближении есть

Полученная зависимость позволяет сразу же сделать два качественных вывода.

а. В пористой магнитной среде (£ < 0) средняя намагниченность ферромагнетика ведет себя как

= М0 - ц, J dk(nk) = М0 - 0[(Т/ йау,Л/0(1 -1е I / 4))1/2],

о

(5.31)

где равновесная бозевская функция распределения магнонов по им­ пульсам есть

(5.32)

кexp{ftcot / квТ } - \

б.В "елочной" структуре (£ > 0)

Итак, выявляется любопытная картина. При £ < 0 зависимость

Мха) проходит выше, чем у одномерного образца, взятого условно за

эталон. А при £ > 0 М^б\ наоборот, будет проходить ниже, чем для Mz,

т.е. под ней. Кроме этого, надо обратить внимание на тот факт, что и температура фазового перехода Тс становится функцией от £, и при

этом еще существует такое строгое неравенство: Гс(б) < Тс < Гс(а).

С физической точки зрения последнее вполне понятно. В самом деле, обменное взаимодействие в идеально упорядоченной системе яв­ ляется универсальной величиной. При добавлении в основную матрицу структуры дефектов обменный интеграл "ломается" и становится функцией концентрации добавок. Та же самая ситуация прослеживается и в квазиодномерных структурах (независимо от знака е!), так как при £ < 0 роль дефектов играет пористость, а при £ > 1 - разветвленность, причем в среднем по образцу обменные энергии Jex(е < 0)и Jex(£ > 0) не равны Уе х (Е = 0). Итак, в d-мерных системах обменный интеграл имеет нелокальный характер и можно говорить только о некоторой средней (по структуре) температуре Кюри. Сам же фазовый переход имеет "плавающий" характер, и в каждой данной однородной области вещества устанавливается свой дальний локальный порядок.

Если речь идет о квазидвухмерной системе, то при размерности фрактала dF = 2 - £ интервал (5.5) должен быть несколько моди­ фицирован. В этом случае имеем

Отличных от нуля символов Кристоффеля здесь два: Г^. и Г^у. При

238

gw(x) = (x/L) El/2 и g22(y) = (y/L) 6212 уравнение на Mx{My) по ана­ логии с уравнением (5.25) будет иметь вполне похожий вид, но в правой части появится еще одно слагаемое, пропорциональное е2 и являю­ щееся функцией от координаты у. Двухмерное преобразование Фурье даст в ^-представлений уравнение на вектор-функцию д* ={р.х, р.^}. Положив ее в первом приближении равной константе, найдем спектр в виде со* = у е[Н0 + аМ0к2(1+ (г] + е2)/4)]. В квазитрехмерном случае

аналогично найдем, что со* = у е[Н0 +аМ0к2(1+ (ех+ £2 + е3)/4)]. В со­ ответствии с такими законами дисперсии средняя намагниченность в

Таким образом, в зависимости от знаков £j, £2, £3 в квазитрехмерном случае наблюдается тенденция дМ. либо к спаданию в отличие от "обычного" закона "трех вторых", либо к возрастанию.

В рассмотренной модели средняя намагниченность фрактала имеет тот же качественный температурный характер, что и рассчитанная по модели Блоха. Отличие будет проявляться лишь в количественном отношении.

5.3.ОПЕРАЦИИ ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

ИИНТЕГРИРОВАНИЯ

Задача описания физических свойств композитов с точки зрения чисто абстрактного математического аппарата носит скорее формаль­ ный характер и претендует лишь на корректность окончательных фор­ мул (причем, естественно, речь будет идти только о равновесных физи­ ческих параметрах вещества). Для структур с дробной размерностью довольно проблематично применение обычных операций дифференци­ рования и интегрирования и требуется их существенная модификация. Эта процедура может быть осуществлена с помощью формального разложения функции в интеграл Фурье. Единственное требование здесь заключается только в том, чтобы обратное преобразование Фурье

характеризовалось сходящимся интегралом I/( JC)exp(-ikx)dx <М,

где М - конечное число). Это условие, несомненно, довольно сущест­ венно ограничивает набор функций, для которых подобное рассмотре­ ние справедливо. Именно для данного класса функций введем оператор

239

мы о нем вспомним).

Сразу же обратим внимание на то, что оператор А является ли­ нейным в обычном математическом понимании этого термина (выпол­ нены оба необходимых для этого условия).

Вычислим далее его действие на функцию е^х. В самом деле,

Ле'5* = J (ik)Ut fkeibxdk / 2я.

Так как согласно обратному преобразованию Фурье fk = J e~lkcet4Xdx =

Итак, можно сказать, что действие дробного дифференцирования определено и дается формулами (5.37)-(5.39). Попробуем теперь с помощью полученных формул описать действие операции дробного интегрирования. В самом деле, если задано выражение

Af(x) = } (ik)'*cfkeikxdk/2K.

то вычисление отсюда функции f{x) позволит дать определение опе­ рации дробного интегрирования.

Предположим, что в результате обратной операции мы восста­ новили функциюfix). А именно получим, что

/(*)= J ] Q(x-y)(ik)'*‘fkeik>dydkl2K,

где Qiх - у ) - некоторое ядро, вид которого нам предстоит выяснить.

240