книги / Теория автоматического управления техническими системами
..pdfвыходе трех параллельно соединенных звеньев при ступенчатом |
||||||
воздействии go(0 формируется прямоугольная знакопеременная |
||||||
функция w(t), имеющая в системе |
управления |
инерционным |
||||
объектом в соответствии со вторым законом Ньютона размер |
||||||
ность ускорения. Первый |
интеграл |
от |
w(t) |
при нулевых на |
||
чальных условиях представляет собой |
треугольную функцию |
|||||
о(/) —закон |
изменения |
скорости |
|
движения |
инерционного |
|
объекта; второй интеграл от до(£) является |
искомой реакцией |
|||||
x(t) оптимальной по быстродействию системы W0pt(s). Процесс |
||||||
x{t) —оптимальный в смысле монотонности и минимума значе |
||||||
ния времени |
переходного процесса |
TStt=Tminпри |
указанных |
|||
ограничениях на значение ускорения w(t). |
|
|
Структурная схема оптимального управления инерционным объектом с обратными связями (положительной и отрицатель ной) показана на рис. 7.2. Обозначим передаточную функцию
Рис. 7.2. Структурная схема (с обратными связями) системыуправ ления инерционнымобъектом
этой системы через OoPt(s). Учитывая выражение (7.1), не трудно показать, что
®opt (s)—Wopl(s).
Система OoPt(s) с главной ÔOC является оптимальной по быстродействию, имеющей в своем составе формирователь опти мального управления w(t). Входным сигналом системы являет ся ступенчатое воздействие go(О-
а—оптимальная функция перемещения х((); б — ускорение то(0
В период разгона 0<t<Tmin/2 (рис. 7.3), когда ускорение |
||||
w=d2x/dt2объекта сохраняет максимально возможное значе |
||||
ние Дотах, переходный процесс по перемещению определяют вы |
||||
ражениями |
|
|
|
|
•«(0=~2wmax^2* о |
^ Тт\й/2\| |
(7.2) |
||
x(t)=0; |
*<0. |
J |
||
|
Переходный процессдля всех значений лс'(0* включая период тор |
||||||
можения 7’min/2s^<7\nin, может быть составлен |
из следующих |
|||||
|
трех парабол |
[(рис. 7,4): 1 —опре |
||||
|
деляется |
выражением |
(7.2) |
для |
||
|
всех />0; |
2 —сдвинута |
по оси t |
|||
|
вправо на Тшп/2 и имеет постоян |
|||||
|
ную по значению вторую производ |
|||||
|
ную —2эдтах; |
3 —сдвинута вправо |
||||
Рис. 7.4. Представление кривой |
на 7mmи имеет по модулю значе |
|||||
ние второй производной, т. е. штах. |
||||||
оптимального переходного про |
Выражение |
для |
оптимального |
|||
цесса тремя параболами |
переходного процесса |
можно |
пред |
|||
ставить в виде |
|
|
|
|
|
|
•«opt (0= у ^тах*2• 1(*) - |
®тах (* - ^ r j ’ 1 ~ |
|
+ |
|
||
+|^шох(^-7’т1„)2-1(^-7’т1п), |
|
|
|
|
(7.3) |
|
где 1(/), 1^/—Tjniij и 1(t—Tmln) —единичные |
ступенчатые |
|||||
функции с соответствующими сдвигами. Предел |
функции |
|||||
•«opt (0 |
|
|
|
|
|
|
\\Шx:0pt (£) =-«opt (00)= |
min» |
|
|
|
|
|
Правую часть этого выражения при заданных условиях обозна чим через
ёо= If^тйуХmin= COnst.
тервале разгона 0</,)a3r<7’min/2 ускорение инерционной нагруз |
||
ки имеет постоянное |
максимальное |
положительное значение |
+®тах. Переходные |
процессы по |
скорости v и координате х |
определяют выражениями: |
|
|
Выражение go(0~const характеризует ступенчатое управляю |
||
щее воздействие, которое нужно приложить к астатической си |
||
стеме (7.1) с оптимальными характеристиками, для того чтобы |
||
получить переходный процесс вида |
(7.3). |
Время Tmin, необходимое для перевода системы из одного со стояния в другое, является суммой, состоящей из равных ин тервалов Tmin/2 разгона и торможения. Действительно, на ин
Ь
W 2
Х(%»*■= ) |
|
V{t)dt=±-Wmax*2- |
|
|
На интервале |
О |
|
имеем |
|
торможения Tmin/2<tTOpu<Тт1п |
||||
ветственно: |
|
^mln |
|
|
V(ty,TopMS= |
|
^щах^» |
||
|
|
^ ^max (0&~ (^maxТт\п/У) |
||
|
^mln^2 |
|
||
X(*)tтори |
^mln |
|
||
5 |
|
■o(t)dt= (wmKTL/8)-wwt1/2. |
||
|
^mlnI2 |
|
Время оптимального переходного процесса Ттщпри заданном максимальном ускорении адтах зависит от значения приложен ного ступенчатого воздействия, и его определяют соотношением
^ш1п~ 2 Vêo/^max* (^*^)
Минимальное время TW переходного процесса, соответству |
||
ющего оптимальной системе (7.1), имеющей оптимальные ча |
||
стотные характеристики, |
зависит от значения |
управляющего |
ступенчатого воздействия go{t), или начального рассогласова |
||
ния—см. формулу (7.4). Поэтому оптимальную частоту среза |
||
системы нужно определять |
для ступенчатого |
управляющего |
воздействия, равного не единице, а значению, выбираемому на
основании рассмотрения конкретных условий работы системы. Таким значением, например, может служить наибольшее зна чение начального рассогласования, при котором еще возможно линейное рассмотрение системы.
Необходимость введения в системы автоматического регули рования корректирующих устройств можно пояснить, рассмот рев их влияние на изменение частотных характеристик системы.
Пусть САР имеет АФХW'(/со), изображеннуюна рис. 7.5, а (кривая 1). Система, имеющая такуюхарактеристику, будет неустойчивой. Для ее ста* билизации можно уменьшить передаточный коэффициент k (кривая 2). Как правило, коэффициент k уменьшать нельзя (от значения k зависит статиче ская точность системы). Вэтомслучае необходим скорректировать форму АФХна средних частотах (©|...©2) так, как это показано на рис. 7.5, в
(кривая 3). Система станет устойчивой и обеспечит заданнуюточность регу |
||||||
лирования. Это может быть |
реализовано |
при |
помощи корректирующего |
|||
устройства. |
|
|
|
|
|
|
АФХ,показанная на рис. 7.5,б (кривая 1) должна соответствовать устой |
||||||
чивой систем. Однако система не имеет достаточного запаса устойчивости и |
||||||
кривая пересекает окружности вещественной круговой диаграммыс боль |
||||||
шим значениям индексов Ре. Это означает, что переходный процесс |
в та |
|||||
кой систем будет колебательным. Уменьшение |
передаточного |
коэффициен |
||||
та k не может существенно уменьшить склонность системык колебаниям. Но |
||||||
если при помощи корректирующего устройства скорректировать форму АФХ |
||||||
так, как это показано на рис.7.5,б (кривая 2),т.е. создавая положительный |
||||||
сдвиг фазыв интервале частот ©i ...©2. то можно |
обеспечить |
достаточный |
||||
запас устойчивости и качественны показатели системы. |
|
|
||||
Пусть САР имеет АФХ1-го рода (кривая 1, рис. 7,5, в). Требуется, что |
||||||
бысистема не имела установившейся ошибки при подаче на ее вход воздей |
||||||
ствия в виде постоянной скорости. Для этого |
необходимо, чтобы |
АФХ |
||||
разомкнутой системыпри частотах, стремящихся к нулю, проходила |
вдоль |
|||||
отрицательного направления |
не мнимой, а вещественной оси |
(кривая 2), |
||||
что достигается введениемв систему дополнительного интегрирующего звена. |
||||||
Получимсистему с астатизмом2-го порядка, которая не обладает требуемой |
||||||
устойчивостью.Поэтому необходим скорректировать АФХсистемытак, как |
||||||
показано на рис. 7,5, в (кривая 3). |
|
|
способы |
коррекции |
||
В автоматике применяют следующие |
||||||
динамических характеристик САР: |
(корректирующее устрой |
|||||
1) последовательную |
коррекцию |
|||||
ство включают последовательно с усилительно-преобразующим |
||||||
устройством и объектом регулирования); |
|
устройство |
||||
2) параллельную коррекцию (корректирующее |
||||||
включают параллельно |
усилительно-преобразующему устрой |
|||||
ству); |
|
|
|
|
|
|
3)корректирующую обратную связь (корректирующее устройство включают встречно-параллельно, охватывая усили* тельно-преобразующее устройство системы в качестве элемента местной обратной связи);
4)комбинированную коррекцию.
Предположим, что структурная схема САР задана'и приве дена к виду, показанному на рис. 7.6. Система состоит из: объ екта или неизменяемой части, включающей последовательно
Рис. 7.6. Структурная схема САР с последователь |
||
ным корректирующим устройством и |
корректиру |
|
|
ющей обратной связью |
функциями ИМ$) и |
соединенные элементы с передаточными |
||
Wm(s); последовательного корректирующего устройства (ПКУ) |
||
с передаточной |
функцией №d(s); корректирующей обратной |
|
связи (КОС) |
с передаточной функцией Z(s), охватывающей |
звено Wm(s). Передаточная функция САР, разомкнутой в ме сте измерения ошибки, имеет вид
(7.5)
Передаточные функции ^„(s) и Wo(s) заданы в виде ана литических выражений или соответствующих им частотных ха
рактеристик. Задача заключается в определении таких переда точных функций Wa{s) и Z(s) последовательного корректирую щего устройства и корректирующей обратной связи, чтобы си стема (7.5) обладала ‘ необходимыми показателями качества. Этими показателями могут быть:
1) статическая точность системы при типовых входных воз действиях (определяется порядком астатизма), а также коэф
фициенты ошибок Cj и С2;
2) время Гп.п переходного процесса, вызванного единичным ступенчатым управляющим воздействием;
3) значение (в процентах) перерегулирования о, вызванно го ступенчатым управляющим воздействием;
4) максимальное ускорение штах, с которым должна изме няться регулируемая величина;
5) запас устойчивости системы по фазе у.
При синтезе системы не обязательно задают все показатели
одновременно: можно учитывать лишь некоторые из них. |
|||
Преимуществом ПКУ является то, что они могут быть реа |
|||
лизованы в виде простых пассивных |
или активных RC-филь |
||
тров на серийных или заказных микросхемах. Перечислим недо |
|||
статки ПКУ-' |
существенно |
снижается |
|
1) |
эффективность их действия |
||
вследствие непостоянства параметров и характеристик |
основ |
ных элементов системы (при применении ПКУ к характернсти-
кам остальных элементов системы следует предъявлять повы шенные требования);
2) дифференцирующие ЯС-фильтры чувствительны к поме
хам и шумам. |
|
Теперь перечислим преимущества'КОС: |
|
1) |
КОС уменьшают зависимость динамических свойств |
САР |
при изменении параметров и характеристик элементов, |
входящих в ее состав; 2) питание КОС обычно не вызывает затруднений, так как
они включаются на выходе системы, где развивается значитель ная мощность;
3) системы с КОС менее подвержены влиянию помех, чем системы с ПКУ. так как элементы системы, включенные перед их входом, играют роль фильтров нижних частот.
Недостатки КОС заключаются в следующем:
1) высокая стоимость и громоздкость составляющих элемен тов (тахогенераторы, дифференцирующие трансформаторы
идр.);
2)необходимость применения больших по значению коэф фициентов усиления.
7.2. Желаемая логарифмическая амплитудная частотная характеристика CAR
Частотный метод САР с последовательным корректирую
щим устройством связан с понятием желаемой ЛАЧХ разомкну |
|
той системы. От этой характеристики зависит качество переход |
|
ного процесса в пределах заданной области |
допустимых зна |
чений первичных показателей ТРег=Тп.пи о. |
Использование |
данного метода ограничено классом линейных САР и инерцион |
ным механическим объектом, уравнение которого подчиняется второму закону Ньютона. Применение метода связано со сле дующими особенностями синтеза САР.
Техническая реализация оптимальных частотных характе
ристик САР, отвечающих требованию получения Ттщв соответ |
|
ствии с выражением (7.4), сопряжена |
со значительными труд |
ностями. Такая реализация часто и не является необходимой, |
|
так как в ряде случаев, по ТЗ на систему, допускаются моно |
|
тонные переходные процессы, а время |
регулирования больше |
Ттщ. Множество переходных процессов, соответствующих |
(по ТЗ) области допустимых значений Грег и о, будем называть квазиоптимальными. Вводимая в рассмотрение желаемая ЛАЧХ Lm(cù) разомкнутой системы удовлетворяет требованиям полу чения квазиоптимального переходного процесса, а также усло виям, подлежащим учету при решении задачи синтеза.
При синтезе системы с ПКУ удобными аналитическими (гра фическими) зависимостями являются соотношения между мак симальными значениями Рщах вещественных частотных харак теристик, с одной стороны, и соответствующими им значениями
времени переходного процесса Трегшх=Ттгх и перерегулиро вания Ср тах=ашах —с ДРУГОЙ[18, 19].
Для решения задачи синтеза САР по критерию обеспечения квазиоптимального переходного процесса вычисляют функции
Tmax~fl(Ртах) ИОтах—?2(^тах)
на множестве следующих значений параметров аппроксимиро ванной трапецеидальной характеристики системы:
x=cod/(o„; yca = (ùa/(ùb; <ec =—^-JL; Я=(о6/ш„. Эти параметры определяют в соответствии с рис. 7.7.
|
Рис. 7.7. Типовая |
аппроксимирован |
|
|
||
|
ная |
вещественная |
характеристика |
|
|
|
Усредненные графики |
Ятнп(<и) системы |
и |
Ошах= |
|||
функций Tmax=fi(Pmaх) |
||||||
max) |
приведены |
на |
рис. 7.8,а,б. Эти функции |
не зависят |
||
от порядка |
характеристического |
уравнения системы, а |
приве- |
Рис. 7.8. Кривые зависимостей ômax—f(Pmax) н.Ттах={(РтлХ): а- для и<0,8; Л»0,5; xfl>0,4; tf-для х<0,8; 0,1<Я.<0,5; xfl<0.4
денные области значений х, ха и Япри решении задач синтеза встречаются наиболее часто.
Если вещественная частотная характеристика Р(ш) замкну |
|
той системы близка по форме к трапецеидальной |
(см. рис. 7.7), |
то время переходного процесса оценивают неравенством |
|
, >■*рег \ , |
(7.6) |
САР с учетом заданных v и k. То есть формирование желаемой |
||||
ЛАЧХ начинают с низкочастотной |
асимптоты |
(объектаили не |
||
изменяемой части системы). Желаемая ЛАЧХ при |
частотах, |
|||
меньших первой |
сопрягающей частоты, имеет наклон —20v |
|||
(в децибелах на декаду), а при частоте ш, равной 1рад/с, име |
||||
ет ординату 20 lg£ (в децибелах). |
|
|
|
|
2. По заданному в ТЗ значению Omax, по графику функции |
||||
Отах=/г(Ртах) (см. рис. 7.8,a), a |
также по указанным в под |
|||
рисуночной подписи значениям х, %а и Яопределяют |
соответ |
|||
ствующее значение Ртах вещественной характеристики замкну |
||||
той системы. Значение |Pminl находят по приближенной формуле |
||||
\Рmini Ртах |
1. |
|
|
(7.7) |
ТЗ на проектируемую САР при данной постановке задачи |
||||
синтеза включает следующие данные: степень астатизма и до |
||||
бротность; допустимое значение |
времени |
регулирования |
Трег maxi допустимое значение (в процентах) перерегулирования |
||
amaxî максимальное ускорение регулируемой величины при за |
||
данном начальном рассогласовании.. |
|
|
Выбор желаемой ЛАЧХ осуществляют по правилам связи |
||
между ЛЧХ разомкнутой системы и вещественной частотной |
||
характеристикой САР замкнутой системы —см. формулы (6.11), |
||
(6.13) и др. |
определения желаемой ЛАХ |
может быть, в част |
Порядок |
||
ности, следующим. |
астатизма v и до |
|
1. Исходя из требуемых по ТЗ степени |
||
бротности £=№'(s)|s=o системы, согласно |
выражению (7.5), |
|
определяют |
(строят) ЛАЧХ объекта или неизменяемой части |
3. Частоту среза шср желаемой ЛАЧХ синтезируемой систе
мы, реализующей квазиоптимальные переходные процессы, вы |
|||||||
бирают из соотношения |
|
|
|
|
|
||
(flcP<rmax)^ |
®срopt» |
соответствующая |
заданному |
||||
где |
шсР(гтах) —частота среза, |
||||||
(допустимому) по ТЗ времени |
регулирования; |
£ocpopt—частота |
|||||
среза оптимальной, в смысле выражения (7.4), САР: |
|||||||
Шср opt=2/7’mIn.____ |
|
оптимального |
переходного |
||||
Здесь |
Тт\п=2 |
Vgo/o'max —время |
|||||
процесса. |
|
|
по |
кривой |
Гтах=/1 (Ртах) |
||
Частоту среза ооСр(7-тах>находят |
|||||||
при значении Ртах, определенном в п. 2 |
(см. также рис. 7.8). |
Если заданное значение Ттах таково, что шср oPt<©cp(rmax),
то частоту среза САР следует выбирать не превышающей значе
ния Шер opt*
4. Черезточку оср на графике формируемой желаемой ЛАЧХ (см. п. 1) проводят прямую с наклоном —20 дБ/дек, которая
является среднечастотной асимптотой желаемой ЛАЧХ синтези руемой САР. Наклон этой части ЛАЧХ выбирают равным
где (ùi —сопрягающие частоты, меньшие того значения ш, при |
|||
котором определяют значение фазы 0; h и /2—число сопряга |
|||
ющих частот, при которых наклон увеличивается или умень |
|||
шается на 20 дБ/дек. |
В формуле (7.8) частоты |
сопряжения, |
|
превышающие частоту среза, не принимают во внимание, так |
|||
как обычно среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ зани |
|||
мает значительный интервал частот (порядка декады и более). |
|||
Проверку можно также проводить путем |
построения фазовой |
||
характеристики, например при помощи шаблонов. |
сопрягают с |
||
Среднечастотную |
асимптоту желаемой |
ЛАЧХ |
|
высокочастотной частью .логарифмической амплитудной харак |
|||
теристики (областью |
малых параметров) так, чтобы в том ин |
||
тервале частот, в котором справедливо неравенство |
0>1ж(ш) ^—Т#м,
избыток фазы ч был не менее ^с. |
|
|
||
Проверку выполнения этого условия выполняют по прибли |
||||
женной формуле |
|
|
|
|
-(=я+е(ю)=я-^-<7ср- 2 -£-• |
|
(7-10) |
||
|
|
г—1 г |
|
|
где ÿcp —наклон среднечастотной асимптоты |
ЛАЧХ |
(при на |
||
клоне, равном —20 дБ/дек, <7=1); т —число сопрягающих ча |
||||
стот Шер, удовлетворяющих условию Шг>0ср. |
|
|
||
7. |
Строят высокочастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ так, |
|||
чтобы она мало отличалась от высокочастотной асимптоты не |
||||
изменяемой части |
системы. На устойчивость |
и качество систе |
||
мы этот участок ЛАЧХ влияет незначительно. |
|
|
||
На этом процедура формирования желаемой ЛАЧХ синтези |
||||
руемой САР завершается. |
|
|
||
Если среднечастотная асимптота сопрягается с низкочастот |
||||
ной асимптотой, а также с высокочастотной частью |
желаемой |
|||
ЛАЧХ, следует |
обращать внимание на то, чтобы желаемая |
ЛАЧХ имела наклон, возможно менее отличающийся от накло на ЛАЧХ неизменяемой части системы на каждом из участков сопрягающих частот. Это необходимо для того, чтобы получить более простую передаточную функцию корректирующего устрой ства, имеющую числитель и знаменатель возможно более низ кого порядка.
7.3. Синтез последовательных корректирующих устройств
Предположим, что структурная схема САР. имеет вид, по казанный на рис. 7.10. Необходимо определить тип последова тельного корректирующего устройства и его параметры. Пере