книги / Твёрдотельная фотоэлектроника. Физические основы-1

просачивание электронов сквозь барьер, амплитуды собственных волновых функций электрона на границах ямы становятся отличными от нуля (они тем больше, чем ближе уровень к верху барьера) и экспоненциально убывают в барьере при удалении от границы. При этом эффективная ширина ямы увеличивается, и собственные значения энергии £п при том же значении п уменьшаются. Число квантовых состояний в потенциальной яме конечной глубины также становится конечным (рис. 3.2.4).

Оценим положение энергетических уровней в одномерной квантовой яме конечной глубины <§п. Для упрощения выкладок перенесем начало отсчета ко­ ординаты в середину ямы (в точку х = 6/2 на рис. 3.2.3). Волновая функция

Тогда для решения exp(jk2b) со знаком плюс ctg(/i26/ 2) = к2/ 0, а для решения со знаком минус tg(&26/ 2) = —к2/0. Из двух последних соотношений следует

В то же время из выражений для к2 и 0 в подразделе 3.2.1 можно получить

Абсциссы точек пересечения кривых (3.2.7) и (3.2.8) с окружностью (3.2.9) на рис. 3.2.6, где в качестве координат отложены величины k2 b/ 2 и /36/2, и дают возможность определить собствен­ ные значения энергии £п для кван­

товой ямы конечной глубины:

сказывается и на движении электрона в континууме над ямой. Кинетическая энергия электрона над ямой возрастает, и длина волны де Бройля уменьшается. Выйдя за пределы ямы, электрон снова приобретает первоначальное значение волнового вектора. Это приводит к частичному отражению потока электронов. Коэффициент отражения определяется соотношением (3.2.2) с заменой <§п на -<£п и становится равным нулю (как будто ямы вообще нет) только при дискрет­ ных значениях £п , совпадающих с величинами собственной энергии для беско­ нечно глубокой потенциальной ямы с такой же шириной 6 — выражение (3.2.6).

Этот результат позволил, в частности, объяснить эффект Рамзауэра — по­ чти полную прозрачность атомов инертных газов аргона, криптона и ксенона для электронов с дискретными значениями кинетической энергии.

С учетом вышеизложенного становится понятным и резонансный харак­ тер прохождения электронов с различной энергией £ < £ п через квантовую структуру, представляющую собой узкую потенциальную яму, ограниченную двумя узкими барьерами. Если энергия электронов <§ совпадает с собствен­ ной энергией одного из уровней в квантовой яме, то коэффициент туннельного прохождения электронов через структуру резко возрастает. Указанный эффект также обусловлен интерференцией электронных волн, отраженных от скачков потенциала на границах барьеров.

3.2.4. Гармонический осциллятор. В механике важное значение имеет задача о гармоническом осцилляторе — частице, движущейся вдоль одной ко­

ординаты и притягивающейся к положению равновесия х = 0 с силой, пропор­ циональной отклонению частицы от этого положения,

F = -С х,

где С — постоянная величина. Классическое решение этой задачи находят, приравняв силу притяжения выражению для силы из второго закона Ньютона F = Md2x/d t2, где М — масса колеблющейся частицы:

чение, далеко выходящее за преде­ лы простых задач вроде колебаний маятника. Аналогичные силы встре-

чаются во всех случаях колебаний малой амплитуды около положения устой­ чивого равновесия. При этом любую силу, зависящую от координаты, можно разложить в ряд Маклорена и оставить только второй член ряда

При колебательных процессах Fx=o = 0, так как х = 0 соответствует равно­ весию.

Амплитуда колебаний жо в уравнении (3.2.11) определяется полной энерги­ ей колебаний <g=<gK+<gn. На рис. 3.2.7 приведена координатная зависимость потенциальной энергии колебаний <§п = С2х2/ 2. Направление движения части­ цы изменяется на обратное при ^ = <£п. когда ее кинетическая энергия <8Кравна нулю, следовательно

Хо = V2&

С

Полная энергия осциллятора в произвольный момент времени может быть представлена в виде

только окончательный результат вы­ числений и его физическое толкование. Как и в случае квантовых уровней в задаче о прямоугольной яме, гармонический осциллятор имеет дискретный на­ бор дозволенных значений энергии. Однако расстояние между дозволенными уровнями энергии здесь одинаково и составляет кщ:

где п = 0, 1,2,...

Этот результат становится понятным, если исходить из следующих оце­ нок. Для квантовых микрочастиц длина де-бройлевской волны An = h /\/2 m in уменьшается с ростом п. Легко убедиться, что в параболической потенциаль­ ной яме при приращении энергии частицы на величину hvо происходит именно такое расширение ямы, которое обеспечивает при меньшей длине волны резо­ нансные условия для волновой функции, удлиненной на половину периода по сравнению с нижележащим уровнем.

Существование уровня с нулевой энергией (п = 0 и EQ — 5/11/0) является, как и в прямоугольной яме, прямым следствием принципа неопределенности. Если бы при нулевой температуре колебание осциллятора полностью прекрати­ лось, то оказалось бы возможным одновременно точно определить координату

и импульс частицы. Во взаимодействии осциллятора с другими системами ну­ левые колебания участия не принимают.

Интерес представляют волновые функции осциллятора при больших п. На рис. 3.2.8 представлена кривая |^ю|> которая определяет относительную ве­ роятность нахождения электрона при различных значениях координаты. Пунк­ тирная кривая изображает ту же вероятность, вычисленную классически: так как скорость частицы больше при х = 0, то вероятность нахождения ее при х = 0 меньше, чем вблизи точек поворота.

Правилами отбора для гармонического осциллятора изменение квантово­ го числа п при переходах ограничивается Ап = ±1: при переходе квантового осциллятора из одного квантового состояния в соседнее излучается или погло­ щается энергия huо.

энергетических уровней в яме было близко к рассчитанному согласно уравнению (3.2.6).

Волновые функции электрона на двух нижних уровнях этой ямы обозначе­ ны цифрой 1. Пространственная частота волновой функции на первом возбуж­ денном уровне вдвое больше, а собственная энергия вчетверо больше, чем на нижнем — основном уровне.

Цифрами 2 на рисунке обозначены имеющие такую же вероятность вол­ новые функции для этих уровней, сдвинутые по фазе на половину периода. Электрон во второй яме с шириной 6 также может оказаться с волновыми функциями типа 1 или 2.

На рис. 3.2.9в показана потенциальная яма такой же глубины с двойной шириной 26, которая может быть представлена как результат слияния двух одинарных ям с шириной 6 (барьер при сближении двух одинаковых ям только что исчез). Собственные значения энергии уровней в двойной яме при тех же квантовых числах п, очевидно, в 4 раза ниже, чем в одинарной яме.

Волновая функция основного уровня в яме двойной ширины (функция пока­ зана не в масштабе) образовалась в результате перемешивания двух волновых функций типа 1 нижних уровней одинаковых ям. Частота волновой функции здесь вдвое меньше, чем в одинарных ямах, поэтому энергия уровня в 4 раза меньше.

Волновая функция второго уровня в двойной яме (п = 2) — результат пере­ мешивания антисимметричных волновых функций типа / и 2 основного уровня двух одинаковых ям. Так как при таком перемешивании пространственная ча­ стота волновой функции практически не изменилась, то энергия второго уровня в двойной яме совпадает с энергией основного уровня в одинарной яме.

Аналогичная картина наблюдается и для второго и последующих уровней одинарных ям при их сближении. Таким образом в результате сближения и слияния двух одинарных потенциальных ям происходит расщепление энерге­ тических уровней.

Если при сближении двух ям потенциальный барьер между ними еще оста­ ется (рис. 3.2.96), то нижний отщепленный уровень оказывается вьше, чем в случае, показанном на рис. 3.2.9в.

Из вышеизложенного можно сделать вывод, что при сближении большого числа (например, N » 1) одинаковых ям каждый уровень энергии в них расщепляется на N подуровней. Если между ямами сохраняются барьеры и волновая функция не сглаживается полностью, то разница в энергиях между верхним и самым нижним подуровнями с ростом N практически не увеличивается. При этом энергетическая плотность подуровней становится значительной. Перемешиваясь, подуровни создают энергетическую зону разрешенных значений энергии.

3.2.6. Движение электрона в периодическом поле. Квантовая механика открыла возможность не только понять, но и количественно описать важней­ шие свойства твердых тел, которые нельзя объяснить на основе классической теории.

Как известно, фундаментальным отличием твердых тел является их кри­ сталлическая решетка, то есть такое положение атомов, которое может быть получено путем периодического повторения элементарной ячейки. Волновые свойства электронов, способность их туннельным образом переходить от атома к атому при сближении атомов приводят к расщеплению атомных уровней в кристалле и превращению их в зоны.

Число независимых переменных в уравнении Шредингера для кристалла, учитывающем кинетические энергии всех электронов и всех ядер, потенци­ альную энергию попарного взаимодействия всех электронов между собой, ядер между собой и электронов с ядрами превышает число всех частиц в кристалле. Очевидно, что в общем случае такое уравнение не решается. Поэтому исполь­ зуются следующие приближения.

1)Поскольку в термодинамическом равновесии средние энергии электронов

иядер примерно равны (кТ/2 на степень свободы), а масса ядер на несколько порядков больше массы электронов, то скорость электронов примерно на два порядка больше. Это позволяет приближенно рассматривать движение элек­ тронов в потенциальном поле фиксированных ядер (адиабатическое прибли­ жение).

Малые тепловые колебания ядер около неизменных положений их равно­ весия учитываются как возмущение, не влияющее на энергетический спектр электронов, но устанавливающее распределение электронов по состояниям.

2)Принимается, что все электроны в атомах, кроме валентных, образуют вместе с ядрами неподвижный атомный остаток (ион). Обоснование такого приближения будет приведено позже. Уравнение Шредингера записывается теперь только для валентных электронов (валентная аппроксимация).

3)Энергия попарного взаимодействия всех валентных электронов заме­ няется взаимодействием каждого электрона со стационарным усредненным полем всех остальных. Внутреннее поле в кристалле одинаково в кристал­ лографически идентичных точках, поэтому энергия электронов определяется теми же элементами симметрии, что и сама кристаллическая решетка. По­ скольку это поле зависит и от движения самого электрона, оно называется самосогласованным и определяется методом последовательных приближений.

Введение самосогласованного поля позволяет рассматривать электроны в кристалле как систему невзаимодействующих частиц (одноэлектронное при­ ближение). При этом волновая функция системы электронов выражается про­ изведением волновых функций отдельных электронов, а ее полная энергия рав­ на сумме энергий всех электронов.

После решения одноэлектронной задачи коллективное состояние валент­ ных электронов в полупроводнике определяется путем распределения их по одноэлектронным орбитам (состояниям) в соответствии со статистикой ФермиДирака, начиная с наинизшего уровня.

Таким образом, стационарные состояния валентных электронов в кристалле отличаются не местом локализации электрона (электрон находится около узла решетки всего ~10-15 с), а характером его движения по кристаллу — энергией, скоростью, направлением и другими характеристиками.

Оператор Гамильтона в стационарном уравнении Шредингера для электрона в кристалле включает потенциальную энергию, являющуюся периодической функцией с периодом решетки. Поэтому представляется естественным искать решение этого уравнения также в виде периодической волновой функции

где трехмерная функция «к (г) — периодична аналогично кристаллической ре­ шетке.

Функция (рь (г) называется функцией Блоха и представляет собой плоские волны, модулированные функцией ■Uk(r), причем амплитуда модуляции зависит

Решение ищется в виде бегущей плоской волны, модулированной с периодом

где и(х) — периодическая функция х с периодом (а + Ь). Подставив (3.2.16) в (3.2.15) получим

Учитывая, что проницаемость потенциальных барьеров для туннелирующих электронов определяется в основном значениями S„ и b (уравнение (3.2.5)), представим потенциал цепочки атомов после их сближения в виде периоди­ ческой дельта-функции с предельными значениями Ь—>0 и <£п —1• оо (следова-

тельно, и /3 ~ \/2 т £ п/Н -н►оо), причем такими, что величина (32b ~ 2m£nb/h2 остается конечной. Обозначим

Отсюда, однако, не следует, что и значения du2 (x)/dx при х — а и х = а + Ь одинаковы. Дело в том, что d?u2(x)/dx2 = /32и2 (х) при (3 —►оо существенно больше du2 (x)/dx. Тогда

(3.2.24) В силу непрерывности волновых функций щ (х) и щ (х) и их производных на границах областей уравнения (3.2.23) и (3.2.24) переходят в

И, наконец, используя условие периодичности функции щ (х ), можно записать

и\ (х = а) = щ (х = 0),

Нетривиальные решения этой системы уравнений существуют только в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. Это условие приводит к выражению

Чтобы волновые функции в виде незатухающих функций Блоха (3.2.16) удовлетворяли уравнению (3.2.26), оно должно иметь решения относительно к2 - График, соответствующий левой части уравнения (3.2.26) в функции от foa при произвольно выбранном значении Р = Зтт/2, приведен на рис. 3.2.11. Поскольку стоящий справа в уравнении (3.2.26) cosка изменяется только в интервале от —1 до + 1, то к2а может принимать только те значения, для которых левая часть не выходит из указанных пределов. Эти допустимые значения показаны

Рис. 3.2.11. График функции, стоящей в левой части (3.2.26), для Р = Зтг/2 [16]

Рис. 3.2.12. Зависимость энергии электрона от его квазиимпульса в модели КронигаПенни. Штриховая кривая <§ = h 2 k 2 / ( 2 т ) — для свободного электрона

на рисунке жирными линиями. В соответствии с соотношением (3.2.19) они определяют возможные значения энергии 5 .

При изменении функции Р sin (к^а)/А^а + cos к2 а в пределах от +1 до - 1 аргумент в cos ка меняется, очевидно, от 0 до 7г (то есть к изменяется от О до 7г/а). Однако в силу периодичности coska любое из его значений нельзя приписать единственному значению к, и зависимости разрешенных значений энергии в цепочке от волнового вектора представляются в виде косинусоид, отделенных друг от друга разрывами в энергетическом спектре (рис. 3.2.12). При этом разность фаз между всеми соседними по вертикали косинусоидами составляет половину периода. Из рис. 3.2.11 и рис. 3.2.12 видно также, что с увеличением энергии ширина разрешенных зон увеличивается.

Малым скоростям движения электрона в кристалле соответствуют большие длины волн де Бройля, много большие постоянной решетки а. Такие волны как бы не замечают решетку и поведение электронов в нижней части разре­ шенных зон аналогично поведению свободных электронов. С ростом скорости длина электронных волн уменьшается и становится соизмеримой с периодом решетки. При выполнении брегговского условия полного отражения волн При их нормальном падении 2а = пА (или к = 2п/Х = тг/а), где п = 1,2,3,..., отра­ женные от атомных плоскостей электронные волны синфазны и бегущая волна пропадает. При этом появляется два вида стоячих волн, отличающихся по энергиям и соответствующих верхней и нижней границам запрещенной зоны.