книги / Статистический анализ геофизических полей

4

] ( ъ I * t ~ p ) “

~v~p ( ^ }) -

d - 4 - 5 )

где

т * < т ; „ 7 , . . . л и т,

-p,

? f = ( T 7-

r 7" )

V ®

st~p>

зависящей

от параметре сигнала 0 .

(Аналогичные переходные плот­

помехой,

когда 7 = 7t ( 7 ) f t ,

или другим способам взаимодействия,

выражаемым формулой

•>

7 ( 7 ) ) , где

у" * 7 (*)<*■ )

задает

взаимно

однозначное

преобразование -г*’* * / " ,

зависящее от

о Г .)

са Tt = 7 ( 7 )

+ ^ ( 7 ) ,

где f t ( 7 ) ~

стационарный временной ряд,

раопределение

которого

зависит от

параметра

в , рассмотрим слу­

чай, когда

стационарная

^ -связн ая

марковокая поолодо-

вательнооть с

переходной плотностью

«у - ( 7

\7/_^) . Плотность рас­

Р(7р, 7)

-

= *г

(г7р-т7р( Г ) ) п ^ г

(rt -rf (S )\ rf:p- 7 / : p ( Г )

) .

а . 4 . 6 )

Рассмотрим условия локальной асимптотической нормальности

для

плотности

( 1 .4 .6 ) . Будем говорить, что

случайная функция

f ( T , в )

щ!фференцируема в

среднеквадратичном по

в ,

если суще­

ствуют функции

f k(T -,7),

к

е

(частные

производные

f ( T ,

7 )

по

параметрам

9t ) , такие,

что

л > г [ j y ( 0 ( ? ; ? + ! ) - / ( 7 гJ ) - 7 rf ( f ;

0 ) ) / 2 ,

(1 ,4 .7 )

где

7 ( 7 ; 7 )

• (f7 ( * ; 7

)

, 7

7 7 7 ) ) ; £ -

усреднение

no pao-

пределению вектора ?■

-

Переходная плотность

u p -(7 р \?/_/ ) представляет

собой функ­

цию р +1

векторного переменного

Щ, 7в , ■■■,

, 7

и векторного па­

раметра

в . Обозначим через

y~(7lp H \7)=(jyt t , к е / ,т ;

г е ^ р ) -

вектор размере m * (p t ? ) логарифмических частных производных

этой

плотности по элементам

составного вектора

T

PJ t = ( z l ,

z f , ...

,

/

* в

вектор

размера

f

догаритмических

частных производных переходной пяотнооти по параметрам

8г :

h

(*-p*-r ' 9

)

ж‘ ~ Щ '1т,0^ ( Ь

' 7о> •-> *~/ч-7 )

-

(1 .4 .9 )

Следующая теорема

основываетоя

на результатах

работ /48, 7 5 /.

Т е о р е м а

1 .4 .2 .

Предположим,

что для

переходной плот­

ности w^{Tt \ 4 : Р7

)

векторной

/>-связной марковской последователь­

ности

оущеотвуют логарифмические производные

( 1 .4 ,8 ) , (1 .4 .9 ) в

оре,днеквадратичном смысле и матрицы

_

_

.

(Г .4 .1 0 }

I Г

) .

Предположим далее, что

сигнал

% (& ) имеет частные

производ­

ные по параметрам

8к -- Tk tlB )^ L - Tt ($~),

такие,

что

при

0 е ®

i p

\Т ( Г ) \ г<

m * I 5 / <-9 r f / z I & ( 9 п г~ о - (1 Л Л 1 }

Тогда

плотность распределения

( 1 ,4 .6 ) обладает

свойством ЛАН,

причем АД статистика

имеет

вид

? ( %

. * ) ,

(1.4 Л 2 )

где

* (Ъ ,

{ ф г % Г № - г 7&

ь ^ Ч * ^ * Хке1*)-

$ ( * / ,, $ ) =

{ ф г ^

tJ fk (**-р~Г*-Р ( 9 №

) ’

k e t ’l ) '

■^tr

s*,* -p

ПШЬ~матрица

Г „ [ 8 ) =

9 / В ) + и ( 0 ) ->■(}„(?) ,

( L 4 . I 3 )

д а

^

ь [ ж^ ^ % . ^ > ) гу ( в ) ( ^ ( в1 ) ; *Л е Г * Ь

W ? ) ~ [ } j b p+1% ( e ) T l t _p

( Г ) ,

Зк с в ) ~ £ д Т ( 1 % \ в ) / к ( 1 % \ 1 ) „

гипотез о параметрах

/>-связннх марковских процессов и для оцени­

вания

параметров этих процесоов. При отатистическом анализе сиг­

налов

на фоне

помех,

когда л £ = $ £ ( / ) + |£ и помеха не зависит

от параметра

, формулы (1.4Л 2) и (1 .4 .13) приобретают более

простой вид:

Е (Л ) =

22 Сг е ит;

] Е ( л ) е ~ гЛЕл , Г е Ж ,

л е [ о , 2 л ] . Щ .1.2)

Т=-<Х>

и

Эрмитовая

матричная функция F ( 8 ) содержит

m ( m - j) /2

комплексных:

функций и

m действительных функций. Внедиагональные

элементы

Е ( л ) -

взаимные спектры компонент ряда

-

несут

информацию о

пример, определяют

поляризацию и напревление прихода сейсмиче­

ской волны). Задача

оценивания матричного спектра

Е (л ) по реали­

зации Ti f t e

7 jf

уже и з-за самой многомерности оущеотвенно бо­

лее сложна,

чем одномерный спектральный анализ. При достаточно

больших размерностях

тп процесса ft непараметрические оценки

Е ( л ) типа сценок Блекмаяа - Тьюки /12/ становятся

трудно реали­

зуемыми. Перестройка

р?(тп-п)/2 функциональных зависимостей в про­

скользящего среднего

(АРСС). Эти спектр: имеют следующую парамет­

рическую форму:

F {л,В ) = Л~г(л )8 (*)8*{»)A~h7 *)>

(ПЛ.З)

ГД0

Л(л)-1 - £

*леШ ,

8(л)~Ьп8ке ш

,

*

Л=0

В» гее

i e Q>

hjeiim-, 8k(i>j), >*4?,

*k ,

k e 7, p - матричные АР-параметры,

8t

, к^ Щ

-

матричные CC-

параметрн. Аппроксимация спектров функциями (П Л .З )

эквивалентна

аппроксимации самого наблюдаемого временного ряда

Xt , t

е

реализацией процеоса

авторегреооии -

скользящего

среднего

(АРСС-

процесса,

см. раздел

T .I ) ,

удовлетворяющего разностному уравнению

р

^

^

~ 22 8к %t -х +

%2^k^t~tr' '

( f f .l.4 )

где

“fci

последовательность

независимых

случайных величин с плот-

-

ностыо распределения р( ( у ), такой, что

^

=/. Част­

ный случай процессов вида (П Л .4 ) при

£ = 0

называется

процес­

сом авторегрессии (АР-процессом), а при

р = 0 процессом скользя­

щего среднего (СС-процеооом). Как следует из

результатов, приве­

денных в разделе | Л , в

классе АРСС-процессов

(П Л .4 ) всегда мож­

но найти аппроксимацию,

сколь угодно близкую к любому стационар­

лигармонического сигнала (П Л ) ,

частоты

ж

а)}

которых разде­

лены интервалом меньшим чем \ /Т

, где

Т - время

наблюдения.)

Ряд

модельных экспериментов (например, & 0Q /)

показывает, однако,

что

применение oOmjrx^АРСС-моделей вида

(П Л .4 )

с

р > О, Ц > О

го оценивания. Оценивание спектра временного

ряда

на основа­

нии аппроксимации его наблюдений

)

реализацией

под наблюдения.

Процедуры

подгонки обычно основываются на пред­

положении, что

Tt , t e f j i l

есть реализация некоторого АРОС-про-

цеоса (Г .1 .4 ) порядка р,%

о параметрами

к е % р , sk ,

причем и величины ( р, £ )

и значения указанных параметров необхо­

проблеме параметричеокого

анализа временных рядов посвящен ряд

работ, например /51, 103,

123/. Однако

наиболее

распространенным

на практике методом выбора

оптимальных

значений

р

и £ остается

метод перебора, когда при некоторых фиксированных

( / > ,£ ) оцени-

ваюгая соответствующие значения

4к>

к е Т^>,

^ ,

к е ^

, пс тем

т я иным критериям определяется

качество полученной APCG-аппрок­

симации наблюдений, и далее процесс

повторяется для

новых значе­

ний ( A f ) . Окончательно выбираются те значения

р

и

^ ,

для ко­

торых качество аппроксимации оказалось наивысшим.

В настоящее время параметричеокий спектральный анализ (осо­

бенно в многомерном случае) осуществляется на

практике

почти ис­

ключительно с помощью АР-моделей

(для которых

^ = 0 ) .

Это связа­

Однако, как показано в разделе 1 .1 ,

АРСС-модель обеспечивает ап­

проксимацию произвольных гауссовских стационарных многомерных

процессов максимального ранга, в то

время как АР-модельв можно

аппроксимировать только процессы, у

которых

ctet F (p ) > <Т > 0

при

воех л е [ 0 ,2 я ]. Кролю того, использование

и АР и СС частей

поз­

воляет в ряде случаев достичь заданной точности аппроксимации

при меньшем общем числе параметров,

чем использование только АР

оценивания спектра

(статистическая

погрешность плюо ошибки ап­

проксимации)

может оказаться меньшей, чем для АР-модели.

Настоящая глава посвящена разработке и исследованию каче­

ства

эффективных вычислительных процедур оптимального оценивания

параметров многомерных АРСС-лроцеосов,

которые могут, на наш

взгляд, расширить практическое применение параметрического

спект­

рального анализа многомерных временных рядов и полей.

Для построения

оценок параметров

Лк , к е?~р,

gk ,

при фиксированных ( р , ц

)

применяются различные статистические

методы. Простейший из них -

метод моментов -

привадит к

^ - с о ­

стоятельным оценкам

Т*(Хм )

матриц

Т е

[кк>

k e f^ p ,

gA>

А е р р ]

Параметров АРСС-процесоа,

отвечающих условию

Итп

Ря \

II

) - Т i > c \ - О ,

(П .2 .1 )

рде

С > В -

любое число.

Эти оценки -

наилучшие по

скорости

сходимооти при

/у

к ис­

тинным значениям параметров. Действительно,

нетрудно

проверить,

что для любого компактного множества & с p s,

s = тг(р+ц)+т(т*1 )М

значений вектора параметров АРОО-процеоса

в

я п с (к к (у ) , k e Q

,

t . j e f m ,

,r,t e r,m

) , (Q .2. 2)

такого, что

при всех S

е ©

корни полинома d e t ( l ~ р

г * )

лежат

ВЕге единичного круга, а

полином ttetT, Sk z *

не

обращается в нуль

на единичном круге, его

матричная спектральная плотность (1 Л .З )

удовлетворяют

условиям I

теоремы Г .4 .1 . Гауооовский АРСС-нроцесс

обладает

свойством ЛАН с

АД статистикой Тн

и БНФ-матрицей Гн :

* (Т» >f ) = (т т Д V t f b

f J ’ f j ~ t r f/

7%- ;

* е

) ;

^

Г 7 ^

1

(0. 2.3 )

ГМ(> У =l w

\

t r F

~ *(Л )Г ,(Л )4Л -,А ,1«Х З ] ,

(обозначения в

(П .2 .3) аналогичны обозначениям в

выражении

( 1 . 4 . 4 ) ) .

Отсюда для гауссовского АРСС-процеооа матрица Фишера

возрастает с увеличением выборки пропорционально

А, и

^ -соотоя-

тельные оценки

(1 .3 .1 7 )

являются VJV -состоятельными (раздел 1 .3 ) .

АР-процессы даже в

негауссовском

случае являются

/’-связны­

ми марковскими,

и условия ЛАН определяются для них теоремой Т .4 .2

(и выражением

( J . I . 2 7 ) ) .

Поэтому, если

плотность распределения

белого

пума

I t ,

порождающего негаусоовский АР-процеоо,

дифференцируема

(в

среднеквадратичном -

см. раздел

1 .4 )

и суще­

ствует

E ir [?(%) f r(?t )][% ? / / < -

,

(П.2.4)

ГД®

( д

\

/4§7 в форме (Т .2 .2 5 ),

где АД отатистика

Тн и ПНФ-мзтрица

/",

определяются формулами

(Т .4 .1 5 ), если подставить в них^ вместо

1*в ^

17*Jp )

переходную плотность АР-процеоса р£ (^BgT, At

) ,

Следовательно,

и для негаусоовоких АР-процеооов ПНФ-матрица рас­

тет

пропорционально размеру выборки А и

f -соотоятельные

оценки

являются -j/F-состоятельными.

Наконец,

можно показать, что при выполнении условия (

0 .2 .4 )