книги / Статистический анализ геофизических полей

ии электроразведки мощные помехи создаются в основном токовыми струями в ионосфере и, следовательно, также могут считаться ло­ кализованными в пространстве. Совмеотная обработка оигналов с

группы пространственно распределенных датчиков электромагнитного поля позволяет в этом случае осуществлять аффективную компенса­ цию ионосферных помех и повышать отношение сигнал - шум в откли­ ках ореды на электромагнитное воздействие.

Одной из основных проблем как разведочной, так и "большой"

геофизики, занимающейся фундаментальными аспектами науки о Земле,

является восстановление локальных и региональных особенностей отроения земной коры по данным ее зондирования полями искусствен­ ного или естественного происхождения. В качестве таких полей, как правило, используются поля сейсмических и электромагнитных волн. При зондировании среда рассматривается как линейная, и в

среде, которую можно извлечь из результатов зондирования, заклю­

ным часто является статистической задачей, В большинстве реаль­ ных геофизических систем зондирования отклик среды на оигнад ис­

точника * ( £ , § ) наблюдается на фоне помех. Это могут быть флюк­ туации естественного поля (микрооеймц или ооботвенное электромаг­ нитное поле Земля), а также помехи, генерируемые самим зондирую** щам сигналом. Этот оигнад связан о отклонением физичеокой реаль­

ного поля Земли при магнит©теллурическом зондировании), и форма его реализации обычно известна с погрешностью. Поэтому во многих

12

дания функций х (t-, гд ) и лг ( t, г ) . Надежное решение его возмож­ но о привлечением регуляризации или о использованием отатиотиче-

Любое преобразование реального экспериментального материала осуществляется с привлечением дополнительных сведений о полезном

сигнале либо о помехе, либо о том и другом вм есте. Получившие широкое распространение методы преобразования иоходного волново­ го сейомичеокого поля, такие, как частотная и обратная оптималь­ ные фильтрации, интерференционные оиотемы, многоканальная частот­

формирования экспериментального волнового поля на выходе и требой ванием к 7 (*) на входе.

Перечисленные методы позволяют улучшить соотношение полезно­ го сигнала и помехи на выходе линейной оиотемы, параметры кото­ рой определяются по априорным представлениям либо о форме волн, отнесенных к полезным сигналам, либо об их годографах, но не из­ бавляют от необходимости идентификации волн и измерения иопользуемнх для интерпретации параметров этих волн.

Если задана классификация всех волн, которые могут встре­ титься при изучении конкретного класоа сред, и некоторые клаооы допускают существование более чем одной волны, то естественно при обработке использовать информацию о взаимном расположении волн в каждом из класоов в облаоти наблюдения. Пусть в пределах класса можно по некоторым признакам осуществить упорядочение волн, тогда такой класо будет называться потоком волн, а модели, использующие такое представление волн, потоковыми. В рамках по­ токовых моделей возникает задача о неидентифицированном обнаруже­ нии сигналов.

13

Привлечение понятии потока для моделирования сейсмического волнового ноля в общем олучае не отель естественно, так как для рассредоточенных в пространстве приемников годографы отдельных волн могут пересеваться и упорядочение волн в рааличных точках пространства будет различным. Поэтому нужно вводить потоковое описание для векторов параметров, характеризующих годографы, и

осуществлять в каком-то смысле их упорядочение.

Важным этапом при синтезировании оптимальней модели оцени­ вания параметров поля является выбор процесса формирования этого поля, который ооновывается на определенных физичеоких представ­ лениях о формировании сигналов возбуждения, их распространении и регистрации. При этом неизбежна субъективность в построении мо­ дели, поокольку моделирование подразумевает выделение лишь наи­ более важных на конкретном этапе исследования (и для данного по­

ристик среды. Можно выделить случай такой постановки эксперимен­ та (условий возбуждения и регистрации), когда регистрируются

только продольные волны, хотя волновое поле содержит волны и других юшооов. Это достигается использованием регистрирующей аппаратуры с узкой диаграммой направленности приема и ооответ-

отвупдим расположением лоточника возбуждения и приемников. Можно выделить также случаи, когда волновое поле формируется аддитив­ ной оовощгпноотью отдельных различных по природе происхождения и распространения оигналов, например в эксперименте глубинного сей­ смического зондирования или при акустичеоком каротаже. Общим для этих олучаев является то, что волновое поле представляется оулерлоэицией различных классов волн. Помеха при анализе в какдом конкретном олучае имеет условный характер в зависимости от целей последования. Помехой можно считать и вое волновое поле, за ис­ ключением отдельной волны какого-либо клаооа, когда при анализе необходимо ее идентифицировать и оценить лишь ее параметры. Поме­ хой может быть и суперпозиция различных классов волн, на фоне ко­ торых идентифицируется какой-то выделенный клаоо. Однако воегда

Предотавляетоя возможным, по крайней мере на первом этапе

14

исследования, рассматривать такие модели процеооов формирования полей, которые учитывали бы приведенные выше пооылки анализа, но не следовали бы из детального раоомотрения соботвенно процес­ са возбуждения, распространения и регистрации воли.

Модели, основанные на физичеоких представлениях о волновых процеосах, в дальнейшем только дополняли принятую нами модель в ввде уточнения ее параметров. Значительная часть работы поовящена оптимальным оценкам свободных параметров предложенных моделей.

15

Г Л А В А I .

АСИМПТОТЖЕСКИ ОПТШАЛЬШЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

1 Л . ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ

ДЛЯ СТАТЖТИЧЕШЕ ЗАВИСШИХ НАБЛВДЕШЙ

Статиотическая зависимость и ее простейшее параметрическое опиоание. Вероятностный подход к анализу экспериментальной инфор­ мации предполагает, что полученные в результате некоторого экспе­

имевших место при проведении наблюдений. Статистическая обработ­

размера выборки N . Вое практические результаты математичеокой статиотики овязаны о теми или иными предположениями об этой струк­ туре. Простейшее из них есть предположение о отатистичеокой неза­ висимости наблюдений -*;•

Для большинства современных схем наблюдений, иопользуемых в самых различных отраслях знаний, концепция статистической незави­ симости оказывается неудовлетворительной, поскольку и теоретиче­ ский анализ и практический опыт показывают, что именно учет и ис­ пользование при обработке наблюдений их статистических взаимосвя­ зей приводят к резкому повышению доотовернооти интерпретации экс­ периментальных данных. Более того, в целом ряде природных явла-

m

ний, имеющих стохастический характер, содержательная "физическая"

информация заключена именно в структуре статистической зависимо­ сти значений xt , / е Щ . Типичный пример тому - спектральные

свойства наблюдений, представляющих собой процеосы во времени или пространстве.

Простейшая мера статистической зависимости пари наблюдений *j - их взаимная ковариация ■ f xf Ху -/ > ,/ 5*, , Решающим

практическим преимуществом использования именно этой меры стати­ стической зависимости (например, перед исчерпывающим описанием последней в терминах совместной функции распределения SC*,, xj))

являются простота и возможность доотаточно точного оценивания

ческих характеристик наблюдений, в терминах которых решается в настоящее время большинство практических задач обработки экспе­ риментальных данных. Ясно, что в общем случае в этих характерис­

анализ есть задача гораздо белее реалистическая, чем восстанов­

которая позволяет ограничиться анализом их вектора средних и ко­ вариационной матрицу и тем не менее получить исчерпывающее опи­

этих величинах заключена вся информация о статистическом экспе­ рименте.

Широкое использование многомерного нормального распределе­ ния обусловлено не только его простотой, но и глубокими природ­ ными закономерностями, находящими свое выражение в центральных предельных теоремах теории вероятностей. Согласно этим теоремам, величины х- , являющиеся оуперпозицией большого числа произволь­ ных, но слабых случайных возищгщающих факторов, имеют законы рас­ пределения, приближающиеся к нормальным /27, 105/. Кроме того, нормальное распределение наблюдений часто можно рассматривать

17

стационарным параметрическим временным рядом). При идентификации статистических характеристик временных рядов по эксперименталь­ ным данным она часто оказывается наиболее удобной, так как опре­

деление небольшого количества параметров не требует значительных размеров выборки наблюдений, а значит, и длительных эксперимен­

требует дополнительных исследований или привлечения какой-либо априорной информации о наблюдаемом временном ряде.

Практически все излагаемые ниже методы статистического ана­ лиза экспериментальных данных связаны о использованием парамет­ рических моделей временных рядов; причем, как правило, использу­ ется модель, являющаяся обобщением двух рассмотренных выше. Это

торным (многомерным) временным рядом.

В гауссовском случае для раоомотренннх параметрических моде­ лей наблюдений вся содержательная информация о отатистичеоком эксперименте заключена в значениях параметров <Г= (<%,..*, ^ ) т

среднего и автоковариационной функции. Исчерпывающий статистиче­

ском случае нахождение параметров среднего и автокорреляционной функции, хотя и не определяет полностью воех статистических ха­ рактеристик наблюдений, все же чаото дает достаточное для практи­ ки представление о процесое Tt .

Свойства регулярных временных рядов. Итак, наиболее распро­

страненная модель последовательности зависимых наблюдений # это модель временного ряда, стационарного в широком смысле. Как следует из теории стационарных процессов /74/, для задания разум­ ного параметрического описания временного ряда и надежных статис-

20