книги / Синтез принципиальных схем цифровых элементов на МДП-транзисторах
..pdfCx2 (G (/)) = |
[О]F2 (/)« + |
F 2 (j)P № F 2 |
(/ - |
1)« + |
|||||||||
+ |
F 2 (/ - |
1)« |
[ [ 0 ] / 2 (/ |
- |
2)n + / |
2 (/ |
- |
2)P [ ... |
+ |
||||
+ |
F z (1)P [ [0 ]/2 (0)« + |
l l ] / 2 (0У) |
|
|
|
|
(5.19) |
||||||
Пользуясь |
условием |
|
эквивалентности |
F (i)P — F (i)n, на |
|||||||||
основе (5.18), (5.19) найдем РЛФ: |
|
|
|
|
|||||||||
Z i (D (0) |
= |
Ш K W |
+ |
|
Fx (0 |
[ l l l / i ( |
i - |
1) + |
|
||||
+ |
Fx (i - |
1) [ U FX(i |
- |
|
2) + |
Fx (i - |
2) (... + |
Fx (1) x |
|||||
X . |
[ |
|
+ |
[OIT7! (0)]...]]], |
|
|
|
|
|
(5.20) |
|||
Z 2 |
(G (/)) |
= |
[O]/72 (/) |
+ |
|
7777) [ [0]F г (/ - |
1) + |
F 2 ( j - î ) X |
|||||
X . |
[ [O]/72 (/ - |
|
2) + / |
2 (/ — 2) |
X |
[... + |
/ 7 0 ) |
[ [0 ]/2 (0)+ |
|||||
+ |
[ l ] / 2 (0)]...]]]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.21) |
Из (5.20), (5.21) следует, что выражения в квадратных скобках, представляют собой информационные сигналы, cor ответствующие полностью определенным логическим функ циям. Поэтому, начиная с образующего элемента ЛЭ (0), все остальные функции, формируемые на выходах каждой ступени ММЛС, являются полностью определенными логи ческими функциями. Это является особенностью, которая должна учитываться при синтезе. На выходе каждой ступе ни не должно быть неопределенных логических состояний.
Раскрывая скобки в (5.20), (5.21) и группируя члены, взвешивающие информационные сигналы 101 и [1], получа ем:
ад>ю) = ш ((/1 (о + л со/1! а - |
i) + Fx (Ох |
|||||
X |
F\ (i — 1) • T7! (i — 2) + ... + T7! (t) / х (i — 1) X . . . |
|||||
|
X Fx (1) /7(0)) + |
101/! (i) • |
Fx (i - |
1) • |
*Fx (1) X |
|
X |
Fx(6), |
|
|
|
(5.22) |
|
z 2 (<G |
( D ) = [11777/) |
• / 2 (/ - |
1) • |
/Т(Г) |
X Fz (0) + |
|
+ Г01 |
(Fz (/) + / 7(f) *Fz (/-1) + /717) • /’a(/- 1) x |
|||||
X F z ( j - 2 )+ + |
/ 2 (/) • / 2 |
(/ — 1) • |
/770 x |
|||
X Ы 0)). |
|
|
|
(5.23) |
F0F, |
K,(D(3)) |
01 11 |
10 / |
F |
ri Ft |
|
|
F jF tF i |
F jF t F iF g |
||||
F, F\00 01 11 |
10 / |
00 |
00 0111 10/ |
|
|
|
|
|
|||||
00 1 1 1 1 |
00 |
1 1 1 1 00 |
1 1 1 1 |
00 |
|
|
00 |
|
|||||
01 |
1 1 1 1 |
01 |
|
|
|
01 |
01 |
|
|
01 |
|
||
11 1 1 0 1 |
11 |
1 |
1 1 |
1 |
11 |
|
11 |
1 |
1 |
11 |
1 |
||
10 1 1 1 1 |
10 |
10 |
|
10 |
|
|
10 |
9} |
|||||
|
а) |
|
|
|
5) |
|
|
tу |
|
Z) |
|
|
|
K , f D ( J l ) = [t] (F3 + rj Fz + |
F jF z F, + |
F3 FZ F, F0 ) |
|
|
|
Рис. 5.19. Карта Карно функции четырех переменных (а) и покры тие конституент импликаптами, соответствующими К\ {D(3) ) (б—д)
Следует обратить внимание на форму записи функций
Кх (о(0) = /7ю + |
л (о •>1 а- |
1) + |
+ л (о х |
|||
X л а - |
1) |
|
F x (1) |
• Р г (0),' |
|
(5.24) |
Ко (G (/)) |
= F г (/) |
+ |
F г (/) • P t (/ - |
1) + |
+ |
|
+ / Ш |
^2 (/ - |
1) * |
* ÏV (Ï) • Ft (0). |
(5.25) |
Особенность заключается в том, что каждое слагаемое (каж дая импликанта), начиная с первого, покрывает максималь ное число конституент • соответственно логических 1 и О, оставшихся не покрытыми предыдущими слагаемыми, при чем ни одна конституента.не покрывается дважды. В каче стве примера на рис. 5.19, а приведена карта Карно для трехступенчатой схемы первого класса и показаны конституенты, которые покрываются каждой из импликант в вы ражении для K i (D (3)) (рис. 5.19, б—д). Отметим, что спо соб покрытия конституент не дает минимальной дизъюнк тивной нормальной формы, которая для каждой из состав ляющих РЛФ имеет вид
г,(р т = [1] (М?) + |
f, (i- 1 ) + |
+ л П ) |
+ |
|
+ Л 1В '-И 0 1М 0 ’- |
Л(«), |
|
|
(5.26) |
г 2 (о (Л) = 11177(7) • р г (/ - 1 ) • |
К Щ |
К |
Ш + . |
|
+ [0] (Ft (/) + + F 2 (0». |
|
|
(5.27) |
На основе (5.26) и (5.27) нетрудно найти выражения для ло гических функций
D |
(0 |
= |
Кг (D (/)) = |
F i(C j + F t (i - 1) + |
+ ¥ Г Ф ) = |
||
= |
Рг |
(0 |
• F! (i — 1) • |
Г М О ), |
{5.28) |
||
G (/) |
= |
К г (G (/)) = |
Р Г ф |
• |
‘ Р 7 Щ = |
||
— F2 |
(/)+К 2 (/— 1)+ |
+ ^ 2 (0)* |
(5.29) |
212
Таким образом, рассмотрен переход от принципиальной схемы ММЛС, синтезированной эвристически, к схемотех нической и расширенной логической формулам и преобра зование их в логическую функцию, которая формируется на выходе произвольной ступени.
Однако последовательность синтеза принципиальной схемы обратная: от логической функции к схемотехнической формуле, а от нее к принципиальной схеме. Поэтому рас смотрим обратную последовательность преобразований и укажем способ нахождения РЛФ и СФ, соответствующих ММЛС.
Переход от логических функций к РЛФ сопровождается таким преобразованием исходного выражения (5.28), (5.29) по формулам де Моргана, которое позволяет избавиться от общих знаков инверсии над конъюнкциями или дизъюнкция ми функций элементов и таким образом выделить функции, выполняемые отдельными ступенями. В результате можно, образовать новые функции, представляющие собой компо зицию функций в исходном выражении. Такое начальное преобразование всегда неоднозначно, если отсутствуют не которые дополнительные условия. Варьируемыми перемен ными могут быть: число ступеней при реализации, допус тимое число входов каждой логической функции, число об щих импликант и их сложность, число транзисторов для реализации и т. д.
Таким образом, исходную функцию следует привести, к такому виду, где каждый член представляет собой элемен тарную конъюнкцию или дизъюнкцию. Это несложно осу ществить, введя новые переменные (функции F (i)) и ис пользуя формулы де Моргана.
Следующий шаг — получение РЛФ в форме (5.26), (5.27). Для этого преобразованные логические функции (5.28), (5.29) записываются в виде РЛФ
Zi (D (i)) = Кг (D (0) Ш + Ко (D (0) [0],
Z, (О (/)) = Кг (О « ) [И + Ко (О (/)) 10).
где Кг Ф (0) = Ко (D J0); Кг (0 (/')) = Ко (О ф ) для пол-
ностыо определенных функций.
Наиболее важным является переход от РЛФ в форме (5.26), (5.27) к.РЛФ в форме (5.22), (5.23). Отметим, что в (5.22) Кг (D (i)) и в (5.23) Ко (G (/)) представлены в таком виде, что нет ни одной пары дизъюнктивных членов, вхо дящих в эти функции, логическое произведение которых не было бы равно нулю. Это свидетельствует о том, что каж
дый набор |
входных логических переменных, на котором |
К х (D (i)) = |
1 или,К о (G (/)) = 1, описывается этими выра |
жениями только один раз. Такими свойствами обладают логические функции, представленные в виде соотношения, полученного на основе разложения по теореме Шеннона [42]:
Ki (D (0) = |
fp (Fi (i), |
|
(i - |
1)...... |
Fx (1),. Fx (0)) = |
||
= |
Fx (0fa |
(1, |
Fx (iI- |
Г), |
..., Fx (1), |
Fx (0)) + |
|
+ * i (0/в(0. Л |
(i ~ 1), |
F i (1), F lt (0)), |
|||||
Ко (G (fl) = |
fo (F2 (fl, |
F2 (j - |
1), .... |
F2 (1), F2 (0)) = |
|||
= |
F2 (j)f0 (1, F2 (i - |
1), .... F2 (1), |
F2 (0)) + |
||||
+ |
M /) /o (0, F2 (/ - |
1)......F2 (1), Ft (0)). |
Нетрудно заметить, что логическое произведение членов в разложении равно нулю, так как каждый член содержит
сомножители, |
дополняющие аргументы: Fx (i) и Fx (i), |
Fг 0) и Fz (fj. |
Для того чтобы произведение любых двух |
дизъюнктивных членов в представлении функции было рав но нулю, необходимо, чтобы они всегда содержали допол няющие аргументы. Для этого достаточно дальнейшее раз ложение по аргументам осуществлять только для одной
пары функций |
{fp (1, Fx (i — 1), ..., Fx (1), Fx (0)), |
||
fp (0, Fx (i - 1), |
...,FX(1), Fx (0))}, |
{fa (1, Fz |
(j - 1), |
i F2 (1), F2 (0)), fa (0, F2 (j — 1), |
..., F2(1), |
/>2 (0))}. |
В частности, как следует из (5.22), (5.23), для реализа ции ММЛС первого класса в дальнейшем раскладывать по Шеннону следует функцию fD(0, Fx (i— 1), .. ., Fx (1), Fx (0)) и для М М Л С второго класса — функцию fG(\, F2 (j — 1), ...
...» Fz (1), Fz (0)). Число шагов в разложении равно числу ступеней в ММЛС. На каждом шаге .для ММЛС первого класса' разлагается только функция, входящая в. логичес кое произведение с инверсией аргумента, по которому про изводится, разложение, а для ММЛС второго класса только функция, входящая в произведение с истинным значением аргумента, по которому производится разложение. На каж дом шаге разложения получаются следующие соотношения для ММЛС первого и второго классов:
М О /о |
(0, Fx (i - |
1), .... Fx (1), Fx (0)) = |
|
|
= |
M Ü |
{Fi (i - |
1 )fp (0, 1, .... Fi (1), Fx (0)) + |
|
+ |
Ft (i — 1 )fD (0, 0, ...,FX(1), Fx (0))}, |
(5.30) |
= Fz (j) {F2 (/ l)/e (1, 1, .... F 2 (1), F 2 (0)) +
+ F Q - |
\ ) f(1,a 0, F%(1), F-2 (0))}. |
(5.31) |
2 |
|
На следующем шаге производится группировка членов в РЛФ, обеспечивающая выделение полностью определен ных логических функций. Для этого последовательно за скобки выносятся аргументы, соответствующие логическим формулам каждой ступени, начиная, с функции, соответ ствующей ступени с наибольшим номером. В результате получаются соотношения (5.20), (5.21), на "основе которых записываются СФ (5.18), (5.19). Завершается процедура прорисовкой принципиальной схемы.
Последний этап получения СФ — расстановка индексов, соответствующих типам проводимостей каналов транзисто ров. Следует помнить, что /г-канальные транзисторы пере дают'Вез искажений уровень логического 0- и уменьшают уровень логической 1 на величину порогового напряжения и о п , а /жанальные транзисторы без искажений передают
уровень логической 1, увеличивая на величину порогового напряжения и ор уровень логического 0. Поэтому для пере дачи информационного сигнала [0] на выход схемы без ис кажений переменным или их инверсиями следует приписать индексы п, а для передачи [1] — индексы р и изменить зна чения управляющих сигналов на инверсные.
Если члены, связанные с информационными сигналами, представляют собой конъюнкцию переменных, имеющих разные индексы типов транзисторов, то это означает, что искажается уровень передаваемого напряжения. Причем, например, в члене [I]/7! (0"^i (i — 1)р уровень на выходе искажается за счет n-канального транзистора, а в члене [0)F2 (j)pF2 (/ — 1)" — за счет р-канального транзистора.
Рассмотрим способы формального изменения СФ, обес печивающие реализацию схем без искажения уровней [01
и[1].
Вкачестве примера рассмотрим фрагмент ММЛС, со стоящий из образующего элемента и элемента первой ступе ни. Это не уменьшает общности, так как любые два эле мента можно рассматривать как образующий элемент и элемент первой ступени. Кроме того, как будет видно ни же, способы восстановления уровней не зависят от номера ступени.
Рис. 5.20. Диаграммы Вейча для фрагментов ММЛС
.первого (а) и второго' (б) классов
Таким образом, фрагменты ММЛС первого и второго классов описываются СФ
'Схх (D (1)) = |
FP (1)р [1] + Fx (1)" [ [lift (0)р + |
||
+10] F(0)n, |
|
|
(5.32) |
Сха (G (1)) =.[01Fa (1)" + |
F , (1у |
[ [11F, (0У + |
|
+ I01F, (0)«]. |
|
(5.33) |
|
Как видно из приведенных соотношений, при реализа |
|||
ции D (1) |
искажается |
уровень |
логической 1, так как в |
Cxj (D (1)) имеется член [1]F± (1)” Fx (0)р, а при реализации Сх2 (G (1)) искажается уровень логического 0, так как в Сх2 (G (1)) имеется член [0]F2 (1)р F 2 (0)л. На диаграммах Вейча для функций D (1) и G (1) (рис. 5.20) наборы, на ко торых наблюдается искажение уровней, отмечены кружоч ками. Чтобы восстановить искаженные логические уровни, необходимо создать дополнительные ветви, которые бы дуб лировали передачу информационных сигналов на этих же наборах и обеспечивали их неискаженную передачу на вы ход ММЛС. Дублирование выходных ветвей на диаграмме Вейча (карте Карно) представляется в виде повторного по крытия значений функции на соответствующем наборе. Аналитически дублирование сигналов без искажений мож но представить в схемотехнической или расширенной логи ческой формуле, добавив один из следующих членов: для ММЛС первого класса
5 î ( l ) |
= |
[l]F1 (0)pM T )?, |
(5.34а) |
SÎ(1) |
= |
[ /7 ( Ô ) ] ^ W , |
(5.346) |
5} (1) = |
ir a i/T f f iF . |
(5.34B) |
|
S \ ( l ) = |
[ l ] F1 (0)P-, |
(5.34г) |
|
для ММЛС второго класса |
|
||
55 (1) = |
[0lFa (0)n7 7 0 ) rt, |
(5.35а) |
|
55 (1) = |
Ï F T f f î F * (0)n, |
(5.356) |
|
55 (1) |
= |
[Л Г Ш М О 3, |
(5.35в) |
S I (1) |
= |
[01F, (0)“. |
(5.35r) |
Выбор для реализации того или иного дополнительного члена в СФ зависит:
от числа транзисторов, необходимых для его реализации в схеме;
от предпочтительности того или иного управляющего сигнала, например прямого или инверсного;
от предпочтительности того или иного источника инфор мационных сигналов;
от длины ветви для схемотехнической реализации чле на, что определяет временную задержку для установления данного выходного уровня.
Таким образом, для D (1) и G (1) существуют-по крайней мере четыре способа устранения искажения уровней (воз можны и другие варианты, но они потребуют большего чис ла транзисторов или большего времени для установления уровней).
Проанализируем' дополнительные члены, описываемые (5.34) и (5.35). Варианты (5.34а), (5.35а) требуют для вос становления уровней ветви, состоящей из двух последова тельно соединенных транзисторов, подключенных к шинампитания и общей шине соответственно. Кроме того, для реа
лизации требуются и-нверсные управляющие сигналы Fx (Г),
F 2 (1), что усложняет реализацию ММЛС. Инверсные управ ляющие сигналы необходимы и для вариантов (5.346), (5.356). Добавление этих членов в выражения (5.32), (5.33) позволяет получить:
Схх (D (1)) = |
F х (1)* Ш + |
(Fx (1)" + |
K |
W |
) I Ш /ч (0)р |
+ |
|
+ КШч (0)«3; |
|
|
(f7(ï)n+ |
|
|
|
|
Сх2 (G (1)) = |
№ |
л(1)" + |
F2 т |
IГ11/Ч (0)' + |
|||
+ [0]/v(0)"]. |
|
|
|
|
|
|
|
Схемотехнические |
члены (Fx (l)rt + |
Fx (1)р) [Fx (0)] |
и |
||||
{F2 (1)а + F 2 0 ) р) |
2 (0)1 |
реализуются |
с |
помощью двуна |
правленных ключей, транзисторы которых управляются дополняющими сигналами (рис. 5.21, а, б).
Отметим, что все дополнительные члены, связанные с ин формационными сигналами образующего элемента [Fx (0)1,
1^2 (0)1, реализуются на транзисторах дополняющих типов
проводимости по отношению к типу того транзистора, из-за которого происходит искажение выходного уровня напря жения. Реализации, использующие гермы (5.34в), (5.35в), показаны на рис. 5.10, a t б,
Рис. 5.21. Синтезированные по схемотехническим формулам вариан ты ММЛС первого (а) и второго (б) классов со стабилизацией уровней
Наконец, термы (5.34г), (5.35г) обеспечивают восстанов ление уровня самым экономичным способом: во-первых, требуется только один дополнительный транзистор; во-вто рых, управляющий сигнал совпадает с сигналом, поданным на образующий элемент: в-третьих, дополнительный тран зистор включается между шиной питания (или общей ши ной) и выходом элемента; в-четвертых, тип проводимости канала дополнительного транзистора совпадает с типом канала транзисторов, включенных параллельно. Действи тельно, в этом случае СФ
Сх, (D (1)) = |
Ш Л (1)р + |
Ш /7! (О)" + |
|||
+ |
(1)" I K W = Ш (^i (1)р + |
Fi (0)р) + |
|||
+ |
ÏM Ô )]/7! |
(1)п, |
|
|
(5.36) |
Сх2 (G (1)) = |
т |
2 (1)« + |
т 2 (0)" + |
||
+ |
[FT(Ô)lF2 (1)р - |
[0] (F2 |
(1)" + |
F 2 (0)") -I- |
|
|
+ [F2 (0)]F2 (1)р. |
|
(5.37) |
Как видно, в (5.36) информационный сигнал [1] передается через два параллельных р-канальных транзистора, а в (5.37) сигнал [0] — через два параллельно включенных «-каналь ных транзистора. Такие реализации схем показаны на рис. 5.11, а, б. Следовательно, эвристически полученные схемотехнические решения могут быть формально синтези рованы при использовании различных способов восстанов ления искаженных уровней логических 0 и 1. Как видно из анализа, число возможных вариантов восстановления уров ней, полученных аналитически, превышает число эвристи ческих вариантов.
Ранее анализировались варианты ММЛС, имеющие два выхода. Очевидно, нетрудно записать СФ для ММЛС с тре мя и более выходами. Следует обратить внимание на сле дующее: 1) на каждой ступени восстановление уровней за-
т
висит от всех входных сигналов, действующих на предыду щих ступенях; 2) выходной сигнал каждой ступени объеди няет все предшествующие входные сигналы с входными сиг налами данной ступени; 3) восстановление уровня осуществ ляется с помощью дополнительных транзисторов, управ ляющими сигналами которых являются эквивалентные входные сигналы предыдущей ступени. Таким образом, уровни сигналов логических 0 и 1 можно восстановить с помощью одного транзистора, включенного на выходе k-& ступени, который управляется инвертированным сигна лом с выхода предыдущей ступени ММЛС. Такие схемы по казаны на рйс. 5.14, а, б.
Таким образом, проанализированы особенности записи схемотехнических и расширенных логических формул для ММЛС и предложена последовательность синтеза СФ, ис ходя из заданной логической функции.
5.9. Синтез миоговыходовых многофункциональных логических схем по заданным логическим функциям
Отличительная особенность ММЛС первого и второго классов в том, что с ростом числа ступеней выходные функ ции объединяют под знаком инверсии конъюнкции (первый класс) или дизъюнкции (второй класс) функций, эквивалент ных функциям ЛЭ каждой ступени. Очевидно, для логичес кой гибкости ступени элементов, включенных конъюнктивно, когда это необходимо, должны чередоваться со ступе нями элементов, включенных дизъюнктивно. Для повыше ния быстродействия и формирования управляющих сигна лов восстановления уровней на выходах практически каж дой ступени целесообразно включать дополнительный ин вертор. Подобная схема приведена на рис. 5.18. Заметим, что синтез таких схем легко формализуется на основе за данного логического уравнения, объединяющего функции отдельных ступеней. Рассмотрим процедуру синтеза на при-
мере. Пусть задана функция G (4) = (Ft + F 2) F aFi + F 6. Необходимо реализовать ее в виде ММЛС, получая одно временно следующие логические функции:
D(0) = 771,G(1) = F1 + F2,
D (2 ) = |
(F1 + |
Fz) F at |
D (Z) = |
(Ft + |
F2) F 3 Fit |
G (4) = |
(F, + F2) F3 Fi + Fb. |
Еще -раз напомним, что ММЛС позволяют объединить под знаком инверсии дизъюнкции и конъюнкции функций, эквивалентных входным сигналам Поэтому заданные ло гические выражения определяют структуру принципиаль ной схемы, состоящей из элементов, выполняющих логи ческие функции F lt F2, F 3, Fit F6. Так как функции после
довательно усложняются, начиная с D (0), то целесообраз но и реализовать их в такой последовательности. Вначале
(рис. 5.22) реализуется функция Fx на элементе ЛЭ (0), инвертор И (1) позволяет получить искомую функцию D (0), которая представляет собой функцию объединения входных сигналов ЛЭ (0). Функция G (1) получается подключением первой дизъюнктивной ступени. Подключение первой конъюнктивной ступени эквивалентно внесению сомножи теля F 3 под общий знак инверсии функции G (1). В резуль тате получается функция D (2). Для того чтобы создать до полнительную инверсию, включен инвертор И (2), на вы ходе которого подключена вторая конъюнктивная ступень, что позволяет реализовать конъюнкцию сигнала, поданно го на И (2), и сигнала F4 под общим знаком инверсии. На конец, аналогичное соединение используется со второй дизъюнктивной ступенью, чтобы получить' функцию G (4), которая представляет собой дизъюнкцию входного сигнала И (4) и FBI объединенных под общим знаком инверсии.
Для восстановления уровнёй 0 и 1 добавляются формаль но цепи восстановления, включенные между одной из шин и выходом-ступени. На выходах G (1), G (4) восстанавли ваются уровни логического 0, на выходах D (2), D (4) — логической 1. Таким образом, реализация ММЛС достаточ но проста.
ММЛС эффективны при реализации совокупности доста точно сложных логических функций. Пусть требуется реа-
Уиг!
Рис. 5.22. Непосредственно синтезированная логическая схема
220