книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос
..pdfрешения приводит к нелинейной краевой |
задаче на |
собствен |
||
ные значения (2.7), |
(2.8). Собственным |
значением |
при за |
|
данном |
является |
координата фронта |
Преобразование |
подобия позволяет найти профили f(£) и для других tf. В
последние годы близкие задачи возникли во многих областях
науки [182].
В связи с этим решения уравнений, которые описывают
конфигурации нестационарных структур, получили название
собственных функций нелинейной среды [80, 171]. В отличие
от обычных собственных функций, они описывают локализован ные процессы и не зависят от граничных условий. (Например, формула (2.9) может определять решение огромного класса
различных краевых |
задач |
для уравнения (2.3), . в которых |
|||||
длина L > Ly) Можно сказать, |
что они |
описывают |
внутренние |
||||
свойства нелинейной |
среды. |
Не |
удивительно, |
что |
исследова |
||
нию этих функций было уделено большое внимание |
[121, |
170, |
|||||
58]. Отметим несколько принципиальных результатов. |
|
|
|||||
Решение (2.9), |
(2.10) |
оказывается |
о«1ень простым, |
про |
|||
филь температуры, |
который |
оно |
описывает, |
имеет |
единствен |
ный максимум. (Будем говорить, что оно определяет простую
структуру.) Возникает |
вопрос, могут |
ли |
в нелинейных |
сре |
|||||||
дах, |
которые |
описывает |
уравнение |
(2.3), |
существовать |
слож |
|||||
ные |
структуры, |
имеющие |
большее |
число |
максимумов |
и |
по- |
||||
прежнему сохраняющие свою форму. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Физическая |
идея |
оказывается |
достаточно простой. |
Пусть |
||||||
в среде есть две структуры, каждая |
из |
которых |
имеет |
об |
|||||||
ласть локализации L{. Если расстояние между ними |
превышает |
||||||||||
|
то они не влияют друг на друга. Если это расстояние |
||||||||||
гораздо меньше, |
чем L{, то они быстро вырождаются в |
прос |
|||||||||
тую |
структуру. |
В |
промежуточном случае в |
течение |
длительно |
го времени максимумы движутся к оси симметрии, но форма профиля меняется мало. Это позволяет говорить о взаимодей ствии тепловых структур.
Пример |
такого |
взаимодействия |
показан |
на рис. |
2.4. |
||
Видно, |
что |
четыре |
локальных |
максимума |
температуры |
при |
|
t —* tf |
движутся |
к центру. |
В |
процессе |
взаимодействия |
41
Рис. 2.4. Взаимодействие четырех тепловых структур. Линии уровня и видо вые проекции распределения температуры в последовательные моменты времени
42
пространственная симметрия начальных данных играет важную роль. В работе [127] с помощью численных методов изучалось взаимодействие структур в многомерном случае и был приве ден следующий пример. Рассматриваются начальные данные ви да
|
|
|
|
TQ(r) |
= шах |
{А |
ехр [- а |г-а |
|2]}, |
|
|
(2.11) |
|||
где г |
и а. |
- |
двумерные |
векторы. |
Пусть |
п |
= 3, |
|
|
= А^, |
||||
<Xj |
= |
<х2 |
= |
<х3, а векторы а. выбраны так, что один раз они |
||||||||||
образуют |
равносторонний |
треугольник |
|
(|а1 - |
а2 | = |
|а1 - |
||||||||
- |
а3 |= |
|а2 |
- |
а3 | = а), |
а |
другой раз - |
|
равнобедренный |
тре |
|||||
угольник |
с |
углом при вершине 120° (|а1 |
- |
а2 1 = |
|а1 |
- |
а3 1 = |
|||||||
= |
а), |
/3 = |
4,0, |
о- = 2,0, |
kQ - |
1,0, |
<7Q = 5,25; А = |
1,35, |
||||||
а |
= 2,5, |
а |
= 2,08. В первом случае большая энергия сосре |
|||||||||||
доточена |
в |
меньшем объеме, чем во втором. Несмотря на это, |
||||||||||||
tf |
> |
tf - |
симметричная |
конфигурация |
|
существует |
дольше. |
|||||||
1 |
|
'2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно дать приближенное описание различных стадий взаимо действия структур и показать, что близкие закономерности характерны и для трехмерного случая.
Профили вида (2.11) при t —* tf меняют свою форму (поэтому их иногда называют квазиструктурами). Обнаружен
ные в расчетах закономерности взаимодействия структур поз воляют предположить, что существуют сложные структуры. Они
определяются решениями уравнения (2.7) (или его многомер
ного аналога), имеющими несколько максимумов, или, как их называют, высшими собственными функциями нелинейной среды
В |
работах [80, |
121, |
171] |
были |
исследованы |
такие |
функ |
||
ции в одномерном случае. Они существуют в случае LS-режима |
|||||||||
при Э |
> <r + 1. При этом |
решение |
автомодельной задачи не |
||||||
имеет |
конечного фронта, |
и |
поскольку |
нас интересуют |
эффек |
||||
тивно |
локализованные |
решения, |
вместо |
условий |
(2.8) |
естест |
венно потребовать, чтобы при х —» оо температура и поток
стремились |
к нулю |
|
|
|
|
|
|
Ж |
?=о = о, |
f h |
|
о, |
f |
о. |
( 2. 12) |
а? |
К-** |
S-*»" |
|
43
Отсюда следует, |
что |
|
|
f |
—» C .£ -2f<r + |
~ а ~ Ч |
(2.13) |
Если при решении нелинейной задачи (2.7), (2.8) нужно было
найти значение ^ |
(величину |
tf можно положить |
единичной), |
то здесь требуется определить С. . |
|
||
Построенные |
численно |
решения (2.7), (2.12) |
позволили |
установить интересную закономерность [80, 171]. В решении можно выделить две части. В одной из них решение представ
ляет |
собой |
малые колебания около f = 1. (В исходном урав |
|||||
нении |
решению |
f = 1 соответствует однородный фон T(x,t) ~ |
|||||
~ |
(1 |
- |
|
поэтому |
его |
иногда |
называют гомотер- |
мическим.) |
В другой происходит быстрый выход на асимптоти |
||||||
ку |
(2.13). |
Это |
хорошо видно |
на |
рис. 2.5, |
где показан пол |
ный набор собственных функций нелинейной среды, которая
описывается |
уравнением (2.3) |
со |
степенными нелинейностями |
при Э = 3,18, |
о- = 2; qQ = 1, |
kQ = |
1. |
Рис. 2.5.а — Полный набор собственных функций данной нелинейной среды зависящих от одной пространственной координаты, б - Эволюция второй соб
ственной функции
44
Такой характер решений позволил дать оценку числа собственных функций N нелинейной среды, связанную с анали зом линеаризованной около f = 1 задачи [171]
|
N = [а - Ца]а-1]] + 1, |
а = ({3-1) (0-О--1Г1, |
.(2.14) |
|
а также получить ряд |
строгих |
результатов [1] |
|
|
|
Оказалось, что можно сшить решения линеаризованной |
|||
задачи с асимптотикой при £ |
—» ю, выбрав точку сшивания |
|||
так, |
чтобы в ней выполнялись естественные условия гладкос |
|||
ти. |
Расчеты показали, что построенные таким образом функ |
|||
ции |
очень близки к |
решениям, полученным численно |
[124, |
125]. Типичную картину иллюстрирует рис. 2.6. Здесь пока заны две численно построенные собственные функции нелиней
ной среды при 0 = |
3,5, <г = 2 и соответствующие |
асимптотики |
|
в окрестности |
гомотермического решения и при £ |
—» оо (рис. |
|
2.6,а). Рис. |
2.6,6 |
позволяет сравнить численно |
построенные |
собственные функции и приближения, полученные методом сшивания. Видно, что они близки.
Рис. 2.6. Собственные функции нелинейной среды при 0 = 3,5; <Т = 2. а) вторая и третья собственные функции (сплошная линия), соответствующие асимптотики вблизи гомотермического решения (штрих-пунктирная линия) и
при £ —* га (пунктирная линия), б) те |
же функции и их приближения, полу |
ченные методом |
сшивания асимптотик |
Таким образом, метод сшивания позволил получить хоро шие приближенные решения (приближения) исходной нелинейной задачи (2.7), (2.12). Такие приближения были использованы для построения новых численных алгоритмов, связанных с
45
итерационными процессами |
и применением метода |
Ньютона |
[125]. |
|
|
Это, в свою очередь, |
позволило продвинуться |
в пост |
роении многомерных собственных функций нелинейной среды.
Двумерный аналог |
задачи |
(2.3) |
(в |
котором |
член |
(k(T)Tx)x |
|
заменен |
оператором |
div |
(k(T) |
grad |
Т)) допускает |
автомо |
|
дельное |
решение вида T(r,t) - |
g(t)f(r/<p(t),6), |
где г |
и в - |
полярные координаты. При этом двумерная функция f, опреде ляющая форму сложной структуры, удовлетворяет нелинейному эллиптическому уравнению
1 |
Э-0--1 ^ а(«/1/<<г+1)) |
|
J /(o -+ i) |
|
||
у 3/(<г+1)_ - ----------- = О, |
||||||
-АУ |
2(Э-1)<{ € |
ai |
||||
оч-1 |
|
(3-1 )*, |
|
|||
«/(0)<С, у ------ ►О, |
|V«/|--------> |
0, у = |
f'/{ar+\Z). |
(2.15) |
||
|
£—ж» |
£—ж» |
|
|
|
|
Стандартные' численные |
методы позволяют строить только про |
|||||
стейшие |
центрально-симметричные |
решения |
f(£) = f(|£|). |
Ес |
ли действовать по аналогии с одномерным случаем, то нужно искать границу, на которой можно сшить решение линеаризо
ванной задачи с асимптотикой при |
|£| —* со. Возникает |
зада |
||||
ча |
со |
свободной |
границей, |
представляющая |
большие |
|
сложности. |
|
|
|
|
|
|
|
Оригинальный |
подход был |
предложен в работах |
[124, |
125, 161]. При исследовании открытых нелинейных систем, которые описываются нелинейными параболическими уравнения ми, зачастую удается выделить набор параметров порядка, к которым «подстраиваются» все остальные степени свободы.
Попробуем найти |
параметры |
порядка, характеризующие функцию |
|||||
f. Допустим, она |
переходит в |
себя |
при |
повороте на |
угол |
||
2л/л. Разложим |
ее |
в ряд |
Фурье |
по |
угловой |
переменной. |
По |
нятно, что соответствующий ряд будет содержать только гар
моники с номерами 0, п, 2п, ... |
|
|
|
|
|||
Будем |
считать, что |
существенны |
только первые |
гармо |
|||
ники |
этого |
ряда. Это |
позволяет |
намного |
уменьшить |
коли |
|
чество |
степеней свободы |
системы. |
При |
этом |
условия сшивания |
46
уже не |
могут быть выполнены на некоторой непрерывной |
||||
кривой. |
Естественно |
требовать, |
чтобы |
они |
были удовлет |
ворены |
на нескольких |
лучах в |
секторе |
2п/п. |
Такой подход |
дает целую иерархию упрощенных конечномерных моделей. Они позволяют предсказывать конфигурацию высших собственных функций в области немонотонности и дают хорошие начальные приближения, необходимые для численного построения таких решений.
Рис. 2.7. Видовые проекции нескольких собственных функций нелинейной среды
47
• М аксимум
О 5 10
0Минимум
+ Ц ентр
Рис. 2.8. Набор собственных функций, предсказанных с помощью приближен ного анализа и затем построенных численно
В работах [125, 161] эти приближения широко использо вались, и был построен большой класс высших собственных функций нелинейных сред. Видовые проекции нескольких таких функций показаны на рис. 2.7. Рис. 2.7 дает представление
онаборе собственных функций, предсказанных на основе
приближенного анализа и затем построенных численно для не-
\
которой нелинейной среды. Этот результат оказывается очень
интересным.
48
Наряду с простейшими конфигурациями, состоящими из одинаковых квазиструктур, существует и много других форм.
Максимумы в них могут иметь разную амплитуду и распола гаться несколькими слоями, с ними определенным образом оказываются согласованы и минимумы температуры. Напомним, что все эти структуры описывают сходящиеся к центру волны
горения растущей амплитуды.
Таким образом, в простейшей нелинейной среде может существовать сложная организация. В ней есть конечное
число конфигураций, сохраняющих в процессе эволюции свою форму. Их можно интерпретировать как несколько простых структур с различными максимумами, объединенных в одну сложную (см. рис. 2.8). Законы такого объединения и опре деляют высшие собственные функции нелинейной среды. Соз дать более сложную упорядоченность в среде с данными зна
чениями Э и <г нельзя [121, 125].
Постановку начальных данных можно рассматривать как
способ воздействия на нелинейную среду. (Они могут быть
созданы с помощью других процессов, которые модель (2.3)
не учитывает.) При этом в общем случае происходит быстрое
формирование одной или нескольких простых структур, каждая
из которых локализована в некоторой области (?д. Если на чальные данные поставлены в соответствии с высшими собст венными функциями нелинейной среды, то, процессы идут в
большей области, возникающая тепловая волна сходится к
центру и сохраняет свою форму. Ход процессов при этом су
щественно |
отличается от того, |
что |
происходит |
в общем слу |
|
чае. -Такой |
способ воздействия |
на |
нелинейные |
среды в |
рабо |
тах [121, |
171] бы л . назван резонансным возбуждением |
нели |
нейной системы. Подчеркнем, что здесь наиболее важной ока зывается не амплитуда начальных профилей, а их конфигура ция, соответствие собственным функциям нелинейной среды.
-Анализ собственных функций разных нелинейных сред
представляется очень важной задачей |
при исследовании мно |
|||
гих |
систем в |
физике, |
биологии, в |
экологических задачах. |
При |
управлении |
многими |
системами |
не удается навязать им |
49
желаемое поведение, и было бы очень заманчиво использовать
резонансные возбуждения, явления самоорганизации, эффек
тивно опираться на внутренние свойства самой системы. Это особенно необходимо в тех случаях, когда нет возможности действовать методом проб и ошибок.
Можно |
сказать, что на сегодняшний день модель тепло |
вых структур |
представляет собой одну из немногих систем, |
для которой установлены законы организации диссипативных
структур. Поиск близких закономерностей проводился |
и для |
ряда других моделей. Во многих случаях он оказался |
успеш |
ным. Трудно остановиться даже на основных результатах, полученных в последние годы при изучении модели (2.3) и ее обобщений. Поэтому мы охарактеризуем только несколько
крупных направлений исследований.
Первое направление связано с обобщениями модели (2.3)
на более сложные среды и с ее использованием в различных
физических задачах. Было показано, что явление локализации
и режимы с обострением характерны для систем, параметры которых явно зависят от пространственных координат. Были рассмотрены случаи, когда плотность среды и нелинейный
источник |
степенным |
образом |
зависят |
от |
координаты |
г (г = |
= (X2 + |
I/2)1/2 или |
г = (х2 |
+ у2 |
+ |
г2)172) [122]. |
Здесь |
также возникают локализованные структуры, развивающиеся в
режиме с обострением. Они могут, |
например, представлять |
собой локализованные цилиндрические |
или сферические слои. |
Вряде случаев здесь также удается построить
собственные функции |
нелинейной |
среды как в одномерном, так |
и в двумерном случае |
[124, 125, |
161]. |
Аналогичные результаты были получены и для системы
двух квазилинейных уравнений параболического типа с объем ными источниками.
и. = (k.u |
|
и ) |
|
Яхи0, |
|
|
|
|
|
|
х'х |
|
|
|
|
= |
(kryV |
v ) |
+ |
Яои |
|
(2.16) |
|
|
|
|
х'х |
|
|
||
qv q2 > |
0; |
<Ту |
<т2 |
> |
0; |
З г 3 2 . К v |
y 2 > ° - |
|
|
|
|
|
|
50