книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос
..pdfCyjr-Cy(^) и ^ - /( 0 4 ^ ,) была близка. Если таких векто
ров нет, выбирается любой близкий сосед. Далее траектории
прослеживаются, пока расстояние между ними не станет |
рав |
|
ным |
L'(t2), потом ищется новый вектор на расстоянии |
Ц /,) |
и т. |
д. |
|
При таком подходе максимальный ляпуновский показатель определяется по формуле
м
X |
1м |
1 |
1°ё2 |
(6.79) |
|
К ' * - , ) |
|||
|
k= 1 |
|
||
|
|
|
Чтобы вычислить сумму двух наибольших показателей, нужно рассматривать пары близких траекторий и изменение площадей соответствующих треугольников (см. рис.6.18). Когда ищутся
243
новые соседние векторы, также надо |
следить, чтобы ориента- |
||||
ция треугольников была близка. Здесь |
|
|
|||
|
|
м |
А'1*4 |
(6.80) |
|
А, + *2 = |
м |
I l°S2 |
|||
A d ^ ) |
|||||
|
k= i |
|
|||
|
|
|
|
Обычно, пользуясь методом аналога, больше двух ляпуновских
показателей не вычисляют.
Тестовые расчеты позволили выявить область примени мости обоих методов и их ограничения. Примером такого ана
лиза может служить работа [387].
Допустим, что имеется априорная информация о том, какова размерность вложения р изучаемой системы. Тогда оба метода дают разумные оценки старших показателей при срав
нительно небольших выборках. Результаты в обоих случаях
слабо зависят от выбора е и шага интегрирования. Метод якобиана в этом случае в ряде тестовых расчетов позволял
оценить |
не только |
положительные, |
но и отрицательные ляпу- |
|
новские |
показатели. |
|
|
|
Однако при обработке экспериментальных данных обычно |
||||
приходится иметь дело с другой |
ситуацией - |
априорно неиз |
||
вестно, |
какова размерность системы. И здесь естественно |
|||
было бы |
ожидать, |
что начиная |
с некоторого |
р, так же как |
при вычислении размерности аттрактора, значения первых ляпуновских показателей перестанут меняться. В противном случае мы просто не сможем сказать, какие же показатели "настоящие". Проведенные исследования показали, что этим
важным свойством обладает метод аналога |
и не обладает |
метод якобиана [387]. |
увеличение р |
При использовании последнего метода |
обычно приводит к росту значений положительных ляпуновских показателей и их числа. Пояснить это можно следующим образом. Допустим, экспериментальные данные порождаются динамической системой, вложенной в р-мерное пространство. Тогда при р > р должны появляться большие отрицательные показатели (в идеальном случае А~ = А~+2 = ... = - « ),
244
что приводит к тому, что матрица А является плохо опреде
ленной. Поиск ее собственных значений становится некор
ректной задачей.
По-видимому, вопрос о возможности расчета отрицатель
ных ляпуновских показателей по экспериментальным данным* в настоящее время остается открытым. В самом деле, нетрудно
представить себе ситуацию, в которой аттрактор в р-мерном пространстве лежит в fc-мерном многообразии. На больших ха
рактерных временах можно считать, что траектория лежит на аттракторе. Чтобы узнать, каковы р - k отрицательных пока зателей, должны быть траектории, которые лежат вне аттрак
тора и стремятся к нему. А последовательность эксперимен
тальных данных, |
соответствующих движению по аттрактору, |
таких траекторий |
может не содержать. |
Отметим, что применение алгоритмов вычисления ляпу
новских показателей по временным рядам оправдано, если в
фазовом пространстве есть |
много |
точек, |
у |
которых |
существу |
|||||
ют достаточно |
близкие |
соседи. |
Иначе |
не |
удается |
проследить |
||||
поведение |
близких траекторий, |
и |
результаты вычислений |
мо |
||||||
гут быть никак |
не связаны |
с динамикой |
изучаемой системы. |
|||||||
|
§ 6.6. О методах построения ^-векторов |
|
|
|||||||
Выше |
считалось, |
что |
время |
At, в |
соответствии с |
кото |
рым строятся ^-вектора, каким-то образом задано. И дейст
вительно, по критерию Такенса оператор Ф является вложени ем почти для любого At. Однако при этом предполагается до ступной выборка неограниченной длины и возможность перейти к пределу при е —» О, рассматривая сколь угодно малые мас штабы.
Реально оба требования не выполнены, и выбор At ста новится важным методическим вопросом. Часто именно от его успешного решения зависит, будет ли обнаружена фрактальная структура того или иного аттрактора. В настоящее время во многих натурных и вычислительных экспериментах вначале оп
245
ределяют статистические характеристики процесса, затем по ним выбирают At и потом получают серию экспериментальных данных [271, 376]. Рассмотрим несколько методов выбора Lt,
которые широко используются в настоящее время. |
|
|
|
|
||||||||
|
Тестовые |
расчеты |
показали, |
что при выборе At полезны |
||||||||
ми оказываются следующие простые соображения. |
Пусть |
At |
||||||||||
очень |
мало. Тогда |
все |
^-векторы |
будут |
лежать вблизи |
прямой |
||||||
в С- п Р0СТРанстве, |
где |
£fe+1 = |
Это |
приведет |
к |
тому, |
что |
|||||
интервал масштабов, на котором |
сосредоточен линейный |
учас |
||||||||||
ток кривой In С = |
/(1п |
е), будет смещен |
в |
область |
очень |
|||||||
малых масштабов и оценить его будет очень трудно. |
|
|
|
|||||||||
|
Напротив, |
пусть |
At |
будет |
достаточно |
велико. |
Тогда |
С,п |
||||
и |
практически |
независимы |
и ^-векторы |
будут |
заполнять |
некоторый куб в ^-пространстве. Оценить наклон линейного участка кривой In С = /(1п е) также будет трудно.
Естественно выбрать At так, чтобы C,k и были бы
достаточно близки, но в наименьшей степени коррелированы. Тогда каждый следующий С-вектор будет независим от преды дущего, что позволит, используя выборку данной длины, на иболее полно охарактеризовать аттрактор. Этим требованиям удовлетворяют такие значения At, при которых автокорреля ционная функция
а(А О = |
Г 1 } €(0 €(<+А0 dt - [ Г |
1 J |
£(t) |
d t f |
|
О |
О |
|
|
в первый раз достигает нуля (напомним, |
что |
£(t) |
- перемен |
|
ная, по которой |
строятся ^-векторы). |
|
|
|
Смысл такого выбора At можно проиллюстрировать следу ющим примером. Пусть в системе реализуется простейший ко
лебательный |
режим £(/) = sin(w/). Посмотрим, при каком |
значении At |
вложение в двумерное пространство будет наибо |
лее простым. В этом случае
л |
“ |
|
|
|
*»п+1 |
246
Если |
представить £п+1 |
в |
виде |
sin(wnA/) cos(wA^) + |
+ cos(nwAf) |
sin(wA0, нетрудно |
убедиться, |
что |
С+ - 2соэ(ЬЛ/)5„€„+1 = s i - W
Это |
уравнение |
определяет |
эллипс |
с |
соотношением |
полуосей |
|||
а |
= (1 |
- cos(wA/))/(l+ |
cos(wAf)). |
При |
малых |
At |
эллипс |
||
оказывается сильно вытянутым вдоль диагонали £п+1 |
= ^ . |
||||||||
Вблизи |
точек |
поворота, |
через |
которые |
проходит |
большая |
|||
полуось, |
будет |
лежать много ^-векторов. |
Такая неравномер |
ность |
заполнения фигуры требует для достижения данной точ |
||||||
ности |
больших выборок. Автокорреляционная функция в этом |
||||||
случае |
равна |
gCos^Af). |
Первый ' ноль |
достигается |
при At |
= |
|
= п/2и>. |
В |
этом случае |
точки (£п, |
£п+1)будут |
лежать |
на |
окружности. При Ы ~ Ы точки (£п, €л+1) будут равномерно заполнять фигуру, близкую к окружности, что и позволит определить размерность множества с помощью выборки неболь
шой длины. (Строго говоря, при точном выборе At на этой окружности будут пробегаться только четыре точки, поэтому в этом случае разумно брать значения А/, лежащие вблизи
At. Это связано с постоянством времени оборота Т = 2л/ш. В
странных аттракторах дифференциальных уравнений время обо
рота |
варьируется в определенных пределах, и |
такой |
проблемы |
|||||||||
не |
возникает. Тем |
не |
м |
лее, |
в |
ряде |
работ |
рекомендуется |
||||
брать At таким, |
что |
а(Li) |
= а(0 )/е . |
При |
выборе |
At |
с помо |
|||||
щью |
автокорреляционной |
функции |
на |
каждый виток |
траектории |
|||||||
в среднем обычно |
приходится от |
4 |
до |
10 точек. |
|
|
|
|||||
|
Применение |
автокорреляционной |
функции |
для |
выбора At |
было связано с предположением, что наилучшим будет Af, при котором £(/) и £(/ + At) статистически независимы. Однако вопрос может быть поставлен иначе: при каком значении At
каждый следующий вектор £п+1 будет добавлять наибольшую информацию об аттракторе? Это зависит от того, каков был предыдущий ^-вектор И здесь естественно использовать представления теории информации.
247
|
Такой |
подход |
был развит в |
работе |
[271]. |
Рассмотрим |
||||
его |
более |
подробно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
экспериментатор |
рассматривает |
систему |
5. |
Изме |
||||
ряя |
ее |
состояние, |
он |
может |
получить |
результаты |
||||
$2, |
..., |
sn |
с вероятностями |
Ps(s2), |
.... |
Ps(sJ. |
Тогда, как было показано Шенноном, среднее количество информации, которое может быть получено после одного изме
рения, определяет энтропию системы
|
|
|
|
|
|
а |
д |
= - |
е ps(st) |
logP s(S.) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(если |
брать |
log |
по |
основанию |
2, |
|
то |
Н будет |
измеряться |
в |
|||||||||
битах). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем |
|
следующее |
обозначение |
|
для |
пары |
£(/), |
|||||||||||
£(t |
+ |
At): |
[$,(/] = [£(/). €(f+A/)], а множество всех таких |
||||||||||||||||
пар |
будем |
обозначать через (S,Q). Будем считать, что £(/) |
|||||||||||||||||
попадает |
в |
ячейку s, с вероятностью Ps(s(.), вероятность |
|||||||||||||||||
попадания £(/ + At) в ячейку |
q |
|
обозначим |
через |
Р ^ р , |
||||||||||||||
совместную |
вероятность |
двух |
|
этих |
событий |
|
- |
через |
|||||||||||
Р (s„q)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sqy |
i |
|
|
измерение |
величины |
g(t) |
дало |
значение s. |
(т. |
е. |
|||||||||
|
Пусть |
||||||||||||||||||
£(/) |
попало |
в |
ячейку |
s.). |
Тогда |
неопределенность |
величины |
||||||||||||
q определяется |
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ж<31*,) = - |
Е Р,|,(?,!*,) |
IP,|W |
‘ fl - |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
- |
- |
E lp4 |
s,-ii>/p p f l |
x |
]°A p4 |
si |
|
|
|
|
||||||
где |
P J I^ .I* .) |
- |
условная |
вероятность |
того, что |
измерение |
|||||||||||||
величины |
q дало q^ если измерение « дало s. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Чтобы выяснить, какова неопределенность H(Q\s) в |
||||||||||||||||||
измерении величины £(t + |
At) |
после |
|
измерения |
£(/), |
нужно |
|||||||||||||
просто просуммировать Я(ф|$(.) по всем ячейкам: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
H(Q\s) |
= |
£ |
Ps(s.) |
H(Q\s.) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
г |
р |
(*,.я,) |
ю |
|
|
|
|
|
= ms,Q) |
- |
m s), |
|
|
248
где
H(S,Q) = - |
log[Psq(spqj)], |
H(Q) - неопределенность в измерении величины q, H(Q\S) - неопределенность величины q в случае, когда измерена вели чина s. Таким образом, измерение величины s уменьшает неопределенность q на величину
I(Q,S) = H(Q) |
- H(Q\S) |
= |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= H(Q) + H(S) - |
H(S,Q) = |
/(S,Q), |
|
(6.81) |
||||
называемую взаимной информацией. |
|
|
|
|
|
|||||
Эта |
формула |
естественно |
обобщается |
на непрерывный |
||||||
случай |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(S,Q) = SPsq(s,4) log[Psq(s>qyPs(s)Pq(q)] dsdq. |
|
(6.82) |
||||||||
Если две величины некоррелированы, то |
I(s,Q) |
= |
0. |
|||||||
Предлагается |
брать |
в качестве |
А/ такое |
значение, |
при |
кото |
||||
ром I(S,Q) в первый раз достигает минимума. |
|
|
|
|
||||||
Если |
пользоваться |
этим |
критерием |
для |
выбора А/, |
то |
нужно для различных значений At оценить по данным натур
ного |
или |
вычислительного |
эксперимента |
вероятности |
Ps(s), |
Pq(q)> |
Psq(s<q)> рассчитать взаимную |
информацию |
/(5.Q ) и найти первый минимум этой функции. В работе [271]
предложен экономичный |
способ |
расчета |
интеграла |
вида |
(6.82). |
|
|
|
|
Представление о том, |
как |
выглядит |
аттрактор. в |
£ - |
пространстве, если для выбора А/ пользоваться двумя обсуж
давшимися |
выше |
критериями, дает |
рис. 6.19, взятый |
из рабо |
ты [271]. |
В ней |
рассматривался |
реконструированный |
аттрак |
тор системы, возникшей при наблюдении реакции Белоусова -
Жаботинского. Зависимость автокорреляционной функции С(А/)
и |
функция |
взаимной |
информации |
/(А/) строились |
по массиву |
из |
32768 точек. |
|
|
|
|
|
Слева |
приведена |
проекция |
аттрактора при |
значении А/, |
определяемом нулем автокорреляционной функции, справа А/
найдено с помощью критерия минимума взаимной информации.
249
Слева большая часть аттрактора проектируется в не
сколько узких полосок. Это приводит к смещению линейного
участка 1пС = /(1пе) в область малых масштабов, что за
трудняет оценку его размерности. Справа траектории сравни тельно равномерно заполняют довольно большую область фазо вого пространства. Тзкой выбор At более удачен.
J. -1
Рис. 6.19
Критерий, использующий взаимную информацию, широко используется во многих работах и обычно дает хорошие ре зультаты.
Экспериментальные данные, которые сейчас обрабатыва ются для оценки фрактальной размерности, могут относиться к самым разным объектам. Поэтому можно ожидать, что для ряда выборок наилучший выбор Ы не будет связан с двумя обсуждавшимися критериями, и существуют другие способы построения С-векторов.
250
Выбирая At, мы, по |
существу, сразу |
выбираем не |
один, |
||
а два параметра. |
Один |
характеризует |
способ |
построения |
|
^-векторов. Другой |
определяет частоту, с |
которой |
мы |
строим |
{'-векторы, сдвигаясь по траектории. В общем случае оба па раметра независимы, и можно ожидать, что наилучшие резуль
таты будут получены, если оптимизировать по |
обоим. Первый |
||||||||
параметр по-прежнему будем обозначать через |
At, |
второй |
че |
||||||
рез АТ. Тогда ^-вектора в р-мерном |
пространстве будут |
та |
|||||||
ковы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с, = ( д а ) , д а о . |
д а о ) , |
|
|
|
||||
с2 = (да+Ао, |
да+2до, ... |
да+рАО), .... |
|
||||||
Сп = |
(€(А/ |
+ |
(п - |
1)АТ), д а * |
+ (л |
- 1)АГ), .... |
|
||
|
|
|
д а * + (п - 1)аг)). |
|
|
|
|
||
Пусть |
A7YA* |
- |
целое число. Тогда |
можно |
считать, |
что |
мы строим ^-вектора так же, как они строятся в теореме Та-
кенса. Однако |
далее проводится |
обработка |
не |
всех |
векторов, |
||||||
а только |
их |
части. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Выбрав ДГ большим А*, можно распорядиться ^-векторами |
||||||||||
так, |
чтобы |
они наилучшим образом характеризовали аттрактор |
|||||||||
при |
данной |
длине выборки. Величина s = |
(р |
- |
1)Д* |
в литера |
|||||
туре |
часто |
называется длиной окна. Важное замечание |
отно |
||||||||
сительно |
этой величины |
сделано |
в работе [211]. |
|
|
|
|||||
|
В |
теории |
Такенса |
предполагается, |
что |
имеется |
одна |
траектория и нет никаких возмущений. В расчетах странных аттракторов в силу чувствительности к начальным данным вы численная траектория оказывается в окрестности различных траекторий исходной системы и дает представление о целом
множестве |
последних. |
Однако |
представленные |
по |
ним |
||||
С-векторы |
могут |
не |
иметь отношения |
к изучаемому |
аттракто |
||||
ру. Длина |
окна |
5 |
должна быть выбрана таким образом, чтобы |
||||||
все компоненты |
{^-вектора с высокой |
точностью определялись |
|||||||
одной траекторией. |
Это |
зависит |
и от величин положительных |
251
ляпуновских показателей, и от величины вносимых возмуще
ний.
Вработе [211] предлагается оптимизировать Ы таким
образом, чтобы длина линейного |
участка log С = /(log е) |
была максимальной, предварительно |
обрабатывая сам массив |
С-векторов определенным образом. При таком подходе объем вычислительной работы значительно увеличивается по сравне нию с двумя методиками, обсуждавшимися выше.
Однако вопрос о том, как оптимизировать АТ и At, что
бы наилучшим образом оценить размерность странных аттрак торов, остается открытым.
§ 6 .7 . Экспериментальное исследование маломодового хаоса
Анализ общих свойств динамических систем позволил вы
двинуть предположение, что сложные стохастические режимы в нелинейных средах часто связаны не с возбуждением беско
нечного |
числа гармоник, как это |
считалось |
ранее, |
а со |
сложным |
взаимодействием нескольких переменных, т. е. со |
|||
странным |
аттрактором небольшой |
размерности |
[136, |
167]. |
Подчеркнем, что это предположение носит общий характер и
относится не только к переходу |
от |
ламинарных к турбулент |
ным течениям в гидродинамике, |
но |
и к стохастическим режи |
мам в колебательных химических реакциях, к ряду систем в нелинейной оптике, ко многим другим явлениям. Развитые в последние годы алгоритмы анализа фракталей, странных ат
тракторов позволили перейти к экспериментальной проверке
этого предположения.
Одной из систем, в которой наблюдается переход от упорядоченного ламинарного режима к хаотическому турбу лентному, является течение Куэтта - Тейлора. Это течение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами высоты L,
радиусы которых равны а и Ь. Внешний цилиндр вращается с угловой скоростью Qg, внутренний - со скоростью Qj. Число
252