книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

В самом деле, в концепции Энгессера — Кармана су­ щественно предположение о неизменности продольной силы при переходе стойки из исходного состояния равновесия в возмущенное. Но это предположение вносит очевидное ограничение в исследуемый процесс — практически не ис­ ключено, что одновременно с боковым возмущением проис­ ходит возмущение и сжимающей силы. Таков, в частности, случай, когда боковые возмущения происходят в процессе возрастания продольной силы (а не при «замороженных» ее значениях). Именно это соображение является главной особенностью концепции Шенли, которая, как мы увидим ниже, и позволяет уловить возможность потери устойчиво­ сти при силах, меньших чем Р**.

Пусть по-прежнему — положение основания стой­ ки при отсутствии нагрузки (рис. 17.7). Допустим, следуя Шенли, что при нагружении стойки отклоненные состояния равновесия становятся возможными, начиная с некоторого определенного положения тапа, причем положению тгпа соответствует нагрузка Р+, меньшая чем Р (значение Р + заранее, конечно, неизвестно; лишь позднее выяснится, что Р+=Рц). Допустим, далее, что внешняя нагрузка продол­

через Д/ среднее укорочение стержней от дополнительной силы ДР и через <р угол попорота стойки (угол наклона от­ резка т9па), найдем укорочения стержней, вызванные до­ полнительной силой:

и соответствующие приращения сжимающих усилий:

(18.2)

В отличие от § 17, перемещения ф и Д/ — малые, но конеч­ ные величины. Формулы (18.2) записаны в предположении, что на всем этапе постепенного увеличения нагрузки от значения Р + до значения Р_, Н-ДР (т. е. при переходе от состояния тап2п состояние пг3п3) точка т все время подни­ мается вверх, а точка п все время опускается вниз; другими словами, левый стержень непрерывно р а з г р у ж а е т ­ с я, а правый — д о г р у ж а е т с я .

141

Сумма приращений (18.2) должна равняться дополни­ тельной силе ДР:

а моменты этих приращений относительно точки Ог — мо­ менту внешней нагрузки Р = Р +-|-ДР:

Из уравнений (18.3) и (18.4) можно найти оба кинематичес­ ких параметра ф и Д/:

соответствующие найденным ранее формулам (17.11) и

Подставляя сюда найденные выражения ф и А1, получим это условие в простой форме

Таким образом, предположенное выше отклоненное равно­ весное положение стойки возможно только при выполнении условия (18.9), т. е. если нагрузка растет, начиная с уровня Рф. Следовательно, сила, которую мы выше обозначали через Р+, совпадает с касательно-модульной нагрузкой Р * .

Проследим за изменением отклонения верхнего конца о= ф / стойки при возрастании нагрузки Р от значения Р* до значения Р**, записав вместо (18.5)

112

Это изменение изображено сплошной линией на рис. 18.1. Как видно, начиная со значения нагрузки Р*, прогиб верх­ него конца стойки монотонно возрастает и обращается в бесконечность при Р = Р * * . Каждая точка изображенной кривой представляет вполне определенное положение рав­ новесия стойки, а вся кривая в целом — кривую состояний равновесия.

Следует отметить, что кривая может быть реализована только непрерывно в направлении возрастания прогиба

Рис. 16.1. Кривые состояний равновесия: Р , — наимень­ шая сила, при которой воз­ можно отклоненное состоя­ ние равновесия. Р „ — кри­ тическая сила по теории

приведенного модуля

(А-+-В-+С). Если при Я=Я* (точка А) искусственно удер­ жать стойку от поворота и предоставить возможность пово­ рота, допустим, только в точке А', то стойка не «переско­ чит» в состояние равновесия, соответствующее точке В, а процесс будет развиваться так, как показано штриховой линией (при этом в соотношении (18.10) нужно вместо Я« принять РА ) Таким образом, в зависимости от обстоя­ тельств любая точка области, расположенной между пря­ мой Р—Р^щ и кривой АВС, может представлять собой со­ стояние равновесия.

Что же является критической силой для рассмотренной стойки — сила Р* или сила Р**? Ответ на этот вопрос зависит от того, какой смысл мы желаем вложить в термин «критическая сила». В известной мере это дело вкуса, но, пожалуй, естественнее назвать критической силу Р*, по­ скольку сразу после достижения этой силы становятся воз­ можными отклоненные состояния равновесия *).

Особенности новой постановки вопроса заставили Шенли охарактеризовать уравнение вида (18.10) лишь как «урав-

*) Независимо от концепции Шенли В. Койтер предложил крити­ ческие состояния, определяемые точкой бифуркации на оси Р, делить на устойчивые и неустойчивые в зависимости от знака производной dPldao. При dPi’doX i (как, например, в решении Шенли) критическое состояние устойчивое, а при ctPidv< О (см., например, рис. 6.3) крити­ ческое состояние неустойчивое.

143

пение равновесных состояний стойки» для того, чтобы из* бежать каких-либо вопросов, касающихся определения «отерп устойчивости.

Интересна следующая характеристика идеи Шенли, данная Т. Карманом в 1947 г,:

«За последние три десятилетия теория потери устойчи­ вости стойки, сжимаемой осевой нагрузкой, превышающей предел упругости, обсуждалась многими авторами. Однако многие возражения были необоснованными. В настоящее время м-р Шенли выдвигает возражения, которые заслу­ живают внимания. Исследования проблемы, проведенные Энгессером и мной, были основаны на предположении, что равновесие прямой стойки становится неустойчивым тогда, когда появляются формы равновесия, бесконечно близкие к форме равновесия прямой стойки при такой же осевой нагрузке. Правильный ответ на этот вопрос дается путем замены в формуле Эйлера модуля упругости так называе­ мым приведенным модулем. Исследования м-ра Шенли представляют обобщение вопроса».

Полезно обратить внимание па слова «при такой же осевой нагрузке». Неизменность нагрузки при переходе в отклоненное состояние равновесия является существенным Предположением теории Эйлера. В сущности, этим предпо­ ложением накладывается определенное ограничение на ход новой ветви кривой равновесных состояний, а именно:

^ = 0 при о = 0 . (18.11)

В решении Кармана принято то же ограничение; по­ этому такое решение ие в состоянии уловить ту возможность бифуркации, которую заметил Шенли. Тот же недостаток присущ и первоначальному предположению Энгессера.

Опираясь па концепцию Шенли и назначая в практи­ ческих расчетах разумный запас устойчивости по отноше­ нию к «касательно-модульной» нагрузке, мы приходим всегда к более простым выкладкам, чем по формуле Энгес­ сера — Кармана (входящий в последнюю приведенный мо­ дуль зависит иногда сложным образом от формы сечения). Таким образом, в концепции Шенли счастливо сочетаются глубина анализа с простотой окончательных расчетных фор­ мул.

Для того чтобы по достоинству оценить практическое значение новой концепции, полезно исследовать процесс нагружения стойки, предположив, что сжимающая сила приложена с некоторым начальным эксцентриситетом. Ре-

144

Подставляй сюда выражения (18.5) и (18.6), найдем

чения c= vb/(l + v ), когда Я = Я %#.

Таким образом, процесс, исследованный Шенли, про­ текает с н е п р е р ы в н ы м р о с т о м зоны разгрузки.

Рис. 18.4. Влияние изменения модуля разгрузки: а) кривая деформи­ рования при билинейной аппроксимации (линии разгрузки показана штрихами); б) кривые Шенли

а совпадение окончательной формулы Шенли с формулой, предложенной Энгессером, вовсе не означает полной тож­ дественности двух концепций.

Хотя все паши выкладки относились к модели стойки с линейным упрочнением, но качественные выводы оста­ ются верными и для стержней с непрерывно распределенной упругостью при произвольном виде зависимости о= а(е).

При уточненном исследовании нужно учесть, что модуль разгрузки не может неограниченно оставаться постоянным, так как разгрузка в общих чертах следует рисунку 18.4, а. Поэтому, когда процесс разгрузки дойдет до точки .4, об­ щая жесткость системы резко уменьшится и кривая Шенли приобретет падающий участок, как это изображено на рис. 18.4, б.

Статьи Ф. Р. Шенли переведены на русский язык и включены в качестве приложения в книгу Шенли хАнализ веса и прочность самолет­ ных конструкций» (М.: Оборопгиэ, 1957, гл. 18). Убедительный динами­ ческий анализ исследованных выше явлений дал В. Д. Клюшников в статье «Устойчивость процесса сжатия идеализированного упруго-пла­ стического стержня» (Иэв. АН СССР, ОТН, Механика и машинострое­ ние, 1964, № 6). О роли уменьшающегося модуля разгрузки см, в статье

146

Я. Г. Паковко «О критическое силе сжатого стержня в неупругой об­ ласти» (Инж. сб., Изд.-во АН СССР, 1954, т. XX). См. также статью Л. А. Шаповалова в журнале «Прикл. мат. и мех.» (1971, т. 35).

Существенные тонкости обсужденной выше проблемы не учтены в работе И. С. Цуркова «Об устойчивости сжатого нелинейно-упругого

Известны существенные различия между свойствами статически определимых и статически неопределимых си­ стем. В настоящем параграфе для нас будет важным то обстоятельство, что распределение усилий в стержнях ста­ тически неопределимой системы зависит от жесткости ее элементов.

Представим себе, что в процессе роста внешней нагрузки в каком-либо лишнем элементе статически неопределимой шарнирно-стержневой системы достигнуто критическое со­ стояние и стержень выпучивается *). Поскольку эффектив­ ная продольная жесткость этого элемента, конечно, умень­ шается, не будет абсурдным предположить, что приходя­ щаяся па этот элемент сила также уменьшится. Если это так, то уменьшившаяся сила, по-видимому, окажется не­ достаточной, чтобы поддерживать искривленную форму рав­ новесия. Таким образом, можно представить себе такую неожиданную ситуацию: само критическое состояние как бы создает условия для восстановления устойчивости пря­ молинейной формы равновесия, т. е. стержень «ускользает» от потери устойчивости. Так ли это в самом деле?

Этот вопрос был поставлен в 1932 г. И. М. Рабинови­ чем **), который впервые решил задачу об определении критической силы для лишнего стержня, входящего в со­ став упругой статически неопределимой системы. В этом случае оказалось, что ситуация, возникновение которой мы подозреваем, в действительности невозможна и критическое значение усилия в стержне, входящем в состав статически

*) Подчеркнем, что речь идет только о лишних стержнях; если в каком-либо стержне статически неопределимой системы усилие ста­ тически определимо (такие стержни называются необходимыми), то ус­ ловие потери устойчивости такого стержня ничем не отличается от ус­

147

неопределимой упругой системы, такое же, как и для изоли­

рованного стержня.

Вопрос об упругопластическом продольном изгибе лиш­ них стержней был исследован А. А. Ильюшиным в I960 г. По своей постановке эта своеобразная задача близка к за­ даче Эйлера в том смысле, что потеря устойчивости рас­ сматривается при неизменной нагрузке; о приложении к этой задаче концепции Шенли будет сказано в конце пара­ графа.

Как выяснилось, в данном случае действительно соз­ дается ситуация, о которой мы писали выше; конечно, стерж­ ню «не удается» полностью избежать потери устойчивости, но критическое состояние наступает при силах, все-такн отличающихся от критической силы Р** Энгессера — Кармана для изолированного стержня.

Таким образом, статическая неопределимость системы ие влияет на значение критической силы упругого стержня и в то же время оказывается существенной при определении критической силы для упругопластического стержня. Чем можно объяснить эту принципиальную разницу?

Причина этой разницы связана с важным, хотя обычно незамечаемым обстоятельством: сближение концов упруго­ го стержня при потере устойчивости имеет второй порядок малости по сравнению с прогибами, тогда как в случае упругопластического стержня это сближение имеет поря­ док малости прогибов (из-за обжатия оси при перехода в возмущенное состояние — см., например, рис. 17.7).

Разберем решение А. А. Ильюшина на упрощенной мо­ дели, изображенной выше на рис. 17.4, но примем, что верх­ ний конец стойки связан с упругой конструкцией, которую

где с — жесткость пружины. Представим себе, что при не­ котором значении внешней нагрузки Q =QKP происходит потеря устойчивости стойки (19.1, б) в эйлеровом смысле, т. е. возникает отклоненная форма равновесия стойки, бес­ конечно близкая к основной форме. При этом опорные стержни деформируются так, как было показано на рис. 17.7 при выводе формулы Энгессера — Кармана.

118

Важно обратить внимание на осадку центральной точ­ ки О. Вследствие этой осадки пружина приобретает такое же удлинение и, следовательно, примет на себя дополни­ тельное усилие с А1\ соответственно усилие, передаваемое стойке, изменится на величину

Выясним, при какой силе Р возможно отклоненное со­ стояние равновесия стойки (рис. 19.1, е). Дополнительные

Рис. 19.1. Случай, когда сжимающее усилие статически неопределимо: о) докритическое состояние; б) отклоненное состояние системы; в) от­ клоненное состояние стойки

укорочения опорных стержней определяются прежними формулами (17.12), а дополнительные сжимающие усилия в стержнях — формулами (17.13). Уравнение моментов относительно точки О имеет вид

По смыслу решаемой задачи речь идет о бесконечно ма­ лом отклонении стойки, так что перемещения <р и Л/, а также дополнительные усилия ДРи ДР* и АР — бесконеч­ но малые величины. Поэтому в уравнении (19.3) следует опустить слагаемое АР, после чего уравнение моментов примет вид

149

Уравнение проекций на вертикальную ось запишется в виде

(конечно, здесь АР опускать нельзя!). Подставляя в эти уравнения выражения (18.2) и (19.2), мы придем к системе, однородной относительно перемещений <р и А1:

^ ( v - l ) < P + [ ^ ( v + l) + c]A/ = 0 . (196)

Отклоненное состояние равновесия возможно лишь при условии, что определитель этой системы равен нулю. Раз­ вернув определитель, мы получим уравнение, содержащее единственную неизвестную — критическую силу, которую мы обозначим через Я***; из этого уравнения находим

характеризует относительную жесткость той упругой си­ стемы, которая была схематизирована в виде пружины Конечно, из формулы (19.7) следуют известные случаи:

1. Случай v = l (упругая потеря устойчивости); параметр а не влияет на значение критической силы, и из формулы

09.7) получается формула Эйлера (17.10).

2. Случай а = 0 (изолированный стержень). В этом слу­ чае формула (19.7) приводит к формуле (17.17), определяю­

Д ля определения критической внешней нагрузки Q„p необходимо воспользоваться формулой (19.1); при этом по­ лучим

Однако не всегда a^O . А. А. Илыошип указал на су­ ществование класса догружающих конструкций, для кото­

рых а < 0 . Эти конструкции таковы, что при продольном изгибе осадка стержня влечет за собой не уменьшение, а

J50