книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики
..pdfРассмотрим первый из |
интегралов (4.2). Так |
как при |
||
*œ [0, 1] |
функция е~*^ 1 , |
то он |
мажорируется |
интегралом |
V |
|
|
|
|
j xs~ldx, |
который, как известно |
из математического анализа, |
сходится лишь при s— 1 > — 1 , т. е. при s> 0 . |
Но тогда соглас |
но принципу сравнения, первый из интегралов |
(4.2) также схо |
дится. |
|
Переходя ко второму из интегралов (4.2), заметим, что если
натуральное число n > s— 1, то e_*jce_1^e~*xn при х ^ 1 . |
Инте |
|
грал |
|
|
о* |
|
|
J e~xx ndx |
|
|
сходится, в чем легко убедиться, интегрируя его п раз |
по час- |
|
тям и учитывая, что lim д;яе-д: = |
хп |
|
Пш —^— = 0 для любого целого |
||
Х->°о |
Х-+00 6 |
|
0 (правило Лопиталя). Таким образом, второй из интегра лов (4.2) также мажорируется сходящимся интегралом, и поэто му сходится.
Обосновав существование Г-функции при любых s> 0 , уста новим ее основные свойства. Заменяя в интеграле (4.1) s на 5+1, имеем
Г (5 + 1 ) = | |
çr*xsdx. |
(4.3) |
Интегрируя (4.3) по частям, получаем |
|
|
|
т |
|
Г(5 + 1 ) = - [ ^ е - ^ |
+ 5 f çrxx s~ldx. |
(4.4) |
|
о |
|
Внеинтегральный член (4.4) равен нулю, так как функция xse~* при х = 0 равна нулю и при х->оо стремится к нулю (для нату рального n > s произведение х5е-х< х ле-ж->0 при х-*-оо), поэто
му, учитывая (4.1), получаем
|
Y (s-\-\)= sV (s)t 5 > 0. |
(4.5) |
Формула |
(4.5) — основная формула приведения для Г-функции. |
|
Из этой формулы по индукции получаем |
|
|
Г (5 + 1) = |
5 (5— 1) Г (5— 1) — ... = 5 ( 5 — 1 ) ...( 5 - k ) T ( S - k ) |
(4.6) |
при любых kt удовлетворяющих неравенству s—£ > 0, и, следо вательно, шах А = [5] при 5 дробном ([s]— целая часть s) и max
Æ =s— 1 при натуральном 5.
Формула (4.6) |
сводит вычисление |
Г-функции для любых |
||
s > 1 |
к вычислению Г-функции с помощью интеграла |
(4.1) при |
||
se[0 , |
1]. Например, |
|
|
|
|
|
Г(3, 4)=2,4* 1,4-0,4 *Г (0 ,4). |
|
|
При |
натуральном s, полагая в (4.6) |
s=n, k—n— 1, |
находим |
|
|
|
Г ( я + 1) = л (л — 1)...2‘1Г(1). |
(4.7) |
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
Г ( 1 ) = | z -* d x = l,- |
(4.8) |
|
формулу (4.7) можно переписать так: |
|
|
||
|
|
Г (я -|-1 )= я ! |
|
|
или, на основании |
(4.1), в виде |
|
|
|
|
|
fll= J erxx ndx. |
(4.9) |
Равенство (4.9) дает интегральное представление п\. Так как интеграл (4.9) имеет смысл не только при натуральных п, но
и при любых нецелых л^О, то по определению полагают
s ! = J e - xJC*ûU=r(s-f 1 ), s > 0 , |
(4.10) |
распространяя, таким образом, понятие факториала на любые неотрицательные числа. Учитывая выражение (4.6), для любых положительных s можно записать
s ! = s ( s — l)...(s— £)Г($— £), s > 0 , |
(4.11) |
где k=[s] при s дробном и k—n— 1 при натуральном |
s=n . |
Из (4.10) и (4.11) следует, например, что |
|
T ' = J e - ^ = r ( i - ) = | - |
|
а из (4.10), учитывая (4.8), и м еем 0!= J erxd x = 1. Запишем
о
теперь основную формулу приведения (4.5) для Г-функции в виде
Г ($ )= £ < 1 ± Д , s > o . |
(4.12) |
S
Пусть s e ( — 1, 0). Тогда s + l e ( 0 , 1 ), где Г-функция опреде
лена интегралом (4.1). Следовательно, формула (4.12) позво-
ляёт |
продолжить |
(доопределить, |
вычислить) |
Г-функцию на |
|||||
интервале |
(— 1, 0). Пусть, далее s e ( —2, |
— 1). Тогда |
( s + l ) e |
||||||
œ (— 1 , 0), |
т. е. s + 1 |
изменяется |
на интервале, где Г-функция |
||||||
доопределена и, следовательно, формула |
(4.12) |
позволяет про |
|||||||
должить Г-функцию на интервал |
(—2, — 1 ). Поступая таким |
||||||||
же образом, можно доопределить |
|
Гi\ |
|
|
|||||
(вычислить) Г-функцию для лю |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
бых отрицательных значений ар |
|
п |
|
1 |
|||||
гумента s, |
за исключением |
це |
|
|
|
/ |
|||
лых |
отрицательных |
s и |
s = 0. |
|
J ' |
|
|||
|
|
/ |
|||||||
Из формулы (4.12) |
видно, что |
|
XJ—о- 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
\ S il Z |
|
llmr(s) = lim |
|
^ = + оо, |
|
|
|
|
(4.13) |
тогда |
|
г (S-H) _ + oo; |
|
Ilm Г (5 )= Н т |
|||
s-*~1±0 |
(i+l)-*-±0 |
|
5 |
|
|
|
(4.14) |
|
lim r(s)=lim |
||
|
s-*—2±0 |
($+!)-*•—1±0 |
-4 г - , - 1
О Т |
0 it t? J ' < .5 |
|
7 |
-J -
л-//
û -F-
Рис. 4.1
T(s + l)
+oo (4.15)
и T . д. Равенства (4.13) — (4.15) показывают, что в точках s ——k, k = 0 , 1, 2,..., Г-функция, определенная при отрицатель ных s отношением (4.12), неограниченно возрастает по модулю (обращается в бесконечность). В дальнейшем, рассматривая Г-функцию, будем предполагать, что она доопределена на от
рицательные |
значения аргумента s |
указанным |
выше образом |
|
и, следовательно: |
(4.5) сохраняет силу и при |
|||
1) |
основная формула приведения |
|||
отрицательных s; |
|
нулями функ- |
||
2 ) |
s = —k, |
k=0, 1 , 2 , ..., являются простыми |
||
ции |
1 |
|
|
|
— . |
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
На практике, а также в теоретических исследованиях часто используют второе интегральное представление для Г-функции. Его можно получить, если в формуле (4.1) положить х —у2. Тогда имеем
Г (5 )= 2 I z-y'fs-'dy, s > 0 .
Как указывалось, формула приведения . (4.6) сводит вычисле
ние функции Г(Х) к вычислению Г-функции с помощью инте грала (4.1) на интервале 0 < s < l . Однако этот интервал можно сузить до (О, V2), если учесть, что Г-функция удовлетворяет соотношению и
Г ( « ) Г ( 1 - 5 ) = - г5— 0 < S< 1 . (4.16)
sin n s
Например, полагая s = 3U, имеем
а полагая s= |
1 2 |
|
2 |
W i t , т. е. Г (т и / л . |
||
/ >находим, что Г |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
формулы |
(4.6) и |
(4.16) |
сводят |
вычисление |
|
Г-функции с помощью |
интеграла |
(4.1) |
к случаю |
0<C s^72, |
в ряде изданий таблицы значений Г-функции приводятся лишь
для s e ( О.Уг]. Характер |
изменения |
Г-функции при положитель |
|
ных |
и отрицательных |
значениях |
аргумента s изображен на |
рис. |
4.1. |
|
|
§4.2. УРАВНЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Куравнению цилиндрических функций (уравнению Бессе ля) можно прийти, решая методом Фурье уравнения Лапласа, теплопроводности или колебаний, записанные в цилиндриче ских координатах. Покажем это на; примере уравнения Лапла са. Известно, что уравнение Лапласа в цилиндрических коор динатах г, ф, z имеет вид
' ® L + |
J_ |
*L + _L J Ü _ ^ ! L = O, |
(4.17) |
||
дг2 г |
Г |
дг г 2 df2 |
dz* |
4 |
7 |
где и—и(г, ф, z ) — искомая функция. Используя метод Фурье, будем искать частные решения уравнения Лапласа в виде
я(г, |
<р, z)=R{r)®(y)Z{z). |
|
(4.18) |
|
Подставляя (4.18) в (4.17), имеем |
|
|
|
|
tf"4>Z + — |
W Z 4 -R < b Z " = 0 , |
|
||
Г |
г2 |
|
|
|
или, разделив обе части равенства на RQ>Z, |
|
|
||
R " . 1_ |
__ 1_ _Ф" |
Z ” |
■а> |
|
R ' г |
R * г* Ф |
z |
|
|
|
|
где а — постоянная. Отсюда имеем
|
|
Z " + a Z = 0 ; |
(4.19) |
||
R" |
| |
1 R' |
■ |
1_ |
Ф» |
Л |
~ r |
R |
' |
г2 |
(4.20) |
Ф |
Уравнение (4.20) умножим на г2 и приведем к виду
г2 £ - |
+ |
г - £ |
аг2— |
Ф" |
b, |
|
~ф |
||||||
R |
1 |
Я |
|
где b — постоянная. Отсюда получаем
ф "+6Ф =0, |
(4.21) |
r2R"+ rR' - 0аг2+ b ) R = 0. |
(4.22) |
Таким образом, отыскание решений уравнения (4.17) в виде (4.18) привело к двум линейным дифференциальным уравне ниям (4.19) и (4.21) с постоянными коэффициентами и к урав нению (4.22) — линейному, но с переменными коэффициентами.
Предположим, что отыскиваются периодические по углу ф решения и(г, ф, z) уравнения Лапласа, являющиеся одновре менно апериодическими функциями координаты z (случай, час то встречающийся на практике). Этим условиям можно удов летворить, если постоянные a, b выбрать в виде
|
|
|
а = —X2, |
Ь=ч2, |
(4.23) |
||
где |
V— любые вещественные |
числа. Действительно, при |
|||||
этом уравнения |
(4.19) |
и (4.21) |
|
принимают вид |
|
||
|
' |
Z " -X 2Z = 0 , |
Ф"-|-*2Ф =0 |
|
|||
и имеют общие решения требуемой структуры |
|
||||||
|
Z = Сх ch Xz-J- С2 sh XZy |
Ф*=C3 cos vcp -f C4 sin v<p, |
|
||||
где Ci, C% C3, Ci — произвольные постоянные. |
можно |
||||||
При |
выполнении равенств |
(4.23) уравнение (4.22) |
|||||
переписать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г2 - ^ + г — |
+0А-2- ч 2)/?= 0 . |
(4.24) |
|||
|
|
dr% |
dr |
|
|
|
|
Введем новую независимую переменную £=Яг. Тогда имеем
dR |
__ dR |
dZ |
dR |
d2R |
d2R |
dr |
dZ |
dr |
dZ ’ |
dr2 |
dZ2 |
и уравнение (4.24) приводится к виду
EJ-^j- + 5 - ^ - + « s- v 2)/? = 0, * = * « ) . |
(4.25) |
Так как решение в цилиндрических координатах уравнений Лапласа, теплопроводности, колебаний и ряда других уравне ний связано с решением уравнения (4.25), это уравнение назы вают уравнением цилиндрических функций. Уравнение (4.25) называют также уравнением Бесселя. Если, в уравнении (4.25) заменить аргумент g на х, искомую функцию R — на у, то уравнение цилиндрических функций (уравнение Бесселя) при нимает традиционно принятый вид
х2у"-\-ху'-\-(х2—ч2) у = 0. |
(4.26) |
Любые решения уравнения (4.26) называют цилиндрическими функциями или функциями Бесселя. Число v является пара метром уравнения Бесселя.
§4.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Решения уравнения цилиндрических функций
х 2у”-\-ху'-\-(х2—v2) ÿ = 0 |
(4.27) |
при произвольном значении параметра v не выражаются через известные элементарные функции. Поэтому будем искать ре шения уравнения (4.27) в виде степенного ряда
оооо
2 |
аьх * = 2 а*хП *• |
(4,28) |
* - 0 |
f t - о |
|
где р — постоянная, подлежащая определению вместе с коэф фициентами а*. Ниже будет показано, что постоянная р может оказаться отрицательной или нецелой, вследствие чего ряд (4.28) может содержать как отрицательные, так и нецелые степени. Поэтому ряд (4.28) называют обобщенным степенным рядом.
Для определения коэффициентов а* ряда и постоянной р подставим ряд (4.28) в уравнение (4.27). Получим
2 [ ( Р + * Н Р + £ - U - H P + A |
) |
- |
2 а лх ^ = 0 |
||
ft—0 |
|
|
|
ft—о |
|
или |
|
|
|
|
|
м |
|
|
о* |
|
|
У |
[(P+ k )2- * ] a ftx ? + * + yi аьх Р+*+2= 0 . |
(4.29) |
|||
ft-0 |
’ |
|
ft=*0 |
|
|
Равенство (4.29) должно выполняться тождественно (посколь ку в уравнение (4.27) подставлено его предполагаемое реше ние (4.28)), поэтому коэффициенты при всех степенях х в ря-
де (4.29) должны быть равны нулю, т. е.
при л*р: (р2 — v2)a0,
при Ар+ь [(p+D 2- v 2]fli= 0 , |
(4 .30) |
при Л'Р+2: [(p+2)2- v 2]fl2+ a 0= 0 ,
при * р+3: [(р+ 3)2—V21Æ3+ Æ1= 0 ,
при *Р+*: Кр+ ^)2—V2!л*+ лл_2==0.
Не нарушая общности, можно считать Яо^О, так как, если я0= ... = Ят-1= 0, йафО, то, полагая p*=p+m , bk= ak+m, k=Q, 1,
2, .... приведем ряд (4.28) к виду
У.
А - О А —О
где Ьо—атФО, что и требовалось установить. При Яо^О пер вое из уравнений полученной системы будет удовлетворено, если р2—v2= 0, т. е. если
p = + v . |
(4.31) |
Так как в этом случае (p+k2) —vV=0 при k>0, то из второго уравнения системы (4.30) следует, что fli= 0, из четвертого, что Яз=0, и последовательно получаем, что все коэффициенты с нечетными номерами равны нулю, т. е.
|
|
a2k-i —0» |
k=\> |
2,... |
|
(4.32) |
|||
Для коэффициентов |
с четными |
номерами |
из последнего |
||||||
уравнения системы |
(4.30), заменяя k на 2k, получаем |
||||||||
я2а= |
Д 2 А - 2 |
|
|
|
д 2А-2_______ |
||||
(р + |
2А)2 — v2 |
|
|
р2 + |
4Ар + |
4А2 — V2 |
|||
|
|
|
|
||||||
или, учитывая |
(4.31), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2k-- |
|
Д 2 А - 2 |
|
|
(4.33) |
||
|
|
22Л(р+£) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда последовательно находим |
|
|
|
|
|||||
при k— 1 |
я2— |
2»-1(р + 1) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
при k = 2 |
я4= - |
|
Ü2 |
|
|
|
«о |
|
9 |
|
|
22.2 (р + 2 ) |
|
24• 2• I (р + 2 ) |
(р + 1 ) |
||||
при k=2> |
а6= - |
|
в4 |
|
|
|
|
|
|
’22.3 (р+3) |
|
: |
2S .3 -2 -1 (р + |
Ж Р + ^ ) (Р + ^ |
и, вообще, используя метод полной индукции, получаем, что
а » = ( - П * |
_____________£о______________ |
k = U 2, 3,... . |
|
22**!(р+А:)(р+£-1)...(р + 1) |
|||
|
’ |
||
|
|
(4.34) |
Как видим, все коэффициенты с четными номерами выражают ся через коэффициент а0.
Так как решение однородного уравнения (4.27) находится
с точностью до постоянного множителя, то в |
качестве а0 мож |
||||
но взять произвольную постоянную. Заметим, |
что в выражении |
||||
(4.34) точки р = — 1, —2, |
..., —k являются |
простыми |
нулями |
||
знаменателя. Согласно свойству Г-функции [см. (4.13) |
— (4.15)], |
||||
эти же точки являются |
простыми нулями |
функции |
^ |
. |
Поэтому точки р = — 1, —2, ..., —k являются устранимыми точ ками разрыва выражения (4.34), если положить
“ “ |
2рГ(р + 1) ’ |
где множитель 2-р введен для придания окончательному реше нию (4.28) компактной формы. Тогда выражение (4.34), учи тывая известное разложение Г-функции на множители [см. ,(4-6)]
Г (р + А + 1 )= (Р + * )(Р + * -1 )-(Р + 1 )Г (Р + 1 ),
перепишем следующим образом:
2р+2*А1 Г(р |
т-1) ’ * = 0 , 1 ,2 ....... |
<4 -35> |
Поскольку Г-функция нигде в нуль не обращается, знаменатель дроби (4.35) отличен от нуля при любых р и k и, следователь но, формула (4.35) имеет смысл при любых р и что и тре бовалось показать.
Перепишем теперь ряд (4.28), заменив k на 2k:
> ■ = 2 a» * p+2t' ft=*0
и подставим в него выражение (4.35). Получим
|
(*/2)р+2* |
( - о * |
(4.36) |
А1Г(р+А + 1) |
|
*-о |
|
Так как p = ± v , то ряд (4.36), в случае его сходимости, опре деляет (при v=H=0) два частных решения уравнения цилиндри ческих функций. Исследуем ряд (4.36) на сходимость, для че-
|
y = (xJ2)Po, |
(4.37) |
||
где |
|
|
|
|
а= 2 ( - 1 ) * |
(л:/2)2* |
(4.38) |
||
А!Г(Р + А + |
||||
ft-o |
|
1) |
Применим к ряду (4.38) признак сходимости Даламбера. Для достаточно больших k (таких, что р+& +1>0), учитывая ра венство
имеем |
Г (р —Æ-f- 2 )= ( р —{—^ |
1) 3? (р -|—Æ-f-1), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
«ft+1 |
jx / 2| 2 ( f t + i ) A ! r ( P + A + I) |
|
|
|* /2 |2 |
||
«ft |
( А + |
1)1 Г ( р - Н А + 2 ) 1*/2|2* |
(* + 1 ) ( Р + £ + 1) |
|||
и, следовательно, для любого фиксированного х |
|
|||||
|
|
«ft+i |
О при k —oo. |
|
||
|
|
«л |
|
|
|
|
Как видим, |
ряд |
(4.38) сходится на всей |
числовой оси. Вместе |
|||
с тем множитель |
(х/2)р в формуле |
(4.37) |
при р нецелых (нап |
|||
ример, р= 7г) и отрицательных х может стать |
мнимым и, сле |
|||||
довательно, |
потерять смысл, |
поскольку ищутся |
вещественные |
решения уравнения Бесселя. Кроме того, множитель (х/2)р при
р отрицательном теряет смысл в точке |
х=0. |
Следовательно, |
|||||
ряд (4.36) |
при |
любых р (целых, |
нецелых, |
положительных, |
|||
отрицательных) |
имеет смысл рассматривать лишь |
на интерва |
|||||
ле (0, + оо) |
изменения х. При натуральных р ряд |
(4.36) имеет |
|||||
смысл на всей числовой оси: —о о < д ;< + оо. |
|
|
|||||
Таким образом, при любых p = ± v и * > 0 ряд (4.36) опреде |
|||||||
ляет два частных решения уравнения |
Бесселя |
следующего |
|||||
вида: |
|
|
|
(х/2)*+2к |
|
|
|
|
л < * > = 2 ( - 1 ) * |
|
|
(4.39) |
|||
|
Al T(v + |
А + 1) |
|
||||
|
|
|
|||||
|
У _ ,( л 0 = 2 ( - 1 ) * |
|
(*/2)“v+2* _ |
|
(4.40) |
||
|
4, r( _ v + ê + l) |
||||||
|
|
ft-о |
|
|
|
|
|
Функции Jv(x), |
J-v(x) называют цилиндрическими |
функциями |
|||||
первого рода |
(функциями Бесселя первого рода) порядка v. |
||||||
При v=n, где п — натуральное, |
из |
(4.39) |
получаем |
||||
|
|
Л ( * > = 2 < -и * |
(лг/2)я+2* |
|
(4.41) |
||
|
|
AI (л + А)1 |
|
||||
|
|
ft-о |
|
|
|
|
|
и, в частности,
Л ( * > = 2 ( - и * ft-о
Ряды (4.39) и (4.40) при нецелых v начинаются с различ ных степеней ху и х~\ так как коэффициенты при этих степенях отличны от нуля (Г-функция при нецелых значениях аргумента ограничена), поэтому функции Jv(x), J-„(x) при нецелых v ли нейно независимы (их отношение не является тождественной константой). Поэтому общее решение уравнения Бесселя при нецелых v можно записать в виде
’ |
y ==C\J4{x)-\-CiiJ—.^x)y |
(4.42) |
где Си Cz — произвольные постоянные. |
общее |
|
Для того чтобы выяснить, дает ли выражение (4.42) |
решение уравнения Бесселя при \ —п (при целых v), исследуем подробнее структуру ряда, определяющего функцию J-n(x):
|
Сх/2)~п+и |
(4.43) |
|
£! Г(-л + Л + 1) |
’ |
функция Г"^—л+ Л ,+ 1) |
обращается в нуль при |
k=0, 1, 2, ...» |
п—1, так как при этих k |
аргумент (—n-i-&+l) гамма-функции |
целый, отрицательный или равен нулю. Поэтому в выражении
(4.43) первые п слагаемых |
фактически равны |
нулю, |
а первый |
|
отличный от нуля коэффициент имеет вид |
|
|
||
( - 1) " |
1 |
( - 0 я |
|
|
л! Г(1) |
л! |
|
|
|
и соответствует к=п. На этом основании ряд |
(4.43) |
можно пе |
||
реписать так: |
|
|
|
|
J ю - у , - |
» |
,х/2гп' п— |
|
|
2 i ' |
1) |
* | Г ( - л + * + 1) • |
|
ft-л
Вводя новый индекс суммирования l= k —п, запишем последний ряд в виде
/_ „ (.* )= (— 1)“ j ( - D ' |
(л/2)Л+2/ |
|
(Л+ /)!/! |
|
|
/=0 |
|
|
Сравнение этого ряда с рядом (4.41) |
показывает, что |
|
J - n W = {- \ )nJ n{x). |
(4.44) |
Как видим, функции Jn(x), J~n(x) линейно зависимы и, следо вательно, при целых v выражение (4.42) не дает общего реше ния уравнения Бесселя.