книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики
..pdfто его характеристики зависят от решения и могут быть опре
делены, если известно решение уравнения |
(1.1). |
Пусть Г — характеристика уравнения |
(1.1), соответствую |
щая решению и(х, у). Рассмотрим выполняющиеся на ней со отношения (1.7). Не все они независимы. Действительно, если Д = 0 , Ai Ф 0 и, следовательно, столбцы каждого из определите лей A, Ai пропорциональны, то пропорциональны и столбцы оп ределителя Дг, а тогда Д2= 0. Наряду с уравнением характери
стик Д = 0 рассмотрим соотношение Ai==0. Раскрывая опреде литель Ai, получаем равенство
/ь
Ai=> du |
dy |
= f J L - . b ^ - = О, |
|
d x |
d x |
dx |
d x |
|
|
||
или, учитывая равенство |
(1.9), — дифференциальное соотноше- |
||
ние |
d u ___/ |
|
|
|
(U 0 ) |
||
|
d x |
а |
|
|
|
Таким образом, на характеристике решение и(х, у) удовлетво ряет обыкновенному дифференциальному уравнению (1.10). В частности, если уравнение (1.1) однородное, т. е. f = 0, то
■——— 0 или ws=C на характеристике, причем постоянная С, d x
вообще говоря, различна на различных характеристиках. Заметим, что в силу неоднозначного определения в точках
характеристики |
производных |
да |
и |
да |
неоднозначно |
опреде- |
|||
Ляется и производная |
дп |
по любому некасательному к харак- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теристике (или, |
как |
еще |
говорят, |
по |
выводящему) |
направле- |
|||
|
. |
, |
. . |
Ь |
, |
|
да |
ди |
« |
нию n = {co sa , sina}, |
tga^e- X— |
так как —— |
— cosa-|- |
||||||
v |
|
|
|
а |
|
|
дп |
дх |
|
-1---- —since. Отсюда следует, что при переходе через характернс-
ду. |
_ |
ди |
|
тику производная — |
по выводящему направлению п может |
дп |
|
иметь разрыв, тогда как само решение остается непрерывным. Таким образом, характеристики — линии слабых разрывов реше ний. У решений квазилинейных уравнений (зависимость коэффи циентов уравнения от решения здесь существенна) могут быть линии, при переходе через которые по выводящему направле нию терпит разрыв само решение или его младшие производ ные. Они называются линиями сильных разрывов или ударны ми волнами. Рассмотрим пример, показывающий механизм об-
l l
разования сильных разрывов решений квазилинейного уравне
ния (1.1). |
О определено |
квазилинейное |
Пусть в полуплоскости у ^ |
||
уравнение |
|
|
“ 'T L+ X L = 0 |
(1Л1> |
|
о х |
оу |
|
и на прямой у —0 заданы значения решения и(х, у): |
||
и(х, 0)—(f(x). |
(1.12) |
В этом случае с = и , Ъ— 1, / = О, дифференциальное уравнение характеристик (1.9) принимает вид
d a ___J_
d x |
а * |
а дифференциальное соотношение (1.10) на характеристиках — следующий вид:
du
■0»
d x
Отсюда следует, что на характеристике и(х, y ) —k = co n st и
dy 1
“^ ■ = ~ »т. е. характеристики — прямые линии. Используя ус
ловие (1.12), найдем наклон характеристик:
dy |
I |
1 |
d x -о |
• а { х , 0) |
¥(*о) |
где Хо — фиксированная точка оси Ох.
Пусть ф(х) имеет график, показанный на рис. 1.2; х* — точ
ка ее локального максимума и в точке |
х* и ее окрестности |
|||||
л(р |
<p(*) > 0 . |
Тогда |
угловые коэф- |
|||
фициенты |
|
|
характеристик при |
|||
|
подходе к точке х* слева убы |
|||||
|
вают, а |
|
после |
прохождения |
||
I — |
точки х* начинают возрастать. |
|||||
Поэтому найдутся на оси Ох в |
||||||
|
окрестности х* точки Р и Q |
с |
||||
УдарнаяВолна |
абсциссами |
х\ |
и х2 такие, что |
|||
Xi<X*X<X2, |
у{х\)ф ф {х2), |
и |
||||
|
проходящие через Р и Q харак |
|||||
|
теристики |
пересекутся в неко |
||||
|
торой точке М в полуплоскости |
|||||
|
у">0. Так как решение ц(х, у) |
|||||
|
постоянно |
на характеристике, |
||||
|
то оно в точке М, как принад- |
|||||
Рис, 1.2 |
лежащей |
|
характеристике РМ, |
должно принимать значение <p(*i), а в точке М, как принадлежа щей характеристике QM,— значение ф(*2). Таким образом, в
точке М пересечения характеристик решение и(х, у) терпит разрыв.
Введем теперь характеристики квазилинейного уравнения второго порядка. Рассмотрим сначала уравнение (1.2) относи тельно и(х, у)
|
|
А |
д*и f 2 В д^а |
|
|
|
( 1. 12#) |
|
|
|
|
дх* |
дхду |
|
|
|
|
где А, |
В, С, F — непрерывно дифференцируемые функции сво |
|||||||
их аргументов х, у, |
да |
да |
т, |
|
|
|
||
и, — |
, — |
. Как и при введении характе- |
||||||
|
|
|
х |
^У |
|
|
|
|
ристик |
уравнения |
(1.1) первого |
порядка, предположим, |
что в |
||||
области G плоскости XOY определена дважды непрерывно диф |
||||||||
ференцируемая |
функция |
и(х, у), являющаяся решением, урав |
||||||
нения |
(1.2). Пусть Г, расположенная в области |
G, — гладкая |
||||||
кривая, не имеющая вертикальной |
касательной, |
и у —у(х) — |
||||||
ее уравнение, |
у(х) — непрерывно |
дифференцируемая |
функ |
|||||
ция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на Г известны значения решения и его частных про
изводных первого порядка: |
|
|
а \т = а ( х ) , |
= P(*)i |
= Y U '). (1.13) |
|
Г |
Г |
Поставим задачу: найти на той же кривой Г значения частных
производных решения и(х, у) |
второго порядка |
|||
г = |
д^и |
s = |
д?и |
, д2а |
------, |
--------, |
t — —— . |
||
|
д х 2 |
|
дхду |
дуЪ |
Это позволит, например, определить приближенно, с точностью до малых третьего порядка, значения решения и в точках Л1', близких к Г (см. рис. 1.1):
им*=им+РлАх + Ум^У+ гмЬх2 — 2sMà x b y + tMày\ (1.14)
а следовательно, позволит построить |
приближенно |
решение |
|
и(х, у) в некоторой окрестности кривой Г. |
|
|
|
Значения частных производных второго порядка г, s, t свя |
|||
заны уравнением (1.2) и дифференциальными |
соотношениями |
||
dp=rdx -\-sdy, dq=sdx-\-tdy. |
|
|
|
Согласно условию (1.13) значения dp |
и dq на |
Г |
известны: |
dp\r =$'{x)dx, dq|г =y'(x)dx. Следовательно, для определе ния на Г трех величии г, s, t имеем систему трех линейных ал гебраических уравнений:
rdx-\-sdy |
= d p , |
(1.15) |
sdx-\-qdy— dq.
Определитель этой системы имеет вид
А2В С
|
d x |
d y |
О |
= A d у |
2— |
2Bdxd у |
+ |
C d x2 |
(1.16) |
Д = |
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
d x |
dy |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим два крайних случая: 1) Д=7^0 во всех точках кривой Г; 2) А = 0 во всех точках кривой Г.
В первом случае система (1.16) имеет единственное реше ние и, следовательно, в каждой точке кривой Г однозначно оп-
д*и д*и д?и
ределены значения искомых вторых производных — , — — , — .
д х 2 дхд у ду2
Во втором случае в силу предположения, что решение и(х, у) в области G существует, система (1.15) совместна и, следо вательно, в каждой точке кривой Г должны одновременно с оп ределителем А быть равны нулю определители Аг-, £ = 1 , 2, 3, получающиеся из определителя А заменой i-ro столбца столб цом свободных членов системы (1.15):
д = д 1= д 2= д 3= 0 . |
(1.17) |
Но в этом случае система (1.15) имеет бесчисленное |
множест |
во решений. Таким образом, во втором случае в каждой точке
и т, |
д?и |
cftu |
д*и |
кривой Г значения вторых производных — , |
------ , |
— решения |
|
|
дх |
дJCду ду |
|
по значениям на Г самого решения |
и и его |
первых производ |
ных — и — определяются неоднозначно. Такую кривую Г на-
дх ду
зывают характеристикой уравнения (1.2), соответствующей ре шению и{х, у ), а уравнение
д = Ad у* - |
2 B d y d x + C d x 2= О |
(1.18) |
|
— уравнением характеристик. |
|
|
|
Решая уравнение (1.18) |
относительно — =Я , получаем |
||
|
|
d x |
|
Xi,2 (JC, ÿ, и, |
Аг = ( В ± У & -А С)1А . |
|
|
Пусть в области G известно конкретное решение и (и, следова |
|||
тельно, его производные — |
и |
Тогда значения |
A,i, Я2 яв- |
дх |
ду |
} |
|
ляются функциями h (х, у) и /г (х, У) только аргументов х и у.
Если в некоторой точке М{х, |
у) области G дискриминант |
6 = В2—у4С>»0, то уравнение (1.2) |
в данной точке — гиперболи |
ческого типа. Если Ь = В 2—АС=0, то уравнение (1.2) в данной точке М — параболического типа. Если Ь = В 2—Л С < 0, то урав нение (1.2) в данной точке М — эллиптического типа. Уравне ние (1.2) гиперболическое (параболическое, эллиптическое) в каждой точке некоторой области, называется гиперболическим (параболическим, эллиптическим) в этой области..
Пусть уравнение (1.2) при выбранном и{х, у) относится в области G к гиперболическому типу. Тогда значения ta, ta ве щественны и различны, и мы имеем два дифференциальных уравнения
у), |
- ^ - = М х , у), |
dх |
dx |
каждое из которых определяет в области G однопараметриче ское семейство характеристик. В этом случае через каждую точку М области G проходят две характеристики, принадлежа щие различным семействам и пересекающиеся под ненулевым углом.
В случае если в области G уравнение (1.2) является пара болическим, то значения ta, ta вещественны и совпадают, диф ференциальное уравнение
dy_ |
В |
d x |
— = f ( x , у) |
А |
|
определяет в области G одно однопараметрическое семейство |
|
характеристик. |
при выбранном и{х, у) относится |
Если же уравнение (1.2) |
к эллиптическому типу в области G, то значения ta, ta комп лексные и уравнение (1.2) характеристик не имеет.
Приведенная выше классификация квазилинейных уравне ний (1.2) по знаку дискриминанта ô= В 2—АС по существу классифицирует их по числу принадлежащих им семейств ха рактеристик, наделяющих решения соответствующих уравнений рядом общих свойств.
Вернемся к равенствам (1.17). Можно показать, что неза висимыми из них являются только два, например Д = 0 , A i= 0 .
Первое |
из них (А = 0) есть уравнение характеристик. Второе |
(A j=0) |
дает дифференциальное соотношение, выполняющееся |
на характеристиках. Раскрывая определитель Ai, имеем соот ношение
Fdу2+ Cdxdp — Cdydq —2Bdydp = 0.
В случае уравнения (1.2) гиперболического типа в области G отсюда получаются два соотношения: на первом семействе ха рактеристик, где dy—Xidx, и на втором, где dy—X^dx.
Отметим, что (в силу неоднозначности определения на ха рактеристиках значений вторых производных решения через значения самого решения и его производных первого порядка) при переходе через характеристику по выводящему направле нию вторые производные могут терпеть разрыв, тогда как са мо решение и его производные первого порядка остаются не прерывными, т. е. снова характеристики — линии слабых раз рывов решений.
Рассмотрим пример. Определить тип одного из основных уравнений газовой динамики для плоского установившегося газового потока
(a?—ul) ихх—2ujiuuxy |
аду—О, |
где и(х, у ) — потенциал скоростей |
7 = {« * , иу} и а — скорость |
звука, и указать области, в которых данное уравнение имеет этот тип.
Составим дискриминант уравнения. Имеем
В2—АС—{tijiyf— (а2—ul) (а2— a j)=
= a2 (ul -J-и2у—а2) —а2(|v I2— а2).
Отсюда в области дозвуковых скоростей ( |Р |< а ) уравнение газовой динамики эллиптического типа, в области сверхзвуко вых скоростей (|Р |> > а ) — гиперболического типа, на поверх ности раздела этих областей — параболического типа.
Рассмотрим теперь в области Gcz.Rn—{ x = (x i,... ,х„)} урав нение (1.4), которое запишем в виде
V |
aib(x )-r~ï------ [-младшие члены =0. |
(1.4') |
/Г-l |
дх‘дхл |
|
Коэффициенты щк(х) будем предполагать непрерывно диффе ренцируемыми.
Пусть в области G существует решение и(х) уравнения (1.4). Пусть также в области G расположена гладкая поверх ность 5 и пусть известны значения на S решения и(х) и его производных первого порядка. Поставим задачу: найти значе ния на поверхности 5 всех старших производных решения и(х).
Покажем сначала, что не при всякой гладкой поверхности 5 поставленная задача разрешима однозначно. Поверхности 5, на которых значения старших производных решения уравнения (1.4') находятся по значениям самого решения и его произ водных первого порядка неоднозначно, называются характери стиками уравнения (1.4). В силу неоднозначности определения старших производных на характеристиках они могут терпеть разрыв при переходе через характеристику по некасательному к ней направлению, тогда как решение и производные первого
порядка остаются непрерывными, т. е. снова характеристики — это поверхности слабых разрывов решений. Чтобы это показать, фиксируем на поверхности 5 точку Mo ( *i ° , ..., *л°) и в окрест
ности этой точки сделаем преобразование координат
5/ |
•£/*)» |
Л, |
(1.19) |
при котором поверхность 5 станет координатной поверхностью In—0. Функции g»-(*!,... ,хп) предполагаются дважды непрерыв но дифференцируемыми в рассматриваемой окрестности, яко
биан —- 1-*-*‘ **^ отличным от нуля (последнее обеспечивает су-
д(Х\,. • • Vхп)
ществование обратного преобразования Xi—Xi(xu ...,хп)). По лагая û(^u ...t ^n)—u(xi ...txn) имеем
да
=Q = ^ < X l ) »
àtt 1S:^ = 0
( 1.20)
Дифференцируя эти равенства по £i,... ,£п-ь можно найти все производные второго порядка от й(£ь... ,£п) (они будут непре-
& и |
п |
____ |
рывными), кроме производной |
• Последнюю |
попытаемся |
*/1 найти из уравнения, в которое преобразуется уравнение (1.4')
в результате замены переменных (1.19). Имеем
да __ |
да |
|
■ |
. да |
дх I |
|
д х { |
*’ * |
d x t * |
д^и |
__ |
д$и |
dÇa |
д£п . |
dxidxb |
|
д?п |
dxi |
дхк ‘ |
где многоточием обозначены все остальные слагаемые, в кото рых дифференцирование по £л производится не более одного раза. Подставляя эти выражения в уравнение (1.4') в точке
* |
diü |
|
содержащих
лучим
«а? |
• |
и |
о |
|
|||
• • |
• |
àil ,П0-
(1.21)
Обозначим через аПп выражение в квадратных скобках:
0>пп—* |
•*«) |
дхк |
|
d x i |
Если ânn¥=0, то из уравнения (1.21) можно однозначно оп-
ределить |
<?2Ъ |
по значениям решения и и его остальных произ- |
||||
водных, |
|
д^а |
будет |
непрерывной |
функцией в точке |
|
а потому |
||||||
М0. Если же |
ànn—0, то из уравнения (1.21) |
- —я- не определи* |
||||
|
|
|
|
|
|
д*п |
ется, значения |
д й |
|
|
|
|
|
можно брать произвольными. |
||||||
|
|
*Я |
|
|
|
|
Условие й Пп— 0, или |
|
|
|
|
||
|
|
V a .k J k - J k . = ot |
( 1 .22) |
|||
|
|
А |
|
дхi |
dxk |
|
|
|
i3k- 1 |
|
|
|
называется уравнением характеристического направленияургв- нения (1.4').
Заметим, что вектор
t r ) =gradE"
в точке М0 направлен по нормали к поверхности S : £п= 0 в точ ке М0. Поэтому поверхность 5 :£ n = 0 , в каждой точке которой нормальный вектор grad £п удовлетворяет уравнению (1.22Д яв ляется характеристикой.
Перейдем к вопросу о классификации уравнений (1.47). Фик сируем точку Mo. Можно доказать, что в окрестности этой точ ки существует такое невырожденное линейное преобразование
координат |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
£/1^1 | ' ••• | |
^ 1 ,...,/£, |
|
|
|
||
(здесь |
Си, ..., cin— числа), |
что уравнение |
(1.4') |
(после, |
быть |
|||
может, |
умножения на — 1) приводится к одному |
из |
рассмот |
|||||
ренных ниже видов, называемых |
каноническими |
(рядом |
ука |
|||||
зывается соответствующее название типа уравнения |
в |
точке |
||||||
Mo): |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) -—jf— |
—^--(-младшие |
члены = 0 |
|
|
(1.23) |
|||
|
|
(эллиптический тип); |
|
|
|
|
||
2 ) |
+ |
--------^ -+ м л а д ш и е |
члены =0 |
|
(1.24) |
|||
д*1 |
д*п-1 |
д*п |
|
|
|
|
|
(гиперболический тип) ;
|
|
|
|
. |
д?и |
\cfiu |
д^и , |
_ |
|
3) |
5 |
- + |
. . . |
I |
---- 71------ • • •--- Г5—ЬмлаДшие члены=0 |
||||
— |
тъ |
Km+l |
< |
|
|||||
|
|
|
|
|
д*т |
(1.25) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(ультрагиперболический тип); |
|
||||
4 |
) ^ |
- |
+ - |
+ - |
^ |
да |
другие младшие члены=0 |
||
и*п |
|||||||||
|
|
|
|
и*П-\ |
|
(1.26) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(параболический в узком смысле тип); |
|
|||||
5) |
Щ |
|
+ —S — [-младшие члены=0 (я г< я ) |
(1.27) |
|||||
|
|
dt2M |
|
^ |
|
(параболический в широком смысле тип).
Уравнение (1.4'), эллиптическое в каждой точке области, называется эллиптическим в области. Аналогично определяют ся уравнения гиперболического и параболического типов в об ласти.
В дальнейшем уравнение параболического в узком смысле типа будем называть параболическим уравнением.
ГЛАВА 2
ТИПОВЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
§ 2.1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассмотрим задачу о распространении тепла. При нерав номерном распределении температуры в теле возникают теп ловые потоки от участков с более высокой температурой к
участкам с более низкой температурой. |
|
|
|||||||
Поставим |
задачу |
составить уравнение |
|
||||||
этого |
процесса |
распределенияг тепла. |
и |
|
|||||
Выберем |
систему |
координат |
Oxyz |
|
|||||
обозначим через и{х, |
у, z, |
t) |
температуру |
|
|||||
в точке М (х, у, |
z) в момент времени t. Вы |
|
|||||||
делим |
в теле |
D произвольный |
объем |
т, |
|
||||
ограниченный |
поверхностью 5 |
(рис. 2.1), и |
|
||||||
составим уравнение теплового баланса для |
|
||||||||
этого |
объема. Количество |
тепла |
Q, кото |
|
|||||
рое пошло на |
|
изменение |
температуры |
в |
|
||||
каждой точке |
|
объема т за время от t |
до |
|
|||||
t+ àt, |
равно сумме |
количества |
тепла |
Qi, |
Рис. 2.1 |
||||
протекшего за это время через поверхность |
S внутрь объема х, и количества тепла Q2, выделенного за это
же время распределенными в объеме х источниками тепла:
Q = Q I + |
Q2- |
(2.1) |
Пусть п — единичный вектор |
внешней нормали к S |
в точке |
М, d s — элемент площади поверхности 5.
Согласно закону Фурье, количество тепла, протекшего че рез элемент площади ds за промежуток времени от t до t-\-At, пропорционально потоку температурного градиента через ds, умноженному на At, т. е.
—Æ(grad и, n)dsAt,
где k=k(x, у, z ) > 0 — коэффициент теплопроводности, а знак минус соответствует тому, что тепловые потоки идут от участ ков с более высокой температурой к участкам с более низкой температурой, т. е. в направлении, противоположном grad и. Тогда через всю поверхность S за время At поступит внутрь объема количество тепла, равное
Qi = —А/ ГГ [—Â(grada, rt)]ds. |
(2.2) |
’У |
|
Пусть в объеме х распределены источники тепла или происхо |
|
дит выделение или поглощение тепла из-за |
химических реак |
ций. Пусть функция F(x, у, z, t) определяет |
в момент времени |
t количество тепла, выделяющееся (поглощающееся) в едини |
|
цу времени в единице объема, содержащего точку М(х, у, z). |
Тогда количество тепла, выделившееся (поглотившееся) |
в объ |
еме dx в точке М за время At, равно FdxAt, а во всем |
объеме |
т — |
|
Q2——At |
(2.3) |
T |
|
Известно, что количество тепла, вызвавшее изменение темпера туры в объеме dx за время At, пропорционально массе pdx и изменению температуры Ди, т. е. равно cAupdx, где с — коэф фициент пропорциональности, называемый удельной теплоемко
стью, р — плотность. Суммарное же количество тепла, |
пошед |
шее на изменение температуры во всем объеме х, равно |
|
Q = J j j сАар^т. |
(2.4) |
Подставляя в уравнение теплового баланса (2.1) выражения для Q, Qi и Q2 из (2.4), (2.2) и (2.3), выполняя деление на
At и переходя к пределу при Д/-»-0, получаем
III C9^rdx=z\\ |
^S"^IH FdXt (2*5) |