книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

Рассмотрим решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода

На практике часто известны либо граничные условия, которым удовлетворяет искомое решение, либо значения искомого реше­ ния или значения его некоторых производных в ряде точек отрез­ ка [я, Ъ]. В общем случае можно полагать, что известны s значе­ ний некоторых линейных функционалов от искомого решения:

Ли = (4 0и, <*!(«),-----as(u))T.

Тогда решение уравнения (19) с условиями (20) сводится к ре­ шению операторного уравнения

Пусть уравнение (21) имеет единственное решение (для этого достаточно, чтобы (19) имело единственное решение) Н е W%nK

и может быть применен в более общей ситуации.

Заметим также, что минимизация функционала (22) всегда приводит к уравнению Эйлера с%самосопряженным оператором.

41

Предположим, что оператор Г имеет полную ортонормирован-

ственные значения (для этого достаточно, чтобы всякое множество элементов из DAL, ограниченное в смысле квадратичной формы (Гм, м ), было компактно в Я ) , стремящиеся к 00 при i -*°°. Тогда в качестве Sn можно взять линейную оболочку первых п собствен­ ных элементов.

Если элемент м принадлежит области определения оператора Г2, то сходится ряд

2 Х2м2 = II Гм11я , /=1

при этом, очевидно,

т.е. выполняется условие ( 11).

Заметим, что операторов Г, удовлетворяющих условию экви­ валентности (23), может быть бесконечно много. Естественно тогда стремиться к выбору такого оператора Г, который был бы наиболее ’’простым” и для него была известна асимптотика стрем­ ления к 00 его собственных значений. Последняя проблема хорошо изучена, и мы на ней не останавливаемся.

Если м € DT2 , то аналогично можно получить оценку скорости

сходимости для уклонения и*п от м в норме Я . Именно, в этом случае имеем

42

ГЛАВА 2

КРИТЕРИИ ВЫБОРА ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

§ 6. Некоторые свойства регуляризованных решений

1. В основе большинства вычислительных приемов, связанных с решением различного рода операторных уравнений, лежит стрем­ ление свести невязку, т.е. уклонение значения исходного оператора на получаемом приближенном решении от заданной правой части, к нулю (или к минимуму). Если соответствующая задача постав­ лена корректно по Адамару, оператор задан точно* и априорно известно, что задача решения уравнения с точной правой частью совместна, то это стремление является вполне естественным. Кар­ тина меняется, если оператор задан приближенно или задача не­ корректна. В первом случае, как это хорошо известно на примере разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные урав­ нения, ’’точное” решение приближенной задачи, т.е. с невязкой, равной нулю, не всегда сходится к точному решению исходной задачи, если не предполагать выполнения требования устойчивости разностной схемы. Таким образом, даже для корректно постав­ ленных задач при их приближенном решении стремление к макси­ мальному уменьшению невязки может оказаться ошибочным. При численном решении некорректно поставленных задач, в силу их природы, это стремление является уже недопустимым.

Тем не менее можно высказать следующее предложение, назы­ ваемое принципом невязки, которое, как это будет видно из дальнейшего, восстанавливает классическую роль невязки как показателя точности при приближенном решении большого круга задач (в том числе и некорректных): величина получаемой не­ вязки должна быть согласована с мерой несовместности и точ­ ностью задания входных данных. Безусловно, в зависимости от характера рассматриваемой задачи и ’’качества” входных данных такое согласование может оказаться более или менее необходи­ мым. Кроме того, оно может осуществляться в различной форме.

Принцип невязки кажется неосуществимым в силу своей пара­ доксальности. В самом деле, при доказательстве невозможности устойчивого решения некорректных операторных уравнений клас­ сическим способом, т.е. на основе решения операторного уравне­ ния Ли = / с приближенной правой частью / £ /•’: II/ - / IIF < 5,

43

обычной является следующая схема. Пусть оператор А вполне непрерьюен. Тогда существуют такие конечные вариации решения й уравнения Ли = / , которые приводят к бесконечно малым вариа­ циям правой части. После этого кажется невероятной сама идея о возможности использования невязки как основы получения алгоритмов для построения устойчивых решений. Тем не менее нашей ближайшей задачей является доказательство возможности построения устойчивых приближений на основе выбора параметра регуляризации по априорно задаваемой величине невязки.

2. Прежде чем переходить к решению поставленной задачи, изучим поведение вспомогательных функций, знание которого необходимо для формулировки самих принципов выбора пара­ метра регуляризации и их обоснования. Положим

Р(а) = ВАиа - / \F, 7(a) = II Lua -g\\G,

( 1)

<р(а) = Фа [иа] = р2(а) + осу2(а),

где йа - решение регуляризованной задачи с точными данными. Далее, установим ряд дополнительных свойств регуляризованных решений. Предполагаем выполненными также следующие дополнительные условия. Положим

метим, что это условие заведомо выполнено, если g = 0 и нулевой элемент принадлежит D.

Тогда, как это следует из теоремы 1, существует и единствен­

44

из которой следует, что

Рассуждая по аналогии с доказательством теоремы 3 о сходимо­

45

о :> 0 и 13>0 - два значения параметра регуляризации, а иа и йр - р.р., им соответствующие. Записывая соответствующие вариацион­ ные неравенства, получаем

независимо от ot. Это свойство весьма важно при построении чис­ ленных алгоритмов решения регуляризованной задачи, использую­ щих идею спуска по параметру регуляризации. К таким алгорит­ мам относятся итерационные методы минимизации функционалов:

46

градиентные, Ньютона, Ньютона-Гаусса и т.п. Для регуляризованных вариационных задач аналогичная идея рассмотрена в ра­ боте [70].

5.Уточним свойства рассматриваемых функций.

Л е м м а 13. Пусть ц А < vА. Тогда при любом а > 0 функции р(а) и ^ (а) строго монотонно возрастают, а функция у (а) строго монотонно убывает.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а и Р положительны, йа и up - «соответствующие р.р. Используя экстремальное свойство элемен­ тов йа , получаем

р —Ос

(16)

т.е. функция у (а) не возрастает.

Покажем, что функция р(а) не убывает. Пусть Р > а. Имеем, используя (16):

р2(а) + а у 2(а)<Фа [ир] = р2ЦЗ) + а у 2(Р)< р2ЦЗ) + а у 2 (а). (17)

Отсюда получаем р(а) <р(Р) , т.е. функция р(а) не убывает.

Для доказательства строгой монотонности изучаемых функций покажем, что

II Lu&- g HG > 0; 0>О.

Записывая вариационное неравенство для элемента йр и исполь­ зуя (18), получаем

(Afip-f, (Av-Up))F > 0 VveD .

Согласно теореме 5 это условие влечет включение up G Uf, и следо­ вательно,

I\Айр - f \ \ F = n A.

Так как всегда p L < у(Р)> то (18) влечет равенство р 7 = 0 и

47

(/3 > 0). Но тогда кр(а) < $ (/3) при а < /3, т.е. функция »р (а) строго монотонно возрастает.

Покажем, что функция 7 (a) строго монотонно убывает. Дейст­

средственно следует, что 0 = а. Полученное противоречие доказы­ вает утверждение.

регуляризованные решения иа совпадают с иу т.е. стационарны.

о

Рис. 1

48

Сейчас мы уточним условия, при которых заведомо выполняет­ ся это свойство. Это необходимо в связи с тем, что в данном случае проблема выбора ’’подходящих” значений параметра регуляриза­ ции снимается, по крайней мере, для случая точного задания дан­ ных. При приближенных данных можно надеяться, что проблема выбора существенно упростится.

Л е м м а 14. Пусть либо цА = vAt либо pL - v L. Тогда регуляризованные решения стационарны, а именно йа = t/«, = й.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть, например, рА = vA. Используя

т.е. Фа [иа] = Фа [моо ]. В силу теоремы 2 о единственности регуляризованных решений отсюда следует, что йа = иж . Так как, с другой стороны, lim йа = й, то йа = и = и<*>, что и требовалось.

аО

Случай Pi = vL рассматривается аналогично. Лемма доказана.

все результаты, полученные в п. 2 § 5 и в начале п. 3 § 5. Это за­ мечание существенно расширяет сферу применения полученных там результатов.

§ 7. Методы выбора параметра при точных данных

притом единственный, корень, который мы обозначим через Выбор параметра регуляризации из условия (1) будем называть

критерием р (или принципом невязки) .

До к а з а т е л ь с т в о . В силу экстремального свойства эле­ мента t/д получаем

Д2 + ад \\LUA —g \\G < Ф а д [м ]< Д 2 + ад \\L u -g \\2G.

Заметим, что соотношения (3) вполне аналогичны, соотношениям (9) § 2, из которых следовала сходимость р.р. йа к и (теоре­ ма 3). Проводя аналогичные приведенным там рассуждения (ко­ торые мы, естественно, опускаем), устанавливаем (2).

З а м е ч а н и е . Рациональный смысл теоремы 17 составляет переход от формального параметрического семейства р.р. иа к параметрическому семейству приближенных решений ид, в котором параметр А является содержательным и имеет ясный геометрический смысл (см. рис. 1).

Из лемм 12 и 13 вытекает, что уравнение (4) всегда имеет, и притом единственный, корень, который мы обозначим через ад (см. рис. 1).

Выбор параметра регуляризации как корня уравнения (4) будем называть выбором параметра по значениям функционала

Фа [и] на р.р. и = или, более коротко, критерием <р {принцип стабилизирующего функционала) .

Проводя рассуждения, аналогичные приведенным в теореме 3, из

сильны в том смысле, что определяемые ими регуляризованные решения как угодно точно аппроксимируют в сильном смысле решение и основной задачи в Я и значения операторов А и L на элементе и в пространствах F и G соответственно. Как это бу­ дет видно из дальнейшего, поведение этих критериев на прибли­ женных данных различно.

50