книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач
..pdfТогда, очевидно, |
|
||
i |
lim |
lt (и;) = 0, |
/ = 1,2,. .. , n. |
oo |
|
|
|
Так |
как |
и) G WL, |
то || щ ||^ = 1, и, значит, последовательность |
{ Uj } ограничена и слабо компактна в HL . |
Не переходя к выбору подпоследовательности, далее считаем для простоты, что последовательность {м; } слабо сходится в H i к элементу м0. Так как NL конечномерно, то м0 Е NL и, более того.
II и0 Ия = lim |
и Uj Ня = 1. |
|
У—~ |
|
|
С другой стороны, |
|
|
h («о) = (Mo. kj)L = |
lim /,■(и,) = |
|
|
i |
* |
= lim (M;-, |
=0, |
I = 1,2,. .. , n. |
j -* о0 |
|
|
Но тогда, воспользовавшись условием в), получаем м0 = 0. Полу ченное противоречие доказывает утверждение.
Далее для любых ut v ED обозначим |
|
||
(м, v)n = (м, и)/ + (1м, Zu)G, (м, и), = |
2 /,■(м) /,• (и). |
||
|
|
/ = 1 |
|
•Легко видеть, что выражение |
(м, и)„ |
определяет новое скалярное |
|
произведение на элементах |
множества D\ |
тем самым вводится |
|
некоторое предгильбертово |
пространство, |
которое мы обозна |
|
чим Нп. Имеет место |
|
|
|
Ле м м а 35. Пространство Нп полно.
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть {Му} —произвольная фундамен тальная в Нп последовательность:
II И/+Р -- Wy ||„ |
о, |
/ |
|
|
|
||
р —произвольное натуральное число. Тогда, очевидно, |
|
||||||
II Luj+p - |
Luj ||G ->0, |
|
|
|
|||
hiUj+p)-li(uf)-> 0. |
i= |
1,2,. . . , n, /-*«> Vp. |
(3) |
||||
Положим |
" |
t X— |
|
" |
mr 1 |
|
|
' |
I |
Я r |
|
||||
«/ = Uj |
+ Uj, |
Uj € |
Nl , |
Uj |
= TV/,. |
|
|
Тогда (3) можно переписать в виде |
|
||||||
II Luj+p-Luj' ||с |
- 0 , |
|
|
|
(4)
h (Uj+p - |
uj) + If (u'j'+p - u'j) -*-0, |
f-*°° Vp. |
Имеем в силу условий а), б) |
и /) но - о, / - « Р.v |
|
нм; ; р - |
и; 1Ня< иг ииI («;;р - |
151
Поэтому последовательность { u f } фундаментальна в Я и сходит ся. Пусть
и |
V |
= |
Л. |
tt |
|
hm |
Uj. |
/°°
Так как последовательность Luj' |
сходится в G, то в силу замкну |
|||||||
тости оператора L элемент |
Далее, из (4) имеем |
|||||||
h (ui+p) ~ h (uj) |
0, |
j->°° vp. |
|
|||||
Так как uj E NLjf n > |
q, то в силу линейной независимости систе |
|||||||
мы { к{} каждый элемент м/ однозначно представим в виде |
||||||||
и) = |
S |
1 |
м'Дг, |
|
|
|
|
|
|
г = |
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
||||
2 |
(d +p - d ) ( К kih~* О, |
j-*°° Vр. |
|
|||||
г = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Но тогда в силу линейной независимости элементов kt |
||||||||
d +p- d - * o < |
i ^ ° ° |
vp, |
|
|
||||
т.е. существуют пределы |
|
|
|
|||||
lim |
|
= |
|
г = 1, 2,. . . , л. |
|
|
||
/ -*■°° |
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая и |
|
п |
|
|
|
|
||
= |
2 |
|
д Д г, получаем из предыдущего |
|||||
|
|
|
г= 1 |
|
|
|
|
|
lim |
II uj - |
и |
||7/ |
= 0. |
|
|
|
|
/ -> оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что и' € NL , так как NL —подпространство Н. Пола |
||||||||
гая и = и |
+ м", из предыдущего |
получаем |
lim || щ - й \\L = 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
°° |
Но тогда в силу линейности функционалов /,- |
|
|||||||
lim |
|| Uj - й |
|| „ |
= 0, |
|
|
|
||
/ -* 00 |
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать.
Из предыдущих рассуждений следует, что из сходимости в прост ранстве HL следует сходимость в пространстве Нп и наоборот. Поэтому справедлива следующая
Л е м м а 36. Существуют такие постоянные с, С> 0,не завися щие от п, что для любого w G D справедливы соотношения
c\\u\\n <\\u\\L <C\\u\\n,
т.е. нормы в пространствах Нп и Hj эквивалентны.
152
4. Переходим к изучению вопроса о существовании и единствен ности обобщенных сплайнов, а также к изучению некоторых их предельных свойств.
Т е о р е м а 71. Пусть линейный оператор L замкнут и выпол нены условия а) —в). Тогда регуляриздванный сплайн сущест вует и определяется однозначно при всех и ЕВ.
Доказательство основано на тождестве
справедливом при любых и, w Е D, и повторяет основные момен ты доказательства теоремы 2. При этом существенно используется лемма 36 об эквивалентности норм в пространствах Нп и HL .
Предельные свойства обобщенных сплайнов в этом пункте изу чаются при а ->0, а ->+оо при фиксированном п. Предварительно да дим следующее
О п р е д е л е н и е . Пусть элемент v Е В. Будем говорить, что
элемент |
uv Е D интерполирует элемент v, если значения U(uv) = |
= /*(и) |
(i = 1, 2, . . . , и). |
Пусть Uv —множество всевозможных интерполирующих элемен тов для v (считается, что оно не пусто при любом v ЕВ).
Элемент sv Е D называется интерполирующим сплайном, если:
1) sv e u v\ |
|
|
|
2) inf |
II Lu ||G = || Lsv \\G, |
|
|
Иe uv |
|
|
|
т.е. среди всех элементов, интерполирующих v, |
sv имеет минималь |
||
ную L -норму. |
37. Интерполирующий сплайн sv определяется од |
||
Л е м м а |
|||
нозначно значениями lt (v) |
(i* = 1 , . . . , n j , v ЕВ. |
|
|
Действительно, пусть sv |
и sv —два* интерполирующих сплайна |
||
для элемента v ЕВ, т.е. |
|
|
|
U (sv) = /, (?»), II Lsv ||G = || Lsv \\G < II Lu \\G, |
и E Uv. |
||
Тогда |
|
|
|
= - III*,, II2G + - I I £ SJ I 2G - U
т.е. SU - SV GNl .
153
В силу условия в)имеем sv =sv. Лемма доказана.
Т е ор е м а 72. Интерполирующий сплайн существует и может быть конструктивно определен как предел (в H i)
lim s*=sv.
а-+ О
До к а з а т е л ь с т в о . Для любого uv Е Uv имеем
Ф" [ £ ; 1>]<Ф£ [uv-,v] = a\\Luv ||Ь-
Следовательно, |
|
|
l |s « - U||,2 = ||* “ - K B||? < e ||I i i u |lb. |
(5) |
|
|| |
IIG < II LUv HG |
(6) |
для любого uv EUv.
Из соотношений (5), (6) следует ограниченность в HL (и, следо
вательно, |
слабая |
компактность) семейства sу по |
параметру |
||
a Е |
— |
|
5у |
с л |
|
(0, а ]. Пусть |
-*> sv в HL приа-*0. |
|
|||
Покажем, что sv — интерполирующий сплайн для |
элемента v. |
||||
Действительно, переход в (5) к пределу при а -*0 дает |
|
||||
li(sv) = li(v), 1= 1, 2, . . . , / ! , |
(7) |
||||
т.е. sv Е Uv. Далее имеем |
|
||||
\\Lsv ||G < Jim |
Ills* IIG < |
|
|||
|
|
ot -+ |
0 |
|
|
< |
Ш |
||L S“ |
||G < | | I Mu ||g , »„ € (/„ . |
(8) |
|
|
а. -►0 |
|
|
|
|
Здесь мы воспользовались известными свойствами норм слабо схо дящихся последовательностей и соотношением (6). Из (6) и (7) следует, что sv - интерполирующий сплайн для v. Заметим, что в силу предыдущей леммы sv определяется однозначно.
Для окончания доказательства теоремы положим в (8) uv = . Тогда имеем
\\LSv \\g = |
Urn |
II Ls% IIG , |
a |
0 |
сл |
|
|
|
что вместе со слабой сходимостью Lsу -►Lsv дает |
||
lim Ls% = LsVi |
(9) |
|
a -►0 |
|
|
Соотношение (9) |
справедливо для любой слабо сходящейся по |
следовательности семейства Sy. Таким образом, оно верно для всего семейства. Это рассуждение завершает доказательство тео ремы, так как из (7) и (9) следует требуемое соотношение.
С л е д с т в и е . |
Полагая р (a) = || Sy - v \\}f имеем |
lim р (а) = 0. |
( 10) |
а0
154
Далее изучим поведение семейства С при а -►+°°. Предвари тельно дадим следующее
О п р е д е л е н и е . Элемент С |
(и Е В) будем называть сред |
|||
неквадратическим сплайном, если: |
|
|||
1) С |
принадлежит ядру NL оператора L; |
|||
2) |
inf |
II и - и |
||,2 = ||s“ - u ||f . |
|
w<=NL |
|
Среднеквадратический сплайн существует при |
||
Л е м м а |
38. |
|||
любом v Е В и определен однозначно. |
п |
|||
|
|
|
функционал <р(и) |
|
Действительно, |
= 2 /?(м) положительно |
|||
|
|
|
|
i = 1 |
определен на NL (см. лемму 34). Отсюда следует однозначная раз решимость соответствующей вариационной задачи. Существова ние следует из конечномерности NL .
Т е о р е м а |
73. |
Имеетместо соотношение |
|
||||
lim |
K - C H L = 0. |
|
|
|
|||
Ot -+ оо |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Имеем |
|
|
||||
Ф” [ |
* |
? |
; [sZ',v) = \\sZ - v \ \ j . |
|
|
||
Следовательно, при любом а > О |
|
|
|||||
11*?-и|1/ |
<11»~- » ll? |
< l i « - » l l ? |
V u e N L, |
( И) |
|||
I I I * S l l b < - |
|
tt-oo. |
|
(12) |
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
Из соотношений |
(11), |
(12) следует, что при а, удовлетворяю |
|||||
щем условию |
0 < |
а < а, семейство |
s„ слабо компактно |
в Я ^ . |
Пусть оно при а -*+°° слабо сходится к некоторому элементу sv .
Покажем, что sv = s™. Действительно, согласно (И ), (12) имеем
lim || - |
v Ilf = \\sv - v ||f < || Sy - и ||, < |
(X - * 00 |
|
< | |t t - u ||| |
V w E NL . |
Таким образом, sv E NL ; полагая в приведенных выше соотноше ниях и = ?у, получаем
sv e N L:
II Sv - VIII = Н С - V II/.
Учитывая определение |
элемента С и предыдущую лемму, по |
лучаем sv = С , а также |
lim || Ls% \\G = 0. |
Of |
°о |
Отсюда следует теорема.
155
С л е д с т в и е . Из предыдущего вытекает, что
lim p (a) = |U r - и II/. |
(13) |
QL —*■ оо
5.Изучим некоторые свойства интерполяционных сплайнов [98].
Т е о р е м а |
74. Если v ED, то |
|
inf НLsu - |
L V \\G = II Lsv - Lv HG , |
(14) |
и G В |
|
|
т.е. на элементе sv получаем оптимальное в смысле нормы прост ранства G приближение к значению оператора L на элементе v. При этом справедливо равенство Пифагора
\\Lv\\2G = \\Lsv \\2G + \ \Lv - Ls v \\b. |
(15) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как sv —решение задачи (14), то для любого v0 е V0 = { v 0 е D: I (v0) =■0 }, / (w) = (/1(w ), . . .
. . . , l,,(w )), имеет место тождество Эйлера
(Lsv, L V0) G = 0 VUO ^ ^ O. |
(16) |
Так как sv — v E F0, то справедливо соотношение |
|
(LsVfLsv ~ L V) G =0. |
(17) |
Из (16), (17) следует, что элемент sv является решением за дачи (14) и справедливо равенство (15). Теорема доказана.
Рассмотрим в HL некоторый линейный функционал / (z) (zED). Согласно теореме Рисса и лемме 36 найдется единственный элемент w E H L такой, что
Г(z) = (z, w)„ нн |
2 Ц(z) /,• (w) + (.Lz, LW)g . |
i = 1 |
|
Пусть и ЕВ. Тогда, как легко видеть, |
|
Г (z) - Т (s„) = (z - |
su, w)„. |
Рассмотрим задачу: найти элемент и Е В, на котором выраже ние
. sup |
\ f ( z ) - T ( s u)\ |
(18) |
w : || \v I! n < 1 |
|
|
достигает минимума при и ЕВ. Справедлива следующая |
||
Т е о р е м а |
75. Решением задачи (18) является интерполяци |
|
онный сплайн sz . |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что |
|
|
sup |
I / (г) - 1 (su) |2 = II z - su || j |
+ || Lz - Lsu He- |
w: II w ||n < 1 |
|
|
Остается применить теорему 74. Теорема доказана.
156
С л е д с т в и е . Оптимальное в смысле (18) приближение к зна чению линейного в HL функционала I (z) есть Т (sz ).
Заметим, что значение / (sz) можно вычислить согласно формуле
Г(«,)= 2 |
ll (z)ll (w) + (Lst ,Lw)G, |
i - |
1 |
для реализации которой необходимо знать lt (z) (i = 1,. . . , п) и Lsz , т.е. знание элемента sz не является необходимым.
З а м е ч а н и е . |
Величина |
|
|| Lsz - Lz ||с = |
inf || Lsu - Lz ||G |
|
|
и G В |
|
определяет погрешность приближения значения Lz |
элементом Lsz |
|
и существенно зависит от выбора функционалов // |
(/ = 1,. . ., п ) . |
Представляется весьма важным решение следующей оптимизацион ной задачи: при фиксированном п (определяющем количество вычислительной работы) найти такие функционалы /*, для которых минимальна величина
sup || Lsz - Lz ||G
z G Z
(Z - некоторый непустой класс из HL ), т.е. достигается наиболь шая точность аппроксимации оператора L . Множество Z может быть и одноэлементным.
6. Далее будем считать, что v = и и Н И - М |1я< 8 (UGD). Изучим поведение регуляризованных сплайнов при и -*<», 5 -►0.
В связи с этим предполагаем выполненными условие аппроксима ции: для любых и Е В
I II w ||; - || и\\% | <г% \\и | | | |
(19) |
|
(гп -+0 при п -+<*> независимо от выбора и G В) —и условие сог |
||
ласования: |
|
|
Г%\\и | | | = |
еи в -»-0, л |
5 ->0. |
Допускается, |
что функционалы /, (м) могут зависеть от и, т.е. в |
|
общем случае |
// = 1^п\ |
|
Заметим, что условие (19) |
весьма удобно для проверки и вы |
полняется во всех известных автору случаях при соответствующем
выборе пространства В. |
|
|
|
Л е м м а 39. При сделанных выше предположениях семейст- |
|
во |
ограничено при п -*«>, б -+0. |
|
|
З а м е ч а н и е . Так как подпространство NL конечномерно, то, |
|
очевидно, все нормы в нем эквивалентны. |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя вышеприведенное замеча |
|
ние, достаточно установить ограниченность |
} в пространстве Я. |
157
Используя условие аппроксимации (19) и условие согласования,
имеем |
|
|
II *£ Ия < |
II ^ |
- и \\н + || и - й Ия + II и ||я < |
< ( lls- - |
И II/ |
+!■* l|S ~ - « ll| ) 1/2 + 8 + II МII// < |
<[ll it II/ |
+ |
(II Sj llj* + 1М||в ) 2] 1/2 +8 + II м II//< |
< [ II « II „ |
+ ч |
« + r2„ (II s~ ||fi + || и IIв )2J1<2 + 8 + II и \\н . |
Здесь мы воспользовались тем, что для любого u E N L
IIS~ - u \ \ i < \ \ u - u \ \ h
иположили и - 0. Из приведенных выкладок следует равномерная по л и 5 ограниченность || s~||#. Лемма доказана.
Л е м м а |
40. |
Если и' |
- |
проекция элемента и на подпрост |
||||
ранство Nl |
, то |
|
|
|
|
|
||
|
Пт |
|
|| |
- и 1Г/ = ||м' —и \\2Н . |
(20) |
|||
6 -+ о, п |
-> °° |
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем |
|
|
||||||
|| s£ |
—м II/ |
< | | н ' - м ||2 <\\и |
- й \\ н2 + г%II и |
Mils. |
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|||
6 |
lim |
|
2 |
if (s~ - |
м )< |
II и - «||//- |
(21) |
|
0, п |
|
/ = 1 |
|
|
|
|
||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||u '- u ||/ / < l l s £ |
- и \ \ н < II s~ |
- м ||// + 8 < |
|
|||||
< (!!* £ |
- |
«II? + >"« lls~ - |
м|1в ) 1/2 + 8. |
|
||||
Используя |
равномерную |
ограниченность ||s~ |
||fl по п и 5, по |
|||||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
| | м ' - м | | / / < |
Иш |
2 |
l f ( s ~ - u ) . |
(22) |
||||
|
|
|
6 О, п-+ 00 i - 1 |
|
Сопоставляя (21) и (22), получаем (20). Лемма доказана. Далее будем предполагать, что выполнено условие
\\и - и \ \ н >0 |
(23) |
(случай и - и* будет рассмотрен особо). |
|
Используя ( 10) и (13), получим, что |
|
0 < р 2(а) = || sfi - u \\t< \\s% - и ||/2, |
а>0 . |
158
Можно доказать (см. §9), что функция р(а) строго возрастает и непрерывна. Следовательно, для всякого р £ [О, I! - и ||/) урав
нение р (а) |
= р имеет единственное решение а = . |
Пусть заданы такие р = рпЬ, что |
|
52 + г2 | | и - и | | | < р 2 < ||s £ - « ||? , |
|
lim |
р„6 = 0. |
6-►0
Возможность выбора таких р при достаточно малых 6 и больших п следует из леммы 40 и условия (23).
Т е о р е м а 76. Если snb =s<Lp, то |
||
lim |
||s„6 - |
и \\L = 0, |
6 -> 0, п -*■ °° |
|
|
т.е. оператор S nb : Snb и = snb является L -сглаживающим. |
||
З а м е ч а н и е . |
Если п достаточно велико, так что погреш |
ностью аппроксимации можно пренебречь по сравнению с величи ной 5, то можно положить рпь = 5.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для любого и G D имеем |
|
|||
114 -М ||? +<* II Is£ II?; <11 И - И II? |
+ ОТII In Hi-. |
(24) |
||
Полагая здесь а = |
и и = и, получим |
|
|
|
Р2 + % || Lsnb \\2G < || и - й ||? + ар || 1м II?; < |
|
|||
< ||м - м ||? / + 4 |
II и - м Ив + ар ||1 « | | | < р 2 + ар || 1м||?;, |
|
||
и, следовательно, |
|
|
|
|
llls „6 ||G < III« |
II&-. |
|
(25) |
|
Используя (19), получаем |
|
|
||
II snf, - м II// < |
II snb - и \ \ н + \ \ и - и |
||я < |
|
|
< 5 + ( ||/и6 - |
и||? +т2 ||/я6 - й \\%)*/2 < |
|
< 5 + [р2 + г2(||х„Л lls + II «||в )2] 1/2
Покажем, что {|| snb ||5 ) равномерно по л и 5 ограничена. Дей ствительно, используя вложение пространства HL в В и соотноше ние (25), получаем
II *„6 IIв < М 2 II snb lli< A /2(||s „6 ||? +
+ /-И И*пб Не+ 111 м II?;).
Далее имеем
И*иАII/< II s«e - и Hi+ 1и Hi <
< Р + (1|м|1?/ + е„6) 1/2,
159
и, следовательно,
IUn6 II1 < М 2 (Ip + 01 Mil?/ + е„6) 1/2]2 +гД ||s„6 III+ 1Lull?;}.
Отсюда, учитывая, что гпр и е й„ стремятся к нулю при п |
5 -*0, |
|
получаем ограниченность {\\sn6 ||в ) . Но тогда |
|
|
lim |
\\sn b - u \ \ H = 0. |
(26) |
6 О,п -* °° |
|
|
Из соотношений (25). (26), применяя стандартные рассуждения для регулярных приближений, получаем требуемое утверждение.
3 а м е ч а н и е . Аналогичными рассуждениями можно показать, что при любом v Е В
lim |
II s® - |
||L = 0, |
|
n -* °° |
|
|
|
где WyU- |
решение задачи ( 1), т.е. последовательность |
) по па |
раметру п можно рассматривать как сходящуюся минимизирую
щую последовательность |
для функционала |
Фа [и\ v] (и £ D), |
|
Теперь рассмотрим случай, исключенный ранее. Пусть |
|||
\\и ~ и \\и = о, |
|
|
|
т.е. U CLNl . |
|
|
|
Т е о р е м а |
77. Справедливо соотношение |
||
lim |
1 1 4 -ЙЦ/. = 0. |
|
|
6 0,ос, п -*°° |
|
^ |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Полагая и = и в (24), получаем |
||
II si - и ||/ + а || LsZ Нс < II м - и \\], |
|
||
и, следовательно, |
|
|
|
IU- - м ||/< |
|| w - м II/, |
II LsZ \\G < — |
II й - 2 ||,. |
Используя конечномерность NL, легко показать, что
lim
п -* °°,6-+0
Поэтому
|
II i ' ? |
«о-»- |
(27) |
|
|
|
|||
Далее имеем |
|
|
|
|
II |
« Ня < II |
- |
“ Ня + « < |
|
<(Н*£ - мН/ |
+гЦ ||s« - M ||!)i/2 + 5 < |
|
< [ l l « - « l l ,2 + r 2 (|| S" l b + 1Mils)2] 1/2 +5. 160