книги / Моделирование и автоматизация проектирования силовых полупроводниковых приборов
..pdfНИ51, содержат слагаемые, обусловленные не только электронно дырочными, но также и электронно-электронными и дырочно-ды рочными столкновениями [ЗЛО]. Решение системы для вычисле ния функций распределения электронов и дырок в общем случае оказывается чрезвычайно трудной задачей. Даже в однородном образце полупроводника решение ее возможно только численны ми методами. В приборных структурах теоретический анализ ста новится еще сложнее из-за пространственной неоднородности пос ледних. Поэтому для получения явного решения системы прихо дится использовать аппроксимации того или иного типа. Характер аппроксимаций зависит от природы доминирующего механизма рассеяния частиц. В случае, когда электронно-электронные столк новения оказываются наиболее частыми в электронной подсисте ме и дырочно-дырочные столкновения — в подсистеме дырок, а согласно оценкам, содержащимся в [3.11], такая ситуация воз никает при концентрации носителей^* 4 -1016 см-3, хорошим пер вым приближением для функций распределения электронов и ды рок являются сдвинутые максвелловские распределения
L = |
К e*P [— е« (v - un)/kTn]; |
(3.2) |
|
fp= |
Арexp [ - £р (v — up)/kTp]. |
||
|
Значения un, ир, Тп и Тр определяются в следующих приближе ниях, когда в рассмотрение включаются взаимодействие электрон ной и дырочной подсистем друг с другом, а также с решеткой кристалла и содержащимися в нем примесями. Для этого доста точно воспользоваться уравнениями непрерывности, выражающи ми макроскопические законы сохранения импульса и энергии в электронно-дырочной системе. Например, уравнения, выражаю щие закон сохранения импульса в простом случае, когда закон дисперсии в электронной и дырочных зонах имеет квадратичный вид, согласно [3.12] могут быть записаны следующим образом:
|
|
(3.3) |
где тп и тр — массы электронов |
и дырок соответственно; |
М = |
= т птР1(тп-\-тр) — приведенная |
масса; &п и &р— парциаль |
|
ные давления электронной и дырочной компонент; F„ и |
F„ — |
усредненные внешние силы, действующие на электроны и дырки соответственно; хп и хР описывают рассеяние электронов и дырок на фононах, примесях и т. п.; хпр и хрп описывают рассеяние элек
тронов и дырок друг на друге.
Величины хпр и хрп, связанные соотношением xpnfxnp=p/n, оп ределяются формулой
41
где и— средняя относительная скорость сталкивающихся |
частиц; |
|
00 |
сечение |
столкно |
Qnp= j 2s exp (— г2) 0^ ( 2) dz — эффективное |
вений с передачей импульса; а\1гр — транспортное сечение рассея
ния. Поскольку в дальнейшем нас |
будет интересовать |
простой |
|
случай изотермической электронно-дырочной |
плазмы Тп= Т 3>= |
||
= 7 = const, можно записать |
кТ |
|
|
— V * , - — V*. |
|
||
|
м р . |
|
|
|
|
|
|
Описанный выше метод учета |
рассеяния |
носителей |
заряда |
друг на друге носит в литературе название квазигидродииамического приближения [3.12] и оказывается чрезвычайно полезным при анализе явлений в приборных структурах. Сравнение резуль татов, найденных в рамках этого приближения с данными точно го решения кинетических уравнений, полученными численно в [3.10], показало их полную адекватность.
Отметим, что теоретический расчет тпр представляет извест ные трудности, поскольку требует знания точного потенциала взаимодействия носителей заряда в полупроводнике, который вследствие эффектов экранировки зависит от концентрации носи телей заряда и эта зависимость может быть довольно сложной. Гораздо проще определять %Пр экспериментально. В известных ра ботах Данхойзера [3.13] и Краусса [ЗЛ4] приведены результаты экспериментального определения суммарной подвижности цс в зависимости от концентрации носителей заряда, которая в рам ках квазигидродииамического приближения определяется соотно шением
+ + (3-4)
где |1 П и fip— обычные подвижности электронов и дырок, опреде ляемые рассеянием на фононах, примесях и т. п.; \inp= qxnp/M— подвижность, обусловленная ЭДР.
На основании этих экспериментальных данных, показанных на рис. 3.2, в [3.15] предложена удобная для исследования ВАХ ПС при высоком уровне инжекции носителей заряда аппроксимация
+ |
Р/Р2 |
(3.5) |
1+ PjPi) |
|
|
где G=1840 см2/В -с; р0=3,2 -1017 |
см-3; pi = 3,5-1016 см-3; |
р2 = |
=4 ,6 - 1016 см "3.
Врамках квазигидродииамического приближения просто ре шается вопрос о справедливости соотношения Эйнштейна в усло виях сильного ЭДР. Следуя [ЗД6], вычисляем плотности токов но сителей заряда, которые для стандартного линейного отклика оп ределяются формулами
Зп= —qnun‘, Jp=qpup. |
(3.6) |
42
одного сорта носителями другого сорта. В результате получим
1Р= Ч -■П = W ? Е - |
чDPP~ - |
Е - f D j , |
(С |
|
|
|
|
Ь, = К - Ц , ~ ^ К е + |
яК -% г - |
чрК е + я*>’ -% , |
| |
где введены обозначения |
(Арр=Цр[црП(цпр+|Хя)]/А> |
D „P = |
= {kT!q)\.lpP, !XP" = p.pnM-np.p/A, Dpn={kTlq)\lpn, A=lfAp«pnp+HpnlAn+
+|LI«PPP, а величины \inn, p,nP, Dnn, D nP получаются из этих выра жений заменой индексов п-+р, р-+п; nn= q xjm n и [LP=qxPlmp —
подвижности электронов и дырок, определяемые рассеянием на фононах, примесях и т. п.; \inp=qxnpjM и iipn=qpn/M — подвиж ности, определяемые ЭДР, связаны соотношением |хПр/р.ря=я/р.
Выражения для плотностей токов (3.7) удобно записать в матричном виде:
J = nMEC-fftJ — С, |
(3.8) |
dx |
|
где
Легко видеть, что между матрицами D и М существует связь
D = — М<г, |
(3 9) |
Я
43
где
G
В пределе слабого ЭДР, когда |хПр, и-рп>м-я, рР, коэффициен ты переносов в (3.7) имеют следующие значения:
цРр= р Р; |
fipn= P np= 0 ; |
рпл=Цп; Dnp= D pn= 0; |
|
D P = |
~ |
о = Dp; |
D'n= — тu„ = Ц „ |
поскольку величины Dv и р,р, Dn и рп, определяемые рассеянием на внешних по отношению к электронно-дырочной системе рассеи вателях, соотношению Эйнштейна удовлетворяют. В этом преде
ле матрицы D и М становятся диагональными и (3.9) переходит в обычное соотношение Эйнштейна (отметим, что отличие матри цы а от единичной матрицы I возникает из-за различия в знаках зарядов электронов и дырок). Таким образом, соотношение Эйн штейна в матричном виде справедливо и в области ЭДР. Учет ЭДР приводит к появлению в матрицах подвижностей и коэффи циентов диффузии недиагональиых членов, обусловленных тре нием электронной и дырочной компонент.
Отметим, что при высоком уровне инжекции носителей заря да в однородно легированных полупроводниках, когда п=р, dnldx=dpfdx, объединение компонент потока, определяемых ЭДР, с компонентами, обусловленными другими типами рассеяния, при водит к привычным выражениям
/ , = 9Я е - ? 0 р- £ ;
(3.10)
Тп = чт>.пЕ -{-чЪп-^ -,
ах
где Цр— р,рр—Цр” ; Вр— Dpv-\-Dpn\ р,п— рпп— pnp; Bp= D nn-\-Dnp.
Легко видеть, что подвижности |
и \ip и коэффициенты |
диф |
фузии Вп и Вр соотношению Эйнштейна не удовлетворяют. |
Ко |
эффициенты диффузии Вр и Вп при высоком уровне инжекции выравниваются с ростом концентрации носителей и оказываются
равными амбиполярному |
коэффициенту |
диффузии |
D= |
=2Dr<Dpl{Dn+D p), в то время как подвижности цр и |
оказы |
||
ваются пропорциональными рПр и согласно (3.5) |
падают с ростом |
концентрации носителей как р-1. Этот вывод соответствует резуль тату, полученному в [ЗЛО].
Формулы (3.7) являются наиболее общей формой записи вы ражений для токов носителей заряда при анализе свойств полу проводниковых структур. Как будет показано ниже, изменение ширины запрещенной зоны в случае, когда оно становится сущест венным, изменяет лишь напряженность эффективного поля Е, не затрагивая структуры выражений (3.7) в целом.
44
Отметим также, что полученное выше матричное соотношение Эйнштейна (3.9) является точным результатом и не связано с ис пользованием квазигидродинамического приближения. В [3.46] матричное соотношение (3.9), а также выражения для токов (3.7) получены непосредственно из решения системы кинетических уравнений электронно-дырочной плазмы.
При высоком уровне инжекции носителей заряда ЭДР начи нает заметно влиять на процессы переноса в кремниевых СПП при концентрации носителей около 5-1016 см-3 [см. (3.5)], кото рая достигается в отдельных областях структуры при плотностях тока /^50-7-100 А/см2. Это означает, что ЭДР начинает влиять на ВАХ ПС раньше, чем нелинейная оже-рекомбинация.
ЭФФЕКТЫ СИЛЬНОГО ЛЕГИРОВАНИЯ В СЛОЯХ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СТРУКТУРЫ
Внедрение примесных атомов искажает решетку кристалла и при высоких уровнях легирования существенно изменяет его электрофизические свойства. Из большого числа последних нас будут интересовать лишь те, которые влияют на ВАХ ПС СПП. Возникающие в процессе легирования кремния дефекты служат дополнительными центрами рекомбинации носителей заряда. В результате параметры тпо и тРо в (3.1), оказываются зависящи ми от концентрации легирующих примесей. Обычно для описа ния этой зависимости используют формулу
ъ(Л 0 = ъ Л » + ( В Д . ) Ч |
(З-П) |
где k=n, р.
Константы N0k и Ра, определяемые экспериментально, сильно отличаются от работы к работе, что связано с различием техно логии изготовления образцов, исследованных разными авторами. Однако наиболее часто встречающиеся значения оказываются равными Ра=|1, N0h = (;1-г5) •1016 см. Теоретическое рассмотрение этого вопроса [ЗЛ7] приводит к сходным результатам. На реком бинацию, определяемую оже-процессами, эффекты сильного леги рования практически не влияют. Как указывалось выше, констан ты межзонной оже-рекомбинации в сильнолегированном кремнии в пределах погрешности измерений не отличаются от соответству ющих констант сильновозбуждеиного кремния [3.9]. Вместе с тем именно межзонные оже-процессы оказываются превалирующими среди оже-процессов, возможных в силыюлегированном кремнии. Оценки, приведенные в [3.8], показывают, что константы, описы вающие оже-процессы с участием примесей, малы настолько, что вплоть до уровня легирования 1021 см-3 этими процессами можно пренебречь по сравнению с обычной рекомбинацией на глубоких уровнях и межзониой оже-рекомбинацией. Поэтому для описания рекомбинации носителей в сильнолегированных слоях структуры вполне достаточными оказываются формулы (3.1) с учетом (3.11).
45
Дефекты, вводимые при легировании исходного кристалла, су щественно влияют также на транспортные свойства носителей за ряда. Исследованию этого вопроса посвящена обширная литера тура. Теоретический анализ кинетичеоких свойств полупроводни ков при одновременном учете различных механизмов рассеяния носителей приводит к довольно сложным выражениям [3.4]. Ис пользовать такие формулы для анализа неоднородных полупро водниковых структур трудно. Поэтому обычно для этой цели ис пользуют эмпирические соотношения, которые хорошо описывают известные экспериментальные зависимости. Например, согласно [3.18] зависимость подвижностей носителей от концентрации при месей может быть аппроксимирована формулой
|
|
1 + (W/«„) |
‘ |
<зл2> |
|
|
|
|
|||
где k=n,p\ Np= 6,3-Ю16 см-3; ар=0,716; |
р,та:ер=495 |
см2/(В -с ); |
|||
|Ammp= |
47,7 |
СМ2/(В *с); A^-n^'ljS-JlO17 CM |
3; |
Q7i= 0,91j |
|Атжп= |
= 1360 |
см2/ |
(В .с); j w » = 9 2 см2/(В .с ). |
|
|
|
Более подробно совокупность используемых при анализе крем |
|||||
ниевых структур эмпирических соотношений |
описана в |
[3.18]. |
Еще одним эффектом сильного легирования, существенно вли яющим на ВАХ, является изменение зонной структуры полупро водника. Качественно картину этого изменения можно пояснить следующим образом. Уже при сравнительно слабом легировании, когда радиус электронного состояния на примеси мал по сравне нию с расстоянием между примесными атомами, электростатиче ское взаимодействие ионизированных примесей друг с другом при водит, во-первых, к образованию примесной зоны, во-вторых, к плавному искривлению границ разрешенных зон Ес и Ev [3.19]. Плавность искривления границ зон определяется превалирующим вкладом крупномасштабных флуктуаций потенциала, которые в случае некоррелированного распределения атомов примеси име ют размер порядка дебаевского радиуса.
По мере увеличения концентрации примесей примесная зона смыкается с зоной проводимости в полупроводнике л-типа либо с валентной зоной в полупроводнике p-типа. Кроме того, условие сильного легирования Wa03> 4 , где N — концентрация примесей, а0— боровский радиус, обеспечивает малость длин волн электро нов, находящихся вблизи поверхности Ферми, по сравнению с де баевской длиной экранирования. Поэтому эти электроны, дающие основной вклад в проводимость, чувствуют локально потенциал только той точки, в которой они находятся, и их можно характе ризовать заданием квазиимпульса с заданным законом дисперсии в зоне, а флуктуирующий потенциал, связанный с неоднородным распределением примесей, следует рассматривать как внешнее поле. В результате при описании явлений переноса в силыюлегированных образцах можно оставаться в рамках обычной зонной
46
Рис. 3.3. Изменение зонной структуры в сильнолегированных слоях полупровод никовой структуры:
а — исходны?! кристалл; б — силыюлсгироваиный кристалл
теории, в которой, однако, структура зон оказывается зависящей от координаты [3.20]. При этом контуры валентной зоны и зоны проводимости повторяют изменение в пространстве потенциала, связанного с этими флуктуациями, как это показано на рис. 3.3,6. Из рис. 3.3 легко понять, к каким еще качественным из менениям приводит учет неоднородного распределения примесей в силыюлегироваииых слоях полупроводниковой структуры. Вопервых, в интервале энергий от Ev до Ес появляются разрешен ные состояния, в результате чего плотность состояний оказывает ся отличной от нуля и в запрещенной зоне. При этом проводи мость носителей заряда по этим состояниям мала вследствие существенной неоднородности их распределения в объеме кристал ла. Лишь начиная с определенных состояний, расположенных по энергии выше Ес, т. е. е > £ с , и ниже Ev, т. е. е < £ у , проводи мость сильно возрастает, в результате чего именно эти состояния определяют перенос носителей заряда в сильнолегированиых по лупроводниках. Таким образом, Ес и Ev приобретают новый фи зический смысл. Если в слаболегированных слоях структуры они определяют границы разрешенных состояний в зоне проводимо сти и валентной зоне, то в сильнолегированных слоях эти же ве личины отделяют состояния с высокой подвижностью от состоя ний с низкой подвижностью, которые вклада в перенос заряда не дают. Во-вторых, Ec—Ev = E g уменьшается на значение АЕе, ко торое определяется эффектами взаимодействия подвижных носи телей заряда с решеткой кристалла.
Таким образом, в сильнолегированных слоях полупроводнико вой структуры от координаты зависят не только Ес и Еу, но и плотность состояний. Это следует учитывать при выводе выраже ний для токов носителей заряда. Поскольку наряду с эффектами сильного легирования существенным может оказаться, вообще го воря, и ЭДР при получении формул, описывающих токи электро нов и дырок, воспользуемся квазигидродинамическим приближе
47
нием, которое было описано в предыдущем пункте. Простые вы числения, учитывающие зависимость зонной структуры от коорди наты в рамках этого приближения, дают следующий результат:
/ dEv , dB0 \ т\р dP |
п (dEc |
dBn \ |
_ п dn |
^ = р ^ Ы + ж ) - ^ ж - пЧ ж - ж ) - ^ 1 |
|||
|
|
|
(3.13) |
' — -5(ж - ж) |
-»* {ж + ж) |
|
|
где значения подвижностей |
и коэффициентов |
диффузии Dhl |
|
Сk = n , р, i=n, р) совпадают с введенными |
в |
(3.7), а значения |
dQpJdx и dQnldx, учитывающие зависимость плотности состояний от координаты и вырожденность основных носителей в сильноле гированных слоях структуры [3.21], имеют вид
{ж )т .*сп~ кТ ф,
dx ’
(3.14)
Ж = Ш т + ] м в ' - ф'> т •
Ъ ) , <r* , + - J L
dx
где Фп и Фр — квазиуровни Ферми; р„ и рр — плотность состояний электронов и дырок соответственно.
Полученные формулы можно преобразовать к более удобному для использования виду, связав входя щие в них параметры с зонной диа граммой сильнолегированного полу проводника во внешнем поле <р, приведенной на рис. 3.4. На этом рисунке Ео — уровень вакуума в об ласти, где внешнее поле отсутствует, Ei — локальный уровень вакуума в области, где поле существенно, %— электронное сродство, равное энер гии, необходимой для перевода элек
легированного полупро трона со дна зоны проводимости на уровень локального вакуума, Ее=
= Е с—Еу — ширина запрещенной зоны. Из энергетической диаг раммы на рис. 3.4 следуют следующие соотношения:
Ec= E 0—q(p—x, Ev= E 0—qy—x—Eg,
где Eg=Eg0—ДEs\AEg определяется изменением величин Ес и Ev за счет эффектов сильного легирования.
Подставляя эти соотношения в (3.13) и вводя обозначения E = — (d<p(dx), Д £ /= Д £ * + в п+6р, у = (x+M M ^V s получаем для токов электронов и дырок следующие выражения:
1р= ЧР^ [ Е + ± ( а - ^ ) ] - м % -
(3.15)
( о - т > - ^ ) ] + * « £
Если теперь обратиться к матричному способу записи, то лег ко получить выражение, похожее на (3.8), с той лишь разницей,
что матрица имеет теперь иной вид: J=<7MEC------ qb — С, где
а М и D такие же, как и в (3.8), и связаны соотношением Эйн штейна
D = — Ма.
я
Формулы (3.15), (3.16) являются наиболее общей формой за писи выражений для токов электронов и дырок.
Величина АЕес, введенная выше, является эффективным суже нием ширины запрещенной зоны, в которую дает вклад как соб ственно изменение граничных значений Ес и Еу, так и изменение плотности состояний 0„ и вр. В состоянии равновесия, когда / п==
= / „ = о, решение уравнений (3.15) относительно |
концентраций |
носителей заряда дает произведение равновесных |
концентраций |
перс вида |
(3.17) |
щ2 = пере=щ о2ехр (ДEgclkT) |
4-6393
где rt,02=W cNvexp(—Eg0/kT) — собственная концентрация носи телей в слаболегированном полупроводнике, определяемая исход ной шириной запрещенной зоны и исходными плотностями состо яний.
Формула (3.17) является основой экспериментальных методик для определения эффективного сужения ширины запрещенной зо ны AEgc. Суть этих методик состоит в исследовании электрических
характеристик приборных структур, зависящих от |
Определив |
|
таким образом /г,-, можно затем с помощью (3.17) |
вычислить ДЕес |
|
[3.22]. |
также оптиче |
|
Кроме указанных электрических существуют |
||
ские методы определения ширины запрещенной |
зоны |
[3.22], ко |
торые, однако, позволяют измерить лишь AEg. Вклад величии 0П и 0Р, определяемых координатной зависимостью плотности состо яний, остается при этом неучтенным. В силу этого величины, из меренные электрическим методом, всегда оказываются больше величин, определенных оптическим методом.
СНИЖЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНЖЕКЦИИ ЭМИТТЕРНЫХ ПЕРЕХОДОВ СТРУКТУРЫ
Обычно при описании ВАХ ПС снижение коэффициентов инжекции эмиттерных р-п переходов рассматривается как отдель ный физический эффект. Реально, однако, оно определяется про явлением совокупности физических эффектов, таких, как реком бинация носителей заряда, ЭДР и т. д., описанных выше. Физиче ская суть снижения коэффициента инжекции перехода заключается в «стремлении» неравновесных носителей заряда рекомбини ровать. Если в какой-либо области структуры происходит сниже ние времени жизни, а это обычно происходит в сильнолегироваииых эмиттерах структуры, то возникающий градиент неравновес ных носителей заряда служит причиной диффузионного потока но сителей в эту область. На этот поток влияет изменение кинетиче ских коэффициентов в окрестностях этой области. При больших плотностях тока, когда становится существенной оже-рекомбина- ция, на величине этого потока сказывается концентрационная за висимость эффективного времени жизни. Кроме того, влияние на
|
него может оказать эффективное |
||
|
электрическое поле, возникающее |
||
|
вследствие сужения запрещенной |
||
|
зоны в сильнолегироваиных слоях |
||
|
структуры и т. д. |
|
|
|
Количественно снижение ко |
||
|
эффициентов инжекции эмиттер |
||
|
ных переходов учитывается в тео |
||
|
рии ВАХ ПС выбором соответст |
||
|
вующих |
граничных |
условий. В |
|
структурах с резкими р-п перехо |
||
|
дами, |
имеющими |
ступенчатое |
Рис. 3.5. Схема р+-п-п+ структуры |
распределение примесей, вопрос |
50