книги / Механика трещин
..pdfчасто оказывается неудобным: оно требует определения перемещений везде, где приложены внешние силы. Кроме того, если тело полага ется бесконечным и деформируемым внешними силами, приложенны ми на бесконечности, вариация перемещений там, где ее нужно опре делить, оказывается равной нулю, даже если вариация работы внеш них сил отлична от нуля, а сама эта работа и потенциальная энергия деформации бесконечны.
Задачу можно существенно упростить, если учесть, что количество выделяющейся энергии зависит от вариации перемещений лишь в той области, где происходит разрушение (это следует из того, что при лю бой вариации перемещений, не нарушающей сплошности тела, àA = 0). Поэтому существуют и „локальные” способы определения искомой величины, основанные на учете напряжений и перемещений в месте возможного разрушения. Один из таких способов был использован в§ 1.2, где отмечалось, что в линейной задаче об отслоении балки высвобождающаяся энергия - àA= U0àl, где U0 - энергия деформации балки, приходящаяся на единицу ее длины у края трещины. Рас смотрим некоторые другие способы.
Внешние силы, действующие на линейно-упругое тело с трещиной, обычно „переносят” на ее берега, т. е. рассматривают второе состояние (см. § 2.2), вычитая из напряжений и перемещений их значения, соот ветствующие первому состоянию - тем же условиям, но для тела без трещины. Покажем, что указанная замена не влияет на вычисляемую величину потока энергии.
Рассмотрим обобщенную плоскую задачу. Пусть тело занимает область Й, F - внешние силы, приложенные вне трещины (силы, сосре доточенные на поверхностях, линиях или точках, выражаются с помо щью обобщенных функций), L - длина трещины. Энергия, высвобож дающаяся при вариации (увеличении) длины трещины за счет движе ния одного ее края,
(3.1)
Й
В линейном случае работа внешних сил
Q
и, как уже отмечалось в § 1.1, из (3.1) следует
1 |
Г |
ди |
(3.2) |
r . ^ |
F |
- r f Q . |
Q
Напомним, что при вариации L внешние силы полагаются неизменными. Представим перемещение суммой и = и1 +и2, где индексы отвечают
указанным выше состояниям. Внешние силы второго состояния - нап ряжения о, действующие на берега трещины, равные (с обратным знаком) напряжениям первого состояния, действующим на линию тре щины (здесь мы рассматриваем их как сосредоточенные на поверхно сти объемные силы). Имеем
1 Г |
/дм, |
ди2\ |
Т =— W F- о + о)- — + — |
||
2 J |
\dL |
dLj |
Но duJdL = 0, а по теореме взаимности (Бетти)
$(F- о) • ôuJàldQ = $о • duJdLdQ = 0. Поэтому
Я |
|
я |
Г = — ( о - — dfi. |
(3.3) |
|
2 J |
dL |
|
Q
Итак, формулы (3.2) и (3.3) эквивалентны.
Рассмотрим теперь локальный способ вычисления потока энергии. Пусть трещина у своего края (х = 0) касается оси х . Напряжения на продолжении трещины (х > 0) Оу, действующие со стороны у > 0 на сто рону у < 0, обозначим как о+(Т, х). Снимем (квазистатически) эти напряжения на бесконечно малом отрезке бL. Это эквивалентно продвижению трещины на тот же отрезок. Предположим, что раскры тие трещины - разность перемещений верхнего и нижнего ее берегов ив - ин = 2u_(L, х) - непрерывно по I:
u_(L + Ы, х + ÔL) ^ uJL, х) (бL -►0).
Тогда в силу линейности задачи выделится энергия (с точностью до ма лых высшего порядка)
ÔL
ТЫ = y j a+(L, X) •[2u_(L, х - àtydx.
0
Учитывая, что о+(*) = 0 при х < 0, а и_(х) = 0 при х >0, получаем отсюда (указание на длину трещины опускаем)
Т= П т----- |
о+(х) •и ( х - |
бL)dx= Пт — |
(о +(х) * и ( - х)]. |
(3.4) |
ÔL-о ÔL |
“ |
X-+Q dx |
~ |
|
Эта формула применима во всех случаях, когда задача линейна1 [104]. Например, в задаче об отщеплении лучины (см. § 1.2)
В § 5.2 показано, что она справедлива и для динамики.
I I |
х 2 |
х 3\ |
о+ =М"{х) =Р0Ь{х) +М0б'(х),
Я о .М * и_(—*) - - р ; J - +MJ Y (Р0 - Р(- 0), М , - М (- 0)),
т2El = t/«
Предел (3.4) удобно представить еще и в другом виде [104]. Прове дем преобразование Фурье над сверткой (3.4). Учитывая, что ее носи тель - правая полуось х, для вычисления предела производной можно воспользоваться известной теоремой (обычно формулируемой для преобразования Лапласа). Итак, если предел (3.4) существует, то он равен
T = lim р2о / (ip) •t f ( - |
ip) |
|
Р~*ОО |
— |
|
ifFiq) = Jf{x)ei(Jxdx). |
(3.5) |
|
-О О |
|
|
Еще один способ, который мы здесь рассмотрим, состоит в непо средственном определении потока энергии через контур, окружающий край движущейся трещины. Вновь рассмотрим плоскую задачу. Про ведем контур Г, охватывающий край трещины (сплошная кривая на рис. 1.5). Пусть край трещины и контур движутся вправо со скоро стью и относительно среды. Скорость полагаем настолько малой, что динамическими эффектами можно пренебречь. Поток энергии в область Q, ограниченную контуром Г, через этот контур
Г |
ди |
(3.6) |
N=\U0udy+0- — dr, |
Г
где первый член под интегралом определяет конвективный поток энергии (U0 - плотность потенциальной энергии деформации), вто рой - работу (мощность) напряжений о, внешних по отношению к Q. В общем случае, стягивая контур к краю трещины, найдем в пределе энергию, стекающую в ее край при ее единичном продвижении: T= N/и.
Предполагая непрерывность раскрытия трещины в указанном выше смысле, представим перемещение в виде
um= Am(t, х, у)и0т(х - ut, у), т = 1, 2, 3,
где Ат - непрерывная функция t, в данный момент (t = 0) Ат = 1.
В производной
àu jd t = иот(х, y)dA jdt - идиот/дх (t = 0)
/ , С ^ \ Г L.
Рис. 1.5.
ди
Т = \U0dy - о * -dT. дх
первый член не связан с ростом тре щины и поэтому не дает вклада в по ток энергии в ее край: в пределе, когда контур стягивается в точку,
№n№orrpAmfotd^ =0. |
(3.7) |
Г |
|
Итак, в указанном пределе из |
(3.6) |
получаем |
|
|
(3.8) |
Интеграл (3.8) по произвольному замкнутому контуру называет ся1 J-интегралом [79,147] или Г-интегралом [117,127]. Если контур Г ограничивает область без особых точек (точек, в которых не вы полняются однородные уравнения равновесия или уравнения сов местности деформаций), то он равен нулю. Действительно, он пред ставляет собой поток энергии внутрь контура при стационарном перемещении поля напряжений и перемещений вместе с контуром.
При |
этом |
в ограниченной контуром |
области |
энергия неизменна, |
и так |
как |
там нет источников (стоков) |
энергии, |
нет и потока (сум |
марного) через Г. |
|
|
Дополним контур Г контуром, изображенным на рис. 1.5 пункти ром. Вместе с Г он образует замкнутый контур, ограничивающий область, не содержащую особых точек (если, конечно, в ней нет внеш них сил). Интеграл (3.8) по горизонтальным его участкам равен нулю, если на этих участках к берегам трещины не приложены напряжения. Поэтому интеграл по Г' совпадает с интегралом по Г. Таким образом, установлена инвариантность интеграла (3.8): он не зависит от контура, охватывающего край трещины, если в ограниченной им области нет внешних сил и трещина лежит на прямолинейной оси х.
Если контуром Г охватить всю (конечную) прямолинейную тре щину, то интеграл (3.8) будет определять разность потоков энергии при возможном ее расширении вправо и влево. Действительно, при смеще нии трещины вправо [чему отвечает интеграл (3.8)] слева она будет закрываться - левый ее край будет источником энергии.
В случае пространственной трещины проведем в данной точке (где она и ее контур предполагаются гладкими) плоскость перпендикуляр но трещине и ее контуру. Тогда вблизи пересечения этой плоскости с контуром трещины состояние соответствует обобщенной плоской задаче и для определения энергии, стекающей в край трещины при рас ширении ее следа в данной плоскости, можно использовать формулы (3.4), (3.5). Что же касается интеграла (3.8), то он будет отвечать свое му назначению лишь при стягивании к контуру трещины.
1 В 1951 г. этот интеграл применительно к смещению произвольной сингу лярности был указан Дж. Эшелби (см. [123]).
Если рассматривать переход к новому равновесному состоянию, отвечающему удлинению трещины на бL , как варьирование некоторой обобщенной координаты, то высвобождающаяся энергия Т (приходя щаяся на единицу приращения площади трещины) - соответствующая ей обобщенная сила, называемая силой, движущей трещину [9] (то же относится и к любой другой сингулярности [123]). Она называется также конфигурационной силой [118]. Следует подчеркнуть, что она не является силой в обычном смысле, так как подрастание трещины или смещение какой-либо другой особой точки не эквивалентно смещению точки тела, к которой эта сила была бы приложена. Другой пример подобной ситуации дает „самодвижущееся” тело. Пусть тело, напри мер судно, самостоятельно движется в воде с постоянной скоростью. В этом случае действующий на него главный вектор сил равен нулю; следовательно, и на воду не действует сила (винт толкает воду назад, корпус вперед, а суммарная сила равна нулю). Однако ясно, что существует поток энергии от тела в воду: об этом свидетельствуют вихри и волны. Кстати, ниоткуда не следует, что „конфигурационная” сила, создаваемая тунцом или дельфином для своего движения, не мо жет меньше обычной силы - буксировочного сопротивления. Такого рода эффекты - работа при отсутствии обычной силы - возникают вся кий раз, когда „микроскопический” механизм не описывается явно в макроскопической теории и проявляется в ней лишь в виде особой точки как потенциальный источник или потребитель энергии. Можно сказать, что особые точки (линии) представляют собой каналы обмена энергией между макро- и микроуровнями. При этом суждение о рав новесии нельзя вынести, основываясь лишь на соотношениях макро скопической теории, т. е. на подсчете энергии, высвобождающейся
на макроуровне, |
необходимы еще данные о мощности источника. |
Втеориитрещин - |
это эффективная поверхностная энергия, определяе |
мая экспериментально. В принципе ее можно найти и теоретически, но для этого необходимо привлечь данные о микроструктуре, необхо димо выйти за рамки макроскопической теории и явно описать меха низм, в котором работа совершается с помощью сил (см. гл. 6).
Инвариантный интеграл (3.8) можно применить для вычисления по тока энергии в произвольную особую точку (линию, поверхность) поля напряжений при ее смещении относительно среды (при смещении вместе со средой интеграл дает главный вектор сил, действующих в области, ограниченной контуром Г; соответственно при повороте - главный момент). В пространственном случае формула (3.8) приобре тает вид
Г = И U0dydz - |
о -------dS, |
(3.9) |
s |
àx |
|
где S - замкнутая поверхность, ограничивающая область V, в которой содержится особенность поля. Таким путем можно определить взаимо действие данной особенности, отвечающей, например, микроскопическому
включению или дислокации, с полем напряжений от заданной системы внешних сил или взаимодействие особенностей друг с другом [118, 123]. Необходимо, однако, помнить, что это взаимодействие - сток энергии в особую точку при ее смещении соответствует стационарной вариа ции - смещению внешних сил вместе с особенностью. Если же при вариации положения особой точки внешние силы не смещать, сток энергии, вообще говоря, будет другим (в случае трещины он сохраня ется). Величина Г по зависимости (3.9) будет равна стоку энергии и при неподвижных внешних силах только при условии типа (3.7), иначе говоря, только в том случае, когда смещение внешних сил не сопро вождается потоком энергии в неподвижную особую точку.
При необходимости, кроме механической энергии, в формулах (3.8), (3.9) можно учесть и другие ее виды [117].
ГЛАВА2
СТАТИКА ТРЕЩИН
ВЛИНЕЙНО-УПРУГОМ ТЕЛЕ
Втак называемой линейной механике разрушения полагается, что напряженно-деформированное состояние тела с трещиной определя ется линейной теорией упругости. В этой главе в рамках указанной теории рассматриваются методы и результаты решения типичных плоских и пространственных задач статики.
У края трещины напряжения и деформации оказываются неогра ниченными, повороты - большими, т. е. там линейная теория непри годна. Поэтому решения для малой окрестности края трещины, полу ченные на основе линейной теории, следует рассматривать как проме жуточную асимптотику, которая, по предположению, позволяет судить
(например, с помощью силовых критериев - см. § 2.2) о равновесии тела с трещиной. Что же касается потока энергии в край трещины при ее росте в упругом теле, то линейная теория определяет его правильно, так как эта энергия поступает в основном из далеких от края областей, где линейная теория справедлива. Более подробная интерпретация ре шений задач в рамках линейной теории упругости представлена в гл. 3.
§2.1. Основные соотношения линейной теории упругости для однородной изотропной среды
Состояние сплошной линейно-упругой среды характеризуется век тором перемещений и и тензором напряжений n = 1, 2, 3), между которыми имеется линейная связь - обобщенный закон Гука:
^тп = ц(дит/дхп+ дип!дхт) + М тп div и. |
(1.1) |
Здесь omn - проекция на ось хп вектора напряжения, действующего на площадку со стороны нормали, направленной вдоль оси хт; А., д - постоянные, характеризующие упругость среды (константы Ламе); ит- соответствующая компонента вектора и; хт- ортогональные пря молинейные координаты; бшп “ символ Кронекера (ômn = 1 при т = п, 6ШП= 0 при т Ф п). Напряжения удовлетворяют уравнениям равно весия
^ двmn/àXm = “ Fn, |
|
|
(1*2) |
|
m—ï |
|
|
|
|
где Fn- проекция внешних объемных сил на ось хп. |
||||
В линейной |
теории |
компоненты |
тензора |
деформации: ешп = |
= 1/2(дит/дхп + дип/дхт) - |
относительное |
удлинение (т = п) или угол |
||
сдвига (т Ф п); |
е = div и - |
объемное расширение; |
вектор со = 1/2 rot и |
определяет поворот. Предполагается, что все эти величины малы по сравнению с единицей.
Будем рассматривать обобщенную плоскую задачу - плоскую и антиплоскую, в которой предполагается, что перемещения и напря жения зависят лишь от двух координат х 19 х 2 (за исключением компо ненты и3 при плоском напряженном состоянии). Плоская задача формулируется либо как задача о плоской деформации: и3 =const,
° 1з = 02з = ®’ °-зз = ^е> либо как залача 0 в оск ом напряженном состоя нии, когда пренебрегается напряжениями о13, о23, 033. При плоском
напряженном состоянии закон Гука принимает вид
Отп = £тп [2Л.|ы/(Л. + 2ц)](е11 + |
(1*3) |
Как видно из сравнения зависимости (1.3) с предыдущими соотно шениями, отличие от плоской деформации проявляется лишь в том, что постоянная К в (1.1) заменяется на 2\\i/(k + 2ц). Кроме того, при плоском напряженном состоянии и3 Фconst:
и3 =~[кх3/(к + 2ц)](е11 + б22) + const. |
(1.4) |
‘ В антиплоской задаче их = и2 = 0. При этом среди компонент напря жений не равны тождественно нулю лишь о13, о23. Отсюда и из ра венств (1.1), (1.2) следует
0^3 - \хди3/дх^) о2з ” й^н3/дх2> |
|
Ди3 = д2и3!дх[ + д2и3/дх% = - F3/p. |
(1.5) |
При исследовании плоской задачи вместо х19 х29 и19 и2 будем употреблять обозначения х, у, и, и и соответственно изменим индексы у напряжений {например, будем писать оху вместо о12).
Как известно [61], в плоской задаче при отсутствии внешних объемных сил рассматриваемые величины выражаются через две
аналитические функции ф и ф комплексной переменной |
z = х + iy |
формулами КолосоваМусхелишвили: |
|
2ц(ц + îu) = кф(г) - zф'(z) - ф(^), охх + оуу = 4 Re ф'(z); |
|
°уу “ °хх + 2ioxy = 2(zîp"(z) + ф' (*))• |
(1-6) |
Здесь при плоской деформации и =3-4v, а при плоском напряженном состоянии к = (3 - v)/(l + v), где v = À/[2{к + ц)] - коэффициент Пуассо на, и3 = w - определяется по (1.4).
Рассмотрим два частных случая. Пусть на вещественной оси оХу = 0. Тогда из представления (1.6) следует тождество 1ш (хф"(х) + ф'(*)) = 0. Экстраполируем его на всю комплексную плоскость, положив ф(г) = ф ^ )- zф'(z). Подставим это выражение в правые части формул (1.6) и заменим ф на кр/2. Формулы (1.6) принимают вид
4цц = (1 - и) Ьп ф(г)- 2у Re ф'(z); 4ци = (1 + к) Re ф(z) + 2у 1ш ф'(z);
охх = - 1ш (fr(z) - у Re ф"(z); оуу = - 1ш ф'(*) + у Re ф"(*); |
(1.7) |
оху = у1тф "(*).
При этом оху = 0 (у = 0), а перемещения и напряжения выражаются через одну аналитическую функцию ф^).
Пусть теперь на вещественной оси оуу = 0. Тогда в представлении (1.6) Re (хф"(х) + 2ф'(х) + ф'(х)) = 0. Положим ф = - ^ ( z ) ) '. После заме
ны ф на ф/2 формулы (1.6) принимают вид |
|
|
4ци = (к + 1) Re ф(z) - 2у 1ш ф'^); 4цо = (к - 1) 1ш <p{z) - |
2у Re ф'^); |
|
охх = 2 Re ф'(z) - |
у 1ш ф"(z); оуу = у 1ш ф”(z); |
(1.8) |
оху = - 1ш ф,(z) - |
у Re ф"(*)- |
|
Использование представлений (1.7), (1.8) для решения плоских задач теории упругости связано с именем Вестергарда [150].
Любой аналитической функции ф в (1.7), (1.8) отвечает распреде ление перемещений и напряжений, удовлетворяющее всем уравне ниям теории упругости. Действительно, в обоих случаях из аналитич ности ф следует аналитичность ф, так что указанные представления - частные случаи общего (1.6). Упрощение, конечно, суживает возмож ность удовлетворить граничным условиям, однако представления (1.7) , (1.8) достаточны для рассматриваемых ниже задач о трещинах
воднородном материале.
Вантиплоской задаче, также при отсутствии внешних объемных сил, перемещение п3 = w - гармоническая функция. Учитывая выра жения для напряжений (1.5), положим
Hw= Re <p(z); ох = о13 = Re <p'(z), оу = о23 = - Im <p'(z). |
(1.9) |
В задаче для полуплоскости у = 0, к которой сводится задача о тре щине, расположенной на осих в однородной изотропной упругой сре де, будут ставиться граничные условия относительно перемещений или напряжений приу = + 0. В первом случае (1.7) относительно ком понент
4р и = (и + 1) Re ф(х + Ю)
или
оуу = - 1ш ф'(х + /0); |
(1.10) |
во втором (1.8) |
|
4[iw = (к + l)Re (р(х+ /0) |
|
или |
|
оху = - 1ш <р'(х+ /0); |
(1.11) |
в третьем (1.9) |
|
JLUV = Re ф(х+ /0) |
|
или |
|
оу = - 1ш ф'(х+ /0). |
(1.12) |
Сравнивая выражения (1.10), (1.11), (1.12), видим, что определение функции ф(z) по указанным граничным условиям представляет собой одну и ту же задачу во всех трех случаях.
Перейдем к пространственной задаче. Здесь, как и в случае плоской задачи, для анализа конкретных ситуаций будем вместо уравнений теории упругости использовать представление общего решения через гармонические функции. В плоской задаче решение выражается, по существу, с помощью двух гармонических функций, скажем вещест венных частей аналитических функций ф и ф (две другие определяют ся условиями Коши-Римана). Общее решение однородных уравнений трехмерной теории упругости можно представить через четыре гармо нические функции. Известно несколько различных форм такого пред ставления, например представление П. Ф. Папковича [75]:
ит= 40 _ |
ô |
з |
1, 2, 3), |
»)Фт ---------- 2х Ф (т = |
|||
|
дхт*=° |
(1.13) |
|
|
|
|
|
3 |
д2Фп |
(т=0, . . . , 3 ) , |
|
ЛФ/71 = 2 |
= 0 |
х 0 = 1. |
|
к=1 |
дх2 |
|
|
Так же как и в плоской задаче, к существенному упрощению при водит симметрия. Пусть компоненты перемещения и1 =и, и2 = и сим метричны относительно плоскости x3 =z = 0 (здесь z - координата, а не
комплексная |
переменная), |
a |
u3 =w - |
антисимметрична. |
Положим |
Ф0 = (1 - 2v)/, |
Ф1 =Ф2 = 0, |
Ф3 |
= àf/dz, |
Д/ = 0. Получаем |
следующее |
представление перемещений и напряжений через одну гармоническую функцию (xj = х, х2 = у):
и = - (1 - 2v + A)df/dx; |
А = zd/dz; |
и = - |
(1 - 2v + A)df/dy; |
|
w = (2 - 2v - A)df/dz; |
Oxx |
„ |
AS* f |
d2f |
-----= - |
(1 + A ) -------- 2\>------ ; |
|||
|
2ц |
|
dx2 |
dy2 |
°yy |
= - |
a2/ |
|
(1 + A) — |
|||
2|i |
|
dy2 |
|
0Xy |
= - |
(1 - 2v+A) |
|
2(1 |
|||
|
|
||
<y |
~ |
^ a3/ |
|
2(1 |
|
dydz2 |
a2/ |
0 Zz |
a2/ |
- 2v — ; |
= ( 1 - A ) |
(U 4) |
dx2 |
2(7 |
az2 |
a2/ , |
Oxz |
a3/ |
axdy ’ |
|
z -------------- ; |
2ц |
dxdz2 |
Видно, что из компонент вектора напряжений, действующего на плоскость z = 0, не равна тождественно нулю лишь одна: oZ2.
Конечно, данное представление не является вполне общим и в рамках сформулированных выше условий симметрии. Однако если внешние нагрузки приложены лишь к берегам трещины, расположен ной в ограниченной области на плоскости z = 0 (на каждый берег дей ствует одно и то же нормальное напряжение), то представление (1.14) содержит решение задачи. Это же замечание относится и к другому представлению, пригодному в случае, когда нормальное перемещение w симметрично относительно плоскости z = 0, а тангенциальные пере мещения и, и антисимметричны относительно той же плоскости. Положим в (1.13)
|
1 . |
dg |
|
dh |
ч |
1 |
dg |
Ф |
1 |
dh |
ф = ------ (х — |
+ у ------ 2 # , |
ф , . у |
_ |
|
|
|||||
0 |
2 |
dz |
|
dz |
|
|
|
* 2 |
2 |
dz ’ |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
dg |
dh |
Ag= àh = 0. |
|
|
|
||
Ф3 = — |
ф; |
Ф = ~ |
+ Т “ " ’ |
|
|
|
||||
2 |
|
|
дх |
dy |
|
|
|
|
|
|
Поскольку g, h - гармонические функции, гармоническими явля ются и функции Ф^. В результате получаем следующее представле ние перемещений и напряжений через две гармонические функции: