книги / Механика трещин

ТО П р и и -*■ Ср

(1.29), (2.13) и рис. 5.3.

Таким образом, в динамике особенно ярко проявляется некор­ ректность рассматриваемой континуальной модели сплошной упру­ гой среды. Оставаясь в рамках этой модели, мы получаем вполне определенную связь между силовыми и энергетическими параметра­ ми механизма разрушения (2.13) - (2.17), причем зависимость этой связи от скорости оказывается одинаковой для любого материала. Но в теории упругости не содержится сведений о механизме разруше­ ния. Этот парадокс, как уже отмечалось, нельзя разрешить, не выходя за рамки континуальной модели без внутренней структуры.

Естественно принять силовой критерий разрушения, т. е. полагать, что разрушение упругого материала происходит при некотором значе­ нии силы, действующей на элемент определенной (малой) площади. В данном случае это эквивалентно введению критического значения коэффициента интенсивности напряжений. Предположим, что поверх­ ностная энергия также фиксирована. Тогда она не может превышать того значения, которое получено выше (2.15), (2.17) для о = 0 (иначе критическая сила не приводила бы к разрушению, т. е. не была бы кри­ тической). При этом избыток энергии Т(о) - 2у, неограниченно увели­ чивающийся с ростом скорости трещины, должен уноситься упругими волнами высокой частоты. Эти волны, после того как их интенсивность станет достаточной, могут приводить к дополнительным поврежде­ ниям материала у берегов трещины. Возможно, именно этим объясня­ ется явление, наблюдаемое в опытах на некоторых материалах: вна­ чале, пока скорость трещины мала, ее берега оказываются гладкими, а после того, как скорость становится достаточно большой, - шерохо­ ватыми (см. рис. 5.1). При большей скорости (около половины скорости волн сдвига) может наблюдаться ветвление трещины. Этот факт обыч­ но связывают с тем, что при такой скорости направление, на котором растягивающие напряжения максимальны, не совпадает с продолже­ нием трещины, а составляет с ней некоторый угол [79].

Определим соотношение между раскрытием трещины и напряже­ ниями на ее продолжении для приближенной модели (1.30). Ввиду того что связь между перемещениями и напряжениями здесь постулирова­ на лишь для границы полупространства, искомую зависимость найдем, используя другой метод.

Отношение потока энергии Г* , вычисленного по формулам (1.31), (2.22), к его точному значению Т (2.13) при одинаковых коэффициен­ тах интенсивности напряжений совпадает с отношением S220/S2g (задача О или 5 .^ /5 ^ (задача II). Графики указанных отношении показаны на рис. $.4.

Рассмотрим еще задачу I для распространения разреза с межзву­ ковой скоростью [87,114]: с2 < u < Cj. При этом р = - у < 0 и уравнение относительно ф (2.2) становится волновым

С учетом симметрии можем ограничиться решением для верхней полуплоскости. Положим, удовлетворяя уравнениям (2.2), (2.23),

находим \к и выражения для перемещений и напряжений на границе полуплоскости

Из условия ограниченности потока энергии у края разреза следует к > 2, что отвечает отсутствию потока энергии в точку х = 0. При мини­ мальном значении к 2 < v2 <5/2. Заметим, что к частному решению неоднородной задачи для устранения слишком сильной особенности (если такая возникает в точке х = 0) прибавляется однородное реше­ ние, для которого к < 2.

Положив для четных к А(у - 1) > 0 (у Ф1), имеем и2 ^ 0, о22 ^ 0. Для к нечетных о22 < 0 при и2 ^ 0.

Характерным отличием от до- и сверхзвукового режимов является зависимость значений \кот скорости и.

Таким образом, в отличие от докритического режима энергия в край разреза не стекает. Вместе с тем, волне расширения (потенциалу ф) соответствует поток энергии к берегам разреза:

A2\iu3ba\2(\K- I) 2 х

2

х (- Х)2У>*~А sin2nvK, *<0, 7>0,

где величины с ноликами определяются без учета потенциала ф. Однако в отличие от обычной ситуации (для теории трещин в сплош­ ной упругой среде), когда поступающая энергия исчезает в особой

(трещина укорачивается: - с, < и < - с2) в отличие от (2.24) следует положить (у > 0) ф = (- х + Vv уУкЯ (- х + у yfÿ). При этом \к= к - 0),

к >2.

Для задачи II 0) в (2.25) заменяется на 0) - 1/2.

§ 5.3. Расщепление фундаментальных решений

Решение обобщенной плоской задачи о динамике плоской трещины в линейно-упругом теле, так же как и в статике, можно представить суперпозицией решений трех основных задач (см. задачи I, И, III). Каждая из таких задач является смешанной: на части границы полу­ пространства задана одна из компонент перемещения, на остальной части - соответствующая компонента напряжения (еще одна компо­ нента напряжения задана на всей границе) - см. условия (2.1.10) — (2.1.12), (2.2.1) - (2.2.6). Однако в отличие от статики здесь точки раздела граничных условий (края трещины) движутся, причем в общем случае с переменной скоростью.

Кроме указанных условий на границе полупространства задана линейная связь типа (1.19), (1.26), например в задаче I

Для того чтобы решить такую задачу, достаточно найти компонен­ ты, связанные соотношением типа (3.1), на границе полупространства, поскольку еще одна компонента напряжения задана (для задачи I о12= 0). Полное решение выражается свертками. Для той же задачи

обращения для преобразования Фурье (3.3) в верхнюю полуплоскость q, где особых точек нет, обнаруживаем, что SK= 0 при х < et. Если же с> и £ , то, деформируя путь в нижнюю полуплоскость q (при с > особые точки расположены в верхней полуплоскости), получаем: SK= О при х > e t. Поскольку значение с произвольно, приходим к выводу

SK= 0 (x < v z t, х > и *t).

Если Ок = ик = ик, носитель SKсосредоточен на луче х = о Kt:

$к = 2 £кп(0^П<Ч* ““

п=0

лежит на луче х = о Kt .

Рассмотрим теперь свертку нескольких функций SK- произведе­ ние их изображений. Поскольку произведению принадлежат все особые точки сомножителей, справедливо утверждение: носитель свертки (по t и х ) представляет собой объединение носителей сверты­ ваемых функций SKи областей (секторов) между ними.

Далее, пусть Q{t, х) = 0 при х < l(t), f(t, х) = 0 при х < uf, / = dl/dt < о

Справедливость утверждения (3.5) можно доказать так. Представим свертку (3.5) в виде

Х Щ - / ( т ) № - É- u(f- т)]</тс£,

где множители - функции Хевисайда - введены с целью подчеркнуть расположение носителей свертываемых функций. Вклад в интеграл будут давать те области интегрирования, где подынтегральное выраже­ ние отлично от нуля: £ > /(т), х - - ит. Отсюда для x < /(f) получаем

Но / ^ о, поэтому правая часть соотношения (3.7) не больше нуля. Противоречивость неравенств (3.7) означает, что при х < l(t) подынте­ гральное выражение везде равно нулю и, следовательно, равна нулю свертка (3.5). Точно так же доказывается и равенство (3.6).

Для антиплоской задачи факторизация проводится без труда.

цt; 3/2