книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм
.pdfС учетом того, что плотность тока j = I /п^а2- Ь 2>) , по
лучаем окончательно для силы выталкивания стержня из электролита
|
F - |
М 2/ |
|
|
2п(а2- Ь2) |
3.2.9. |
Электролит в кювете. В прямоугольную кювету |
(рис. 3.32), передняя и задняя стенки которой металлические, а остальные диэлектрические, налит электролит с удельной проводимостью Я . К металлическим стенкам приложено на пряжение U , и вся кювета помещена в вертикальное одно родное магнитное поле с индукцией В. Длина кюветы L, ширина Ь, плотность электролита р. Определить разность уровней электролита АЛ около непроводящих (правой и ле вой) стенок кюветы.
8N |
Наклон |
свободной |
поверхно |
||
|
сти электролита на угол |
а |
|
связан |
|
|
с появлением дополнительной силы |
||||
|
Ампера при пропускании тока. Вы |
||||
|
делим мысленно вблизи свободной |
||||
|
поверхности |
электролита |
тонкий |
||
|
проводящий слой площадью |
сече |
|||
|
ния 6S и длиной b (рис. |
3.32). |
|||
|
Вдоль него |
течет ток с |
плотно |
стью j (например, за чертеж). На этот проводник действует сила Ампера
5FA = j b S b - B .
Кроме этой силы есть также сила тяжести бm g (8т - масса тонкого проводящего слоя) и сила давления со стороны внутренних слоев 8N Из того, что сумма этих сил должна быть равна нулю, сразу следует
t g a = - ^ - . b m g
Силу тяжести bm • g нетрудно выразить через плотность
и объем bmg - p bS b - g , а для расчета силы Ампера bFA
необходимо знать плотность тока j . Воспользовавшись за
коном Ома в дифференциальной форме и связью напряжен ности электрического поля Е с напряжением U нетрудно получить
j=XE=X— .
|
|
Ъ |
|
Тогда для угла наклона а находим |
|||
|
X U b S b B |
XUB |
|
|
tga = ----- -------- = ------ . |
||
|
b p b S b g |
bpg |
|
В итоге разность уровней |
ДА около правой и левой |
||
стенок кюветы составит |
|
||
|
AA = L t g a = XUBL |
||
|
|
bpg |
|
3.2.10. |
Электромагнитный насос. В электромагнитном |
||
насосе для перекачки расплавленного металла участок трубы |
|||
прямоугольного сечения высотой а находится в однородном |
|||
магнитном поле с индукцией В (рис. 3.33). Через этот уча |
|||
сток трубы в перпендикулярном |
В |
||
вектору В и оси трубы направле |
|||
|
|||
нии пропускают |
равномерно рас |
|
|
пределенный ток |
I Найти избы |
|
|
точное давление, |
создаваемое на |
|
|
сосом. |
|
|
|
Избыточное |
давление насоса |
Рис. 3.33 |
|
создается тем, что на любой выде |
|||
|
ленный в направлении тока элементарный участок жидкого металла площадью dS и длиной b действует сила Ампера dFA = jdS- b- B. Так как каждый участок находится в одно родном магнитном поле и плотность тока постоянна по сече нию (j = I / a b ), то, очевидно, полная сила, просуммирован ная по всем участкам,
FA = \dFA = jaLbB = IbB. Тогда давление можно найти как
3.2.11. Давление внутри жидкого проводника. Вдоль оси цилиндрического жидкого проводника радиусом R рав номерно по сечению течет ток / Найти давление Р(г), обу
словленное взаимодействием тока с созданным им магнит ным полем.
В данной ситуации давление возникает из-за взаимодей ствия любого выделенного элемента тока с собственным
магнитным полем всех элементов тока. Учитывая симметрию |
|||||
dS |
задачи, выделим в цилиндрическом |
||||
жидком проводнике тонкий цилин |
|||||
|
|||||
|
дрический слой радиусом |
г и тол |
|||
|
щиной |
dr (рис. 3.34). |
Вырежем |
||
|
мысленно на этом слое бесконечно |
||||
|
малый |
элемент площадью |
dS |
||
|
и толщиной dr . Легко увидеть, что |
||||
Рис. 3.34 |
сила, приложенная к элементу |
dS , |
|||
направлена к оси цилиндра. Именно |
|||||
|
эта сила и вызывает давление на внутреннюю поверхность тонкого цилиндрического слоя. Для расчета этой силы нам необходимо знать величину индукции магнитного поля В
в районе выделенного элемента dS Из теоремы о циркуля ции вектора В следует
В • 2nr |
- \iQjnr'2, |
(1) |
где j = I/n R 2 - плотность тока. Из (1) находим |
|
|
« г ' ) |
= ь £ . |
|
|
2 |
|
Найдем теперь силу, действующую на элемент dS :
|
•2 ' |
|
dF = jB d S - dr = ^ -^ -d S d r ' |
|
|
|
2 |
|
и соответственно давление |
|
|
dP=^ L =t o L / dr' |
(2) |
|
dS |
2 |
|
Это давление создано только элементом толщиной dr Для нахождения полного давления, созданного всеми эле ментами тока, находящимися в слое конечной толщины в ин тервале радиусов r< r <R, проинтегрируем выражение (2):
Р = |
4 К - 2)- |
2 I |
Тогда после подстановки сюда значения плотности тока
(у = I/n R 2) окончательно получаем |
|
4n2R4 V |
’ |
Максимум давления наблюдается на оси жидкого про водника и составляет
2nR
33. Магнитное поле в веществе. Сверхпроводники
При внесении магнетика в_магнитное поле изменяется как само поле, так и магнетик. Нечто подобное происходит и с диэлектриками. Однако наблюдается и существенное от личие: если в диэлектриках электрическое поле всегда ослаб ляется, то в магнетиках магнитное поле может как ослабить ся, так и усилиться.
Одним из фундаментальных утверждений для магнитно
го поля является теорема о циркуляции вектора В :
cjBdl=n0(l + I'). |
(1) |
Однако использование данной теоремы для расчета поля в магнетиках является неэффективным, так как циркуляция
вектора В определяется не только токами проводимости (/),
но и токами намагничивания (/'). Причем величина токов
намагничивания, причиной которых являются молекулярные
токи, явно зависит от неизвестного поля В . Это затруднение можно обойти, если ввести вспомогательный вектор напря женности магнитного поля
- J , |
(2) |
Но
где J - вектор намагниченности (намагниченность маг нетика)
] =— |
У р . |
|
А1/ ^ |
гщ |
|
АV |
дv |
|
Здесь суммирование производится по всем магнитным мо ментам молекул физически бесконечно малого объема ДУ
Поле вектора J обладает тем свойством, что его циркуляция
по произвольному контуру равна алгебраической сумме то ков намагничивания, охватываемых данным контуром:
< $ М = 1 ' |
(3) |
Соотношение (3) не означает, что поле вектора J |
опре |
деляется только токами намагничивания. Однако в некото рых случаях определенной симметрии это поле выглядит так, как будто оно определяется только токами намагничивания. Из соотношений (1МЗ) сразу следует теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля:
= / ,
полезная тем, что в нее входят только токи проводимости. Правило знаков для токов проводимости то же, что и в слу чае циркуляции вектора В .
Как показывает опыт, для однородного и изотропного магнетика и не слишком больших полей зависимость между
J и Н |
имеет линейный характер, а именно: |
|
|
J =XH, |
(4) |
где х |
~ безразмерная величина, называемая магнитной вос |
приимчивостью. В отличие от диэлектрической восприимчи вости ж, которая всегда положительна, магнитная воспри имчивость % может быть как положительной, так и отрица
тельной. Для большинства магнетиков |х| незначительно
больше нуля, т.е. магнитные свойства выражены слабо. Но для ферромагнетиков X значительно больше единицы. Кро ме того, для них зависимость У(Я) имеет весьма сложный характер и наблюдается гистерезис (зависимость от предыс тории магнетика). Для магнетиков, которые подчиняются за висимости (4), выражение (2) приобретает вид
где ji = 1 + х - магнитная проницаемость среды. Следует пом
нить, что соотношение (5) можно применять «без оглядки» только в том случае, если однородный магнетик заполняет все пространство, занятое полем.
Поле вектора Н зависит, вообще говоря, как от токов проводимости, так и токов намагничивания (как и поле век
тора В ). Поэтому в общем случае решение задачи о резуль
тирующем поле В невозможно, и универсальной формулы для его нахождения нет. Однако в некоторых случаях поле
вектора Н определяется только токами проводимости, на пример, когда однородный магнетик заполняет все простран ство либо объем, ограниченный поверхностями, образован ными линиями вектора индукции магнитного поля токов
проводимости. Именно для таких случаев вектор Й оказы
вается весьма полезным. Тогда расчет поля В в магнетиках сводится к следующему. Вначале определяют поле вектора напряженности магнитного поля, а затем, используя связь
векторов В и Н , находят индукцию магнитного поля В (именно это поле имеет непосредственный физический смысл).
Наличие границ раздела магнетиков можно учесть за счет так называемых граничных условий. Эти условия выте
кают из теоремы Гаусса для вектора В : <$BdS = 0 и теоремы
о циркуляции вектора Й ($ Йс11 = /
Очень интересно поведение сверхпроводников в маг нитном поле. При охлаждении сверхпроводника ниже кри тической температуры магнитное поле полностью вытесня ется из него (эффект Мейсснера-Оксенфельда). Так как в сверхпроводнике нет магнитного поля, то в его объеме
не могут течь и электрические токи, т.е. внутри сверхпровод ника всегда выполняются условия
Я = 0, 7 = 0 -
Все токи могут течь только по поверхности сверхпро водника. Эти поверхностные токи возбуждают магнитное поле, компенсирующее внутри проводника внешнее прило женное магнитное поле (оно вытесняется наружу).
33.1. Связь намагниченности J и поля В , Н маг нетика. Намагничивание вещества обусловлено преимуще ственной ориентацией или индуцированием магнитных мо ментов отдельных молекул в направлении, противоположном магнитному полю (диамагнетики) или совпадающем с ним (парамагнетики). Это в свою очередь приводит к упорядочи ванию молекулярных токов и, как следствие, ведет к появле нию макроскопических токов / ', определяющих собственное поле магнетика а Величина этого поля зависит не только от токов намагничивания /' и формы магнетика, но и от то го, как (в каком направлении) намагничен магнетик. Устано вим эту связь для тел наиболее простой формы - цилиндр, пластина и шар.
Рассмотрим вначале бесконеч ный цилиндр из однородного ферро магнетика, намагниченность которого
Jнаправлена вдоль оси цилиндра
иодинакова по сечению. Обратимся
крис. 3.35. Молекулярные токи в на магниченном магнетике ориентиро ваны перпендикулярно вектору на
магничения J У соседних молекул молекулярные токи в местах их со прикосновения текут в противопо
ложных направлениях и взаимно компенсируют друг друга за исключением токов, выходящих на боковую поверхность ци линдра. Эти токи образуют макроскопический поверхност ный ток намагничивания, циркулирующий по боковой по верхности цилиндра. Обозначим его линейную плотность как i . Этот ток возбуждает такое же макроскопическое магнит ное поле, что и все молекулярные токи вместе взятые. Значе ние i' нетрудно связать с намагниченностью J Для этого применим теорему о циркуляции вектора J к контуру, ука занному на рис. 3.35 (отмечен штриховой линией):
(|Jdl —/ —> У/ —i I —> I —У
(заметим, что векторы ? и У взаимно перпендикулярны). Таким образом, мы приходим к известной нам задаче
расчета индукции магнитного поля бесконечного соленоида с заданной линейной плотностью тока i' = J . В этом случае
|
внутри |
|
А из |
связи Н = B/\i0 - J |
сразу следует ЯвнуфИ = О, |
Я вне=0 |
(так как Увне =0). |
|
Рассмотрим теперь бесконечную плоскую пластину из однородно намагниченного ферромагнетика, причем вектор
намагниченности У |
параллелен |
плоскости |
пластины |
||||
|
(рис. 3.36). |
Нетрудно |
понять, |
||||
|
что |
вектор |
линейной |
плотно |
|||
|
сти поверхностного тока Г на |
||||||
J |
верхней |
поверхности |
направ |
||||
|
лен за чертеж, а на нижней - |
||||||
|
из |
чертежа |
(внутри |
пластины |
|||
Рис. 3.36 |
нет |
токов |
намагничивания). |
||||
Как было показано ранее, ин- |
|||||||
|