книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм
.pdfДинамика движения кольца подчиняется известному из механики уравнению моментов
|
dt |
(1) |
|
|
|
За время dt вектор L получает приращение dL = M dt, |
||
модуль которого dL =LsinВ d a , где da = Qdt - |
угол пово |
|
рота конца вектора L |
за время d t. Таким образом, |
|
dL _ LsinB-Qdt- = £2Lsin6. |
(2) |
|
dt |
dt |
|
В силу уравнения (1) величина dLldt должна быть рав |
||
на модулю момента силы М ~\_Ртв ~\ • Его значение |
||
|
M = pmBsin0. |
(3) |
Приравнивая (2) и (3), получаем |
|
|
QLsin6 = pmZ?sin0. |
|
|
Откуда находим |
|
|
Q = Рт В
L
Осталось только найти величины рт и L. Так как масса кольца и его заряд сосредоточены на окружности радиу сом R, то
L = mR2(0, рт = InR2=
(здесь мы явно учли, что с о » Q , - только в этом случае век торы L и рт направлены вдоль вектора со).
Таким образом, окончательно получаем
Частоту Q называют частотой ларморовой прецессии или просто ларморовой частотой. Примечательно то, что ее значение не зависит ни от скорости вращения кольца, ни от
угла между векторами В и со (или рт). Полученный резуль
тат имеет большое значение для объяснения диамагнитных свойств веществ.
3.23.Виток около прямого провода. Небольшой виток
стоком (контур) находится на расстоянии г от длинного пря мого проводника с током I . Магнитный момент витка равен рт . Найти модуль и направление силы, действующей на виток,
при различных его ориентациях относительно прямого тока. Значение силы, действующей на элементарный контур
с током в неоднородном магнитном поле, определяется вы ражением
ВдВ
Р~ Рт--- •
тдп
Здесь дВ/дп - производная вектора В по направлению нор мали п или по направлению вектора магнитного момен та рт . Несмотря на кажущуюся простоту этого выражения, его практическая реализация требует отчетливого понимания понятия «производная по направлению». Для ее расчета не обходимо вначале задать вектор небольшого перемеще ния 8г в заданном направлении неоднородного магнитного поля (8r ТТ рт| . Затем отобразить векторы В, и В2 в ис
ходной и конечной точках перемещения и найти вектор при ращения ЬВ =В2 - В Х. Тогда модуль производной дВ/дп бу дет равен отношению 8В /8г, а направление силы, дейст вующей на магнитный диполь, будет совпадать с направлением вектора 8В .
Рассмотрим вначале ситуацию, когда вектор рт парал лелен прямому проводнику с током (рис. 3.23, а). В этом слу-
чае вектор малого перемещения 5г параллелен току. Так как индукция магнитного поля прямого тока зависит только от расстояния до заданной точки, то В1=В1 и 8В = В2 - Bt = 0. Отношение 8В/8г, очевидно, равно нулю, значит, и сила, действующая на магнитный диполь, также равна нулю.
В2
|
5г |
1 |
|
I |
Q- |
|
|
|
5, |
|
|
F |
= О |
|
|
|
а |
б |
в |
|
|
|
Рис. 3.23 |
Пусть теперь вектор |
рт направлен вдоль радиус-векто |
ра г . Зададим небольшое перемещение бг ТТ г (рис. 3.23, б,
вектор рт параллелен вектору |
5г |
и на |
рисунке не ото |
||
бражен). Вспомним, что для прямого тока |
В(г) =р01/2 п г. |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
dB |
._ J V _ |
|
|
5В =\В2-В .Ы |
5 r= -^ V 6 r, |
||||
|
|
dr |
|
2 n r |
|
а сам вектор 5В (как и вектор F ) смотрит против вектора В |
|||||
в месте нахождения витка. В этом случае |
|
||||
F = р |
дВ |
8В _ р01рт |
|
||
гп |
дп |
= Рт 5г |
2пг2 |
|
Последний вариант - вектор рт совпадает по направле нию с вектором В в месте нахождения витка ^ ртТТ Вj . За-
дадим малое перемещение 8r ТТ рт , т.е. вдоль касательной
к линии вектора В (рис. 3.23, в, вектор рт параллелен век тору бг и на рисунке не отображен). Модуль бг = гбф. Тогда
8г |бв| = |в2-Я,|«Яб<р = — В.
Сейчас приращение ЬВ обусловлено изменением на
правления вектора В , но не изменением его величины {В -
модуль вектора |
В в месте нахождения витка). И для произ |
||||
водной \дВ! дп\ |
ползаем |
|
|
|
|
|
|
дВ |
бВ |
|
В_ |
|
|
дп |
бг |
|
г |
Тогда модуль силы, действующей на виток, |
|||||
|
F = Pm |
дВ |
= п |
|
* 2 |
|
дп |
гт |
г |
||
|
|
|
2пг |
и направлена эта сила вдоль вектора бВ , т.е. контур притяги вается к прямому току.
3.2.4. Взаимодействие коротких катушек. Две неболь шие одинаковые катушки расположены так, что их оси лежат на одной прямой (рис. 3.24). Расстояние между катушками I значительно превышает их линейные размеры. Число витков каждой катушки N , площадь витков S . С какой силой взаимодействуют ка тушки, если по их обмоткам протекают
токи /, и /2?
Заложенное в условии задачи тре бование малости линейных размеров катушек по сравнению с расстоянием между ними позволяет нам считать их
элементарными витками (магнитными диполями). Их ди польные моменты
A , . = W Pm2= I2SN |
(1) |
Таким образом, наша задача сводится к расчету взаимо действия двух магнитных диполей, когда их оси расположе ны на одной прямой, которую примем за ось X . Будем пола гать, что одна из этих катушек, например, первая является источником магнитного поля, а вторая находится в этом по ле. Тогда с учетом решения предыдущей задачи имеем
'r=p"!t r |
(2) |
Здесь дВ/дх - производная от индукции магнитного поля, созданного первой катушкой в месте расположения второй катушки в направлении ее оси. В задаче 3.1.1 нами было по лучено выражение для индукции магнитного поля на оси ди поля на расстоянии х от него:
В(х) = VoPml 2пх3
Осталось только найти производную дВ/дх в точке х =1 и подставить ее в (2). Тогда с учетом выражений (1) по лучаем
„ _ з ц , /,/г(д а)!
причем, если токи одного направления, то катушки притяги ваются, если разных направлений, то отталкиваются.
3.2.5.Разрыв катушки в магнитном поле. Катушку
стоком / поместили в однородное магнитное поле так, что
ее ось совпала с направлением поля. Обмотка катушки одно слойная из медного провода диаметром d , радиус витков R .
При каком значении индукции внешнего магнитного поля обмотка катушки может быть разорвана?
Попробуем вначале разобраться, откуда появляется си ла, разрывающая обмотку катушки. Для этого рассмотрим один из ее витков. Из рис. 3.25 видно, что для появления си лы разрыва направление внешнего магнитного поля должно составлять с направлением тока правовинтовую систему В противном случае катушка будет сжиматься.
В
|
Рис. 3.25 |
Рис- 3.26 |
Выделим на витке катушки бесконечно малый элемент |
||
длины |
d l. На него действуют с двух сторон силы натяже |
|
ния Т |
(рис. 3.26) и магнитная |
сила взаимодействия этого |
элемента с внешним магнитным полем dF. Из условия рав новесия элемента dl следует
dF =Tda, |
(1) |
где da - угол, под которым виден этот элемент из центра ка тушки. В соответствии с рис. 3.26
dF - Idl - В = IRBda. |
(2) |
Из (1) и (2) следует |
|
Tda = IRBda —э Г = IRB. |
|
Для разрыва витка необходимо, чтобы механическое на |
|
пряжение <т превысило предел прочности |
меди на раз |
рыв ат |
|
Т > о т — >а =Т /(nd2/4) > стт .
Таким образом, разрыв произойдет при значении
B>ixd2am/4RI
3.2.6. Давление внутри соленоида. По длинному соле ноиду, имеющему п витков на единицу длины, течет ток / Найти давление, действующее на боковую поверхность соле ноида.
Так как собственное поле внутри соленоида образует с током правовинтовую систему, то в соответствии с решени ем предыдущей задачи давление на витки соленоида направ лено изнутри. Для определения этого давления выделим мысленно небольшой элемент поверхности соленоида d S , на который изнутри действует сила dF Тогда давление
Нетрудно показать, что сила Ампера dF , действующая на поверхностный элемент тока соленоида,
dF = idS ■В' = IndS ■В'
Здесь / - линейная плотность тока (ток, приходящийся на единицу длины вдоль соленоида); В' - индукция магнитного поля, созданного в месте нахождения данного элемента тока
всеми другими поверхностными |
элементами |
соленои |
да, исключая данный. Для расчета |
этого поля |
обратимся |
к рис. 3.27, на котором отражен участок поверхности со
леноида |
без |
выделенного |
1 |
|
элемента dS (крестиками_______ ; |
||||
|
||||
указано |
направление тока). _____ хххх В' хххх |
|||
Точка 1 |
находится вне соле- |
2 |
||
ноида в |
районе |
удаленного |
||
Рис. 3.27 |
||||
|
|
|
элемента d S , а близкая к ней точка 2 - внутри соленоида. Значение поля & в точках 1 и 2 должно быть одинаковым, так как между ними нет никаких токов (следствие теоремы о циркуляции вектора В). Пусть индукция магнитного поля самого элемента dS вблизи него равна В3
(рис. 3.28, сверху и снизу элемента векто
хххры В3 имеют противоположное направле
Я, |
ние). Если мы вставим данный элемент в за |
||
зор, указанный на рис. 3.27, то, естественно, |
|||
Рис. 3.28 |
получим поле соленоида со сплошной по |
||
верхностью. Это означает, что в точке 1 по |
|||
|
|||
ле должно |
исчезнуть, а в точке |
2 поле станет равным |
|
lL0i =H0Irt (см. задачу 3.1.8). Математически это можно запи |
|||
сать в виде системы уравнений |
|
||
|
В '-В 3 =О, |
|
|
|
В' +В3= n0i. |
|
|
Отсюда сразу следует В' = ц0гУ2 =ц01п/2. С учетом это |
|||
го значения находим |
|
||
|
Р |
2 |
|
|
dS |
||
3.2.7. |
Соленоид в аксиально-симметричном поле. Со |
леноид с током I и числом витков на единицу длины п на ходится в аксиально-симметричном магнитном поле, ось симметрии которого совпадает с осью соленоида. Найти мо дуль силы, действующей на соленоид, если магнитные пото ки, входящий и выходящий через торцы соленоида, равны Ф, и Ф2.
Выделим на соленоиде узкий кольцевой слой шири ной dz (рис. 3.29). На любой элемент такого слоя длиной dl будет действовать сила
dF =i- dzdl ■В ,
где i - линейная плотность тока. Эта сила имеет две проек
ции: радиальную - dFr и осевую - dF.. В силу аксиальной
симметрии поля сумма всех радиальных составляющих сил dFr, очевидно, обратится в нуль. Сумма же осевых состав
ляющих и даст нам полную |
|
||
искомую силу, действующую на |
|
||
соленоид |
F = jdFz , где |
dFz = |
|
=i • dzdl ■Всos а . Произведение |
|
||
dzdl- Вcos а |
представляет |
собой |
Z |
элементарный поток с1Ф вектора |
|||
индукции магнитного поля через |
|
||
площадку dS - dzdl, поэтому |
|
dFz =ШФ
Интегрируя это выражение по всем элементам боковой поверхности соленоида (только там протекает ток), получаем
F = i<Рбок ’
где Фбок - магнитный поток через всю боковую поверхность соленоида. Этот поток в силу теоремы Гаусса для магнитного поля (jBdS = 0 будет равен модулю разности магнитных по токов через торцы соленоида
- ^ 1 Таким образом, окончательно получаем
F = /|<J>1-<t>2| = //i|01-<I>2|. (1)
Воспользовавшись этим результатом, найдем силу, с ко торой одна половина бесконечно длинного соленоида дейст вует на другую половину. Радиус соленоида R .
Разделим мысленно беско нечно длинный соленоид на две полубесконечные половинки (рис. 130). Пусть левая поло винка является источником ак сиально-симметричного поля, а правая находится в этом поле. Токи в обеих половинках имеют одинаковое направление, по
этому они притягиваются с силой, даваемой выражением (1). Пусть Ф, - магнитный поток, входящий через левый торец правой половинки соленоида. Так как правый край этой по ловинки соленоида уходит в бесконечность, то, очевидно, магнитный поток через него равен нулю (Ф2 = 0). В задаче 3.1.9 мы уже находили значение поля на торце полубесконечного соленоида: В = p0i/ 2. Поэтому
Ф, = |Л0/я/?2 / 2 = \L0nlnR2 / 2. Для силы взаимодействия получаем
'2
3.2.8.Проводник в электролите. Внутри длинного ци линдрического сосуда радиусом а параллельно его оси распо ложен проводящий стержень радиусом b с тонкой изоляцией. Расстояние между осями стержня и сосуда равно /. Сосуд за полнили электролитом и пустили вдоль оси ток I , возвра щающийся обратно по стержню. Найти модуль и направление магнитной силы, действующей на единицу длины стержня.
Данная задача является прекрасной иллюстрацией того, насколько отличаются по трудоемкости различные подходы к решению. У нас есть два варианта. В первом случае вначале необходимо разбить каждый проводник на тонкие линейные