книги / Методы принятия технических решений
..pdf82 |
Глава 6 |
цах, установленных ранее на основании его свойств, см. (6 .3 5 ):
Vwv(а) ,• t 1, а также |
Vwv(a) | 0 и Vwv(a) |
\ 0 . |
V-УОО |
гь»0 |
оу->1 |
ад->юо |
|
|
Отсюда видно, что при большом объеме выборки v и одновре менно большом числе реализаций w улучшенный HL-критерий (6.36) приближается к нейтральному BL-критерию, а в случаях малого объема v выборки и (или) числа реализаций w опре деляющим становится ММ-критерий. При этом с учетом (6.36) и (6.42) выражение (6.38) может быть записано в виде
eir = М*а (a) i = £ hw,j,i (а) <?«•/. |
(6.43) |
/=1
Остановимся на определении границ применимости HL-крите- рия. В самом деле, при наличии информации о вероятностном распределении внешних состояний F\, ..., Fn, даже, например, при малом числе реализаций w (что, кстати, будет отражено в малости величины доверительного фактора, согласно (6.33)], имеет смысл выйти за рамки строгого следования минимаксно му критерию, если принимающий решение готов в такой ситуа ции пойти на некоторый риск, определяемый величиной едоп. Для некоторых внешних условий, имеющих большую вероят ность реализации, могут получиться варианты решения, которые дают заметный выигрыш по сравнению с оптимальным вариан том по ММ-критерию. С целью оценки конкурентоспособности таких решений для каждого варианта Е{ введем специальную величину, равную сумме минимального результата mine,;, /=
= 1 , ..., п, и эффекта риска: |
|
min ец + et. |
(6.44) |
/ |
|
Величина etпо своему смыслу должна отвечать |
ограничению |
е,-=тт(ег возм> еДоп). |
(6.45) |
Тем самым гарантируется непревышение величиной е* значения
дефекта t-ro варианта решения по отношению к |
оптимуму, |
||
полученному по минимаксному |
критерию [см. (6.40)], |
а также |
|
величины допустимого риска |
едоп. Максимальный |
риск при |
|
рассмотрении всех вариантов решения Ей i—1 , |
т, |
согласно |
|
|б.40) равен |
|
|
|
e = max е/ = тах min (вi возм> еДоп) • |
|
(6.46) |
ii
Вотличие от выражения (6.42) для HL-критерия, будем теперь
Количественные характеристики ситуации принятия решений |
8& |
||
исходить из следующей оценки результата: |
|
||
= Vw0(a)i h |
eijhj+ (1 — У'Ма);)гшп(е,7 +е;). |
||
/=i |
|
/ |
(6.47) |
|
|
|
|
Обозначим через E*(e) |
множество всех |
вариантов |
решения,, |
обеспечивающих .максимум величины ц,: |
|
|
|
Е*(г) : = {Etliu=max[ii}, тахц , = ц*. |
(6.48) |
||
|
i |
i |
|
Для разъяснения сути критерия, определяемого выражениями (6.47) и (6.48), рассмотрим два крайних случая. Если еДОп=0^
то, согласно (6.45), и ег= 0 , а |
тогда из (6.47) получаем вновь |
||
выражение для улучшенного HL-критерия (6 .3 6 ): |
|
||
П |
eijhj+ (1 — «,)mine,y, |
(6.47а) |
|
\и= Щ 2, |
|||
/ - |
1 |
/ |
|
где U i = V vw {a) |
|
(6.45), е; = егвозм, |
а выражение |
Если еДоп^е, то, согласно |
(6.47) с учетом (6.40) фактически преобразуется в нейтральный критерий Байеса — Лапласа:
\Ki— Ui |
П |
tli)2 JVIM> |
“Ь ( 1 |
причем весовой коэффициент щ равен доверительному фактору
Ui=Vvw(a)i.
Продолжая наши рассуждения, рассмотрим случай, когда
Ui=Vvw(a)i=0. Эта величина равна |
нулю в случае, когда а = 0, |
|
т. е. нет никакой информации о распределении |
вероятностей |
|
реализации внешних состояний Л, |
Fn>или |
при о ;= 1 , т. е. |
когда решение принимается впервые. Тогда выражение (6.47) преобразуется к виду
|
Pi|ut=o = min (<?,/+е.) —*• шах! |
|
(6.49) |
Приращение |
результата вц до величины е^ + е,, которая, |
сог |
|
ласно (6.45) |
и (6.40), может достигать ZMM, |
позволяет в |
соот |
ветствии с (6.48) включить в рассмотрение |
несколько дополни |
тельных вариантов решения. Дальнейшим рациональным шагом будет применение BL-критерия для этих вариантов:
ц**: = |
шах |
S |
е,,7г/. |
(6.50) |
|
{ieE.QE*( £ ) } |
У |
- 1 |
|
Тем самым из множества Е*(е) вариантов решения, результа ты которых максимизируются выражением (6.49), предпочтение
6*
84 |
Глава 6 |
будет отдано вариантам, имеющим максимальный средний результат, а к ним в первую очередь относятся такие варианты Е{, в которых внешние состояния F,, обеспечивающие высокие значения результата ец, характеризуются большими вероятно стями реализации. Приведенные здесь рассуждения для случая Ui=Vvw(a)i справедливы и для значений щ, близких к нулю. Если же значение tii=Vvw(a)i близко к единице, то критерий (6.47) и сам по себе приближается к критерию Байеса — Лап ласа:
21 ецН; — >- max!
/i
6.6.Опорные величины для оценки риска
Теперь^ необходимо более глубоко определить понятие риска, которое обычно интерпретируется как возможность получения нежелательного результата. В рассматриваемой нами ситуации принятия решений будем считать риском реализацию случая, когда вариант решения £,• при внешнем состоянии Fj дает результат меньше ожидаемого. Эту ожидаемую величину при мем в качестве опорной для оценки риска, причем для большей ясности необходимо разделять опорные величины на завися щие и не зависящие от внешних факторов.
В качестве не зависящей от внешних факторов опорной величины ег может фигурировать любая вещественная величи на, однако согласно смыслу ее определения она может нахо диться только в диапазоне
min min е,/<ег< т а х max ец. |
(6.51) |
|||
i |
i |
i |
/ |
|
Для конкретного варианта Et величина |
|
|
||
ег: = ег — min ег/= шах (ег — ец) |
(6.52) |
|||
|
i |
i |
|
|
называется возможным дефектом выбора варианта решения |
||||
Так как отрицательные значения |
согласно (6.52) |
не являются |
дефектом, рассмотрим, с учетом обычного обозначения поло жительной части х+ вещественного числа х через л;+ :=тах(л:, 0 ), величину
ei+ : = тах(е/, 0 ) = (ег — min ец)+ |
(6 .5 3 ) |
/ |
|
и назовем имеющим дефект или свободным от дефекта вариант
принятия решения Е*, когда 8г+ > 0 |
или, соответственно, ег+= 0 . |
|
Тогда при ez>max шах |
любой |
вариант принятия решения |
Количественные характеристики ситуации принятия решений |
85 |
будет иметь дефект, а при ег :minminetj все варианты будут
свободными or дефекта.
Было бы целесообразным определять опорные величины для оценки риска через значения известных критериев принятия
решения. Так, например, обозначим |
|
||
|
ejMMe-2 MM_ mjn вц |
(6.54) |
|
и, |
соответственно, (е,мм)+ как |
возможный дефект |
решения |
Ei |
относительно достижимого |
значения оценочной |
функции |
ZMM по минимаксному критерию. |
|
||
|
По отношению к независимой от внешних состояний опорной |
||
величине ег можно ввести следующее определение: |
из двух |
вариантов решения Е\ и Ei будем называть вариант £» не луч
шим по |
сравнению с Et (записав это |
в виде соотношения |
Ei^E i), |
если определенные согласно |
(6.52) оценки риска ег |
и в! удовлетворяют неравенству е,^ег. Раскрывая данное нера венство вг= ег—т \ п е ц ^ е г—mine;3- и сокращая в нем подобные
члены, получим min ец, что говорит о независимости
данного выражения от ех. Характер соотношения вариантов принятия решения для всех независимых от внешних факторов уровней отсчета ег будет тот же самый, и, сохраняя суть соот ношения, его можно просто записать в виде Е ^ Е ц
В общей формулировке опорную величину ег, зависимую от внешних факторов, можно представить в виде функции от всех m-л значений результатов решения ец :
t |
= 1 ........ т, |
|
ег=ч>(ец), /. |
—1., .... я. |
(6.55) |
(Данное выражение включает в себя и тот случай, когда <р вообще не зависит от ец, т. е. является константой.) Тогда де фект, возможный при выборе варианта решения Ец согласно '(6.52), определяется выражением
е/=фО</) — min e//=max(<p(e</) — е{}). |
(6.56) |
Выбор оптимального варианта Ei* дает минимальный |
дефект |
е*: |
(6.57) |
e*=e*(=min е/. |
Таким образом, разность между дефектом в,- варианта решения Et и минимальным дефектом е* принимает вид
Aei=ei — m inai= (ф(е</) — min ец) —
—т!п[(ф(е,/) — mine,/)]. |
(6.58) |
86 Глава 6
Полученную разность дефектов можно рассматривать как отно сительный риск при выборе соответствующего варианта реше ния Ei.
В случае, когда опорной величиной является оценочная функция ZMM, соответствующая ММ-критерию, минимальный
дефект e* = min е2= min (ZMM—min ец) =Z MM—max min e,j = 0 , i i i t i
так что в этом случае Ae, = et=ZMM—miney.
Опорные величины могут п внешних состояний Fit ..., Ч* от т переменных:
«*/: = 'F (ei/,
быть определены для каждого из Fn отдельно с помощью функции
.. . , eih . . . |
, em/) . |
(6.59) |
В этом случае в соответствии с (6.51) значения eZj имеют смысл только в диапазоне
min |
шах е,/. |
(6.60) |
i |
i |
|
Величину |
|
|
е /: = max (е2/ — «у) |
(6.61) |
будем называть возможным дефектом выбранного варианта ре шения Ei или оценкой риска, сопутствующего такому решению; при этом, в соответствии с (6.53), заслуживают внимания толь ко положительные значения:
e+i: = [max(ezj — ву)]+. |
(6.62) |
/ |
|
Ограничение значений опорной величины ег$ диапазоном (6.60) мотивируется тем, что при ег,->тахеу любой вариант реше
ния имеет дефект, а при e2j^ m in ey все варианты бездефектны.
/
Примерами зависимых от внешних факторов опорных вели
чин являются граничные значения диапазона |
(6.60): |
||
eZj : = |
max е,у |
(6.63) |
|
и |
|
|
|
ег!: = |
min еу, |
(6.64) |
|
а также среднее значение |
|
|
|
1 |
т |
eU• |
(6.65) |
вг/ = — |
2 |
||
от |
i= 1 |
|
|
Оптимальный выбор варианта |
решения Ei* |
^ает минимальный |
Количественные характеристики ситуации принятия решений |
87 |
дефект, который для величин, не зависящих от внешних факто ров, аналогично (6.57) и (6.61) равен
e*= e*i=mine(, |
(6 .6 6) |
i |
|
а разность между возможным и минимальным дефектами для варианта решения Et составит, аналогично (6.58):
Де,-= е« — min ы —max [ег/ — ец] — min {max [eZj — ец] }. t / i f
(6.67)
Эту величину, в свою очередь, можно рассматривать как отно сительный риск при принятии варианта решения Ей
Более наглядная интерпретация свойств зависимой от внеш них факторов опорной величины получается в случае использо вания S-критерия (3.7) с оценочной функцией
Zs = min [max (max ец — ец) ]. |
(6 .6 8) |
||
i |
I |
l |
|
Действительно, если |
принять |
в качестве опорной величины, |
|
зависящей от внешних |
состояний, eZj:=m axetJ- [см. |
(6.63)], |
то, согласно (6.52), риск, сопутствующий решению Ец опреде ляется выражением et=m ax(m in ец—ец), а оптимальным, сог
ласно (6 .6 8), будет вариант решения Е{* с оценочной функ цией
Zs =mine, = : е*«, i
т. е. вариант с минимальным риском.
6.7. Пример оценки значимости параметра для некоторой простой функции при различных его вероятностных
распределениях
В примере, предлагаемом ниже, будут рассчитаны значи мость, энтропия и коэффициенты влияния, понятия о которых были даны в разд. 6.2 и 6.3. Дальнейшее применение они полу
чат в разд. 9.5. Расчет величин доверительных |
факторов |
из |
разд. 6.4 будет рассмотрен в разд. 7.2. |
|
|
Вопросы принятия решения при наличии риска (разд. 6.5) |
||
и выбора опорной величины для оценки риска |
(разд. 6 .6 ) |
не |
нуждаются здесь в дальнейших пояснениях. Для этого в разд. 7.2 будут даны методы их расчета.
8 8 |
|
|
|
Глава 6 |
|
В качестве примера рассмотрим простую функцию |
|
||||
|
|
|
е (У, х) =у2/х1 + 2 *2. |
(6.69) |
|
Здесь |
у — зависимая переменная возможных вариантов |
реше |
|||
ния, а |
х\ |
и х2— независимые |
переменные, описывающие |
неиз |
|
вестные |
влияния |
внешних состояний. В табл. 6.5 приведены |
|||
|
|
Таблица 6,5. Дискретные значения переменных |
|
||
|
|
|
[уравнение (6.69)] |
|
|
|
Зависимая |
|
У{<= [1. 2, 3] |
|
|
|
переменная у |
|
|
||
Независимые |
хх: распределена равномерно G (0,1; 0,9) |
|
|||
переменные х |
х17е [0,1; . . . ; 0,9] |
|
|||
|
|
|
х2: распределена нормально N (10; 0,44) |
|
|
|
|
|
x2j 6= [8, |
, 12] |
|
дискретные значения переменных, выбранные для данного при мера. Границы значений параметров у и х\ определяются ус ловиями задачи, а для параметра х2 они подчиняются правилу За.
Сначала выполним расчет коэффициентов влияния независи мых параметров, значения которых приведены в табл. 6.5, используя формулы (6,5), (6 .6 ) и (6.7). Результаты вычисле ний сведены в табл. 6 .6 .
Таблица 6.6. Релевантности и коэффициенты влияния независимых параметров из выражения (6.69), распределенных согласно данным табл. 6.5
|
Я„° |
(6.5) |
Rltb (6.6) |
|
Rt (6.7) |
|
уi |
|
Ra |
|
|
|
|
|
«И |
Ri\ |
Hi2 |
Ri |
Ri |
|
|
Hi2 |
|||||
у ‘= i |
0,404 |
0,364 |
0,526 |
0,474 |
|
0,474 |
у%=2 |
1,270 |
0,286 |
0,876 |
0,184 |
0,909 |
|
1/з=3 |
2,105 |
0,210 |
0,909 |
0,091 |
Из таблицы видно, что максимальный коэффициент влияния Ri для параметра х\ почти вдвое выше, чем для параметра х2. Отсюда лицо, принимающее решение, может извлечь указание о необходимой в данном случае дополнительной информации относительно условий задачи либо имеющихся результатов. Если, например, получение дополнительной информации для снижения уровня неопределенности в условиях задачи связано
Количественные характеристики ситуации принятия решений |
89 |
Таблица 6.7. Значимость В\
параметра х\ функции (6.69) в зависимости от числа интервалов дискретизации /zt
Равномерное распределение (0,1; 0,9) Максимальный коэффициент влияния Ri=0,909
П1 |
Al |
Иг |
Bi |
2 |
0,40 |
0,693 |
0,630 |
3 |
0,27 |
1,099 |
0,999 |
4 |
0,20 |
1,386 |
1,260 |
5 |
0,16 |
1,609 |
1,463 |
6 |
0,13 |
1,792 |
1,629 |
10 |
0,08 |
2,303 |
2,093 |
20 |
0,04 |
2,996 |
2,723 |
50 |
0,02 |
3,912 |
3,556 |
Таблица 6.8. Значимость В2
параметра х%функции |
(6.69) |
||
в зависимости |
от числа интервалов |
||
|
дискретизации п2 |
||
Нормальное распределение |
(10; 0,44) |
||
Максимальный коэффициент влияния |
|||
|
|
Я ,-0,474 |
|
«1 |
As |
Иa |
B2 |
2 |
2,00 |
0,320 |
0,152 |
3 |
1,33 |
0,725 |
0,344 |
4 |
1,00 |
1,014 |
0,480 |
5 |
0,80 |
1,237 |
0,586 |
6 |
0,67 |
1,419 |
0,673 |
10 |
0,40 |
1,930 |
0,915 |
20 |
0,20 |
2,623 |
1,243 |
50 |
0,08 |
3,539 |
1,678 |
с неоправданными затратами на дальнейшие измерения или наблюдения, то для решения задачи целесообразно ограничить ся наличной информацией и сосредоточить внимание на пара метрах с большими коэффициентами влияния.
Для вычисления значимости Bi необходимо определить еще энтропию заданных параметров. Из выражения (6.13) в разд. 6 .3 в качестве приближения для вычисления энтропии равно мерно распределенного параметра получим выражение
Нрлвн (А/) — In (Xi — Xi) /Дlf |
(6.70) |
90 |
Глава 6 |
где xi — верхнее граничное значение параметра xi, х;— нижнее граничное значение параметра хи Дг— шаг дискретизации па раметра Хи а для параметра, распределенного по нормальному закону, — выражение
Я„орм(А/) =7а In 2ле(о2/Д,2), |
(6.71) |
|
где о — среднеквадратическое |
отклонение нормального |
зако |
на распределения. |
|
|
Параметры распределения хи xi и о приведены в табл. 6.5. |
||
Теперь, используя выражения |
(6.70) и (6.71), произведем рас |
чет энтропий обоих независимых параметров Х\ и х2 в зависи мости от шага дискретизации. Результаты вычислений приведе ны в табл. 6.7 и 6 .8 , где, кроме того, даны величины значимо
стей В\ и |
В2 параметров, определенные по |
формуле (6 .8 ) из |
||
разд. 6 .2 . |
|
|
|
|
На больших интервалах дискретизации соотношение значи |
||||
мостей В\ |
и В2 параметров х\ и х2 за счет их энтропии лучше |
|||
для параметра |
хи чем на |
малых интервалах дискретизации. |
||
С ростом |
числа |
интервалов |
дискретизации |
отношение BJB2 |
стремится к величине R\/R2.
В разд. 9.5 показано, как необходимо выполнять объектив ный выбор величин значимости и числа интервалов дискрети зации заданных независимых (неизвестных) параметров с уче том взаимосвязи этих величин.
7
ГИБКИЙ КРИТЕРИЙ ВЫБОРА РЕШЕНИЯ
7.1. Свойства
Проведенные в гл. 6 рассуждения составляют основу для такого критерия выбора решения, который гибко сочетается с качественными характеристиками исходной информации и числом предстоящих реализаций решения, что характеризуется, соответственно, эмпирическим и прогностическим доверитель ными факторами. Кроме того, проводится учет возможного риска, ограниченного его допустимой величиной. С помощью пяти требующих обязательного выполнения условий Gb G2, G3, G4, G5, формулировки которых будут даны ниже, опишем множе ство Е0 оптимальных согласно данному гибкому критерию ре шений Я*еЕо в виде
E0={E«|GIA(G2VG3)AG4AG5}. (7.1)
При этом условия формально характеризуются следующими соотношениями:
G,: |
Я ,еЕ |
|
|
|
(7.2) |
G2: |
К(а); = Едет; |
Е (а ),— доверительный фактор |
(7.3) |
||
|
Vvw(a)i |
или |
Vv(a),• или Vw(a),, |
|
|
|
Kaon — максимально допустимый доверительный фактор |
|
|||
G3: |
2мм |
min ег/<еДОп * |
(7*4) |
||
G4: |
Zr=p* = max{K(a)« |
£ е./Л/Ч-(1 — E(a);)X |
(7.5) |
||
|
|
i |
|
j = l |
|
|
X (min eij+e,)}; Zr — гибкая оценочная функция |
|
|||
|
i |
|
|
|
|
GB: |
p** = |
max |
|
£ ецй/. |
(7.6) |
|
|
i : B te E |
* ( e ) |
i |
|
Условие Gi говорит о том, что при выборе оптимального варианта решения рассмотрению подлежат все возможные ва рианты из множества Е. Условия G2 и G3 определяют границы величины допустимого риска при использовании гибкого кри терия G4. При этом лицо, принимающее решение, может огра ничить величину риска по собственному усмотрению путем выбора условия G2 или G3; в то время как условие G2 с ростом доверительного фактора V(a)j из сочетания минимаксного