книги / Методы принятия технических решений
..pdf92 |
Глава 7 |
критерия и критерия |
Байеса — Лапласа способствует выбору |
решения, все более близкого к решению по последнему из наз
ванных критериев, |
условие |
G3 непосредственно |
ограничива |
||||||||
ет отклонение |
возможного результата |
решения |
от результата, |
||||||||
принятого |
по |
минимаксному |
критерию. |
|
При |
использовании |
|||||
гибкого критерия G+ величины в,- ограничиваются в соответст |
|||||||||||
вии с условием (6.45) |
путем выбора допустимой величины рис |
||||||||||
ка едоп и, |
кроме |
того, дополнительным |
условием е ,^ е Доп, |
||||||||
поэтому, |
согласно |
|
(6.40), всегда выполняется равенство |
вг^ |
|||||||
= m in ( 8доп> 8Доп<) = |
•в . |
|
|
|
|
|
существенно |
||||
Оценочная функция Zr гибкого критерия G4 |
|
||||||||||
отличается от таковой |
HL-критерия [см. |
(4.4)], |
поскольку она |
||||||||
содержит |
величину |
е,-, |
определяющую |
возможный |
риск |
при |
принятии решения. Благодаря этому становятся конкурентоспо собными и другие варианты решения, отличные от выбранных по ММ- и HL-критериям. Множество вариантов решения, мак симизирующее оценочную функцию (7.5), аналогично (6.48) обозначим Е*(е). Согласно условию Gs, из полученного множе ства выбираются в качестве оптимальных только варианты решения, которые, кроме выполнения предыдущих условий, оп тимальны в смысле BL-критерия (3.4).
Ряд логических условий в выражении (7.1) определяет прЬцедуру принятия решения, заключающуюся в первоначальной фиксации допустимых границ риска, а затем выполнении, э рамках заданных возможностей, поиска оптимального вариан та решения. Такой подход наиболее приемлем и при разработке алгоритмов для процедуры принятия решения с помощью ЭВМ. В прикладных задачах, однако, нередко вначале путем варьирования величины риска е,- выполняется оценка возмож ного эффекта от решений, соответствующих оценочным функци
ям |
G4 и G S д л я |
заданных |
значений е,-, а затем |
в зависимости |
||||
от |
полученных |
результатов устанавливаются |
окончательные |
|||||
границы риска согласно G2 и G3. В этом случае гибкий крите |
||||||||
рий преобразуется |
в |
ряд логических условий GI-»-G4->~GG--*-(G2V |
||||||
VG3). При этом |
необходимо исследовать, |
насколько |
учет |
|||||
допустимого риска снижает достижимый результат. |
V (а) |
|||||||
из |
Отметим, что использование доверительных факторов |
|||||||
разд. 6.4, например V(a) = Vvw (а){, согласно |
выражениям |
|||||||
(6.36), (6.39), (6.42) и (6.43) приводит к изменению вида |
гиб |
|||||||
кой оценочной функции G4 |
(7.5): |
|
|
|
||||
|
2г=и.* = тах ( 25 |
Ашо,/Ла)ег/+ (1 — |
У|)в/) . |
(7.7J |
||||
|
|
|
i |
v - i |
|
|
> |
|
В основе применения описанного выше гибкого критерия выбора решения лежит методический подход к выбору точки
Гибкий критерий выбора решения |
93 |
отсчета для величины риска, которой, согласно разд. 6 .6 , дол жен быть результат выбора по минимаксному критерию, не зависящий от значений внешних факторов в задаче. Для рас ширения области применения критерия на случай опорных ве личин риска, зависящих от значений внешних факторов, eZjt /= 1, /z, требуется преобразование оценочных функций G3 и G4 к следующему виду:
G ' z : |
max (eZj — <ец) — min max (eZj — е ц ) < е ДОп и |
(7.8) |
||||
|
I |
|
|
i |
/ |
|
|
i= 1, . |
. т |
|
|
|
|
|
Z'T: = |
min |
Ui |
п |
|
(7.9) |
G ' 4: |
Б (ezj — eit)hj + |
|||||
|
|
i |
L |
/=*1 |
|
|
|
+ ( 1 — ы/)тах (ezj — ец) — е, . |
|
||||
|
|
|
/ |
|
J |
|
Выражения (7.8) и (7.9) представляют собой не что иное, как общий случай формулировки гибкого критерия. В этом легко убедиться, заменив в данных выражениях зависящие от внеш них факторов опорные оценки риска ez^ j = 1, ...» п, на резуль тат оценочной функции по минимаксному критерию. Тогда для ОУ получаем
|
max (ZMM— ец) — min max ( Z MM — ец) |
= |
||||
|
i |
|
i |
i |
|
|
=ZMM— min ец — min (ZMм — min ец) = |
|
|||||
|
|
I |
i |
I |
|
|
—ZMM |
min 6if |
(ZMM |
max min <?*/) -^8доп i |
|||
|
|
i |
|
i i |
|
|
и, учитывая, что ZMM= max min ец, непосредственно G3. |
||||||
Аналогично для оценочной функции G4', |
подставляя eZj = |
|||||
—ZMM»имеем |
|
|
|
|
|
|
Z'r^min |
щ 23 |
(Z MM — eif)hi+ ( 1 |
— ui) ( Z M M — mine*/ — e/) |
|||
t l |
/=i |
|
|
|
|
|
-m ini m 23 ZMMA/+ (1 — ^)Z MM— Ш 23 |
ецк}- + |
|||||
|
i У |
j~\ |
|
L |
/=i |
|
+ ( 1 |
— ui) (min*//+ e*) |
|
Г |
щ 2 |
n |
|
| = m in|Z MM— i |
eijhi+ |
|||||
|
|
|
|
L |
/=i |
+ ( 1 — Ui) (min^z+ei)]}
Минимизация (относительно индекса i) выражения, заключен ного в фигурные скобки, адекватна максимизации выражения
94 Глава 7
в квадратных скобках, что соответствует условию G4, а следо вательно, и выражению для Zr.
Аналогично ранее обсуждавшимся критериям рассмотрим для наглядности процедуру выбора решения с использованием гибкого критерия на примере с двумя внешними состояниями -Fi и F2. При этом используем среднее значение доверительного фактора, обозначив его через V, и, как и ранее, произведем замену переменных е(у, х\)=и, е(у, x2)=v. Тогда линии уровня
Рис. 7.1. Область предпочтения для случая гибкого критерия.
на плоскости uv для оценочной функции Zr G4 [см. (7.5)] будут описываться уравнением
|
V{uhi + vh2)+ (1 — V)min(i/+ei, v + e2)=k. |
(7.10) |
|
Обсудим |
оба случая ограничения величины риска |
условиями |
|
<?2 и G3, а для графически наглядного представления положим |
|||
Л, = 1/3, |
й„ = 2/3. |
|
|
Если величина риска в соответствии с условием G2 ограни |
|||
чивается |
максимально допустимым значением |
доверительного |
|
фактора |
Удоп, то величиной е,-, учитывающей в оценочной функ |
||
ции G4 возможность риска, можно пренебречь, т. е. |
принять |
||
ег= 0 . Выбрав значение У До п = 1 / 4 , выражение |
(7.10) |
для линий |
|
уровней приведем к виду |
|
|
M+2u + 9min(«, v) =с.
Линии уровня, приведенные на рис. 7.1, полностью соответству ют аналогичным линиям для HL-критерия (сравните с рис. 5.8). Линии уровня представляют собой две системы параллельных прямых, встречающихся для фиксированного уровня с на на правляющей прямой ы=у. При v^Lu линии уровня описываются уравнением u+ \\v = c, а при v"^u — уравнением 1 0 ы+2 о= с. Величина угла а между этими прямыми линиями зависит от значения доверительного фактора V; как и для HL-критерия, при У= 0 он соответствует семейству линий уровня минимакс
Гибкий критерий выбора решения |
95 |
ного критерия и равен а = я /2 , а при У= 1 соответствует семей ству линий уровня BL-критерия, т. е. а = я .
Теперь рассмотрим влияние ограничения G3 возможного риска si и для наглядности примем ei = l, е2 = 2. Отсюда, снача ла в общем виде, согласно выражению (7.5), линии уровня описываются выражением
V(uhi + vh2) + ( 1 — V)m in(«+1 , v+2)=k,
а если, как и выше, выбрать V= 1 /4, /ii = 1/3 и /г2 = 2/3, то полу чим
u+2v + 9m\n(ut и+1)=с*.
И в этом случае линии уровня образуют два семейства параллельных прямых, которые при одинаковом значении уров ня с* имеют общую точку на направляющей прямой, описывае мой уравнением v = u—1 (рис. 7.2) . Уравнения прямых одина кового уровня с\ как в предыдущем случае, определяются и
Рис. 7.2. Графический выбор вари анта решения согласно гибкому критерию с учетом риска.
виде u+ l\v = c' и \0u+2v = c' и, таким образом, угол а между указанными прямыми остается без изменения (см. разд. 5.3.1).
Ход предыдущих рассуждений показывает, что гибкий кри терий позволяет согласовать рассматриваемую задачу выбора решения с конкретными условиями. При малой статистической выборке состояний исходных данных, а также небольшой ста тистике реализаций решения гибкий критерий действует прак тически аналогично минимаксному; с возрастанием объема статистической выборки сочетаний внешних факторов и стати стики ранее осуществленных решений гибкий критерий по своим результатам все более и более приближается к BL-кри- терию. Выбранное решение будет тем консервативнее, чем мень шим объемом априорной информации располагает лицо, при нимающее решение, и чем меньше число ранее известных
*96 |
Глава 7 |
случаев решения рассматриваемой задачи. Эти свойства, при сущие гибкому критерию, справедливы для любой его версии с использованием доверительных факторов, рассмотренных в разд. 6.4. Гибкий критерий целесообразно применять, имея некоторый опыт и математическую подготовку в вопросах при нятия решения; он требует только наличия данных, собранных в процессе постановки и попыток решения задачи, затраты на которые должны быть меньше величины возможного выиг рыша.
7.2. Применение
Выбор оптимального варианта решения с использованием представленного в разд. 7.1 гибкого критерия удобно проиллю стрировать на примере задачи управления каким-либо процес сом. С целью упрощения хода рассуждений рассмотрим четыре
варианта |
решения Е и £г> £ з и Е 4, из которых необходимо выб |
|||||
рать оптимальный. |
|
|
|
|
||
Таблица 7.1. Матрица значений оценочной функции для задачи |
||||||
|
|
управления технологическим процессом |
|
|||
Кг |
|
2,975 |
|
|
2,985 |
|
Кг |
2,9Ь |
3,00 |
3,'-2 |
2,98 |
3 ,0 0 |
3,02 |
|
Рг |
F% |
Р» |
Ft |
Рш |
р» |
£ , |
—90S |
— 1096 |
— 1229 |
—928 |
— 1089 |
— 1250 |
Ег |
— 911 |
— 1051 |
— 1191 |
—941 |
— 1081 |
— 1222 |
Ег |
—928 |
— 1048 |
— 1168 |
—968 |
— 1088 |
— 1209 |
Еа |
—959 |
— 1060 |
— 1160 |
— 1010 |
— 1110 |
— 1210 |
Процесс подвержен влиянию неопределенности параметров К\ и К2, о которых известны только области их возможных значений: для К\ 2,97^Ki=^3,00 и для Кг 2,97^/С2^3,03. Область значений параметра Ki разбита на два класса с пред ставляющими их средними значениями 2,975 и 2,985, а область
значений Кг— на три класса |
со средними 2,98, 3,00 и 3,02. Для |
|||
каждой из комбинаций этих величин в |
табл. |
7.1 представлены |
||
результаты расчетов всех вариантов решения. |
рассматриваемого |
|||
Предварительно на основании анализа |
||||
процесса |
была произведена |
выборка |
значений параметров. |
|
В табл. |
7.2 сведены предельные оценки |
вероятностей рj и pjf |
|
|
|
|
Гибкий критерий выбора решения |
|
97 |
|||
Таблица 7.2. Частоты реализации полученных из выборки значений |
|||||||||
параметров |
К\ |
и /С2 |
и соответствующие |
доверительные характеристики |
|||||
|
|
|
|
|
Ki < 2 , 9 8 |
/Cl > 2 , 9 8 |
К2 < 2 , 9 9 |
2 , 9 9 < K a< 3,01 |
К2 > 3 ,0 1 |
О б ъ е м вы бор к и |
|
8 0 |
|
|
1 2 0 |
|
|||
Абсолютная |
частота |
38 |
42 |
20 |
83 |
17 |
|||
Относительная |
часто |
0,475 |
0,525 |
0,1667 |
0,6916 |
0,1417 |
|||
та |
граница |
до |
|||||||
Верхняя |
|
|
|
|
|
||||
верительного |
|
интер |
|
|
|
|
|
||
вала pj |
граница |
до |
0,5462 |
0,5952 |
0,2146 |
0,7427 |
0,1873 |
||
Нижняя |
|
|
|
|
|
||||
верительного |
|
интер |
|
|
|
|
|
||
вала pj |
|
|
|
|
0,4048 |
0,4538 |
0,1277 |
0,6354 |
0,1057 |
вычисленные по формулам (6.17) для доверительных интерва лов с учетом вероятности принятия ошибочного решения а = 0 ,2 .
Первые три строки табл. 7.3 содержат, соответственно, зна чения относительных частот hj(a) для верхних pj{a) и нижних
Pj(а) границ вероятностей различных сочетаний исходных данных. Все эти значения получены по формулам (6.39) как произведения соответствующих частот и оценок вероятностей. Так, например, первые три значения второго столбца таблицы, с учетом данных, приведенных в табл. 7.1 и 7.2, вычисляются следующим образом: 0,3286 = 0,475*0,6916; 0,4047 = 0,5462*0,7427
Таблица 7.3. Частоты реализации и оценки вероятности распределения параметров в заданных интервалах для выборки сочетаний исходных данных при w-+oo (случай 1)
hj (а) — средние |
значения |
вероятностей |
попадания |
сочетаний |
исходных |
|
|
данных' в заданные интервалы, вычисленные на основании резуль |
|||||
|
татов выборки; |
|
|
|
|
|
hv,j(a) — значения вероятностей нежелательных реализаций |
|
|||||
|
f l |
F2 |
^3 |
?4 |
|
/в |
А, (а) |
0,0792 |
0,3286 |
0,0673 |
0,0875 |
0,3631 |
0,0744 |
Р/(а) |
0,1172 |
0,4047 |
0,1023 |
0,1277 |
0,4421 |
0,1115 |
Pi(а) |
0,0517 |
0,2572 |
0,0428 |
0,0580 |
0,2883 |
0,0480 |
|
0,0517 |
0,2572 |
0,1023 |
0,0580 |
0,4193 |
0,1115 |
7— 152
98 |
Глава |
7 |
|
и 0,2572 = 0,4048*0,6354. |
Четвертая |
строка |
табл. 7.3 содержит |
весовые множители %VJ(a), рассчитанные |
по формуле (6.18) |
для каждого из рассматриваемых шести сочетаний исходных данных Л, ...» FQ и необходимые для вычисления эмпирического доверительного фактора.
Для расчета эмпирико-прогностического фактора будем ис
пользовать |
формулы (6.30), |
(6.31) |
и (6.32), в результате чего |
||||
получим значения, |
соответственно, |
границ |
для |
вероятностей |
|||
рДа), Pj(a) |
и весовых множителей 7iwv,j(а). Результаты вычис |
||||||
лений для числа реализаций до = 5 приведены в табл. 7.4. |
|||||||
|
Таблица 7.4. Частоты реализации и оценки |
||||||
|
вероятности распределения параметров |
|
|||||
|
в заданных интервалах: для выборки сочетаний |
||||||
|
исходных данных при w = 5 (случай 2) |
|
|||||
|
|
Fi |
F2 |
/'з |
FA |
^5 |
Ft |
|
Я(а) |
0,2 |
0,6 |
0,2 |
0,2 |
0,8 |
0,2 |
|
Я(а) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,2 |
0 |
|
hw„,i(а) |
0 |
0 |
0,2 |
0 |
0,6 |
0,2 |
Результаты табл. 7.5 отражают дальнейшие шаги в процессе выбора решения с использованием гибкого критерия. Первый столбец полностью совпадает с последним столбцом табл. 7.1. При этом видно, что результаты сохраняют ту же монотонность поведения в зависимости от внешних состояний для всех вариан-
Таблица 7.5. Числовые значения величин, используемых при применении гибкого критерия принятия решения
Вагриангг |
min вц |
Хе,-h.(а) |
Mvi(a)-sel7h .(а) |
MHw(a)^ei.hv ,w{a: |
.решения |
i |
/= 1 |
/=1 |
/=1 |
Ei |
— 1250 |
— 1075,5 |
— 1097,4 |
— 1149,2 |
Ег |
— 1222 |
— 1063,5 |
— 1083,3 |
— 1131,2 |
Ei |
— 1209 |
— 1066,1 |
— 1084,4 |
— 1128,2 |
е 4 |
— 1210 |
— 1083,8 |
— 1099,8 |
— 1140,0 |
тов решения. Второй столбец содержит для всех четырех ва риантов сумму произведений каждого из значений оценочной функции на относительную частоту реализации соответствую щего сочетания исходных данных, приведенную в первой строке табл. 7.3. Аналогичным образом получены и два остальных.
Гибкий критерий выбора решения |
99 |
столбца, только здесь в качестве относительных частот |
для |
соответствующих результатов решения выступают данные, при веденные в последних строках табл. 7.3 и 7.4 соответственно.
Расчет эмпирического доверительного фактора выполняется
по формуле |
(6.15); например, для |
варианта решения Ех он ра |
|
вен |
|
' |
|
|
Vv (а) 1 = |
1Q9^ -~ |
(=zjjg°JL = 0,8745, |
а эмпирико-прогностическйи доверительный фактор вычисляет ся по формуле (6.29); например, для варианта решения Е3 он равен
Vvw(a)s |
— |
1128,2 — |
(— |
1209) |
0,5654. |
|
— |
1066,1 — |
(— |
1209) |
|||
|
|
В табл. 7.6 сведены значения эмпирического и эмпирико-прог ностического доверительных факторов, рассчитанные для каж дого из четырех вариантов решения.
Таблица 7.6. Доверительные факторы для четырех вариантов решения
Е1 |
vvi*)i |
|
Ei |
0,8745 |
0,5577 |
Ei |
0,8750 |
0,5729 |
Еъ |
0,8712 |
0,5654 |
Ei |
0,8732 |
0,5547 |
В первом случае, когда имеется представительная статисти ческая выборка состояний исходных данных конечного объема и предстоит бесконечное число w реализаций решения, его выбор выполняется согласно процедуре (7.1) следующим об разом.
Gi: Выполнение условия Е гарантировано совокупностью данных, представленных в табл. 7.1.
В соответствии с наиболее часто на практике встречающи мися ситуациями ограничения на допустимый риск по G2 и G3 не заданы, поэтому остается только определить фактически возможный риск, а лицо, принимающее решение, должно опре делить, допустима ли его величина.
С2: Применение эмпирических доверительных факторов Vv(a)i
(см. разд. 6.4.4) с вероятностью |
ошибочного |
решения |
а = 0,2. |
скобках |
оценочной |
G4: При г^->оо выражение в фигурных |
т
100 Глава 7
функции (7.7) принимает вид формулы (6.43), поэтому е, можно считать равным нулю, причем весовой множитель
ft’V j.i(а) |
можно заменить |
на йю,;-,<(а), а наиболее неблаго |
|
приятный |
средний результат |
^ „ “ (а), на Mv{a)u так что |
|
|
— |
П |
^ |
|
MtI ( a ) i “ |
h v tj ti ( o t ) Bij* |
|
|
|
/=1 |
Значения этих результатов для каждого из вариантов пред ставлены в третьем столбце табл. 7.5.
С5: Максимизация полученных значений определяет в качестве оптимального варианта Еч со значением гибкой оценочной
функции Zr= —1083,3. |
столбца |
табл. 7.5, получаем |
|
G3: Используя |
данные первого |
||
2мм = тах min вц = —1209, а |
так как |
min e2j= —1222, то |
|
i |
/ |
|
/ |
ZMM—mine2j=13 является величиной возможного риска.
Во втором случае, при конечном объеме статистической выбор
ки и w=5, получаем — вновь |
без задания |
ограничения |
на |
риск — на основании данных |
из четвертого |
столбца табл. |
7.5 |
в качестве оптимального варианта решение Е3 с результатом Zr= —1128,2. Таким образом, выбранным оказывается тот же вариант, что и для минимаксного критерия. Следовательно, величина возможного риска равна нулю. Отсюда видно, что* характер результата принятия решения при малых числах реализаций решения становится более консервативным благода ря снижению до минимума величины возможного риска.
7.3.Адаптивный критерий Кофлера-Менга
сиспользованием кусочно-линейной информации
Вработе [22] Е. Кофлер и Г. Менг показывают преимуще ства предлагаемого ими адаптивного критерия, который ориен тирован на уровень информации, имеющейся у лица, принимаю щего решение. Недостающая информация, образующая мно жество Q*, задается в виде имеющихся в распоряжении апри орных вероятностных распределений Q внешних состояний. При этом принимается предположение о том, что пространство В этих состояний может быть разложено на непересекающиеся подмножества Bv:
В = U Bv, ВУПВ„ = Ф для v # |i (v, р = 1, 2, ...).
V
Лицо, принимающее решение, знает, что внешние состояния из подмножества Bv встречаются с вероятностью pv:
1 dQ=pv, v = l, 2, |
U pv= l. |
Bv |
v |
|
Гибкий критерий выбора решения |
101 |
||
В случае |
появления |
состояния |
Bv при выборе варианта |
ре |
шения Ei |
результат |
представляется в виде величины е (/%£,). |
Кофлер и Менг определяют оценочную функцию адаптивного критерия следующим образом:
2 км= |
шах |
inf |
$ e(Ft Ei)dQ, |
(7.11) |
|
|
Е.£Е |
Q C |
Q * |
B V |
|
где E — множество вариантов |
решения. Таким образом, |
реше |
|||
ние Е0 является оптимальным, если выполняется равенство |
|||||
inf |
$ e(F, E0)dQ=ZK!A. |
|
|||
QeQ* |
B V |
|
|
|
|
Критерий, определяемый выражением (7.11), может быть оха рактеризован как «бернуллизация» минимаксного критерия, по скольку выбор оптимального варианта по Бернулли состоит, по существу, в том, что максимизируется математическое ожида ние результата. Область применения критерия может быть рас ширена, поскольку момент времени принятия решения не зада ется, и лицо, принимающее решение, располагает возможностью выбрать благоприятное для себя время.
Множество априорных вероятностных распределений обра зует для конечного числа внешних состояний (пусть т — их число) конечномерный симплекс S(m). Частичная информация состоит тогда в знании некоторого (не вырождающегося до од ного распределения) собственного поДсимплекса Р. При этом говорят о кусочно-линейной информации (КЛИ), если указан ная часть симплекса образует выпуклое многомерное подпро странство. Кусочно-линейная информация обладает различны ми важными свойствами, например, в вероятностном подпро странстве этой информации существует реальная точка экстре мума, координаты которой составляют матрицу. Кроме того, на основании априорного вероятностного распределения или априорного задания частотного распределения значений пара метра по интервалам можно получить апостериорное вероят ностное распределение или, соответственно, апостериорное час тотное распределение параметра по интервалам, но, конечно, также кусочно-линейного типа.
Если для симплекса распределения внешних состояний S(m)
априорное распределение кусочной информации |
представлено |
в форме части этого симплекса Р^т\ то отношение |
|
Я<л>отн (КЛИ) = V {PW)IV(S^ ) , т> 1, |
|
где V(Р(т)) и V(S(m)) — объемы, соответственно, |
подпростраш |
ства Р(т) и пространства S(m), представляет собой относитель ную энтропию.
Чувствительностью а(ДI) ситуации ES по отношению к за данному изменению информации ДI называется приращение