книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdf- 5 1 - Следовательна, объем, заключающийся между деформированной
поверхностью мембраны I и плоскостью ее опорного контура, приб лиженно равен сумме аналогичных объемов трех прямоугольных мем бран (и притом будет несколько больше этой суммы). Если вспом нить теперь формулу (2.107), то на языке терминов теории круче ния полученный результат означает, что-жесткость на кручение стержня двутаврового профиля должна быть приближенно равна сум ме жесткостей на кручепие его полок и стенки, рассматриваемых по отдельности* Ко контуры полок и стенок - длинные прямоуголь ники, и к ним применима формула (2.102).
Поэтому
|
4 = 4 - 4 |
= j G - [ e ^ ¥ - 2 e t ^ ] ' , |
<2 Л 1 2 > |
|
где |
- длины |
стенки и полок; |
- толщины |
стенки и полок |
( i *1*2).
Данный результат может быть распространен путем аналогич ных рассуждений на любой односвязный стержень, составленный из прямоугольных полос, Жесткость на кручение такого стержня выра жается следующей приближенной формулой:
• |
<2Л15) |
J 'У7-/ .. |
|
Напряжения, возникающие в стержнях такого рода, за исклю чением районов сопряжения полос друг о*другом, будут близки к напряжениям в соответствующих точках полос, рассматриваемых независимо одна от друтой (при одной щ той же степени круче ния *Г). Это прямо следует из мембранной аналогии.
Однако в районах сопряжения полос друг с другом возника ют дополнительные касательные напряжения концентрационного ха рактера, которые не влияют существенно на величину жесткости на кручение ввиду малости тех областей, в которых они действуют
по сравнению со всей площадью профиля. Определение величины кон центрации напряжений выходит за рамки тех простых рассуждений, которые были применены выше, и требует специального исследова ния.
Из форыулы (2.И З ) следует, что тонкостенные стержни одноовязногб (открытого) профиля, составленные из прямоугольных по
- 52 -
лос, столь хе невыгодны при кручении, как и длинная прямоуголь ная полоса, поскольку их жесткость' значительно уступает жест кости стержня с круговым поперечным сечением той не площади* Но это заключение нельзя рассматривать как окончательное» Оказыва ется тонкостенные стержни открытого профиля обладают (по срав нению со стержнями иных профилей)' дополнительными ресурсами в отношении сопротивления на кручение» Дело, в том, что максималь ный характерный размер торца стержня - высота профиля, в данном случае намногс превосходит наименьший характерный размер .стерж ня -гтолщину полок или стенки профиля. Соответственно две стати чески эквивалентные нагрузки, приложенные к его торцам, могут ^вызвать существенно разные поля напряжений, причей различив' это не будет носить локальный характер. В частности, если решить для тонноотенного профиля задачу о кручении, предположив (в отличие от постановки этой задачи по Сен-Венану), что депланация на тор цах устранена, то жесткость на^вручение получится гораздо боль шей, чем по формуле ( 2 . Ш ) . На практике же условия закрепления торцов скручиваемых стержней всегда (в большей или меньшей сте- ,пени) "запрещают" депланацию. Для толстостенных стержней это
несущественно, поскольку здесь действует принцип Сен-Венана. Для тонкостенных же стержней стеснение депланацни (на торцах) оказы вает решающее влияние на величину жесткости на кручение» Поэтому для таких стержней большой интерес представляет задача о их :' ■стеснениом" кручении. Репенне этой задачи проведено В»3.Власо вым и рассматривается в курсе пластин и оболочек.
§ 2.11» Кручение, д в у у в яаннт тоякоотянинт птяпжняр
Применяя мембранную аналогию к стержням такого вида, мы должны наложить на мембрану, опорный контур которой идентичен внешней границе профиля, абсолютно жесткий плоский диск, имеющий форму внутренней границы профиля» Далее, необходимо нагрузить как сво бодную от диска поверхность мембраны, так и диск, одинаковым равномерным давлением, обеспечив, кроме Того, свободу перемеще нии диска только в направлении, перпендикулярном его плоскости. Деформация такой мембраны будет определяться в основном нагруз кой, передаваемой на нее со отороны диска. Влиянием нагрузки, действующей на мембрану непосредственно, иожпо пренебречь, по-
- 53 -
скольку площадь диска, в силу предположения, что толщина стерж ня мала, значительно превосходит площадь поверхности мембраны, не закрытой диском.
В' этих услозиях |
поверх |
|
|
|
|
|
|
ность деформированной мем |
|
|
|
|
|
||
браны близка по виду |
к ко |
|
|
|
|
J |
|
нической поверхности |
|
1 |
|
|
|
I I. |
|
(рис. 2.10). Отсюда |
следует, |
Ш |
Ш |
i |
m m t t |
if |
|
‘что зависимость прогиба мем |
|||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
||||
браны от расстояния между |
|
|
|
|
|
||
рассматриваемой ее точкой и |
|
|
|
|
|
||
внешним контуром (по нормали |
|
|
|
|
|
||
к нему), близка к линейной, |
|
|
Рис. |
2.10- |
|
||
т.е. в данном случае |
(на |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
языке теории кручения) нормальная производная функции напряжения
Ф близка (в пределах толщины профиля).к постоянной, |
а следо |
|||
вательно, |
и результирующее касательное напряжение Т |
мало изме |
||
няется в |
пределах толщины. |
|
|
|
Этот вывод позволяет постро |
|
|
||
ить приближенную теорию кручения |
|
|
||
труб произвольного поперечного |
|
|
||
сечения. Проведем внутри профиля |
|
|
||
линию L |
, равноудаленную от |
|
|
|
обеих его границ (рис. 2.II), и |
|
|
||
примем какую-либо точку на этой |
|
|
||
линии за |
начало, отсчета |
ее .дуги б1. |
|
|
Профиль будет полностью задан, :. |
|
|
||
если известны, кривая L |
и толщина профиля А как функция s . |
|||
Поокольку изменением результирующего напряжения |
Т |
в преде |
||
лах толщины трубы можно |
пренебречь, то T<=T(J ) . Характер этой |
зависимости можно установить, |
воспользовавиись граничными усло |
||
виями для функции Ф ( Ф |
=0 |
на внешнем контуре |
профиля и |
<P*Kr - c o n s t на 1>г |
), |
а также том фактором, что Ф есть |
|
линейная функция расстояния £ ' , оточмтываемого |
по нормали к |
||
Отсюда |
|
|
|
(2*114)
■ |
- 5k - |
Следовательно, . |
|
'.'(2.П5)
т.е. величина результирующего касательного напряжения обратно пропорциональна толщине профиля. Значение /<1 определяется из равенства (2.48), которое в данном случае принимает вид
к4 щ - 2 3 ’ |
(2Л16) |
где под 5 можно подразумевать как площадь, ограниченную внеш ним контуром профиля, так и площадь, ограниченную его внутрен ним контуром, поскольку погрешность излагаемой теории такая же
как и погрешность приближенного равенства ^ с-/
‘■V
Последнее вытекает из того, что еоли нельзя пользоваться этим равенством, то согласно (2,.48) нельзя считать, что и ре зультирующее касательное напряжение в соответствующих точках внешней и внутренней границы профиля одинаково.
Из (2.116)
2 s
(2.II7)
« ' - - - . - г г ’
Хл в )
, |
2 6 T S |
(2.II8) |
|
|
Остается вычислить жесткость на кручение. Воспользовавшись для 3101*0 выражениям*' (2.28) и (2.114), получаем
Подставив оюда найденное выие значение Л7 , приходим к следующей'Окончательной формуле для жесткости на кручение тру бы дрошольного поперечного сечения с произвольным законом ■вменения толщины профиля - формуле Бредта:
- 55 -
4 6 s *■
(2.120)
: f A .
Изложенная выше теория может быть перенесена и на тонко стенные стержни сс степенью связности /? '? 2 . На основании мем бранной аналогии можно считать, что Ф есть функция, линейно изменяющаяся по толщине профиля. Использовав данное обстоятель ство, а также граничные условия для Ф на воех контурах, огра ничивающих профиль, модно установить'формулы, аналогичные (2 . Ш), Их будет столько, сколько внутренних границ профиля.
Следует отметить, что изложенная вниз приближенная теория не может учесть закона распределения напряжений в районах резко го изменения кривизны профиля.
Проблема стесненного кручения для.тонкостенных отержней, замкнутого профиля хотя и ставится, однако имеет гораздо мень- ■ее значение, чем для тонкостенных стержней открытого профиля. Объясняется зто тем, что стеснение депданации на торцах не при водит в данном случае к существенному увеличению Жесткости стерж ня при кручеяип. Следовательно, между тонкостенными стержнями
различие в отношении их свойств |
|
А . |
|
|
|
Н |
|
||
при кручении. Суть |
этого различия |
|
|
|
г - |
|
- л |
|
|
становится яспа из |
рис. 2.12, |
на |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ч® |
|
! |
|
» |
|
|||
котором показаны потоки результи |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
1) |
|||||||
рующих касательных напряжений на |
* |
|
|
« * |
|
||||
границах односвязных я многосвяэ- |
| |
|
|
! |
( |
1 |
1 |
||
ных профилей, |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V . |
|
|
||
У одноовязных профилей каоа- |
|
Рис. |
2.12 |
|
|
||||
«ельвые напряжения линейно изме |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
няются по толщине, |
имея различные внаки при одинаковой абсолют |
||||||||
ной величине в двух смежных точках границы А |
Ж |
3 |
. У много- |
||||||
овяэных профилей касательные напряжения постоянны по толщине и |
|
||||||||
в двух смежных точках А и в |
жмеют |
не |
только |
оджнаковую вели |
чину, но и одинаковый знак* Яоно, что прж одной и той же вели чине макоммальных напряжений и одинаковой площади сечения про филя вторая система напряжений будет создавать значительно бель-
- 56 -
шмй крутящий момент, нежели первая. Иожно сказать и обратное, что. при равной площади сечения профиля и одинаковой величине крутящего момента максимальное результирующее напряжение, воз никающее в тонкостенном стержне открытого профиля, будет значи тельно превосходить таковое в тонкостенном стержне замкнутого профиля.
Следовательно,с точки зрения "свободного” кручения тонко стенные стержни замкнутого профиля более выгодны, чем тонкостен ные стержни открытого профиля.
ГЛАВА Ш. ЗАДАЧА СЕК-ВЕНАНА ОБ ИЗГИБЕ КОНСОЛИ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ'ЗАДАЧ ОБ ИЗГИБЕ И КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
§ 3.1. Общая теория изгиба стержней
Начало координат выберем (рис. 3.1) в центре тяжести закреплен
ного конца |
А |
. оси х , у направим по главным осям сечения, |
при |
|||
чем ось |
х |
- |
вниз |
- вдоль стержня,-а ось |
у - направим так, |
|
чтобы система х у з |
была правая. Пусть длина стержня АЗ есть |
|||||
Примем далее, |
что |
силы, действующие на свободном конце в |
, ста |
|||
тически эквивалентны одной равнодействующей Р |
««направленной |
|||||
по оси |
х |
• Предположим также, что на боковой поверхности стерж |
||||
ня нет поверхностных нагрузок и массовые силы отсутствуют. |
|
Сен-Венан показал, что в атом случае напряженное состояние можно представить в виде
|
(3.1) |
Же-*)х |
(3.2) |
V — 3
где J есть осевой ыомент инерции поперечного сечения стержня, определяемый по формулам
4 |
- I f x * d x d y , |
Jx = / / у гс/хс1у- |
s |
s |
|
|
|
- 58 г |
|
|
|
|
Осталмые два касательных напряжения ^ ' и ^ д о л ш ш |
быть опре |
||||||
делен^. Внесем (3..I) и (3.2) в уравнения упругого равновесия; в |
|||||||
которых мы должны положить |
’ |
|
|
|
|
||
|
|
Х = У = 2 |
= 0 . |
|
|
|
|
Это даст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.S |
|
|
|
(3 .3 ) |
. &€хз |
j |
t X** •= О- |
|
|
|
||
. д х |
д у |
У |
|
|
|
|
|
Эти уравненияслужат для определения |
^ |
и |
На бо- |
||||
новой поверхности стержня (см. рис. 3.1) |
|
|
|
||||
|
|
tyjf/71- - 0? |
|
|
|
(3.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
tits |
|
|
(3.5) |
т.е, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0= cos(у,х) ; |
sn |
= cos (у,у)• |
|
|
||
Условие (3.4) есть то статическое условие, которому должны |
|||||||
удовлетворять неизвестные еще |
и ^ . Но из |
(3.3) |
следует, |
||||
что tXJ( и |
не зависят от координаты «? |
, а есть функции |
|||||
только от х |
и у |
у которые удовлетворяют уравнению (5.3). Поми |
|||||
мо этого, мы должны позаботиться, |
чтобы были удовлетворены шесть |
||||||
тождественных соотношений Сен-Веиана: |
|
|
|
|
<3/ |
. |
< |
' а Х ° У |
|
Сначала Подставим (3*1) -я (3*2) в физические уравнения) |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
| |
Принимая,во |
внимание |
(3.3) |
|
получим соотношения |
|
|
|
J - |
|
= г?* |
(3.8) |
д г |
’ |
.<?* ■ |
|
|
Внося (3*7) в условия сплошности, установим, что 1,2,3 и 6-е соотношения системы (3.6) будут сами собой удовлетворены.
Четвертое и пятое соотношения системы(3.6)дадут
/ l i & f t дх ( а х
± ! м д х
.J&j- 0 )
дс/ J
дсК?х)_ |
2 P ju |
J “ £ 7 |
Интегрируя эту iсистему,- подучим
а х |
a y |
£ 7 |
^3.9)
(ЗЛО)
где Г - произвольная постоянная. Удовлетворим этому ■уравнению, положив
д У о
<з-п >
где pg - произвольная'функция |
. |
- 60 -
Если в третье уравнение системы (3.3) внести
= ) |
(3.12) |
д х |
, i&c |
+ А. -.о. |
дс/ |
GJ |
Подставим сюда (3.11), получим
+ £ $ > 1. |
2Pxj!*Ji) ш |
( j . B j |
4 х г З у г |
E J |
|
где
£'2G(l+Ju).
Еоли вместо £Ху и £#g внести их значения по формуле (3.12) в граничное условие (3.4), то
Подставляя сюда (3.II), получим
Следовательно, функция % ( х ,( /) должна удовлетворять граничному условию (3.14) и дифференциальному уравнению (3.13). С целью упрощения Сен-Венан ввел новую, функцию, (так
называемую функцию изгиба Сен-Венана) JC(X, C/ ) по. уравнению
. где </>(X ,у) есть известная функция кручения Сен-Венана, удов летворяющая дифференциальному‘уравнению
(3.16)
д х г ^ д у 2
внутри контура поперечного сечения и граничному условию.
(3.17)
д)>,дх ду