книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdfГЛАВА У . ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО .ПЕРЕМЕННОГО К РШЕНйй ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
5 5» Г« Общие сведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Эффективный |
методом |
решения задач плоской теории упругости |
||||||||||||||||
является |
метод |
Н.И,.Мусхелйшвили, |
основанный |
на применении ин |
||||||||||||||
тегралов |
типа |
|
Коши |
и конформных |
отображений. |
Этот |
метод |
|||||||||||
позволяет |
найти |
|
решение' |
|
основных задач |
плоской |
теорий уп |
|||||||||||
ругости |
для одно- и двухсвязных |
областей |
при единственном, но |
|||||||||||||||
непременном |
условии, |
что |
известна |
функция |
г- |
|
|
дающая |
||||||||||
конформное |
преобразование |
|
круга или |
кольца с единичным ради |
||||||||||||||
усом |
на |
область |
|
5 , заполняемую |
упругой |
средой. |
|
|
||||||||||
|
Основываясь |
на результатах Н.й.Мусхелишвили |
и его после |
|||||||||||||||
дователей |
Д.И,Шермана, |
Г.Н.Савина, |
А~.Г.Угодчикова |
и др., мож |
||||||||||||||
но считать, |
что^ |
если |
известна |
функция, дающая |
конформное |
|||||||||||||
преобразование |
круга |
(кольца) на односвязную (двухсвязную) об |
||||||||||||||||
ласть |
|
5 |
, заполняемую |
|
упругой |
средой, |
то без |
каких-либо |
||||||||||
затруднений |
принципиального |
характера |
могутбыть |
решены: |
||||||||||||||
|
|
1) |
.первая, |
вторая |
и смешанная |
задачи; |
|
|
|
|||||||||
|
2) |
задача.соприкосновения |
с жесЬким |
профилем; |
|
|||||||||||||
|
3) |
многие |
|
задачи |
об |
изгибе |
тонких |
плит; |
|
|
||||||||
|
|
Н), |
задачи |
|
о расчете |
|
НДС |
в соединенных посредством по |
||||||||||
садки |
телах; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5) |
некоторые |
температурные |
задачи; |
|
|
|
|
|||||||||
|
• б) |
многие |
|
задачи |
о концентрации |
напряжений; |
|
|||||||||||
|
|
7) |
задачи |
|
о равновесии призматических |
стержней |
по Сен- |
|||||||||||
Венану; |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' 8) |
некоторые |
задачи и о напряженной |
состоянии анизо |
||||||||||||||
тропных |
тел; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
9) |
некоторые |
упругоплаотические |
задачи- |
и т.д. |
|
||||||||||||
При помощи конформных |
|
отображений |
можно, |
кроме |
отмечен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Ik? - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ного, решать чирикай круг задач в других отраслях техники, |
гид |
|||||||||||||||||||||
равлике, |
|
аэро- и гидромеханике, |
электротехнике,- теплотехнике, |
|||||||||||||||||||
радиотехнике, |
теории |
фильтрации, |
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Наиболее |
успешно |
|
эти |
задачи |
могут' быть |
решена |
|
в |
|||||||||||||
том случае, |
когда |
функция |
|
|
|
|
|
имеет |
вид |
полинома |
степе |
|||||||||||
ни |
к . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
задач |
плоской теории |
|
упругости |
при помощи ана |
||||||||||||||||
литических |
функций |
можно |
|
подразделить |
на две |
совершенно |
||||||||||||||||
самостоятельные |
|
подзадачи: построение |
конформно-отоорахающей |
|||||||||||||||||||
функции |
|
и расчет |
НДС |
|
в |
области |
S |
|
,' |
которую |
заполняет ис |
|||||||||||
следуемая |
среда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
- Вторая |
подзадача - расчет |
напряжений |
и перемещений в • |
||||||||||||||||||
исследуемой |
области, |
если |
|
построена |
|
отображающая |
функция с |
|||||||||||||||
достаточной |
точностью, |
.является |
простой |
и принципиальных |
||||||||||||||||||
затруднений |
при ее решении |
не |
возникает. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Первую |
подзадачу |
|
рассматривают |
|
обычно в |
прямой |
и |
обрат |
|||||||||||||
ной постановке. |
|
Прямая задача |
решает |
вопрос |
о построении |
|||||||||||||||||
отображения, которое осуществляется наперед заданной |
аналити |
|||||||||||||||||||||
ческой |
функцией. |
Однако |
при решении |
практических |
задач и, |
|||||||||||||||||
в частности, |
задач |
плоской |
теории— упругости, |
возникает |
обрат |
|||||||||||||||||
ная. несравненно |
более |
сложная |
задача - |
определение |
аналити |
|||||||||||||||||
ческой функции, |
которая |
отображает |
|
наперед заданную |
область |
|||||||||||||||||
на одну иг канонических, |
|
например, |
|
на полуплоскость, круг, |
||||||||||||||||||
кольцо. |
В этом |
случае |
чаще |
ьсего |
|
использование |
рациональ |
|||||||||||||||
ных и иррациональных |
функций |
не |
приводит |
к желаемому |
|
резуль |
||||||||||||||||
тату И приходится |
пользоваться |
приближенными |
методами |
|
кон |
|||||||||||||||||
формных |
|
отображений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|||||
|
Разработкой |
приближенных методов |
конформных |
отображений |
||||||||||||||||||
ученые |
занимаются |
ухе |
свыпе |
пятидесяти |
|
дат |
[15] |
. |
Тем не |
|||||||||||||
менее задача |
постровни |
|
простого, |
.но достаточно |
эффективного |
|||||||||||||||||
и точного |
метода |
отображения |
любой |
наперед заданной |
облаем |
|||||||||||||||||
на |
о д н у |
мв канонических |
областей |
далека |
от |
окончательного |
||||||||||||||||
ревення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этой связи интересно |
привести |
некоторые высказывания |
|||||||||||||||||||
отдельных ученых |
о трудности |
указанной |
задачи. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Н.В.Кеддыи [15] , [1б] отмечает: "Важная роль конформных |
|||||||||||||||||||||
отображений |
в теории |
функций t и ее приложениях |
выдвинула за |
|||||||||||||||||||
дачи |
надежденйя |
конформных отображений |
одной |
области |
на |
- 143 -
другую |
при |
заданной |
геометрической форме областей. $ |
ряде прос |
||||||||||||||||||||
тейших» но полезных-случаев |
|
эта |
задача может быть решена лрш |
|||||||||||||||||||||
помощи |
элементарных |
функций |
|
комплексного переменного. Однако |
||||||||||||||||||||
в общем |
|
случае |
нельзя |
обойтись |
элементарными |
функциями. |
||||||||||||||||||
Как |
|
уже |
говорилось» |
Риман |
высказал |
общую |
теорему теории кон |
|||||||||||||||||
формных |
|
отображений, |
однако- |
|
он |
не дал |
|
строгого |
|
доказатель |
||||||||||||||
ства |
этой |
теоремы. Потребовались |
усилия |
многих |
крупных'на- |
|||||||||||||||||||
теиатиков |
з |
течение |
|
ряда |
десятилетий, |
чтобы |
найти полное |
|||||||||||||||||
доказательство |
теоремы |
Римана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
В тесной .связи |
|
с различными |
путями |
доказательства тео |
||||||||||||||||||
ремы |
Римана |
развивались |
методы |
общего |
|
построения приближен |
||||||||||||||||||
ным |
|
путем |
конформных |
отображений |
областей. Фактическое по |
|||||||||||||||||||
строение к о н ф о р м н о г о |
отображения |
одной |
области |
|
ва другую |
|||||||||||||||||||
представляет собой иногда весьма трудную задачу1*. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
Э.Ф.Беккеыбах [ 17] об этой |
же |
стороне |
вопроса |
говори: |
|||||||||||||||||||
"Эффективное |
определение |
функций» |
дающих |
требуемое конформ |
||||||||||||||||||||
ное |
отображение, |
за исключением |
ряда известных частных слу |
|||||||||||||||||||||
чаев, |
представляет |
собой трудно |
выполнимую |
задачу". |
|
|||||||||||||||||||
|
Г.Н.Савин |
отмечает [18 ] |
|
"... |
|
эффективное |
построение |
|||||||||||||||||
функции, |
|
совершающей, |
интересующее |
|
нас |
конформное преобразо |
||||||||||||||||||
вание, представляется |
|
сплошь |
|
и рядом |
дочти |
непреодолимой |
||||||||||||||||||
задачей". |
|
|
|
|
говорит [19] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
_ |
А.Г.Угодчиков |
, что |
..." построение функции, |
|||||||||||||||||||||
осуществляющей |
|
конформное |
преобразование |
круга |
на область S) |
|||||||||||||||||||
близкую |
к эаданной-и,- |
приток, |
в |
форме, |
|
удобной для исполь |
||||||||||||||||||
зования |
в приложениях, |
представляет |
очень большие, |
а подчас |
||||||||||||||||||||
непреодолимые математические тр уд н о с т и ". |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Число таких цитат |
|
лэгко |
|
продолжить, |
но |
мы лишь заметим, |
|||||||||||||||||
что |
в большинстве |
работ |
по приближенным |
методам конформных |
||||||||||||||||||||
отображений |
в |
качестве |
примеров |
рассматриваются отображения |
||||||||||||||||||||
эллипса, . квадрата |
и еще |
нескольких |
простейних |
контуров, а |
||||||||||||||||||||
более, |
сложные |
|
примеры |
встречаются |
|
редко. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
В |
связи |
с вышеизложенным, |
кратко остановимся на основных |
||||||||||||||||||||
понятиях, |
теоремах |
и методах |
|
построения |
конформно-отобра- |
|||||||||||||||||||
жающих |
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Понятие |
комплексного |
числа, |
на |
котором |
основана тео |
||||||||||||||||||
рии функций |
комплексного |
переменного, |
вонло |
в науку после |
понятий положительных и отрицательных, рациональных и иррацио
нальных чисел, начиная с ХУ1 века. |
Но широкое |
признание |
оно |
|||||||||||||||||||
получило |
лишь |
в XIX веке. |
Геометрическое |
толкование |
комплекс |
|||||||||||||||||
ного |
|
числа как точки |
числовой |
плоскости |
было |
|
дано почти, в. |
|||||||||||||||
одно и то же время Гауссом, Бесселем' |
и Арагоном |
[15] |
после |
то |
||||||||||||||||||
гоj |
как при помощи |
комплексных |
чисел |
удалось |
|
решить |
|
ряд |
||||||||||||||
практически |
важных задач. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Для комплексных чисел |
остаются |
|
справедливыми |
все |
основные |
||||||||||||||||
законы арифметики и алгебры, |
в качествезначения |
функции |
от |
|||||||||||||||||||
комплексного |
аргумента |
мы |
снова |
получаем |
комплексное |
число. |
||||||||||||||||
|
С введением |
комплексного числа многие |
вопросы, |
которые |
||||||||||||||||||
в области действительного |
переменного |
не могли |
быть |
решены |
||||||||||||||||||
и часто рассматривались |
как |
парадоксы, |
получили |
простое |
и ; |
|||||||||||||||||
естественное |
объяснение |
в области |
|
комплексного |
переменного. |
|||||||||||||||||
|
Например, |
в области комплексного |
переменного |
алгебраичес |
||||||||||||||||||
кое уравнение |
п -ной |
степени |
всегда имеет |
точно |
п |
корней, |
||||||||||||||||
ав^области. действительного |
переменного |
оно |
монет |
иметь |
и |
|||||||||||||||||
меньшее |
число |
корней |
и даже |
ни одного. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
В- области * комплексного |
переменногосуществует |
логарифм |
|||||||||||||||||||
от отрицательных чисел, |
функции |
st |
•> |
и |
принимают |
любые |
зна-, |
|||||||||||||||
чения) |
а не только значения, не превышающие |
единицу, |
и.т.д. |
|||||||||||||||||||
|
Интересно |
отметить, |
что |
сути, |
комплексных |
чисел |
долгое, |
|||||||||||||||
время |
не понимал)] |
|
даже |
многие |
крупные |
ыатеыатики. Например, |
||||||||||||||||
Лейбниц - один |
из |
основоположников |
анализа |
|
бесконечно |
малых, |
||||||||||||||||
писа«: |
|
"Комплексное |
число - |
это |
тонкое |
и |
поразительное |
|
||||||||||||||
средство |
божественного |
|
духа, |
почти амфибия |
|
между бытием |
и, |
|||||||||||||||
небытием" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 5.2. Ооновные Понятия, термины и обозначения |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Прежде |
чем перейти |
|
к теории |
конформных |
отображений |
и основно |
||||||||||||||||
му для'нас вопросу комплексного представления |
общего |
ре |
||||||||||||||||||||
шения уравнений |
плоокой |
теории |
упругости, |
уточним |
некоторые |
|||||||||||||||||
термины, |
которыми |
|
будем |
пользоваться, |
я |
напомним |
несколь |
|||||||||||||||
ко простых |
понятый. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Говоря о линиях (дугах, контурах), мы |
будем |
иметь |
в |
|
||||||||||||||||||
виду |
(если противное |
не |
оговорено), |
что |
кривая |
является прос- |
- 145 -
той (т.е. но пересекающей |
|
самую |
|
себя), разомкнутой иди заик-‘ |
|||||||||||
нутой |
непрерывной |
линией. |
Непрерывной |
кривой называется |
|||||||||||
множество точек, |
координаты |
которых |
|
заданы |
как непре |
||||||||||
рывные |
функции |
* = ft H ) |
, |
у = / 9 |
( t ) |
вещественной |
переменной £ |
||||||||
в некотором |
промежутке |
-L, |
^ |
t |
^ |
t , . |
|
|
|
|
|||||
Если печальная точка*-кривой совпадает |
с ее |
конечной |
|||||||||||||
точкой, |
кривая |
называется |
замкнутой. |
|
|
|
|
||||||||
для рассматриваемых |
в данной |
главе |
вопросов |
|
можно ог |
||||||||||
раничиться |
некоторым |
гораздо |
более |
узким классом |
кривых. |
||||||||||
Уы будем прежде |
всего |
рассматривать |
гладкие |
адизые, т.е. |
|||||||||||
кривые, |
имеющие |
в |
каждой |
точке |
(включая |
начальную |
|
и конечную) |
|||||||
определенную касательную, |
направление |
которой меняется непре |
|||||||||||||
рывно, |
когда |
точка |
описывает |
кривую. Примером гладкойкривой |
|||||||||||
могут |
служить |
прямая линия, |
окружность, |
эллипс, |
парабола, |
сииусоида.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
5.2 |
|
|
|
конечное |
число |
гладких кривых, |
соединенных |
последователь |
||||||||
но |
друг |
с другом, |
составляют |
кусочно-гладкую кривую! |
Послед |
||||||||
няя |
может ,иметь |
|
в то-чках |
соединения |
друг |
с другом двух |
|||||||
гладких |
кусков |
угловые |
точки |
(точка А на рис. 5.1), |
в кото |
||||||||
рых |
кривая |
имеет |
две |
.различные |
касательные, |
или точку |
|||||||
возврата |
(точка |
5 |
на рис. |
5.1). |
- |
|
|
|
|
||||
|
Кроме того, ,на кусочно-гладкой |
кривой .могут, |
быть разры |
||||||||||
вы |
(бесконечный. |
I |
и П рода |
и конечный, |
рис. |
5.2). |
|
||||||
|
Понятие |
области |
является одниы |
из основных понятий тео |
|||||||||
рии |
функций |
коыпдексного |
переменного, |
поэтому |
для |
него |
|||||||
дадим точную |
формулировку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Областью называется множество |
|
S |
точек |
|
плоскости, обла |
|||||||||||||||||
дающих |
следующими |
свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
I) если какая-нибудь |
точка принадлежит |
данному |
множест |
||||||||||||||||||
ву |
S |
, то и некоторая окрестность |
|
этой |
.точки должна |
принад |
||||||||||||||||||
лежать |
S |
(свойство о т к р ыто сти ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2.) любые две точки S |
можно |
|
соединить |
линией5 которая |
|||||||||||||||||
целиком находится внутри области (свойство связности), |
||||||||||||||||||||||||
|
|
Граничные точки области могут -образовывать |
|
чрезвычайно |
||||||||||||||||||||
сложное |
множество, |
которое |
не |
подходит |
под |
|
данное |
выше- |
||||||||||||||||
понятие кривой |
и с трудом |
поддается |
наглядному- |
представле |
||||||||||||||||||||
нию. Рассмотрим, |
например, |
область |
S |
, изображенную |
|
на |
|
|||||||||||||||||
рис. 5.3. |
Внутри |
прямоугольника 'AQMN Проведены |
прямоли |
|||||||||||||||||||||
нейные разрезы попеременно от сторон |
&М и А.\', которые |
|||||||||||||||||||||||
сгущаются |
по мере |
приближения |
к стороне |
|
МЛ*', |
Областью S |
||||||||||||||||||
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
этом |
случае |
будет |
то |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множество |
точек, |
которое |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
остается от |
прямоугольника, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
из |
него |
удалить |
вес |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки, |
принадлежащие |
гра |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нице |
|
области |
Z |
* т.е. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки, |
лежащие |
на |
разре |
|||||||
|
|
|
|
Рис. |
5.3 |
|
|
|
|
|
|
зах, |
а' также |
все |
точки |
кон |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тура |
|
прямоугольника. |
|
|||||||||||
|
Границу |
области |
L |
мы |
не будем |
причислять |
к |
S. |
Если |
|||||||||||||||
же какое-нибудь |
свойство |
справедливо |
не |
только |
для |
|
точек об |
|||||||||||||||||
ласти |
S ’, но |
и для точек |
всей |
границы |
|
L |
или |
точек |
части |
|||||||||||||||
границы Z , то мы |
будем |
говорить, |
что |
свойство |
справедливо |
|||||||||||||||||||
для |
Ь +L , или, |
соответственно, |
для |
S +L |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Области |
бывают |
многосвяаные и односвязные. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Односвяэыой называется' |
область, |
обладающая |
следующим |
||||||||||||||||||||
свойством: всякий. |
замкнутый |
контур, |
проведенный внутри |
облас |
||||||||||||||||||||
ти, может быть |
стянут в одну |
точку |
путем |
|
непрерывного из |
|||||||||||||||||||
менения, |
не выводящего |
контур |
из области. Соответственно |
|||||||||||||||||||||
мно^свяэвой |
называется область, |
имеющая такой |
контур, который |
|||||||||||||||||||||
нельзя, |
деформируя его, |
стянуть |
|
в |
одну |
точку, |
не разрывая его |
|||||||||||||||||
и не выводя из области. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Области |
бывают |
звездчатые, |
и незвездчатые. Звездчатой |
||||||||||||||||||||
называется |
область, |
радиус-вектор которой, |
проведенный |
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
147 |
в любой месте,- пересечет |
|||||||||
геометрического |
центра |
к периферии |
|||||||||||||||||||
контур |
области |
в |
одном |
месте; |
Ил’и болев |
обще: область будет |
|||||||||||||||
'звездчатой |
тогда, |
когда |
ее |
граница |
|
в полярных координатах |
|||||||||||||||
предстазляется |
уравнением |
|
|
|
|
помощью |
однозначных - |
||||||||||||||
функций. |
|
Если |
функция |
|
z = 2/#/будет |
многозначной, |
то область |
||||||||||||||
называется |
незвездчатой; |
|
функцией переменной i , если |
||||||||||||||||||
Величина/^ |
|
называется |
|||||||||||||||||||
каждому |
|
значению |
<' |
можно |
привести |
каким-либо способом |
в |
||||||||||||||
соответствие |
одно |
или |
несколько |
значений |
z |
. Переменная |
|
||||||||||||||
величина |
^ |
- аргумент |
функции |
2 . Если ^ '- комплексное |
|
||||||||||||||||
число, |
то |
|
z. |
называется функцией |
комплексного |
|
переменного |
||||||||||||||
и записывается так: |
Z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если |
|
каждому |
значению |
|
соответствует |
одно |
|
единствен |
|||||||||||||
ное значение. |
2 |
, то Z |
|
называется |
однозначной |
. функцией; |
|||||||||||||||
в противном |
случае |
г |
- многозначная |
функция. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Обычно |
принято |
значение |
аргумента |
обозначать |
|
точками |
|||||||||||||||
одной плоскости |
|
= у |
* с£ |
, а значение |
функции |
- |
точками |
||||||||||||||
другой |
плоскости |
2 |
= х +1у |
|
(рис. |
5.4). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Функция |
Z =со(^) каждой |
|
точке |
|
-плоскости |
приводит в |
|||||||||||||||
соответствие |
одну |
|
или |
|
несколько |
точек. .2-плоскости. В свою |
|||||||||||||||
очередь, |
каадой |
точке |
£ -плоскости будет соответствовать |
|
|||||||||||||||||
одна ш е и несколько |
точек ^ |
, удовлетворяющих |
|
соотношению |
|||||||||||||||||
.%= и) (■%). Решив |
|
уравнение |
|
z |
= ^ {*>) "относительно |
^ |
, по |
||||||||||||||
лучим |
новую |
функцию ^ |
= F(Z) |
, которая |
называется |
обратной. |
Однозначная |
функция |
называется регулярной |
или |
голоморф |
|
ной (греч. целовидной) ,в |
точке 2 ”, если |
она |
непрерывна и |
||
Дифференцируема |
в некоторой окрёстности |
точки |
Z |
• |
-J48 -
|
Функция, |
дифференцируемая |
только в |
самой точке, но не в ее |
|||||||||||||||||||
окрестности, |
называется ыоногенной |
в |
этой |
точке. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Таким образом, функция считается регулярной |
в |
точке |
2", |
|||||||||||||||||||
если она |
моногенна |
в точке |
2 |
и в ее |
|
окрестностях. |
|
|
|
||||||||||||||
регулярна |
в каждой |
точке |
|
области |
S |
(без всякого |
исключения), |
||||||||||||||||
то она |
называется .регулярной |
в области |
S . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Функция комплексного |
переменного |
|
2 |
=си{-^) |
(однозначная |
|||||||||||||||||
или |
многозначная) |
называется |
аналитической |
в |
области |
S |
, |
||||||||||||||||
если |
она регулярна |
во всех точках |
ее, |
за |
исключением, |
быть |
|||||||||||||||||
может, множества |
изолированных |
точек, |
не |
нарушающих связности |
|||||||||||||||||||
области |
|
$ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Точки |
области |
S |
, в. которых |
нарушается |
регулярность |
|
||||||||||||||||
аналитической |
|
функции |
(т.е.- в которых |
|
функция |
|
не |
имеет |
произ |
||||||||||||||
водной |
или |
терпит |
разрыв |
непрерывности), |
называются |
особы |
|||||||||||||||||
ми точками. |
|
Например, у функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гч-/)(ч-г) ’ |
|
|
|
|
|
|
||||||
особыми |
точками |
являются |
полюсы |
^ = / |
|
и |
*5 = 2 } |
в осталь |
|||||||||||||||
ной |
плоскости |
|
она |
регулярна |
и однозначна. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Боли |
можно |
построить область, |
в |
которой |
особая |
точка |
а |
|||||||||||||||
будет |
внутренней |
и в которой, |
кроме |
|
а |
, не |
будет |
других • |
|||||||||||||||
особых точек, |
|
тс а |
|
называется изолированной |
особой |
точкой. . |
|||||||||||||||||
Другими |
словами, |
точка |
а |
называется |
изолированной |
особой |
|
||||||||||||||||
точкой функции |
|
J'(z) , если |
существует |
|
окрестность |
0</?-“/'2 |
|||||||||||||||||
этой точки |
(с исключенной |
точкой а), |
в которой |
f ( z ) |
регулярна.. |
||||||||||||||||||
Различают, |
три типа изолированных |
|
особых точек, |
в зависи |
|||||||||||||||||||
мости от |
поведения |
функции^У( £ ) в йх |
|
окрестности: |
|
|
|
||||||||||||||||
1. Точка |
|
а |
йазывается |
|
устранимой |
|
особой |
точкой, |
если |
||||||||||||||
существует |
конечный |
предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- А
2-*а.
2.Точка а называется полюсом. если f(z) является бос-, конечно больной при приблгтении к а , т.е. существует
■Cim /(z) = оО
-т -
|
3„ |
Точке |
а |
|
называется существенно |
|
особой |
точкой, если |
||||||||||||||
. Сет / ( z ) |
не |
существует |
(т.е,. этот |
продел |
принимает различ |
|||||||||||||||||
ные |
значения, |
в |
том |
числе |
и бесконечно |
|
большие, |
в |
зависимос |
|||||||||||||
ти |
о.т пути, |
по которому |
Z |
стремится |
к |
а |
)» |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Функции бывают рациональными или полиномами. Рацио |
|||||||||||||||||||||
нальными |
называются |
функции, которые могут быть определены |
||||||||||||||||||||
при |
помощи |
не более |
чем |
четырех |
|
основных ^действий (сложения, |
||||||||||||||||
вычитания, |
умножения |
и деления), |
производимых над независимы |
|||||||||||||||||||
ми переменными |
2 |
|
и постоянными |
( вообще |
|
говоря, |
|
комплексны |
||||||||||||||
ми) |
числами. Число |
выполненных |
действий |
|
не должно |
|
быть бес- |
|||||||||||||||
;'.снечно |
большду.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Среди |
рациональных |
функций |
|
особое |
|
место |
занимает функ |
||||||||||||||
ции. |
которые |
|
могут |
быть |
определены |
при помощи .не |
|
'более |
||||||||||||||
чек |
трех действий |
- |
сложения, |
вычитания |
и умножения. |
Зто- |
||||||||||||||||
Ьункции целые рациональные, иначе целые многочлены, |
|
или |
по |
|||||||||||||||||||
линомы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' _ |
|
|
|
|
|
||
|
Целой рациональной функцией или полиномом называется - |
|||||||||||||||||||||
всякая |
.руикция, |
которая |
может |
|
быть |
построена |
из |
независи |
||||||||||||||
мой |
переменной |
£ = л -1су |
и постоянных |
чисел С - |
а. |
|
|
по |
||||||||||||||
средством |
конечного |
числа |
сложении |
и умножений. |
|
|
|
|
||||||||||||||
§ 5.3. Конформное |
отображение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Понятие * конформного |
отображения |
|
относится |
к числу важнейших |
||||||||||||||||||
понятий |
математики. |
Возникшее |
.из |
физических представлений, |
||||||||||||||||||
оно |
находит |
многочисленные |
приложения |
к самым |
различным |
|||||||||||||||||
областям |
техники. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
- Конформную трансформацию можно представить физически |
||||||||||||||||||||||
следующим |
образом. |
Возьмем, например, лист |
тонкой |
резины, |
||||||||||||||||||
вырежем |
из него |
кольцо |
и разобьем |
кольцо |
полярной |
|
сеткой |
|||||||||||||||
координат. Закрепим |
наружный |
контур |
кольца |
и будем деформи |
||||||||||||||||||
ровать |
внутренний |
контур, |
как |
показано |
на рис. 5.5, а. Т!ог- |
|||||||||||||||||
да правильная |
|
сетка |
полярных |
координат перейдет |
в другую |
|||||||||||||||||
криволинейную |
|
сетку, которую мы „обычно |
|
получаем |
при |
конформ |
||||||||||||||||
ном |
отображении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Получившаяся |
криволинейная^ |
сетка |
|
остается |
ортогональ |
||||||||||||||||
ной |
и поело |
деформации. |
Это |
свойство |
|
конформного |
'отображе |
|||||||||||||||
ния называется |
консерватизмом |
углов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 150 - |
|
||
Рассмотрю |
другое свойство отсбрааваая - сво&зтзо постоян |
|||||
ства' растяення* |
Пуотьфункзд.? |
a>{-f)=Z цроЕваодш; |
вззшво |
|||
однозначно* отображаема |
облазтп |
S |
с грапщсй l a sa sssoea- |
|||
чвокую область .с грающей |
fa „ Отобравеапо будсг |
взажно |
||||
однозначно* волн |
каждому |
образу |
аочкв' г .будок соотзегагво- |
|||
вать прообраз точка ^ |
(рно. 5«>5, б |
)<, |
|
Пуоть функция |
a5(^)=z будет |
также, регулярной. |
Тогда эта |
||||||||
функция отобразит |
точку |
% |
ж линию Г |
в точку |
ж дииию С- |
||||||
Возьмем на лхнии Г точку |
z+AZ произвольно. |
Тогда отображаю- |
|||||||||
мая функция приодет |
в соответствие |
этой |
точке точку ^ * а ^ |
||||||||
плоокостк |
4 |
|
|
|
2 +/jjeк точке |
£' вдоль линии /I |
|||||
Будем приближать |
точку |
||||||||||
тогда ^ |
будет |
пряблххаться |
вдоль |
С |
к |
п |
при втои |
||||
жй-Цбудут одновременно |
стремиться |
к пулю. Тогда соглас |
|||||||||
но определению прожэводной |
будем иметь |
|
|
|
|