книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdfАКАДЕМИЯ НАУК МОЛДАВСКОЙ ÇÇP Ордена Трудового Красного Знамени
Институт математики с вычислительным центром
И.Г. ФИЛИППОВ
В.Г. ЧЕБАН
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ
И ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН
И СТЕРЖНЕЙ
Под редакцией
доктора техническим наук Г. Б. Колчина
Кишинев «ШТИИМЦА» «988
УДК 539.3:534.1
На основе трехмерной постановки задач линейной теории вязкоупругости выведены точные уравнения про дольного и поперечного колебаний вязкоупругих пластин и круглых стершей, а также уравнения колебания с уче том окружающей среды и сил трения. При этом учитыва лись анизотропные свойства и тешература пластин и стержней (связанная теория). На основе точных уравне ний подучены приближенные уравнения типа уравнений Ти мошенко и другие, содержащие производные более высо кого порядка. На основе точных и приближенных уравне ний решены частные задачи колебания стержней и плас тин.
Монография предназначена для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов, занимающихся вопросами колебания пластин и стержней.
Рецензенты
доктор технических наук Г.С.Варданян кандидат физико-математических наук И.К.Навал
Утверждено к изданию Редакционно-ивдатедьским советом АН МССР
ISBN 5-376-00330-2
© Издательство "Штиинца”, 1986 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пластины и стерши являются основными элементами многих строи тельных конструкций и широко используются в различных областях тех ники.
Вопросам колебания пластин и стержней посвящена обширная лите ратура. В основу современных методов расчета колебания положена тех ническая теория продольных и поперечных колебаний пластин и стерж ней.
Большинство достижений относится к расчету колебания упругих пластин, основанных на модели обобщенного плоского напряженного со стояния в случае продольных колебаний и модели Тимошенко и ее раз личных вариациях в случае поперечных колебаний [3, 6, 21, 29, 46 - 55]. В частности, уточненная теория колебания Тимошенко приводит к уравнению четвертого порядка гиперболического типа, учитывающему влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига.Учет дефор
мации поперечного сдвига и инерции вращения существен для |
многих |
|
проблем современной техники, а также при применении новых |
композит |
|
ных материалов. |
|
|
Исследования в области |
теории пластин и стержней в |
последние |
десятилетия показали Недостаточность классических теорий |
для описа |
|
ния волновых процессов при |
воздействии на них импульсивных внешних |
|
нагрузок. Поэтому появились |
различные уточненные теории продольных |
|
и поперечных колебаний пластин и стержней. |
|
|
Как классические, так и уточненные теории колебания |
основаны |
на введении тех или иных гипотез, характеризующих изменение искомых величин по сечение,пластинки или стержня, и получении на их основе уравнений Иолебания. Уточненные уравнения отличаются от классичес ких наличием в них новых слагаемых, расширяющих в некотором смысле области применения классических теорий.
Наличие большего числа уточненных теорий, в ряде случаев не со гласующихся между собой, тормозит развитие единого подхода к иссле дованию колебания пластин, ограниченных в плане, и стержней конеч ной длины* Кроме того, данные теории не позволяют даже приближенно рассчитать все компоненты смещений и напряжений в произвольной точ ке пластинки или стержня как трехмерного тела, что весьма важно для
многих прикладных задач по расчету пластин и стержней на прочность» деформативность•
В настоящее время мало внимания уделяется учету более сложных механических (анизотропия» неоднородность и др. ) и реологических (вязкость) свойств материала пластинки или стержня» температурных аф фектов» влияния окружающей среды (деформируемое основание или дефор мируемая среда)» влияния начальных смещений и напряжений»нелинейнос
ти физического или геометрического характера и т.д. |
Результаты |
по |
||
этим вопросам |
отражены» например» в работах [I» 6» |
10» 12» |
20» |
2б]. |
Однако существует другой подход к построению |
теорий колебания |
|||
пластин и стержней с учетом указанных факторов. |
|
|
|
|
В настоящей книге излагается теория колебания пластин и стерж |
||||
ней» основанная на рассмотрении пластинки и стержня |
как |
трехмер |
||
ного тела» на |
точной постановке трехмерной математической |
задачи |
||
колебания при |
внешних усилиях» вызывающих тот или |
иной его |
вид.Ос |
новное внимание уделено выводу уравнений колебания пластин и стерж
ней» получению зависимостей всех перемещений и напряжений |
от |
иско |
||
мых функций» позволяющих более правильно формулировать краевые |
за |
|||
дачи для ограниченных в плане пластин и стержней |
конечной длины.Та |
|||
кой подход позволяет получать точные уравнения колебания |
с |
учетом |
||
механических и реологических свойств материала пластинки |
и |
стержня» |
||
температуры» окружающей среды» деформируемого основания и |
т.д. |
Из |
||
найденных точных уравнений колебания однозначно |
выводятся |
уточнен |
ные уравнения любого порядка по производным и необходимые зависимос ти перемещений и напряжений в любой точке пластинки или стержня с лю бой степенью точности.
В первой главе приводятся необходимые сведения по теории упру гости и вязкоупругости с учетом влияния температуры (связная тео рия)» формулируются основные краевые задачи динамики упругого или вязкоупругого тела.
Во второй главе исследуются колебания изотропных ьязкоупругих пластин в линейной постановке при воздействии внешних усилий на по
верхность пластинки» |
вызывающих продольное» поперечное или |
более |
сложное ее колебание. |
Из полученных точных уравнений колебания |
вы |
водятся приближенные уравнения типа классических и уточненных» учи тывающих инерцию вращения и деформацию поперечного сдвига произволь ного сечения пластинки и другие более тонкие волновые эффекты»воз
никающие в |
ней при колебании. Найдены выражения для перемещений |
и |
||
•напряжений |
от искомых |
вспомогательных функций. |
|
|
В |
третьей главе |
колебания пластин исследуются о учетом теше - |
||
ратуры» |
анизотропии» деформируемого основания и окружающей среды |
и |
||
другие |
задачи колебания [38 - 40]. |
|
В четвертой главе рассматриваются колебания ограниченных упру гих и вязкоупругих пластин» Решаются некоторые частные задачи коле
бания прямоугольных пластин при различных условиях закрепления |
по |
||||
краям» |
|
|
|
|
|
Пятая глава посвящена линейной теории упругих |
и |
вязкоупругих |
|||
круглых стержней. Здесь применяется тот хе подход, что и |
в |
преды |
|||
дущих главах, для вывода уравнений колебания круглых |
|
стержней |
с |
||
учетом вязкости их материала, влияния окружающей среды |
и |
тетера- |
|||
Т/ры. |
|
|
|
|
|
Ограниченный объем книги не позволил изложить полученные |
|
ре |
|||
зультаты в полном объеме» |
|
|
|
|
|
Вторая и третья главы написаны И.Г.Филипповым, |
первая, |
четвер |
|||
тая и пятая - И. Г.Филипповым и В.Г.Чебаном. |
|
|
|
|
|
Г Л А В А I
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
|
|
|
§ I. Напряженное и деформированное |
состояние [l09 17, 20] |
|
|||||||||||||||||||
|
|
Под влиянием сил, приложенных к сплошному деформируемом/ телу, |
||||||||||||||||||||||
во взаимном расположении его частиц происходят изменения, |
т.е.дефорь |
|||||||||||||||||||||||
мируемое тело изменяет свою форму и объем. Простейший* пример |
тако |
|||||||||||||||||||||||
го |
тела |
|
- сжатый или растянутый стержень. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Для математического описания процесса деформации твердого |
|
те |
||||||||||||||||||||
ла используется та или иная система координат. Например, |
в декарто |
|||||||||||||||||||||||
вой системе |
координат |
«*7« осf |
х г =ÿ,ac$~z |
положение |
каядой |
точки |
||||||||||||||||||
тела определяется радиусом-вектором г* |
с кошонентами (x J9 х 2 |
, |
х3). |
|||||||||||||||||||||
После деформации положение точки определяется другим вектором |
|
г |
л' с |
|||||||||||||||||||||
координатами ( |
|
, эс'г » ж'3 ) • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Вектор |
и * р - Р |
|
определяет |
вектор перемещения точки |
тела, |
при |
||||||||||||||||
чем |
координаты |
( ж '7 , |
9 |
эс'3 ) |
|
являются функциями |
первоначальных |
|||||||||||||||||
координат точки |
|
(oc1f |
х 2,эс3). Следовательно, |
вектор перемещения так |
||||||||||||||||||||
же |
есть функция |
|
координат |
|
(ocJf |
|
x 2t |
эс3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Рассмотрим какие-либо две близкие точки с радиусом-вектором мвж- |
||||||||||||||||||||||
ду |
ними |
|
(d x f , |
d x 2 , |
d x 3) |
и расстоянием |
d l =■ 'Jd * c f + ctx\ + d x * i |
|||||||||||||||||
После деформации |
тела |
расстояние между точками меняется и становит |
||||||||||||||||||||||
ся равным |
d ï = |
l / ( d x f ) 2+ ( d x 2f + ( d x j ? 9 |
где |
d x i* d X j |
y- duj f |
|||||||||||||||||||
|
|
- координаты вектора перемещения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
„ |
Записав |
коротко |
d ^ ^ Ç d x ,)2; |
d l'2= ( d * ! ) 2 |
и подставив |
d u ; = |
||||||||||||||||||
âuj . |
• полУчим |
(И1,л |
|
. У |
|
0 ôuj |
' |
[ |
duj |
|
âu j . |
И |
J |
|||||||||||
" ^ |
^ |
|
(dL>= |
(i1 |
+ |
2 |
|
d* * +~⣠! £ * * » * * < • |
||||||||||||||||
дх к |
|
|
* ’ |
|
|
|
|
|
âx/f! ± |
|||||||||||||||
После |
элементарных преобразований имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(сП')* =(сП)г+г/ |
|
d x . d x k |
; |
4 |
' £Ji ' |
4 * = г |
е4V* |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ди п |
д и п \ |
|
(I.I) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д х к |
d x j |
) • |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как в дальнейшем рассмотрим лишь малые деформации,то в (I.I) произведениями производных от перемещений по координатам будем пре небрегать и положим
|
|
- |
|
OUJ |
|
* 4 |
du * |
J t k |
|
<I-2) |
|||
|
Sjj |
d x j |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Малые деформации, определяемые по формулам (1.2), образуют тен- |
|||||||||||||
вор деформации |
f |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
£ я |
2 е й |
|
T |
|
|
|
|
|
||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
егг |
|
e« |
|
J L |
e |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
c 23 |
)» |
€jk m%> (1,3) |
||||||
|
|
|
1 „ |
|
6гл |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
г |
|
637 |
2 |
C32 |
|
|
|
|
|
|
|
который имеет |
три независимых инварианта; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
J. - |
|
+ е ю ♦ е |
<7,- И |
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
22 |
СДЗ • |
|
|
(1.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
е» + ея |
ем + ег* ejj “ 4 |
( |
+ ея + |
е а |
) |
• |
|||||
инвариант Jy называется |
объемным расширением. |
|
|
|
|
||||||||
Можно |
ввести также |
три главных удлинения 8f, S2 ,6$ , |
и тогда ин |
||||||||||
варианты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ï Ê / |
V |
|
£r |
Jt = e f e2 + |
|
|
|
J3a£, e* e3- |
|||||
Ори атом удлинения |
|
С7, e g t е3 |
являются |
корнями |
кубического |
уравне- |
|||||||
|
|
|
|
е 9- J7 e ‘ + Jg е - J j - о . |
|
|
|
|
|||||
Черва |
главные удлинения вводится среднее удлинение |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ес в Т ( £п * е г г * £зз ) “ Т *? * |
|
|
|
||||||
к соответствущий шаровой тензор |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Г |
J |
|
( |
о , |
е„ о |
). |
|
(1.5) |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
\ о , о, е„ / |
|
|
|
|||
Ревность между тензорами (1.3) и (1.5) называется девиаторныы |
|||||||||||||
тензором деформации |
|
|
|
1 „ |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
' |
2 |
eH |
|
|
|
|
D ' - D - D . ; D - |
|
|
|
|
V |
ee ; |
{ |
£» |
|
|
( 1 . 6 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
^ г - £o » |
|
|
|
г'
в котором также можно |
ввести главные удлинения |
|
|
||
|
|
е г - е 0 ; |
е; = е3 - е 0 ; ё,+ е'г + е'3 - о , |
||
т.е. девиатор D |
определяет деформацию без |
объемного |
расширения |
||
или деформацию формоизменения. |
|
|
|
||
Важное значение в |
теории деформации имеет понятие |
интенсив |
|||
ности деформации |
сдвига |
|
|
|
|
ъ г=-^r [ | ( 4 <•4 ♦ 4 |
- «„ еа - е„ е„ - |
е„) . |
|
4 ♦<£)]• |
(I-7> |
||
В частности, деформации (1.2) в цилиндрических координатах рав |
||||
ны |
|
|
|
ди |
âur |
1 |
див . |
“г |
|
д г ; |
°09 Г |
д9 |
г ' |
еггя дг |
âUg |
диг |
|
диг |
д и г |
I N |
N |
С |
s |
|
д9 |
' |
еп я |
дг + д г 9 |
_7. |
диг |
+ |
ди9 _ |
г |
г |
дв |
д г |
Для описания напряженного состояния сплошного тела рассмотрим проиэвольцуп точку М внутри тела и всевозможные площадки d d в втой точке. На данную площадку со стороны среды действует сила, которую обозначим через d Р . Положим
__ |
d P ~* |
Wn d e , |
(1.9) |
|
где Рп - конечный |
вектор; /Г- нормаль к площадке |
d б . |
||
^Разлагая силу |
Рп |
на составляющие по нормали |
л" и по касатель |
|
ной?' к |
площадке |
<14, |
получаем |
|
|
Рпя «»пП‘ + * п Т * |
Л Л °> |
||
Здесь |
&пп - нормальные напряжения; &nv - касательные или танген |
|||
циальные напряжения. |
|
|
Так как через точку |
М можно провести бесконечное |
число пло |
щадок й б , то существует |
бесконечно много сил Рп , соответствующих |
|
этим площадкам. Однако среди данных сил имеются лишь три |
линейно |
|
независимые, а остальные могут быть выражены черев них. |
В качестве |
независимых рассмотрим силы, действующие по площадкам,перпендикуляр
ным выбранной ортогональной системе координат* т.е. перпендикулярным осям этой системы координат. Указанные силы как три независимых век тора образуют тензор напряжения
г= |
/ бх х , |
е ху f |
V A |
|
V |
> |
*9 * ) * |
(I..11) |
|
|
|
%/
причем он считается симметричным* так как предполагается* что выполним закон парности касательных деформаций <?- *
Для тензора деформации (I.II) можно ввести понятие главных на пряжений 3,, и инвариантов [10* 20]t
|
® |
+ |
**уу + |
^zz / |
%тI |
т\; |
|
|
|
S2 = &0СХ |
+ 6хх ^гг + |
|
" &х г ' буг . |
|
|||||
Главные напряжения - корни кубического уравнения |
|
|
|
||||||
|
|
<а3- |
sT6*+ s g e - |
s3 = о . |
|
|
|
|
|
Вводя среднее напряжение |
Sr f тензор (I.II) |
можно |
раз- |
||||||
бить на две |
составляющие |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
г= т0 + г , |
|
|
|
|
||
где Т0 - шаровой тензор или |
тензор гидростатического напряжения; Г'- |
||||||||
девиаторный |
тензор! |
|
|
|
|
|
|
|
|
б» t |
о , |
|
|
* х х - 6° , |
> |
&Jcz |
|||
0 |
, |
° |
|
7"=* |
|
> |
|
в.V х |
|
о |
, |
|
|
|
zy |
f |
'■'rz |
^ i |
|
о , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(I.12) |
При исследовании |
напряженного |
состояния |
в теле важное значение |
||||||
имеет понятие |
интенсивности касательных напряжений |
|
|
|
|||||
|
|
^хх + |
+ |
0zz ~ ^хх ^уу "" ^ |
^zz “ |
*уу ^zz) + |
22
ГXjf т UJCZ
Введенные в данном параграфе понятия и величины полностью ха рактеризуют напряженно-деформированное состояние сплошного тела в любой точке в случае малых деформаций. Зная свойства введенных ве-
Зак.689
личин, определяющих напряженно-деформированное состояние тела,сфор мулируем законы, связывающие эти величины, для упругого и вязкоупру гого тела при малых деформациях.
5 2. Нелинейный закон упругости и вязкоупругости
|
|
|
|
для малых деформаций |
|
|
|
|
|
||||||
Приведем нелинейный |
закон зависимости |
rv/ g ., |
для |
упругого |
|||||||||||
изотропного тела в форме, изложенной в монографии [10]. |
|
|
|||||||||||||
Вначале |
представим линейный |
закон |
зависимости в |
* |
e£j- в форме |
||||||||||
|
|
|
|
&0Ж3К S0 ; |
Т-гвО', |
|
|
|
(I.I3) |
||||||
где К, |
6 |
- модули соответственно |
объемного сжатия и сдвига,кото |
||||||||||||
рые с постоянными Ламе |
Л, |
связаны |
зависимостями |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
К жЛ + - ^ - си ; |
G = (U |
|
|
|
(I•14) |
||||||
Нелинейный |
закон |
зависимости |
|
л/ e£j |
для |
малых |
деформаций |
||||||||
запишем таким образом, чтобы он в пределе для бесконечно малых |
де |
||||||||||||||
формаций переходйл в закон Гука |
CI.13). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Рассмотрим удельную |
работу деформации |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
* |
" |
U * * * |
<*ехх + % |
|
+ ***</еа |
+ |
|
|
|
|||||
|
|
* |
|
|
|
+ |
* хг d e xz + «уг e ^ x ). |
|
(1.15) |
||||||
Здесь интегрирование ведется от состояния, при котором все ком |
|||||||||||||||
поненты деформации равны нулю, до |
того состояния, при котором |
они |
|||||||||||||
представляются |
тензором |
D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если положить |
ехя |
к |
вXX + 6О ,-•• |
и |
учесть,что |
|
|
||||||||
|
^ХХ + |
+ ?zz |
о ; |
d e ' ^ |
+ c f e ^ * |
С(е'г г =0, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
то получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 0(x,if,z)+A'(x,y,z), |
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А0 |
j j |
«.rf е. |
|
|
|
|
|
(I.I6) |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
означает работу изменения объема, а